第１１卷第３期２００２年９月
平项山工学皖学报
Ｊｏｕｍａ】ｏｆＨｎｇｄｉｎｇｓｈａｌｌ
ｌｎ８ｔｎｕｆｅｏｆＴｅｃｈｎｄｏｇｙ
Ｖｏｌ１１
Ｎｏ．３
ＳｅＤ２００２
文章编号：１６７１～９６６２【２００２）０３一００８３一０２
求原函数的一种新方法——图解积分法
刘雅妹，谷穗。
（平顶山工学院，河南平顶山４６７０（）Ｉ）
摘要：介绍用几何作图方法求连续函数，（ｚ）的原函数的方法。关键词：几何作图；原函数；定积分中图分类号：０１７２
文献标识码：Ａ
在众多的高等教学教材上．求连续函数，（ｚ）的原函数，即求，（ｒ）的不定积分时，都是在被积函数，（ｚ）有具体解析式且原函数可以用初等函数表示时，才能用直接积分法、换元积分法及分部积分法，求出它的原函数的。但是在大量的工程技术中，所遇到的连续函数，（ｚ）往往是用一条连续胁线表示的，那我们如何求出它的原函数呢？笔者在认真研究定积分的几何意义及原函数存在定理之后，认为可以用几何作图方法求连续函数当用连续曲线表示时的原函数，其方法如下。
ｒ６
１求，＝｛，（ｚ）ｄｚ（－厂（ｚ）≥ｏ）
Ｊ
ｄ
设连续函数，（ｒ）在［ｄ，６］上的图形如图１所示。在Ｏ々轴上
沿［ｈ的负方向上取ｏＰ线段，使ｌｏＰｌ＝１。利用积分第一中值公
ｒ６
ｙ
式ｌ，（ｚ）ｄｒ＝，（｝）（６一ｎ），（ａ≤｝≤６）。凭眼力在［“，６］上估
计出点｛的位置。作直线。＝｝，交曲线ｙ＝／（ｚ）于Ｑ（｛，，（｝）），
过Ｑ作平行于ｚ轴的直线ＦＧ，交ｏｙ轴于丁，交直线ｚ＝ｎ于Ｆ，
ｒ＾
，
／
交直线工＝６于Ｇ，则矩形ＦＡＢＧ的面积＝１／（。）ｄ“连结ＰＴ，
过Ａ作ＡＭ’∥Ｐ丁，交直线，＝＾于Ｍ７。则有向线段ＢＭ７的数值
ｒ６
一厮
Ⅳ’
ｇ
占
图１图解法的原理
就是定积分Ｉｒ（ｚ）ｄｚ的值。
事实上，由作图知：Ｐ丁∥＾Ｍ
ｒ＾
７，则△Ｐｏ丁～△ＡＢＭ’，从而簧芋＝器，即ＢＭ７＝ｏＴ・ＡＢ＝蛔
ｃ
’ｎＢ＝厂（｝）（６一ｎ）＝Ｉ＿厂（ｚ）ｄｚ
当区间［“，６］不太大时，凭眼力画出直线ＦＧ，从而作出有向线段ＢＭ７，其误差不会太大，当区问［ｎ，６］较大时，利用上述作法，求出的有向线段ＢＭ７的数值表示Ｉｕｒ（ｚ）ｄｚ误差就会较大。为了提高精度，可把积分区间［ｎ，６］分成一些小区间［，。＿．儿ｚ。，ｒ：］¨・［“＿¨ｚ。］（不必相等）。在每个小区间
［。＿ｌ，ｚ一上，用上述的作法，分别作出有向线段ｒ，Ｍ，，使ｚ，Ｍ：＝ｒ－厂（ｚ）ｄｒ。另外，取分点ｚ＝ｚ：时应尽量使在每个小区间［ｚ，。ｒ一为函数，（ｚ）单调区间；同时，曲线ｙ＝，（ｒ）与ｒ轴的交点亦取作分
点，，。为了使图形清晰起见，我们不必把这些线段作在原来的ｚ轴上，而可以把它们作在平行于（）ｒ轴
的另…轴Ｏｌｚ７上（图２）。如果曲边梯形的面积是从ｚ＝ｎ处算起的话，那么该曲边梯形在．ｒ＝“处
收稿日期：２００２一０２一１２
＊平项山工学院２００ｌ级建筑工程系学生。
平顶山工学院学报
２００２年９月
的面积等于零。因此在Ｏｌｒ’轴上标出点Ｍ。（ｎ，０）作为曲线ｙ＝／（，）上点Ｍｆ，的对应点。从。＝ａ到．ｒ＝ｒ．为止的曲边梯形面积，即
掣。，倒‘
崽
ｒ，（ｚ）ｄｚ。我们可队从Ｍｏ作
Ｊｊ“
ｐ殄Ｎ
Ｆ毒卉鲫
＿＿＿—＿
ｉ
－＿一
群
辑：
Ｆ一
置一
ｉ
再
奇
‰
而
岛
棒
面
赫一Ⅷ
出焉
矽
＾
曲
曲？
Ｍ。Ｍ１∥Ｐ丁ｌ，交直线』＝丁ｌ于
Ｍｊ，则有向线段ｒ。Ｍ。的值＝
ｌｙ（，）ｄｒ，而Ｍ．对应于Ｍｌ。从。
Ｊ』。
＝ｎ到ｚ＝ｚ，为止的曲边梯形面
积，即Ｉ７（一）ｄｚ等于第一、第二两
Ｊ』ｏ
一
／
《／。
√。
ｆ。队、、
．——一
彬
个小区间上的曲边梯形的面积的代数和，如果我们从点Ｍ．作ＭＩＭ２
图２图解法的示意图
∥ＰＴ：，交直线。＝ｚ２于Ｍｊ，那么有向线段ｚ：Ｍ；的数值＝ｉ４７（ｚ）ｄｒ。Ｍｚ对应于Ｍ２。照着这样继
续下去，可以相继得曲线上点Ｍ，、Ｍ。…的各个对应点Ｍｊ、Ｍｊ…。最后曲线上的点（６，，（６））的对应点
ｒ＾
Ｍ：，则有向线数＿【｛Ｍ：的数值就是所求的积分值Ｉ＿厂（ｚ）ｄｒ。
√ｄ
ｒ』
２
求，（ｚ）＝ｌ，｛￡）ｄ￡
Ｊ
ｄ
用上述的方法，当用分点ｎ＝ｚ。＜Ｔｌ＜丁２…＜ｚ。＝６分区间［ｎ，６］为ｎ个小区问［ｚｏ，丁１］、
［，。，ｚ：］¨．［ｚ。。ｚ。］时，其直线ｒ＝ｚ，交曲线ｙ＝－厂（－ｒ）于Ｍ：，可得相应点Ｍ；ｔ从左至右用光滑曲线
把Ｍ。，Ｍ：，Ｍ；…Ｍ：连结起来，就得到一条光滑曲线。这条曲线上的每一点都对应着曲边梯形的底ＡＢ
上的一点。如果从，＝ｎ起积分到曲边梯形上的某一点ｚ，那么这积分值显然可以用所得曲线上对应点的纵坐标近似表出，换句话说，所得曲线上各点的纵坐标，可以近似地表示从ｚ＝ｎ起，取到曲边梯形底
边上各对应点为止的积分值，也就是说所得曲线便是积分上限为变量时，由积分ｆ（－ｒ）＝Ｉ，（ｆ）ｄ￡所确
Ｊ
ａ
定函数Ｊ（ｚ）的图形。
上述从被积函数的图形求出积分曲线（即原函数的图形）的几何作图法叫做图解积分法。参考文献：
［１］西安交通大学数学教研窒高等数学（第二版）［Ｍ］，北京：高等教育出版社，１９８６
［２］同济人学数学教研室高等数学（第四版）［Ｍ］，北京：高等教育出版社，１９９６
ｆ３］丁家察微积分解题方法［Ｍ］，北京：北京师范大学ｍ版社，１９８１
３８１
２７４～２９６
、
Ａｎｅｗ
ｍｅｔｈＯｄ
ｔｏ
ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｏｒｉｇｉｎａｌ—ｇｒａｐｈｉｃａｌｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ
ＬＩＵＹａ—ｍｅｉ，ＧＵＳｕｉ
（Ｐ川鲥！¨ｇｍｎ¨ｈｓ￡Ｉ￡“掂吖１ｈ如“ｃ馨ｙ，Ｐｆ”利Ⅲ脚ｎ＇】４６７００ｌ，ｃ＾ｉ，Ⅲ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＨｏｗｔｏｄｅＬｅｒｍｊｎｅｔｈｅ。“ｇｉｎｏｆｃｏｎＩｍｕｏｕｓｆｕｎｔｊｏｎＫｅｙｗｏｒｄｓ：ｇｅｏｍｅｔ“ｃ
ｆ（ｘ）ｂｙｇｅｏｎｌｅｔｒｉｃｆ培ｕｒｅ
ｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ
ｆｉｇｕｒｅ；ｏｒｉｇｉｎ；ｄｅ“ｎｉｔｅｊｎｌｅｇｒａｔｉｏｎ
求原函数的一种新方法--图解积分法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
刘雅妹， 谷穗
平顶山工学院,河南,平顶山,467001
平顶山工学院学报
JOURNAL OF PINGDINGSHAN INSTITUTE OF TECHNOLOGY2002，11(3)0次
参考文献(3条)
1. 西安交通大学数学教研室 高等数学 19862. 同济大学数学教研室 高等数学 19963. 丁家泰 微积分解题方法 1981
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_hncjgdzkxxxb200203035.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：f1a0bdf4-2687-42fc-a5fc-9dc9015b7eea
下载时间：2010年8月5日
第１１卷第３期２００２年９月
平项山工学皖学报
Ｊｏｕｍａ】ｏｆＨｎｇｄｉｎｇｓｈａｌｌ
ｌｎ８ｔｎｕｆｅｏｆＴｅｃｈｎｄｏｇｙ
Ｖｏｌ１１
Ｎｏ．３
ＳｅＤ２００２
文章编号：１６７１～９６６２【２００２）０３一００８３一０２
求原函数的一种新方法——图解积分法
刘雅妹，谷穗。
（平顶山工学院，河南平顶山４６７０（）Ｉ）
摘要：介绍用几何作图方法求连续函数，（ｚ）的原函数的方法。关键词：几何作图；原函数；定积分中图分类号：０１７２
文献标识码：Ａ
在众多的高等教学教材上．求连续函数，（ｚ）的原函数，即求，（ｒ）的不定积分时，都是在被积函数，（ｚ）有具体解析式且原函数可以用初等函数表示时，才能用直接积分法、换元积分法及分部积分法，求出它的原函数的。但是在大量的工程技术中，所遇到的连续函数，（ｚ）往往是用一条连续胁线表示的，那我们如何求出它的原函数呢？笔者在认真研究定积分的几何意义及原函数存在定理之后，认为可以用几何作图方法求连续函数当用连续曲线表示时的原函数，其方法如下。
ｒ６
１求，＝｛，（ｚ）ｄｚ（－厂（ｚ）≥ｏ）
Ｊ
ｄ
设连续函数，（ｒ）在［ｄ，６］上的图形如图１所示。在Ｏ々轴上
沿［ｈ的负方向上取ｏＰ线段，使ｌｏＰｌ＝１。利用积分第一中值公
ｒ６
ｙ
式ｌ，（ｚ）ｄｒ＝，（｝）（６一ｎ），（ａ≤｝≤６）。凭眼力在［“，６］上估
计出点｛的位置。作直线。＝｝，交曲线ｙ＝／（ｚ）于Ｑ（｛，，（｝）），
过Ｑ作平行于ｚ轴的直线ＦＧ，交ｏｙ轴于丁，交直线ｚ＝ｎ于Ｆ，
ｒ＾
，
／
交直线工＝６于Ｇ，则矩形ＦＡＢＧ的面积＝１／（。）ｄ“连结ＰＴ，
过Ａ作ＡＭ’∥Ｐ丁，交直线，＝＾于Ｍ７。则有向线段ＢＭ７的数值
ｒ６
一厮
Ⅳ’
ｇ
占
图１图解法的原理
就是定积分Ｉｒ（ｚ）ｄｚ的值。
事实上，由作图知：Ｐ丁∥＾Ｍ
ｒ＾
７，则△Ｐｏ丁～△ＡＢＭ’，从而簧芋＝器，即ＢＭ７＝ｏＴ・ＡＢ＝蛔
ｃ
’ｎＢ＝厂（｝）（６一ｎ）＝Ｉ＿厂（ｚ）ｄｚ
当区间［“，６］不太大时，凭眼力画出直线ＦＧ，从而作出有向线段ＢＭ７，其误差不会太大，当区问［ｎ，６］较大时，利用上述作法，求出的有向线段ＢＭ７的数值表示Ｉｕｒ（ｚ）ｄｚ误差就会较大。为了提高精度，可把积分区间［ｎ，６］分成一些小区间［，。＿．儿ｚ。，ｒ：］¨・［“＿¨ｚ。］（不必相等）。在每个小区间
［。＿ｌ，ｚ一上，用上述的作法，分别作出有向线段ｒ，Ｍ，，使ｚ，Ｍ：＝ｒ－厂（ｚ）ｄｒ。另外，取分点ｚ＝ｚ：时应尽量使在每个小区间［ｚ，。ｒ一为函数，（ｚ）单调区间；同时，曲线ｙ＝，（ｒ）与ｒ轴的交点亦取作分
点，，。为了使图形清晰起见，我们不必把这些线段作在原来的ｚ轴上，而可以把它们作在平行于（）ｒ轴
的另…轴Ｏｌｚ７上（图２）。如果曲边梯形的面积是从ｚ＝ｎ处算起的话，那么该曲边梯形在．ｒ＝“处
收稿日期：２００２一０２一１２
＊平项山工学院２００ｌ级建筑工程系学生。
平顶山工学院学报
２００２年９月
的面积等于零。因此在Ｏｌｒ’轴上标出点Ｍ。（ｎ，０）作为曲线ｙ＝／（，）上点Ｍｆ，的对应点。从。＝ａ到．ｒ＝ｒ．为止的曲边梯形面积，即
掣。，倒‘
崽
ｒ，（ｚ）ｄｚ。我们可队从Ｍｏ作
Ｊｊ“
ｐ殄Ｎ
Ｆ毒卉鲫
＿＿＿—＿
ｉ
－＿一
群
辑：
Ｆ一
置一
ｉ
再
奇
‰
而
岛
棒
面
赫一Ⅷ
出焉
矽
＾
曲
曲？
Ｍ。Ｍ１∥Ｐ丁ｌ，交直线』＝丁ｌ于
Ｍｊ，则有向线段ｒ。Ｍ。的值＝
ｌｙ（，）ｄｒ，而Ｍ．对应于Ｍｌ。从。
Ｊ』。
＝ｎ到ｚ＝ｚ，为止的曲边梯形面
积，即Ｉ７（一）ｄｚ等于第一、第二两
Ｊ』ｏ
一
／
《／。
√。
ｆ。队、、
．——一
彬
个小区间上的曲边梯形的面积的代数和，如果我们从点Ｍ．作ＭＩＭ２
图２图解法的示意图
∥ＰＴ：，交直线。＝ｚ２于Ｍｊ，那么有向线段ｚ：Ｍ；的数值＝ｉ４７（ｚ）ｄｒ。Ｍｚ对应于Ｍ２。照着这样继
续下去，可以相继得曲线上点Ｍ，、Ｍ。…的各个对应点Ｍｊ、Ｍｊ…。最后曲线上的点（６，，（６））的对应点
ｒ＾
Ｍ：，则有向线数＿【｛Ｍ：的数值就是所求的积分值Ｉ＿厂（ｚ）ｄｒ。
√ｄ
ｒ』
２
求，（ｚ）＝ｌ，｛￡）ｄ￡
Ｊ
ｄ
用上述的方法，当用分点ｎ＝ｚ。＜Ｔｌ＜丁２…＜ｚ。＝６分区间［ｎ，６］为ｎ个小区问［ｚｏ，丁１］、
［，。，ｚ：］¨．［ｚ。。ｚ。］时，其直线ｒ＝ｚ，交曲线ｙ＝－厂（－ｒ）于Ｍ：，可得相应点Ｍ；ｔ从左至右用光滑曲线
把Ｍ。，Ｍ：，Ｍ；…Ｍ：连结起来，就得到一条光滑曲线。这条曲线上的每一点都对应着曲边梯形的底ＡＢ
上的一点。如果从，＝ｎ起积分到曲边梯形上的某一点ｚ，那么这积分值显然可以用所得曲线上对应点的纵坐标近似表出，换句话说，所得曲线上各点的纵坐标，可以近似地表示从ｚ＝ｎ起，取到曲边梯形底
边上各对应点为止的积分值，也就是说所得曲线便是积分上限为变量时，由积分ｆ（－ｒ）＝Ｉ，（ｆ）ｄ￡所确
Ｊ
ａ
定函数Ｊ（ｚ）的图形。
上述从被积函数的图形求出积分曲线（即原函数的图形）的几何作图法叫做图解积分法。参考文献：
［１］西安交通大学数学教研窒高等数学（第二版）［Ｍ］，北京：高等教育出版社，１９８６
［２］同济人学数学教研室高等数学（第四版）［Ｍ］，北京：高等教育出版社，１９９６
ｆ３］丁家察微积分解题方法［Ｍ］，北京：北京师范大学ｍ版社，１９８１
３８１
２７４～２９６
、
Ａｎｅｗ
ｍｅｔｈＯｄ
ｔｏ
ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｏｒｉｇｉｎａｌ—ｇｒａｐｈｉｃａｌｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ
ＬＩＵＹａ—ｍｅｉ，ＧＵＳｕｉ
（Ｐ川鲥！¨ｇｍｎ¨ｈｓ￡Ｉ￡“掂吖１ｈ如“ｃ馨ｙ，Ｐｆ”利Ⅲ脚ｎ＇】４６７００ｌ，ｃ＾ｉ，Ⅲ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＨｏｗｔｏｄｅＬｅｒｍｊｎｅｔｈｅ。“ｇｉｎｏｆｃｏｎＩｍｕｏｕｓｆｕｎｔｊｏｎＫｅｙｗｏｒｄｓ：ｇｅｏｍｅｔ“ｃ
ｆ（ｘ）ｂｙｇｅｏｎｌｅｔｒｉｃｆ培ｕｒｅ
ｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ
ｆｉｇｕｒｅ；ｏｒｉｇｉｎ；ｄｅ“ｎｉｔｅｊｎｌｅｇｒａｔｉｏｎ
求原函数的一种新方法--图解积分法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
刘雅妹， 谷穗
平顶山工学院,河南,平顶山,467001
平顶山工学院学报
JOURNAL OF PINGDINGSHAN INSTITUTE OF TECHNOLOGY2002，11(3)0次
参考文献(3条)
1. 西安交通大学数学教研室 高等数学 19862. 同济大学数学教研室 高等数学 19963. 丁家泰 微积分解题方法 1981
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_hncjgdzkxxxb200203035.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：f1a0bdf4-2687-42fc-a5fc-9dc9015b7eea
下载时间：2010年8月5日