一、二次根式的概念： 二次根式的性质： 1.a(a≥0)是一个非负数。2.a2=a(a≥0)
⎧a(a≥0)3.a2=a=⎨ ⎩-a(a 0)
错题：
1.52= 5 2.
-32= －（－3）=3 3.25-(-1)2=5－1=4
4.6=3∙6=9⨯6=54或3=5.-
()
2
2
)
2
()⨯6)=54)=54
2
2
2
2
-62
=--6=-6 6.5
-2
=
11⎛1⎫ == ⎪255⎝5⎭
2
7.根据条件，请你解答下列问题：（1）已知20-n是整数，求自然数n的值；
解：首先二次根式有意义，则满足20-n≥0,所以n≤20,又因为20-n是整数，所以根号内的数一定是一个平方数，即20-n必定可化为20-n=a2(a为整数,且a≥0)这种形式，即
20-n=a2(a为整数,且a≥0)。所以满足条件的平方数a2有0，1，4，9，16。所以n=20,19,16,11,4. （2）已知20n是整数，求正整数n的最小值
解：因为20n是整数，所以根号内的数一定是一个平方数，即20n必定可化为20n=a2(a为整数)这种形式，即20n=a2(a为整数)，而20n=4⨯5⨯a2(a为整数)，4可以开平方，剩下不能开平方的数5，所以正整数n的最小值就是5，因5⨯5=52能被开平方。所以我们要把常数先进行分解，把能开平方的数分解出来，剩下的不能开平方的数与字母相乘再配成能开平方的数，而字母的最小值就是这个不能
开平方的数。
7-2.(2)已知-n是正整数，求实数n的最大值；
解：因为20-n是正整数，所以满足12-n 0,所以n 12,所以根号内的数一定是一个平方数，即
20-n必定可化为20-n=a2(a为整数,且a 0)这种形式，即20-n=a2(a为整数,且a 0)。所以满
足条件的平方数a2有1，4，9。所以n=11,8,3.最大值为11. 8.计算
x)+2
x-2
)
2
9.计算：若a-4+-9=0,则
a)
22
-a+
)
22
-b=
10.已知y=2x-5+5-2x-3，则2xy的值为。
⎛x⎫
⎪=1成立，则x的取值范围是 。 -211.若等式 3⎪
⎝⎭
11-1.已知aa-3≤0，若b=2-a，则b的取值范围是
解：对于含字母的代数式，首先应考虑使它有意义或使代数式成立的条件。对于本题，首先有根式a，则应考虑根式成立的条件是a≥0。又题目aa-≤0，所以a-3≤0，a≤，所以0≤a≤3.不等式两边都乘以－1得-≤-a≤0，不等式两边同加2得，2-≤2-a≤2 11-2.已知aa- 0，若b=2-a，则b的取值范围是。
解：对于含字母的代数式，首先应考虑使它有意义或使代数式成立的条件。对于本题，首先有根式a，则应考虑根式成立的条件是a≥0。又题目aa-3 0，所以a≠0,所以a- 0，得a ，所以
()
()
()
()
0 a .不等式两边都乘以－1得- -a 0，不等式两边同加2得，2- 2-a 2
12.已知a,b,c满足
11
a-b+22b+c+c2-c+=0，求-ab+c的值。 24
13.已知实数a,b,c满足a+b-8+-a-b=3a-b-c+a-2b+c+3，请问：长度分别为a,b,c的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由。 14.已知实数a,b为两个连续的整数，且a 28 b，则a+b。
15.选择：已知实数m,n为两个连续的整数(m n)，q=mn，设p=q+n+q-m，则p。 A. 总是奇数 B.总是偶数 C. 有时是奇数，有时是偶数 D.有时是有理数，有时是无理数 16.在实数范围内分解因式（1）a2-5 （2）x2-22x+2 17.化简求值：
（1）2a(a+b)-(a+b)，其中a=2012，b=2013；
2
a2+2a+11
+，其中a=-1-5 （2）a+1+2
a+aa
19.（2010江苏南京）如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是
A.4的算术平方根 B.4的立方根 C.8的算术平方根 D.8的立方根
【答案】C
20.（2010浙江杭州）4的平方根是
A. 2 B. ± 2 C. 16 D. ±16 【答案】B
21.（2010浙江嘉兴）设a>0、b>0，则下列运算中错误的是（ ▲ ） ．．
（A）ab=a⋅b
（B）a+b=a+b
a
=b
（C）(a)2=a
（D）
【答案】B
22.（2010江苏常州）下列运算错误的是
=
B. 【答案】A
23.（2010江苏淮安）
A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B
23.（2010湖北荆门）若a、b为实数，且满足│a－2│+-b=0，则b－a的值为 A．2 【答案】C
B．0
2
=
=
D.(2=2
2
C．－2 D．以上都不对
24.（2010湖北恩施自治州）(-4)的算术平方根是:
A. 4 B. ±4 C. 2 D. ±2 【答案】A
25.下列命题是真命题的是（ ）
A．若a=b，则a=b B．若x=y，则2－3x﹥2－3y C．若x=2，则x
D．若x=8，则x=±2 【答案】C
26.（2010湖北襄樊）下列说法错误的是（ ）
A
2 C
【答案】D
27.（2010湖北襄樊）
A．6至7之间 【答案】B
B
是无理数
2
3
22
D
．
是分数 2
的结果估计在（ ）
C．8至9之间
D．9至10之间
B．7至8之间
28.（2010 四川绵阳）要使-x+
1
有意义，则x应满足（ ）． 2x-1
1111
A．≤x≤3 B．x≤3且x≠ C．＜x＜3 D．＜x≤3
2222
【答案】D
29.（2010 四川绵阳）下列各式计算正确的是（ ）．
114
A．m2 · m3 = m6 B．=⋅=3
333
23+33=2+3=5 D．(a-1)
11=-(1-a)2⋅=--a（a＜1） 1-a1-a
【答案】D
30.（2010 湖南湘潭）下列计算正确的是
A.2+3=2 B.a+a=a C.(2a)⋅(3a)=6a D.2-1=【答案】D
31.（2010 贵州贵阳）下列式子中，正确的是
（A）10＜＜11 （B）11＜＜12 （C）12＜＜13 （D）13＜＜14 【答案】B
32.（2010 四川自贡）已知n是一个正整数，n是整数，则n的最小值是（ ）。
A．3
B．5
C．15
D．25
2
2
3
1
2
解：n是整数，那么n肯定能化为n=a2的形式，所以135n=a，将的135分解因式
135=3⨯5⨯9=3⨯5⨯32，要使135n=a2，那么必须再乘以3×5=15才行，所以n=15.【答案】C
33.（2010 天津）比较2
的大小，正确的是
（A
）2
2
（B
）2
5，所以37 2 【答案】C
34.（2010 福建德化）若整数m满足条件(m+1)2＝m+1且m＜【答案】0
25
，则m的值是 ．
35.（2010 福建三明）观察分析下列数据，寻找规律：0，3，6,3,2,
„„那么第10个数据应是 。
2
解：0=0⨯3，3=⨯，6=2⨯3=2⨯3，3=3⨯3，2=2⨯3=4⨯，第
n个数应为n-1⨯，第10个数为-1⨯=9⨯3=3 【答案】33
36.已知：a、b为两个连续的整数，且a
37.已知x-1=3，求代数式(x+1)2-4(x+1)+4的值．
【答案】解法一：原式＝(x+1-2) „„„„„„„„„„„2分 ＝(x-1) „„„„„„„„„„„4分 当x-1=3时
原式＝ () „„„„„„„„„„„6分 ＝3 „„„„„„„„„„„8分 解法二：由x-1=3得x=+1 „„„„„„„„„„„1分
化简原式＝x+2x+1-4x-4+4 „„„„„„„„„„„3分
＝x-2x+1 „„„„„„„„„„„4分 ＝(3+1)2-2(3+1)+1 „„„„„„„„„„5分
＝3+2+1-23-2+1 „„„„„„„„„„7分 ＝3 „„„„„„„„„„„8分
2
2
2
2
2
38.（2010山东烟台）（本题满分6分）先简化，再求值：【答案】
其中
x-y(x-2y)2x-2yx-yx2-y2解：= ⋅=÷2
2
x+yx-2yx-4xy+4yx-2y(x+y)(x-y)当
时，原式=
1+2-2(1-2)1+2+1-2
=
32-1
2
39.（2010 福建晋江）（8分）先化简，再求值：
x⎫x2-1⎛3x
- ，其中x=2-2 ⎪⋅
x⎝x-1x+1⎭
⎡3x(x+1)x(x-1)⎤x2-1
【答案】解一：原式=⎢-⎥⋅x
x-1x+1x-1x+1⎣⎦
3x2+3x-x2+xx2-1
= ⋅
x-1x+1x
2x2+4xx2-1
⋅ =
x-1x+1x
=
2x(x+2)(x+1)(x-1)⋅ x-1x+1x
=2(x+2)
当x=2-2时，原式=22-2+2=22
)
3xx2-1xx2-1
⋅-⋅解二：原式= x-1xx+1x
=
3x(x-1)(x+1)x(x-1)(x+1)⋅-⋅ x-1xx+1x
= 3(x+1)-(x-1) = 3x+3-x+1 =2x+4
当x=
2-2时，原式
=22）+4=22
5x-3)÷40.（2010湖北武汉）先化简，再求值:(x-2-，其中x=2-3. x+22x+4
x2-452(x+2)
-)∙【答案】答案: 原式=( x+2x+2x-3
x2-92(x+2)(x+3)(x-3)2(x+2)
===2x+6. ∙∙
x+2x-3x+2x-3
当x=2-3时，原式=2(2-3)+6=22. 41.若等式(
x
-2)0=1成立，则x的取值范围是 . 3
b
b
0b0
0次幂的底数不能为0，为0时无意义。a=a÷a，若a=0，则有0=0÷0=b=无意义。
00
【答案】x≥0且x≠12
b
b
42.
已知6-3m+(n-5)=3m-6-，则m-n=． 解：使
2m-3nm-3n
2
22
有意义的条件是(m-3)n≥0，而n≥0，所以只需m-3≥0，即m≥3。所以6-3m 0,所以
6-3m=3m-6，所以原式为3m-6+(n-5)=3m-6-
2m-3n
2
，即(n-5)=-
2m-3n
2
2
。因(n-5)≥0，
2
所以-
2
≥0,所以
m-3n
2
所以n=5，代入=0,所以(n-5)=0，
2m-3n
=0,得
m-3⨯5
2
=0,
得m=3,所以m-n=3-5=-2
【答案】－2
43.已知x，y为实数，且满足+x-(y-1)-y=0，那么x
2011
－y2011．
解：使-y有意义，则y≤1,则-(y-1)≥0,所以-(y-1)-y≥0，又+x≥0,且+x-(y-1)-y=0，所以-(y-1)-y=0,【答案】－2；
44.已知a、b为有理数，m、n
分别表示5的整数部分和小数部分，且
+x=0,求得x=-1,y=1.所以x2011－y2011=－2.
amn+bn2=1，则2a+b=。
分析：只需首先对5-估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用5-7-a表示．再分别代入
amn+bn2=1进行计算．
解：因为2＜ 7 ＜3，所以-3 -7 -2,所以5-3 5-7 5-2,所以2＜5-7 ＜3，故m=2，
n=5-7-2=3-7．
化简得(6a+16b)-7(2a+6b)=1， 等式两边相对照，因为结果不含
2
把m=2，n=3- 代入amn+bn=1得，23-7a+3-b=1
()()
2
，
所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=所以2a+b=3-【答案】 45.
若m=
52
31，b=-． 22
15
= 22
543
，则m-2m-2011m的值是．
可得
解：如果直接代入计算，
将会非常复杂。必须将已知和要求的代数式分别化简再代入计算。m=
m=
2012+12
m3因式分.又可将m5-2m4-2011=2012+1,则m-1=2012.则(m-1)=2012
2012-12012+1
)
解得m3m2-2m-2011=m3m2-2m+1-2012=m3(m-1)-2012=m3
2
()[()]
[]
[2012)-2012]=0.
2
【答案】0
46.已知m=1+2，n=1-2，则代数式m2+n2-3mn的值为（ ）
A.9 B.±3 C.3 D. 5
22
解：像这种两个数为x=a+b,y=a-b.的形式，可化成x+y=2a从而消去b，化成xy=a-b可消去根式。一看
2222
到两个字母的平方和m+n就要想到用完全平方公式进行配方成m±n
m2+n2-3mn=m2+n2+2mn-5mn=
m+n2
-5mn=22-51+21-2=3
()
的形式。
【答案】C
47.（2011山东烟台，19,6分）先化简再计算：
x2-1⎛2x-1⎫2
÷x- ⎪，其中x是一元二次方程x-2x-2=0的正数根. 2
x+x⎝x⎭
1x(x+1)(x-1)x2-2x+1x-1
【答案】解：原式===. ⋅÷2
x-1x(x-1)x(x+1)x 解方程得x2
-2x-2=0得：
x1=10，x2=10.
所以原式
. ★★48.（2011山东日照，18，6分）化简，求值： 【答案】原式=
m2-2m+1m2-1
÷
(m-1)(m+1)-(m-1)
m+1
m2-2m+1m2-1
÷(m-1-
m-1
）m+1
其中m=． ，
(m-1)2m+1
∙2 =
(m-1)(m+1)m-1-m+1
m-1m-1m+1
= =2 ∙2
m+1m-mm-m
1m-1
= =．
mm(m-1)
∴当m=3时，原式=
1=
3
． 3
49.（2011•青海）若a，b是实数，式子和|a﹣2|互为相反数，则（a+b）
2011
=
考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值。 分析：根据题意得
+|a﹣2|=0，再根据非负数的意义，列方程组求a、b的值，即可得出答案．
解答：解：依题意，得+|a﹣2|=0，
根据非负数的意义，得， 2b+6=0，
解得：b=﹣3， a﹣2=0， 解得：a=2，
20112011
∴（a+b）=（﹣1）=﹣1． 故答案为为：﹣1．
点评：此题主要考查了绝对值以及互为相反数的定义和算术平方根的性质，初中阶段学习了三个非负数：a2≥0，|a|≥0，a≥0（a≥0）；必须熟练掌握非负数的性质． 50.
是同类二次根式的是（ ）
1a+b有意义，则a+b 0,所以
5
a+b3
a+b1=a+b,
5a+b
2
(a+b)(a+b)=
4
a+b
=a+b,
33
=a+b.所以答案为A.a+
ba+b
51.若最简二次根式x的值为 .
-1[提示：根据题意得x+3=3x
+5，解得x=-1. ]
52.
.
2
. ] 3[
53.
已知x+y=
5,xy=3,.
解： x+y=5,xy=3,∴x＞
0,y＞0,∴原式=
==
54.阅读下列材料，然后回答问题.
们可以将其进一步化简
.
（一）
==
=；（二）
（三） ===1；以上这种化简的步骤叫做分母有理化
.
还可以用以下方法化简： 23-1
==3+13+1
)-1=2
+1
3+13-1
=-1（四）
3+1
)
（1）请用不同的方法化简
；
；
+（2）
+…
解：（1
==
22====
…+
=1
（2
…1.
1111
+++...++15+7+52n+1+2n-1
=
121=2=
=
3-1
2n+1-2n-1)3-1)5-)7-5)+++...+
5-3
7-5
3-1
+
3+13-1
)
-3
+
5+3-3
)
7-5
+...+
7+7-
)
2n+1-2n-1
2n+1+2n-12n+1-2n-1
)
2n+1-2n-1-1+-3+7-5+...+2n
+1-2n-1 2n+1-1
)
)
55.在实数范围内分解因式：x4-9=__________,x2-+2=__________
答案：(
x+3)xx;x
2
(
(2
56.
把 。 解：使二次根式有意义则a 0,所以a-
1
0,将根号外的因式移到根号内时应在二次根式前加负号使a
其小于0.即a-答案： 57.
1⎛1⎫
=-a2⨯ -⎪=--a,
a⎝a⎭
x 0)
y=-2)
x 0)x+y中，二次根式有（ C ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
解：根据二次根式定义:
（a≥0）叫做二次根式。满足两个条件，第一根指数是2，第二被开方数大于等于
0.所以
x
(x 0),2,-2x(x 0),x2+1满足条件，y+1(y=-2)的被开方数小于0，的根指数为3，x+y2
不是根式。故选C.
58.下列各式一定是二次根式的是（ C ）
解：只有第一根指数是2，第二被开方数大于等于0.故选C. 59.
的值是（ D ）
A. 0 B. 4a-2 C. 2-4a D. 2-4a或4a-2
【专题解读】
当遇到某些数学问题存在多种情况时，应进行分类讨论.=|a|进行化简时，若字母的取值范围不确定，应进行分类讨论. 解
=2a-+-2a
1
令2a-1=0,1-2a=0,得a=.
211
于是实数集被分为a≥和a 两部分。
22
1
①当a≥时，2a-1≥0,1-2a≤0.所以原式=2a-1+2a-1=4a-2.
21
②当a 时，2a-1 0,1-2a 0. 所以原式=1-2a+1-2a=2-4a.
2
规律·方法 对于无约束条件的化简问题需要分类讨论，用这种方法解题分为以下步骤：首先，求出绝对值为零时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即把实数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行化简，简称“零点分区间法”.
60.下面的推导中开始出错的步骤是（ ）
==(
1)
-=
=(
2)
∴=-(3)∴2=-2 (4)
A. (1) B. (2) C. (3) D. (4)
解：第（2）步出错了。正确的应为-2=-22⨯3=- 61.★★★★已知x2-3x+1=
0 解：此题如果直接解方程求出x的值后再代入计算非常繁琐。可对已知方程和要求的根式进行适当变形后再代入求解更简单。
观察根式12
，是这是典型的a2+b2的形式，可使用完全平方公式进行配方x+2x
2
为a2+b2=a2+b2±2ab 2ab=(a±b) 2ab。
11⎫⎛
于是可将二次根式变形为x2+2+2-4= x+⎪-4„①，
xx⎭⎝
2
1⎫⎛
也可变形为 x-⎪„②
x⎭⎝
11
已知方程x2-3x+1=0要变成x+或x-的形式就必须降次，因为方程隐含x≠0.所以将方程两边
xx11⎫同时除以x进行降次得x+=3，代入①得 x+⎪-4=32-4=
xx⎭⎝
2
2
二、二次根式的乘除
二次根式的乘除混合运算，应先把根号外的因式（即有理式）进行运算，再把无理式因式进行运算，最后把两个结果相乘。记住两个公式a∙=ab(a 0,b 0),错题：1.化简9⨯125=9⨯5⨯25=32⨯5⨯52=3⨯= 2.202-162=
aa
(a≥0,b 0)。 =
b20+1620-16=
⨯4=62⨯22=6⨯2=12
3.2a⨯6a=2a⨯6a=a2=3⨯22⨯a=23a（不要写成2a3） 4.
2424
⨯a3(a 0)原式=⨯18a3=4⨯6⨯2⨯9a2=4⨯2⨯3⨯2⨯9a2=42⨯32⨯3a2=a（不aa
要写成12a3）
5.若正数x的两个平方根分别是2a+1和3-a，求x+7的值。
6.72÷32 7.÷
32 23
a2
8.化简0.6 9. (a 0,b 0,c 0)
bc29m2()10.化简 11. m 0,n 02
x4n
12.
1122
x÷x⨯ 13. a b22
a-bx
()
x2-1
(x 1,y 0)化成最简二次根式为 14.将
xy-y15.等式
xx
成立的条件是 =
1-x-x
⨯，同学甲的解法是==；同学乙的解法是==；同学
333
16.选择题：计算
丙的解法是
⨯3===。你认为解法正确的同学是（ A ）
33⨯3
A. 甲、乙、丙 B 甲、乙 C 乙 D 甲、丙 17.当a≤0，b
0=__________。
解：ab3=ab∙b2=b∙ab，因为b 0.所以b∙ab=-bab. 18.
m=_____,n=______。
⎧m+n-2=1
解：因为都是最简二次根式，所以被开方数的次数为1.所以有⎨，解这得m=1,n=2.
3m-2n+2=1⎩19.已知xy
0，化简二次根式 ）
C.
解：使二次根式y≤0,且x≠0,又已知xy 0，所以y≠0,所以y 0,所以x 0.所以x
-y1⎛1⎫
=x∙-y=x∙ -⎪y=--y x2x⎝x⎭
20.对于所有实数a,b，下列等式总能成立的是（ ）
A.
2
=a+
b=a+b
a2+
b22
=a+b
解：对于A有
a+=
)a)+2
2
2
a∙b+
)=a+b+2
ab
对于B有取a=1,b=1代入，则a2+b2=2，而a+b=2，所以不对。 对于C有对于D有
a
2
+b2=a2+b2=a2+b2，成立。
2
a+b2
⎧a+b当(a+b≥0时)
=a+b=⎨
⎩-a-b当(a+b 0时)
21. ）
A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3
解：A,二次根式都是非负数；B，只有当二次根式中含有不能开方的因数的时候才是无理数。比如说
2,中含有不能开方的因数，是无理数。而像,9中含有能开方的因数，是有理数。 当x2+9=9,或x2+9=,时就是有理数，而不是无理数。
Dx=0时有最小值为3. 22.尝试用两种方法化简
x-y
x+y
解一：
解二：
x+yx-yx)-y)=x+yx-y)=x-y=
x+yx+yx+y
2
2
x-y=
x+y
(x-y)x-y
)
=
(x-y)x-
x-yy
)=x-y
)
x-y
)
23.化简-a3-a2-
1 a
1
≥0,所以a 0. a
解：根据二次根式有意义的条件可知-所以
-a3-a2-
1a1⎛1⎫=-a∙a2-a2-2=a-a-a2∙-a=-a-a-a2∙ -⎪-aaaa⎝a⎭
⎛1⎫
=-a-a-a2∙ -⎪
-a=-a-a+a-a=0
⎝a
⎭
24..把根号外的因式移到根号内：
(1).-(2).(1-x11
=-⨯52=- 55
解：（1）-5
（2）使二次根式有意义的条件是x-1 0,即x 1,所以1-x 0. 所以(1-x11
=-(x-1=-x-1x-1
(x-1)
2
∙
1
=-x-1 x-1
1⎛14⎫⎛11⎫ ⎪ 5⎪25.计算33⨯ -1⎪÷ 2⎝87⎭⎝42⎪⎭
分析：二次根式的乘除混合运算，应先把根号外的因式（即有理式）进行运算，再把无理式因式进行运算，最后把两个结果相乘。记住两个公式a∙b=ab(a 0,b 0),
aa
(a≥0,b 0)。 =
b⎡⎛1⎫1⎤⎛141⎫⎛1⎫71123
=-3⨯⨯4⨯⨯=-解：原式=⎢3⨯ -⎪÷⎥ 3⨯÷5⎪ ⎪⎪[1**********]⎭⎭⎣⎝⎦⎝⎭⎝
26.
2
xy5y
1⎛33⎫⎛
∙ -xy⎪÷ ⎝2⎭ ⎝3y⎫
⎪(x 0) x⎪⎭
⎡2⎛3⎫1⎤⎛y⎫⎛23⎫x5353
⎪= ⎪-⨯⨯3xy∙xy∙解：原式=⎢∙ -⎪÷⎥ xy∙xy÷ y2⎪⎪y23xy⎭⎦⎝⎣⎝⎭⎭⎝
=-
9559
xy=-∙x2y2xy=-9x2yxy yy
27.阅读下面解题过程，然后回答总题 已知：a+b=-3,ab=1,求
ab
的值。 +
ba
解： a+b=-3,ab=1,∴
abaa+b-3+=+===-3 ba1aab
上面的解法是否正确？若不正确，找出错因，并写出正确的解题过程。 分析：本题主要是逆用了二次根式的除法公式
a≥0,b 0。
aa
(a≥0,b 0)，但忽略了公式成立的条件=
bb
解：上面的解法是不正确的， a+b=-3 0,ab=1 0,∴a 0,b 0,∴公式正确解法：
aa
不成立。 =
bb
(a+bab=-1⨯(-3)=3 abababababababab
+=2+2=+=+=--=-babababaab1b2a2
三、二次根式的加减
⎛3⎫⎛121⎫
⎪ - 48-4⎪错题：1. 0.5+2⎪⎪ 4832⎝⎭⎝⎭
2.已知7的整数部分是a,小数部分是b,求a-b的值
3.计算4.计算
7+2
2
7-2=
)
3+2)(7-43)= 5.计算(1+2)(1-2)=
6.先化简再求值(a-)(a+)-a(a-6),其中a=
2001
2012
5+
1 2
7.已知a=2+3，b=2-，试求
ab
-的值 ba
8.下面说法正确的是（ ）
A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式
D. 同类二次根式是根指数为2的根式
解：同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类
二次根式
A正确；B，=22,=4，所以不是同类二次根式；C
1152
是同类=
=2=
50505010
二次根式；D同类二次根式不会根指数为2，而且被开方数要相同。错误。 9.
与 ）
解：先将每个式子化为最简根式，再看其被开方数是否相同。
将
a∙ab A的最简二次根式为
ab2abb1
；B的最简二次根式为==ab；
22aabab111=ab；D的最简二次根式为3==
aa∙a3a2abab
ab
C的最简二次根式为
其中只有A
的被开方数与，所以答案为A。 10.下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
最简二次根式：①被开方数不含分母，②不含能开得尽方的因数或因式③分母中不含有二次根式 解：A二次根式被开方数中含有小数即含有分数，即含有分母，不是最简。 B二次根式中a-12b=43a-3b含有可开方的数4，不是最简。 C二次根式满足最简二次根式条件。
D二次根式中含有可开方的数b，不是最简。
2
11.
若最简二次根式
a=____,b=____。
最简二次根式：最简二次根式：①被开方数不含分母，②不含能开得尽方的因数或因式③分母中不含有二次根式 。
同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。同类二次根式满足的条件：①根指数相同，都等于2；②被开方数相同。
⎧a+1=2
解：因为
⎨，解之得a=1,b=1.
⎩2a+5=3b+4a四、二次根式的混合运算 1.23+623-6-
()()+2
)
2
分析：直接应用平方差公式和完全平方公式计算，注意去后面的括号时要变号。 2.计算23+6-2-6
分析：仔细观察这题是典型的两个数的平方差，可用平方差公式化简 3.二次根式x-3中x的取值范围是。 4.规定运算：(a⊗b)=a-b,其中a,b为实数，则
()(
2)
2
7⊗3+7=
)
1⎫x⎛
5.先化简，再求值 1-，其中x=2+1 ⎪÷2
x+1x-1⎝⎭
⎛1⎫2012
6.若a+2+b-+ c-⎪=0，则(abc)=
2⎭⎝7.已知x+8.
2
11
=7，求x-=
xx
a-ba+b-2aba-b-a-b+2ab-2b+2ab
-==
a-a-a-a-b
解：
b-ab=-2⨯=-2⨯
a-9.
解：
)-
2
a∙ba-b
=-2⨯=-2
a-ba-
)
=
-yx-xyxy+yx
(
)-y
x+xy
yx-xy
=
-yx-xyyx-xy
x
(
y+y
)(
xy
x-x
)-(xyx
y+yxyx+xyy+y
x-x
)(xy) y
)()(xy+yx)(yx+xy) =-
xy+yxyx-xyxy+yxyx-xy-(yx-xy)-(xy+yx)xy-2xyxy+xy+xy+2xy==-
xy-xyyx-xy-yx-xyyx-xy
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
xy+x2y
2xy2
+2x2y
xy(y+x)2(y+x) =-=-2
⨯=
-22
y-xxy-
xyxyy-xa+b⎛⎫-10.
化简 a-b解：原式=
=
a)+2a∙b+)a-2
2
2
⎛- ⎝
2
a+
2
a-
⎫b⎪
2
b-ab⎪⎭
2
)+
2
ab
a
===⎛a+-
a+ba-b ⎝a
)
2
⎫a⎪-
a+b-a⎪⎭
b)+
a
ab
a+b⎛1
- -
a-b⎝a+b
a+a-
a+a-
)1⎫ba+b) ⎪b-a⎭a
b)⎛b-a-a-b⎫ba+b)⎪- ⎪b⎝a+bb-a⎭ab)-2aba+b) -∙ba+b-aa
=
a+-2 -
a-b-aa+-2
b
+
a-a-=
=
a+b-2b
=
a-ba-=1
a
-x3-xy211.
已知：x=4的值 y=3223
xy+2xy+xy解：本题如果直接代入将非常复杂。应想法将已知进行适当变形，并将要求的代数式进行适当变形后再
代入计算更简单。 先将已知变形：
3+2x==
3-2y=
3-3+
-23-2)=3-2)=2=
2+2-23-22
2
2
2
2
2
+2
=
-23+2
)
2
+2
)
2
=
3+2=
2
))+2⨯
2
2
6+
2)=5+2
2
6；
3-2=
))-2⨯
2
6+
2)=5-2
2
6
由此可知x,y是典型的x=a+b,y=a-b形式， 所以x+y=5+26+5-2=10，
x-y=5+26-5-26=46 xy=-5-26-6+2
(
()(
)
6)=25-24=1
(
)x3-xy2(x+y)(x-y)=(x-y)„①，将xx2-y2
再将要求的代数式进行变形为4==2
xy+2x3y2+x2y3x2yx2+2xy+y2xyx+yxyx+yx+y=10,x-y=46,xy=1代入①中得12.
已知：a+
(x-y)=46=26
xyx+y1⨯105
1
=c,求这个数的平方和这个数的倒数的平方和即x
2
11
=1+a2+2的值。
aa
分析：这是典型的一个数与其倒数相加为常数即x+
2
111⎫11⎛
x+2=?的题型。解这类题应将x+=c,进行平方， x+⎪=c2,得x2+2+2=c2,则x2+2=c2-2
xxx⎭xx⎝11⎫⎛
解：将a+=1+ a+⎪=
aa⎭⎝
2
+1),得a
2
2
+
112
+2=11+2,则a+=9+2 22aa
13.已知：x,y
为实数，且y
3，化简：y-3
解：由y 3使二次根式有意义，则x=1,则y 3.
所以y-33-y- 14. 已知
x-3y+x2-9
y-42=3-y-y-4=3-y-(4-y)=-1
x+32
=0，求
x+1
的值。 y+1
x-3y+x2-9=0,又因为
x-3y≥0,x2-9≥0,所以
解：因为
x-3y+x2-9
x+32
=0，所以
2
x-3y=0,x2-9=0,所以x=±3,x=3y,又因为分母不能为0，所以(x+3)≠0，所以x≠-3，所以x=3.
所以y=1.代入五、其它题型
x+13+1
==2 y+11+1
1.找规律：观察分析下列数据，寻找规律：0，3,,3,23,......那么第10个数据应是 。 分析：找规律的题型通常直观不能找出规律，但常可能将每一项进行变形后再观察，便可发现规律。常用的变形方法有把每一项拆成两项的乘积，两项相除，两项相加，两项相减等。
本题可这样变形为两项的乘积0⨯,⨯3,2⨯,⨯,4⨯3......，则可发现规律。
本题还可这样变形：0,3,6,,......也很容易发现规律。
2.观察这组数据的规律，按规律填写下一个：,2,6,22,, 。
分析：直接不易观察出规律，可对原来的各项进行适当变形：2,4,,,,则可发现规律。
一、二次根式的概念： 二次根式的性质： 1.a(a≥0)是一个非负数。2.a2=a(a≥0)
⎧a(a≥0)3.a2=a=⎨ ⎩-a(a 0)
错题：
1.52= 5 2.
-32= －（－3）=3 3.25-(-1)2=5－1=4
4.6=3∙6=9⨯6=54或3=5.-
()
2
2
)
2
()⨯6)=54)=54
2
2
2
2
-62
=--6=-6 6.5
-2
=
11⎛1⎫ == ⎪255⎝5⎭
2
7.根据条件，请你解答下列问题：（1）已知20-n是整数，求自然数n的值；
解：首先二次根式有意义，则满足20-n≥0,所以n≤20,又因为20-n是整数，所以根号内的数一定是一个平方数，即20-n必定可化为20-n=a2(a为整数,且a≥0)这种形式，即
20-n=a2(a为整数,且a≥0)。所以满足条件的平方数a2有0，1，4，9，16。所以n=20,19,16,11,4. （2）已知20n是整数，求正整数n的最小值
解：因为20n是整数，所以根号内的数一定是一个平方数，即20n必定可化为20n=a2(a为整数)这种形式，即20n=a2(a为整数)，而20n=4⨯5⨯a2(a为整数)，4可以开平方，剩下不能开平方的数5，所以正整数n的最小值就是5，因5⨯5=52能被开平方。所以我们要把常数先进行分解，把能开平方的数分解出来，剩下的不能开平方的数与字母相乘再配成能开平方的数，而字母的最小值就是这个不能
开平方的数。
7-2.(2)已知-n是正整数，求实数n的最大值；
解：因为20-n是正整数，所以满足12-n 0,所以n 12,所以根号内的数一定是一个平方数，即
20-n必定可化为20-n=a2(a为整数,且a 0)这种形式，即20-n=a2(a为整数,且a 0)。所以满
足条件的平方数a2有1，4，9。所以n=11,8,3.最大值为11. 8.计算
x)+2
x-2
)
2
9.计算：若a-4+-9=0,则
a)
22
-a+
)
22
-b=
10.已知y=2x-5+5-2x-3，则2xy的值为。
⎛x⎫
⎪=1成立，则x的取值范围是 。 -211.若等式 3⎪
⎝⎭
11-1.已知aa-3≤0，若b=2-a，则b的取值范围是
解：对于含字母的代数式，首先应考虑使它有意义或使代数式成立的条件。对于本题，首先有根式a，则应考虑根式成立的条件是a≥0。又题目aa-≤0，所以a-3≤0，a≤，所以0≤a≤3.不等式两边都乘以－1得-≤-a≤0，不等式两边同加2得，2-≤2-a≤2 11-2.已知aa- 0，若b=2-a，则b的取值范围是。
解：对于含字母的代数式，首先应考虑使它有意义或使代数式成立的条件。对于本题，首先有根式a，则应考虑根式成立的条件是a≥0。又题目aa-3 0，所以a≠0,所以a- 0，得a ，所以
()
()
()
()
0 a .不等式两边都乘以－1得- -a 0，不等式两边同加2得，2- 2-a 2
12.已知a,b,c满足
11
a-b+22b+c+c2-c+=0，求-ab+c的值。 24
13.已知实数a,b,c满足a+b-8+-a-b=3a-b-c+a-2b+c+3，请问：长度分别为a,b,c的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由。 14.已知实数a,b为两个连续的整数，且a 28 b，则a+b。
15.选择：已知实数m,n为两个连续的整数(m n)，q=mn，设p=q+n+q-m，则p。 A. 总是奇数 B.总是偶数 C. 有时是奇数，有时是偶数 D.有时是有理数，有时是无理数 16.在实数范围内分解因式（1）a2-5 （2）x2-22x+2 17.化简求值：
（1）2a(a+b)-(a+b)，其中a=2012，b=2013；
2
a2+2a+11
+，其中a=-1-5 （2）a+1+2
a+aa
19.（2010江苏南京）如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是
A.4的算术平方根 B.4的立方根 C.8的算术平方根 D.8的立方根
【答案】C
20.（2010浙江杭州）4的平方根是
A. 2 B. ± 2 C. 16 D. ±16 【答案】B
21.（2010浙江嘉兴）设a>0、b>0，则下列运算中错误的是（ ▲ ） ．．
（A）ab=a⋅b
（B）a+b=a+b
a
=b
（C）(a)2=a
（D）
【答案】B
22.（2010江苏常州）下列运算错误的是
=
B. 【答案】A
23.（2010江苏淮安）
A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B
23.（2010湖北荆门）若a、b为实数，且满足│a－2│+-b=0，则b－a的值为 A．2 【答案】C
B．0
2
=
=
D.(2=2
2
C．－2 D．以上都不对
24.（2010湖北恩施自治州）(-4)的算术平方根是:
A. 4 B. ±4 C. 2 D. ±2 【答案】A
25.下列命题是真命题的是（ ）
A．若a=b，则a=b B．若x=y，则2－3x﹥2－3y C．若x=2，则x
D．若x=8，则x=±2 【答案】C
26.（2010湖北襄樊）下列说法错误的是（ ）
A
2 C
【答案】D
27.（2010湖北襄樊）
A．6至7之间 【答案】B
B
是无理数
2
3
22
D
．
是分数 2
的结果估计在（ ）
C．8至9之间
D．9至10之间
B．7至8之间
28.（2010 四川绵阳）要使-x+
1
有意义，则x应满足（ ）． 2x-1
1111
A．≤x≤3 B．x≤3且x≠ C．＜x＜3 D．＜x≤3
2222
【答案】D
29.（2010 四川绵阳）下列各式计算正确的是（ ）．
114
A．m2 · m3 = m6 B．=⋅=3
333
23+33=2+3=5 D．(a-1)
11=-(1-a)2⋅=--a（a＜1） 1-a1-a
【答案】D
30.（2010 湖南湘潭）下列计算正确的是
A.2+3=2 B.a+a=a C.(2a)⋅(3a)=6a D.2-1=【答案】D
31.（2010 贵州贵阳）下列式子中，正确的是
（A）10＜＜11 （B）11＜＜12 （C）12＜＜13 （D）13＜＜14 【答案】B
32.（2010 四川自贡）已知n是一个正整数，n是整数，则n的最小值是（ ）。
A．3
B．5
C．15
D．25
2
2
3
1
2
解：n是整数，那么n肯定能化为n=a2的形式，所以135n=a，将的135分解因式
135=3⨯5⨯9=3⨯5⨯32，要使135n=a2，那么必须再乘以3×5=15才行，所以n=15.【答案】C
33.（2010 天津）比较2
的大小，正确的是
（A
）2
2
（B
）2
5，所以37 2 【答案】C
34.（2010 福建德化）若整数m满足条件(m+1)2＝m+1且m＜【答案】0
25
，则m的值是 ．
35.（2010 福建三明）观察分析下列数据，寻找规律：0，3，6,3,2,
„„那么第10个数据应是 。
2
解：0=0⨯3，3=⨯，6=2⨯3=2⨯3，3=3⨯3，2=2⨯3=4⨯，第
n个数应为n-1⨯，第10个数为-1⨯=9⨯3=3 【答案】33
36.已知：a、b为两个连续的整数，且a
37.已知x-1=3，求代数式(x+1)2-4(x+1)+4的值．
【答案】解法一：原式＝(x+1-2) „„„„„„„„„„„2分 ＝(x-1) „„„„„„„„„„„4分 当x-1=3时
原式＝ () „„„„„„„„„„„6分 ＝3 „„„„„„„„„„„8分 解法二：由x-1=3得x=+1 „„„„„„„„„„„1分
化简原式＝x+2x+1-4x-4+4 „„„„„„„„„„„3分
＝x-2x+1 „„„„„„„„„„„4分 ＝(3+1)2-2(3+1)+1 „„„„„„„„„„5分
＝3+2+1-23-2+1 „„„„„„„„„„7分 ＝3 „„„„„„„„„„„8分
2
2
2
2
2
38.（2010山东烟台）（本题满分6分）先简化，再求值：【答案】
其中
x-y(x-2y)2x-2yx-yx2-y2解：= ⋅=÷2
2
x+yx-2yx-4xy+4yx-2y(x+y)(x-y)当
时，原式=
1+2-2(1-2)1+2+1-2
=
32-1
2
39.（2010 福建晋江）（8分）先化简，再求值：
x⎫x2-1⎛3x
- ，其中x=2-2 ⎪⋅
x⎝x-1x+1⎭
⎡3x(x+1)x(x-1)⎤x2-1
【答案】解一：原式=⎢-⎥⋅x
x-1x+1x-1x+1⎣⎦
3x2+3x-x2+xx2-1
= ⋅
x-1x+1x
2x2+4xx2-1
⋅ =
x-1x+1x
=
2x(x+2)(x+1)(x-1)⋅ x-1x+1x
=2(x+2)
当x=2-2时，原式=22-2+2=22
)
3xx2-1xx2-1
⋅-⋅解二：原式= x-1xx+1x
=
3x(x-1)(x+1)x(x-1)(x+1)⋅-⋅ x-1xx+1x
= 3(x+1)-(x-1) = 3x+3-x+1 =2x+4
当x=
2-2时，原式
=22）+4=22
5x-3)÷40.（2010湖北武汉）先化简，再求值:(x-2-，其中x=2-3. x+22x+4
x2-452(x+2)
-)∙【答案】答案: 原式=( x+2x+2x-3
x2-92(x+2)(x+3)(x-3)2(x+2)
===2x+6. ∙∙
x+2x-3x+2x-3
当x=2-3时，原式=2(2-3)+6=22. 41.若等式(
x
-2)0=1成立，则x的取值范围是 . 3
b
b
0b0
0次幂的底数不能为0，为0时无意义。a=a÷a，若a=0，则有0=0÷0=b=无意义。
00
【答案】x≥0且x≠12
b
b
42.
已知6-3m+(n-5)=3m-6-，则m-n=． 解：使
2m-3nm-3n
2
22
有意义的条件是(m-3)n≥0，而n≥0，所以只需m-3≥0，即m≥3。所以6-3m 0,所以
6-3m=3m-6，所以原式为3m-6+(n-5)=3m-6-
2m-3n
2
，即(n-5)=-
2m-3n
2
2
。因(n-5)≥0，
2
所以-
2
≥0,所以
m-3n
2
所以n=5，代入=0,所以(n-5)=0，
2m-3n
=0,得
m-3⨯5
2
=0,
得m=3,所以m-n=3-5=-2
【答案】－2
43.已知x，y为实数，且满足+x-(y-1)-y=0，那么x
2011
－y2011．
解：使-y有意义，则y≤1,则-(y-1)≥0,所以-(y-1)-y≥0，又+x≥0,且+x-(y-1)-y=0，所以-(y-1)-y=0,【答案】－2；
44.已知a、b为有理数，m、n
分别表示5的整数部分和小数部分，且
+x=0,求得x=-1,y=1.所以x2011－y2011=－2.
amn+bn2=1，则2a+b=。
分析：只需首先对5-估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用5-7-a表示．再分别代入
amn+bn2=1进行计算．
解：因为2＜ 7 ＜3，所以-3 -7 -2,所以5-3 5-7 5-2,所以2＜5-7 ＜3，故m=2，
n=5-7-2=3-7．
化简得(6a+16b)-7(2a+6b)=1， 等式两边相对照，因为结果不含
2
把m=2，n=3- 代入amn+bn=1得，23-7a+3-b=1
()()
2
，
所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=所以2a+b=3-【答案】 45.
若m=
52
31，b=-． 22
15
= 22
543
，则m-2m-2011m的值是．
可得
解：如果直接代入计算，
将会非常复杂。必须将已知和要求的代数式分别化简再代入计算。m=
m=
2012+12
m3因式分.又可将m5-2m4-2011=2012+1,则m-1=2012.则(m-1)=2012
2012-12012+1
)
解得m3m2-2m-2011=m3m2-2m+1-2012=m3(m-1)-2012=m3
2
()[()]
[]
[2012)-2012]=0.
2
【答案】0
46.已知m=1+2，n=1-2，则代数式m2+n2-3mn的值为（ ）
A.9 B.±3 C.3 D. 5
22
解：像这种两个数为x=a+b,y=a-b.的形式，可化成x+y=2a从而消去b，化成xy=a-b可消去根式。一看
2222
到两个字母的平方和m+n就要想到用完全平方公式进行配方成m±n
m2+n2-3mn=m2+n2+2mn-5mn=
m+n2
-5mn=22-51+21-2=3
()
的形式。
【答案】C
47.（2011山东烟台，19,6分）先化简再计算：
x2-1⎛2x-1⎫2
÷x- ⎪，其中x是一元二次方程x-2x-2=0的正数根. 2
x+x⎝x⎭
1x(x+1)(x-1)x2-2x+1x-1
【答案】解：原式===. ⋅÷2
x-1x(x-1)x(x+1)x 解方程得x2
-2x-2=0得：
x1=10，x2=10.
所以原式
. ★★48.（2011山东日照，18，6分）化简，求值： 【答案】原式=
m2-2m+1m2-1
÷
(m-1)(m+1)-(m-1)
m+1
m2-2m+1m2-1
÷(m-1-
m-1
）m+1
其中m=． ，
(m-1)2m+1
∙2 =
(m-1)(m+1)m-1-m+1
m-1m-1m+1
= =2 ∙2
m+1m-mm-m
1m-1
= =．
mm(m-1)
∴当m=3时，原式=
1=
3
． 3
49.（2011•青海）若a，b是实数，式子和|a﹣2|互为相反数，则（a+b）
2011
=
考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值。 分析：根据题意得
+|a﹣2|=0，再根据非负数的意义，列方程组求a、b的值，即可得出答案．
解答：解：依题意，得+|a﹣2|=0，
根据非负数的意义，得， 2b+6=0，
解得：b=﹣3， a﹣2=0， 解得：a=2，
20112011
∴（a+b）=（﹣1）=﹣1． 故答案为为：﹣1．
点评：此题主要考查了绝对值以及互为相反数的定义和算术平方根的性质，初中阶段学习了三个非负数：a2≥0，|a|≥0，a≥0（a≥0）；必须熟练掌握非负数的性质． 50.
是同类二次根式的是（ ）
1a+b有意义，则a+b 0,所以
5
a+b3
a+b1=a+b,
5a+b
2
(a+b)(a+b)=
4
a+b
=a+b,
33
=a+b.所以答案为A.a+
ba+b
51.若最简二次根式x的值为 .
-1[提示：根据题意得x+3=3x
+5，解得x=-1. ]
52.
.
2
. ] 3[
53.
已知x+y=
5,xy=3,.
解： x+y=5,xy=3,∴x＞
0,y＞0,∴原式=
==
54.阅读下列材料，然后回答问题.
们可以将其进一步化简
.
（一）
==
=；（二）
（三） ===1；以上这种化简的步骤叫做分母有理化
.
还可以用以下方法化简： 23-1
==3+13+1
)-1=2
+1
3+13-1
=-1（四）
3+1
)
（1）请用不同的方法化简
；
；
+（2）
+…
解：（1
==
22====
…+
=1
（2
…1.
1111
+++...++15+7+52n+1+2n-1
=
121=2=
=
3-1
2n+1-2n-1)3-1)5-)7-5)+++...+
5-3
7-5
3-1
+
3+13-1
)
-3
+
5+3-3
)
7-5
+...+
7+7-
)
2n+1-2n-1
2n+1+2n-12n+1-2n-1
)
2n+1-2n-1-1+-3+7-5+...+2n
+1-2n-1 2n+1-1
)
)
55.在实数范围内分解因式：x4-9=__________,x2-+2=__________
答案：(
x+3)xx;x
2
(
(2
56.
把 。 解：使二次根式有意义则a 0,所以a-
1
0,将根号外的因式移到根号内时应在二次根式前加负号使a
其小于0.即a-答案： 57.
1⎛1⎫
=-a2⨯ -⎪=--a,
a⎝a⎭
x 0)
y=-2)
x 0)x+y中，二次根式有（ C ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
解：根据二次根式定义:
（a≥0）叫做二次根式。满足两个条件，第一根指数是2，第二被开方数大于等于
0.所以
x
(x 0),2,-2x(x 0),x2+1满足条件，y+1(y=-2)的被开方数小于0，的根指数为3，x+y2
不是根式。故选C.
58.下列各式一定是二次根式的是（ C ）
解：只有第一根指数是2，第二被开方数大于等于0.故选C. 59.
的值是（ D ）
A. 0 B. 4a-2 C. 2-4a D. 2-4a或4a-2
【专题解读】
当遇到某些数学问题存在多种情况时，应进行分类讨论.=|a|进行化简时，若字母的取值范围不确定，应进行分类讨论. 解
=2a-+-2a
1
令2a-1=0,1-2a=0,得a=.
211
于是实数集被分为a≥和a 两部分。
22
1
①当a≥时，2a-1≥0,1-2a≤0.所以原式=2a-1+2a-1=4a-2.
21
②当a 时，2a-1 0,1-2a 0. 所以原式=1-2a+1-2a=2-4a.
2
规律·方法 对于无约束条件的化简问题需要分类讨论，用这种方法解题分为以下步骤：首先，求出绝对值为零时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即把实数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行化简，简称“零点分区间法”.
60.下面的推导中开始出错的步骤是（ ）
==(
1)
-=
=(
2)
∴=-(3)∴2=-2 (4)
A. (1) B. (2) C. (3) D. (4)
解：第（2）步出错了。正确的应为-2=-22⨯3=- 61.★★★★已知x2-3x+1=
0 解：此题如果直接解方程求出x的值后再代入计算非常繁琐。可对已知方程和要求的根式进行适当变形后再代入求解更简单。
观察根式12
，是这是典型的a2+b2的形式，可使用完全平方公式进行配方x+2x
2
为a2+b2=a2+b2±2ab 2ab=(a±b) 2ab。
11⎫⎛
于是可将二次根式变形为x2+2+2-4= x+⎪-4„①，
xx⎭⎝
2
1⎫⎛
也可变形为 x-⎪„②
x⎭⎝
11
已知方程x2-3x+1=0要变成x+或x-的形式就必须降次，因为方程隐含x≠0.所以将方程两边
xx11⎫同时除以x进行降次得x+=3，代入①得 x+⎪-4=32-4=
xx⎭⎝
2
2
二、二次根式的乘除
二次根式的乘除混合运算，应先把根号外的因式（即有理式）进行运算，再把无理式因式进行运算，最后把两个结果相乘。记住两个公式a∙=ab(a 0,b 0),错题：1.化简9⨯125=9⨯5⨯25=32⨯5⨯52=3⨯= 2.202-162=
aa
(a≥0,b 0)。 =
b20+1620-16=
⨯4=62⨯22=6⨯2=12
3.2a⨯6a=2a⨯6a=a2=3⨯22⨯a=23a（不要写成2a3） 4.
2424
⨯a3(a 0)原式=⨯18a3=4⨯6⨯2⨯9a2=4⨯2⨯3⨯2⨯9a2=42⨯32⨯3a2=a（不aa
要写成12a3）
5.若正数x的两个平方根分别是2a+1和3-a，求x+7的值。
6.72÷32 7.÷
32 23
a2
8.化简0.6 9. (a 0,b 0,c 0)
bc29m2()10.化简 11. m 0,n 02
x4n
12.
1122
x÷x⨯ 13. a b22
a-bx
()
x2-1
(x 1,y 0)化成最简二次根式为 14.将
xy-y15.等式
xx
成立的条件是 =
1-x-x
⨯，同学甲的解法是==；同学乙的解法是==；同学
333
16.选择题：计算
丙的解法是
⨯3===。你认为解法正确的同学是（ A ）
33⨯3
A. 甲、乙、丙 B 甲、乙 C 乙 D 甲、丙 17.当a≤0，b
0=__________。
解：ab3=ab∙b2=b∙ab，因为b 0.所以b∙ab=-bab. 18.
m=_____,n=______。
⎧m+n-2=1
解：因为都是最简二次根式，所以被开方数的次数为1.所以有⎨，解这得m=1,n=2.
3m-2n+2=1⎩19.已知xy
0，化简二次根式 ）
C.
解：使二次根式y≤0,且x≠0,又已知xy 0，所以y≠0,所以y 0,所以x 0.所以x
-y1⎛1⎫
=x∙-y=x∙ -⎪y=--y x2x⎝x⎭
20.对于所有实数a,b，下列等式总能成立的是（ ）
A.
2
=a+
b=a+b
a2+
b22
=a+b
解：对于A有
a+=
)a)+2
2
2
a∙b+
)=a+b+2
ab
对于B有取a=1,b=1代入，则a2+b2=2，而a+b=2，所以不对。 对于C有对于D有
a
2
+b2=a2+b2=a2+b2，成立。
2
a+b2
⎧a+b当(a+b≥0时)
=a+b=⎨
⎩-a-b当(a+b 0时)
21. ）
A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3
解：A,二次根式都是非负数；B，只有当二次根式中含有不能开方的因数的时候才是无理数。比如说
2,中含有不能开方的因数，是无理数。而像,9中含有能开方的因数，是有理数。 当x2+9=9,或x2+9=,时就是有理数，而不是无理数。
Dx=0时有最小值为3. 22.尝试用两种方法化简
x-y
x+y
解一：
解二：
x+yx-yx)-y)=x+yx-y)=x-y=
x+yx+yx+y
2
2
x-y=
x+y
(x-y)x-y
)
=
(x-y)x-
x-yy
)=x-y
)
x-y
)
23.化简-a3-a2-
1 a
1
≥0,所以a 0. a
解：根据二次根式有意义的条件可知-所以
-a3-a2-
1a1⎛1⎫=-a∙a2-a2-2=a-a-a2∙-a=-a-a-a2∙ -⎪-aaaa⎝a⎭
⎛1⎫
=-a-a-a2∙ -⎪
-a=-a-a+a-a=0
⎝a
⎭
24..把根号外的因式移到根号内：
(1).-(2).(1-x11
=-⨯52=- 55
解：（1）-5
（2）使二次根式有意义的条件是x-1 0,即x 1,所以1-x 0. 所以(1-x11
=-(x-1=-x-1x-1
(x-1)
2
∙
1
=-x-1 x-1
1⎛14⎫⎛11⎫ ⎪ 5⎪25.计算33⨯ -1⎪÷ 2⎝87⎭⎝42⎪⎭
分析：二次根式的乘除混合运算，应先把根号外的因式（即有理式）进行运算，再把无理式因式进行运算，最后把两个结果相乘。记住两个公式a∙b=ab(a 0,b 0),
aa
(a≥0,b 0)。 =
b⎡⎛1⎫1⎤⎛141⎫⎛1⎫71123
=-3⨯⨯4⨯⨯=-解：原式=⎢3⨯ -⎪÷⎥ 3⨯÷5⎪ ⎪⎪[1**********]⎭⎭⎣⎝⎦⎝⎭⎝
26.
2
xy5y
1⎛33⎫⎛
∙ -xy⎪÷ ⎝2⎭ ⎝3y⎫
⎪(x 0) x⎪⎭
⎡2⎛3⎫1⎤⎛y⎫⎛23⎫x5353
⎪= ⎪-⨯⨯3xy∙xy∙解：原式=⎢∙ -⎪÷⎥ xy∙xy÷ y2⎪⎪y23xy⎭⎦⎝⎣⎝⎭⎭⎝
=-
9559
xy=-∙x2y2xy=-9x2yxy yy
27.阅读下面解题过程，然后回答总题 已知：a+b=-3,ab=1,求
ab
的值。 +
ba
解： a+b=-3,ab=1,∴
abaa+b-3+=+===-3 ba1aab
上面的解法是否正确？若不正确，找出错因，并写出正确的解题过程。 分析：本题主要是逆用了二次根式的除法公式
a≥0,b 0。
aa
(a≥0,b 0)，但忽略了公式成立的条件=
bb
解：上面的解法是不正确的， a+b=-3 0,ab=1 0,∴a 0,b 0,∴公式正确解法：
aa
不成立。 =
bb
(a+bab=-1⨯(-3)=3 abababababababab
+=2+2=+=+=--=-babababaab1b2a2
三、二次根式的加减
⎛3⎫⎛121⎫
⎪ - 48-4⎪错题：1. 0.5+2⎪⎪ 4832⎝⎭⎝⎭
2.已知7的整数部分是a,小数部分是b,求a-b的值
3.计算4.计算
7+2
2
7-2=
)
3+2)(7-43)= 5.计算(1+2)(1-2)=
6.先化简再求值(a-)(a+)-a(a-6),其中a=
2001
2012
5+
1 2
7.已知a=2+3，b=2-，试求
ab
-的值 ba
8.下面说法正确的是（ ）
A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式
D. 同类二次根式是根指数为2的根式
解：同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类
二次根式
A正确；B，=22,=4，所以不是同类二次根式；C
1152
是同类=
=2=
50505010
二次根式；D同类二次根式不会根指数为2，而且被开方数要相同。错误。 9.
与 ）
解：先将每个式子化为最简根式，再看其被开方数是否相同。
将
a∙ab A的最简二次根式为
ab2abb1
；B的最简二次根式为==ab；
22aabab111=ab；D的最简二次根式为3==
aa∙a3a2abab
ab
C的最简二次根式为
其中只有A
的被开方数与，所以答案为A。 10.下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
最简二次根式：①被开方数不含分母，②不含能开得尽方的因数或因式③分母中不含有二次根式 解：A二次根式被开方数中含有小数即含有分数，即含有分母，不是最简。 B二次根式中a-12b=43a-3b含有可开方的数4，不是最简。 C二次根式满足最简二次根式条件。
D二次根式中含有可开方的数b，不是最简。
2
11.
若最简二次根式
a=____,b=____。
最简二次根式：最简二次根式：①被开方数不含分母，②不含能开得尽方的因数或因式③分母中不含有二次根式 。
同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。同类二次根式满足的条件：①根指数相同，都等于2；②被开方数相同。
⎧a+1=2
解：因为
⎨，解之得a=1,b=1.
⎩2a+5=3b+4a四、二次根式的混合运算 1.23+623-6-
()()+2
)
2
分析：直接应用平方差公式和完全平方公式计算，注意去后面的括号时要变号。 2.计算23+6-2-6
分析：仔细观察这题是典型的两个数的平方差，可用平方差公式化简 3.二次根式x-3中x的取值范围是。 4.规定运算：(a⊗b)=a-b,其中a,b为实数，则
()(
2)
2
7⊗3+7=
)
1⎫x⎛
5.先化简，再求值 1-，其中x=2+1 ⎪÷2
x+1x-1⎝⎭
⎛1⎫2012
6.若a+2+b-+ c-⎪=0，则(abc)=
2⎭⎝7.已知x+8.
2
11
=7，求x-=
xx
a-ba+b-2aba-b-a-b+2ab-2b+2ab
-==
a-a-a-a-b
解：
b-ab=-2⨯=-2⨯
a-9.
解：
)-
2
a∙ba-b
=-2⨯=-2
a-ba-
)
=
-yx-xyxy+yx
(
)-y
x+xy
yx-xy
=
-yx-xyyx-xy
x
(
y+y
)(
xy
x-x
)-(xyx
y+yxyx+xyy+y
x-x
)(xy) y
)()(xy+yx)(yx+xy) =-
xy+yxyx-xyxy+yxyx-xy-(yx-xy)-(xy+yx)xy-2xyxy+xy+xy+2xy==-
xy-xyyx-xy-yx-xyyx-xy
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
xy+x2y
2xy2
+2x2y
xy(y+x)2(y+x) =-=-2
⨯=
-22
y-xxy-
xyxyy-xa+b⎛⎫-10.
化简 a-b解：原式=
=
a)+2a∙b+)a-2
2
2
⎛- ⎝
2
a+
2
a-
⎫b⎪
2
b-ab⎪⎭
2
)+
2
ab
a
===⎛a+-
a+ba-b ⎝a
)
2
⎫a⎪-
a+b-a⎪⎭
b)+
a
ab
a+b⎛1
- -
a-b⎝a+b
a+a-
a+a-
)1⎫ba+b) ⎪b-a⎭a
b)⎛b-a-a-b⎫ba+b)⎪- ⎪b⎝a+bb-a⎭ab)-2aba+b) -∙ba+b-aa
=
a+-2 -
a-b-aa+-2
b
+
a-a-=
=
a+b-2b
=
a-ba-=1
a
-x3-xy211.
已知：x=4的值 y=3223
xy+2xy+xy解：本题如果直接代入将非常复杂。应想法将已知进行适当变形，并将要求的代数式进行适当变形后再
代入计算更简单。 先将已知变形：
3+2x==
3-2y=
3-3+
-23-2)=3-2)=2=
2+2-23-22
2
2
2
2
2
+2
=
-23+2
)
2
+2
)
2
=
3+2=
2
))+2⨯
2
2
6+
2)=5+2
2
6；
3-2=
))-2⨯
2
6+
2)=5-2
2
6
由此可知x,y是典型的x=a+b,y=a-b形式， 所以x+y=5+26+5-2=10，
x-y=5+26-5-26=46 xy=-5-26-6+2
(
()(
)
6)=25-24=1
(
)x3-xy2(x+y)(x-y)=(x-y)„①，将xx2-y2
再将要求的代数式进行变形为4==2
xy+2x3y2+x2y3x2yx2+2xy+y2xyx+yxyx+yx+y=10,x-y=46,xy=1代入①中得12.
已知：a+
(x-y)=46=26
xyx+y1⨯105
1
=c,求这个数的平方和这个数的倒数的平方和即x
2
11
=1+a2+2的值。
aa
分析：这是典型的一个数与其倒数相加为常数即x+
2
111⎫11⎛
x+2=?的题型。解这类题应将x+=c,进行平方， x+⎪=c2,得x2+2+2=c2,则x2+2=c2-2
xxx⎭xx⎝11⎫⎛
解：将a+=1+ a+⎪=
aa⎭⎝
2
+1),得a
2
2
+
112
+2=11+2,则a+=9+2 22aa
13.已知：x,y
为实数，且y
3，化简：y-3
解：由y 3使二次根式有意义，则x=1,则y 3.
所以y-33-y- 14. 已知
x-3y+x2-9
y-42=3-y-y-4=3-y-(4-y)=-1
x+32
=0，求
x+1
的值。 y+1
x-3y+x2-9=0,又因为
x-3y≥0,x2-9≥0,所以
解：因为
x-3y+x2-9
x+32
=0，所以
2
x-3y=0,x2-9=0,所以x=±3,x=3y,又因为分母不能为0，所以(x+3)≠0，所以x≠-3，所以x=3.
所以y=1.代入五、其它题型
x+13+1
==2 y+11+1
1.找规律：观察分析下列数据，寻找规律：0，3,,3,23,......那么第10个数据应是 。 分析：找规律的题型通常直观不能找出规律，但常可能将每一项进行变形后再观察，便可发现规律。常用的变形方法有把每一项拆成两项的乘积，两项相除，两项相加，两项相减等。
本题可这样变形为两项的乘积0⨯,⨯3,2⨯,⨯,4⨯3......，则可发现规律。
本题还可这样变形：0,3,6,,......也很容易发现规律。
2.观察这组数据的规律，按规律填写下一个：,2,6,22,, 。
分析：直接不易观察出规律，可对原来的各项进行适当变形：2,4,,,,则可发现规律。