新课标高二数学同步测试（2）—（2－1第二章2.1－2.3）
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +by 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是 （
）
．已知椭圆x 23m 2+y 2x 2y 2
25n 2和双曲线2m 2
-3n
2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是
A ．x ＝±
2y B ．y ＝±2x C ．x ＝±3
4
y D ．y ＝
±
3
4
x 3．过抛物线y =ax 2（a ＞0）的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点，若
线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则
1p +1
q
等于
A ．2a B ．
1C ．4a
42a
D ．
a
4．若椭圆x 2y 2
a 2+b
2=1(a 〉b 〉0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被
抛物线y 2=2bx 的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为
（
（
（
A ．16
17 B ．
417
C ．
4
5
D ．25
x 2y 2
5．椭圆12+
3
=1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上. 如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是
A ．±
4
B ．±
C ．±
2322
D ．±
4
6．设F x 21和F 2为双曲线4
-y 2
＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满
足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是
A ．1
B ．
2
C
．
2
D ．
5
7．已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线
的一个交点，并且PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是椭圆和双曲线的离心率，则有
（ ） A ．e 1e 2≥2 B ．e 2
1+e 2
2≥4
C
．
e 1+e 2≥22
D ．
1e 2+12=2 1e 2
．已知方程x 2
8|m |-1
+y 22-m =1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范
围是
（ ） A ．m
B ．1
（
（
C ．m
D ．m
2
x 2y 2x 2y 2
9．已知双曲线2－2=1和椭圆2+2=1(a >0,m>b >0)的离心率互为
a b m b
倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形是
A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．锐角或钝角三角形
（
x 2y 2
+=1上有n 个不同的点: P 1, P 2, …, P n , 椭圆的右焦点为10．椭圆43
1
F. 数列｛|Pn F|｝是公差大于的等差数列, 则n 的最大值是
100
A ．198 B ．199 C ．200 D ．201 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．已知点（－2，3）与抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点的距离是5，则p =___
__．
（ ）
x 2y 2
12．设圆过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线-
916
上，则圆心到双曲线中心的距离是 ．
x 2y 2
13．双曲线＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1-
916
⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为 ．
14．若A 点坐标为（1，1），F 1是5x 2＋9y 2=45椭圆的左焦点，点P 是椭圆
的动点，则|PA|＋|P F1|的最小值是．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）．
x 2y 2
15．（12分）已知F 1、F 2为双曲线2-2=1（a ＞0，b ＞0）的焦
a b
点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝
30°．求双曲线的渐近线方程．
16．（12分）已知椭圆
2
2
x
y
+=1(a >b >0) 的长、
短轴端点分别为a 2b 2
A 、B ，从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，向量与是共线向量． （1）求椭圆的离心率e ；
（2）设Q 是椭圆上任意一点， F 1、右焦点，求∠F 1QF 2 F 2分别是左、的取值范围；
x 2y 2
17．（12分）如图椭圆2+2=1 (a >b >0)的上顶点
a b
为A ，左顶点为B , F为右焦点, 过F 作平行与AB 的直
线交椭圆于C 、D 两点. 作平行四边形OCED, E 恰在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若平行四边形OCED 的面积为, 求椭
圆方程．
x 2y 2
18．（12分）双曲线2-2=1 (a >1,b >0)的焦距为2c, 直线l 过点(a ,0)
a b
和(0,b ), 且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0) 到直线l 的距离之和s ≥
4
c. 求双曲线的离心率e 的取值范围． 5
19．（14分）如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1. 以A 、B
为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等.
若△AMN 为锐角三角形，|AM |=当的坐标系，求曲线段C 的方程
，|AN |=3，且|BN |=6.建立适
20．（14分）已知圆C 1的方程为(x －2) 2+(y－1) 2=
20
，椭圆C 2的方程为3
x 2y 22+=1（a >b >0），C 的离心率为，如果C 1与C 2相交于A 、222
2a b
B 两点，且线段AB 恰为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的
方程．
参考答案
一、1．D ；解析一：将方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +by 2=0转化为标准方程：
11x 2y 2a
+=1, y 2=-x . 因为a ＞b ＞0，因此，>＞0，所以有：椭11b a b a 2b 2
圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左，得D 选项.
解析二：将方程ax +by 2=0中的y 换成－y ，其结果不变，即说明：ax +by 2=0的图形关于x 轴对称，排除B 、C ，又椭圆的焦点在y 轴. 故选D.
评述：本题考查椭圆与抛物线的基础知识，即标准方程与图形的基本关系. 同时，考查了代数式的恒等变形及简单的逻辑推理能力.
2．D ；解析：由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上，∴椭圆焦点
（
3m 2-5n 2
2
2
，0），双曲线焦点（
2m 2+3n 2，0），∴3m 2－5n 2=2m 2+3n 2
⋅|n |
∴m =8n 又∵双曲线渐近线为y =±²x ∴代入m 2=8n 2，
2|m |
|m |=2
2|n |，得y =±
3x ． 4
2
2
1
3．C ；解析：抛物线y =ax 的标准式为x ＝y ，
a
∴焦点F （0，
1）. 4a
取特殊情况，即直线PQ 平行x 轴，则p =q .
1
如图，∵PF ＝PM ，∴p ＝，故
2a
11112
+=+==4a ． p q p p p
4．D ；
5．A ；解析：由条件可得F 1（－3，0），PF 1的中点在y 轴上，∴P 坐标（3，
3x 2y 23y 0），又P 在=1的椭圆上得y 0=±，∴M 的坐标（0，±），+
12324
故选A .
评述：本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，中点坐标公式以及运算能力.
6．A ；解法一：由双曲线方程知|F 1F 2|＝2
5，且双曲线是对称图形，假
x
2x 2
-1-1
x 244设P （x ，，由已知F 1P ⊥F 2 P，有⋅=-1，即-1）4x
-x +
241x 2
x =, S =⋅25⋅-1=1，因此选A .
524
2
评述：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、两条直线垂直的条件、三角形面积公式以及运算能力. 7．D ； 8．D ； 9．B ； 10．C ； 二、
11．4；解析：∵抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点坐标是（
p
，0），由两点2
间距离公式，得
p
(+2) 2+32=5．解得p =4. 2
1216c +a 5+3
=；解析：如图8—15所示，设圆心P （x 0，y 0），则|x 0|＝223
16⨯716x 2y 222
＝4，代入＝1，得y 02＝，∴|OP |＝x 0+y 0=． -
39916
评述：本题重点考查双曲线的对称性、两点间距离公式以及数形结合的思
想. 13．
16
；解析：设|PF 1|＝M ，|PF 2|＝n （m ＞n ），a ＝3、b ＝4、c ＝5，∴m 5
－n ＝６ m 2＋n 2＝4c 2，m 2＋n 2－（m －n ）2＝m 2＋n 2－（m 2＋n 2－2mn ）＝2mn ＝4³25－36＝64，mn ＝32. 又利用等面积法可得：2c ²y ＝mn ，∴y ＝
16． 5
14．6-三、
2；
c 2y 0
15．解：（1）设F 2（c ，0）（c ＞0），P （c ，y 0），则2-2=1．解得y 0=
a b b 2
±，
a
b 2
∴|PF 2|=，在直角三角形PF 2F 1中，∠PF 1F 2=30°
a
b 2
解法一：|F 1F 2|=3|PF 2|，即2c =3，将c 2=a 2+b 2代入，解得b 2=2a 2
a
解法二：|PF 1|=2|PF 2|，由双曲线定义可知|PF 1|－|PF 2|=2a ，得|PF 2|=2a .
2
b b 2b 2
∵|PF 2|=，∴2a =，即b 2=2a 2，∴=2
a a a
故所求双曲线的渐近线方程为y =±
2x ．
b 2b 2
16．解：（1）∵F 1(-c , 0), 则x M =-c , y M =，∴k OM =-．
a ac
b b 2b 2, 与是共线向量，=-，∵k AB =-∴-∴b =c,故e =． a ac a 2FQ =r 1, F 2Q =r 2, ∠F 1QF 2=θ, 1
（2）设
∴r 1+r 2=2a , F 1F 2=2c ,
r 12+r 22-4c 2(r 1+r 2) 2-2r 1r 2-4c 2a 2a 2
cos θ===-1≥-1=0
1222r 1r 22r 1r 2r 1r 2
() 2
当且仅当r 1=r 2时，cos θ=0，∴θ∈[0,
π
2
]．
说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题．求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题．
17．解：(Ⅰ) ∵焦点为F(c, 0), AB 斜率为
, 故CD 方程为y=(x －c). 于a a
c bc
椭圆联立后消去y 得2x 2－2c x －b 2=0. ∵CD 的中点为G(, -), 点E(c,
22a
bc bc －) 在椭圆上, ∴将E(c, －) 代入椭圆方程并整理得2c 2=a 2, ∴e
a a
=
c 2
. =
a 2
2
(x －c), b =c, a =2c. 与椭圆联立消去y 2
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知CD 的方程为y=
得2x 2－2c x －c 2=0.
∵平行四边形OCED 的面积为 S=c|yC y D |=
－
222222
c x C +x D ）-4x C x D =c c +2c =c =6,
222
x 2y 2
+=1 ∴c=2, a =2, b =2. 故椭圆方程为42
18．解：直线l 的方程为bx +a y －ab =0.由点到直线的距离公式, 且a >1,得到点(1,0)到直线l 的距离d 1 =
b (a -1) a +b
2
2
．
同理得到点(－1,0) 到直线l 的距离d 2 =+d2=
b (a +1) a +b
2
2
.s= d 1
ab
a 2+b 2
42ab 4由s ≥c, 得≥c, 即5a c 2-a 2≥2c 2.
55c
于是得5e 2-1≥2e 2. 即4e 2－25e+25≤0. 解不等式, 得由于e>1>0,所以e 的取值范围是
=
2ab
. c
5
≤e 2≤5. 4
5
≤e ≤5. 2
19．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点.
依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A 、B 分别为C 的端点.
设曲线段C 的方程为，y 2=2px （p ＞0），（x A ≤x ≤x B ，y ＞0） 其中x A 、x B 分别为A 、B 的横坐标，p ＝|MN |．所以M （-0） 由|AM |＝
p p
，0），N （，22
，|AN |＝3得：
①
（x A ＋
p 2
）＋2px A ＝17 2
p 2
）＋2px A ＝9 2
（x A -
②
由①②两式联立解得x A ＝
⎧p =44
，再将其代入①式并由p >0，解得⎨或p ⎩x A =1
⎧p =2
⎨x =2⎩A
因为△AMN 是锐角三角形，所以
⎧p =2p
＞x A ，故舍去⎨ 2⎩x A =2
所以p ＝4，x A ＝1．由点B 在曲线段C 上，得x B ＝|BN |-
p
＝4． 2
综上得曲线段C 的方程为y 2＝8x （1≤x ≤4，y ＞0）．
解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点. 作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F . 设A （x A ，y A ）、B （x B ，y B ）、N （x N ，0）
依题意有x A ＝|ME |＝|DA |＝|AN |＝3，y A ＝|DM |＝
AM |2-|DA |2=22
由于△AMN 为锐角三角形，故有 x N ＝|ME |＋|EN |＝|ME |＋
|AN |2-|AE |2＝4，x B ＝|BF |＝|BN |＝6
．
设点P （x ，y ）是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合
｛（x ，y ）|（x －x N ）2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0｝
故曲线段C 的方程为y 2＝8（x －2）（3≤x ≤6，y ＞0）．
评述：本题考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想，考查了抛物线的概念和性质、曲线和方程的关系以及综合运用知识的能力.
20．由e=c 22，得=，a 2=2c2, b 2=c2． a 22x 2y 2
设椭圆方程为+=1．又设A (x 1,y 1), B (x 2,y 2) ．由圆心为(2,1)，得2b 2b 2
x 1+x 2=4,y1+y2=2．
2222x 12y 12x 2y 2x 12-x 2y 12-y 2又2+2=1，2+2=1，两式相减，得 +=0． 222b 2b b 2b b b
∴y 1-y 2x +x 2=-1=-1 x 1-x 22(y 1+y 2)
∴直线AB 的方程为y －1= －(x －2) ，即y= －x +3．
x 2y 2
将y= －x +3代入2+2=1，得3x 2－12x +18－2b 2=0 2b b
又直线AB 与椭圆C 2相交，∴Δ=24b 2－72>0．
由|AB |=2|x 1－x 2|=2(x 1+x 2) -4x 1x 22220=, 得3
2024b 2-722²=． 33
x 2y 2
解得 b =8，故所求椭圆方程为+=1． 1682
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新课标高二数学同步测试（2）—（2－1第二章2.1－2.3）
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +by 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是 （
）
．已知椭圆x 23m 2+y 2x 2y 2
25n 2和双曲线2m 2
-3n
2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是
A ．x ＝±
2y B ．y ＝±2x C ．x ＝±3
4
y D ．y ＝
±
3
4
x 3．过抛物线y =ax 2（a ＞0）的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点，若
线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则
1p +1
q
等于
A ．2a B ．
1C ．4a
42a
D ．
a
4．若椭圆x 2y 2
a 2+b
2=1(a 〉b 〉0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被
抛物线y 2=2bx 的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为
（
（
（
A ．16
17 B ．
417
C ．
4
5
D ．25
x 2y 2
5．椭圆12+
3
=1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上. 如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是
A ．±
4
B ．±
C ．±
2322
D ．±
4
6．设F x 21和F 2为双曲线4
-y 2
＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满
足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是
A ．1
B ．
2
C
．
2
D ．
5
7．已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线
的一个交点，并且PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是椭圆和双曲线的离心率，则有
（ ） A ．e 1e 2≥2 B ．e 2
1+e 2
2≥4
C
．
e 1+e 2≥22
D ．
1e 2+12=2 1e 2
．已知方程x 2
8|m |-1
+y 22-m =1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范
围是
（ ） A ．m
B ．1
（
（
C ．m
D ．m
2
x 2y 2x 2y 2
9．已知双曲线2－2=1和椭圆2+2=1(a >0,m>b >0)的离心率互为
a b m b
倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形是
A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．锐角或钝角三角形
（
x 2y 2
+=1上有n 个不同的点: P 1, P 2, …, P n , 椭圆的右焦点为10．椭圆43
1
F. 数列｛|Pn F|｝是公差大于的等差数列, 则n 的最大值是
100
A ．198 B ．199 C ．200 D ．201 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．已知点（－2，3）与抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点的距离是5，则p =___
__．
（ ）
x 2y 2
12．设圆过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线-
916
上，则圆心到双曲线中心的距离是 ．
x 2y 2
13．双曲线＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1-
916
⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为 ．
14．若A 点坐标为（1，1），F 1是5x 2＋9y 2=45椭圆的左焦点，点P 是椭圆
的动点，则|PA|＋|P F1|的最小值是．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）．
x 2y 2
15．（12分）已知F 1、F 2为双曲线2-2=1（a ＞0，b ＞0）的焦
a b
点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝
30°．求双曲线的渐近线方程．
16．（12分）已知椭圆
2
2
x
y
+=1(a >b >0) 的长、
短轴端点分别为a 2b 2
A 、B ，从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，向量与是共线向量． （1）求椭圆的离心率e ；
（2）设Q 是椭圆上任意一点， F 1、右焦点，求∠F 1QF 2 F 2分别是左、的取值范围；
x 2y 2
17．（12分）如图椭圆2+2=1 (a >b >0)的上顶点
a b
为A ，左顶点为B , F为右焦点, 过F 作平行与AB 的直
线交椭圆于C 、D 两点. 作平行四边形OCED, E 恰在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若平行四边形OCED 的面积为, 求椭
圆方程．
x 2y 2
18．（12分）双曲线2-2=1 (a >1,b >0)的焦距为2c, 直线l 过点(a ,0)
a b
和(0,b ), 且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0) 到直线l 的距离之和s ≥
4
c. 求双曲线的离心率e 的取值范围． 5
19．（14分）如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1. 以A 、B
为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等.
若△AMN 为锐角三角形，|AM |=当的坐标系，求曲线段C 的方程
，|AN |=3，且|BN |=6.建立适
20．（14分）已知圆C 1的方程为(x －2) 2+(y－1) 2=
20
，椭圆C 2的方程为3
x 2y 22+=1（a >b >0），C 的离心率为，如果C 1与C 2相交于A 、222
2a b
B 两点，且线段AB 恰为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的
方程．
参考答案
一、1．D ；解析一：将方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +by 2=0转化为标准方程：
11x 2y 2a
+=1, y 2=-x . 因为a ＞b ＞0，因此，>＞0，所以有：椭11b a b a 2b 2
圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左，得D 选项.
解析二：将方程ax +by 2=0中的y 换成－y ，其结果不变，即说明：ax +by 2=0的图形关于x 轴对称，排除B 、C ，又椭圆的焦点在y 轴. 故选D.
评述：本题考查椭圆与抛物线的基础知识，即标准方程与图形的基本关系. 同时，考查了代数式的恒等变形及简单的逻辑推理能力.
2．D ；解析：由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上，∴椭圆焦点
（
3m 2-5n 2
2
2
，0），双曲线焦点（
2m 2+3n 2，0），∴3m 2－5n 2=2m 2+3n 2
⋅|n |
∴m =8n 又∵双曲线渐近线为y =±²x ∴代入m 2=8n 2，
2|m |
|m |=2
2|n |，得y =±
3x ． 4
2
2
1
3．C ；解析：抛物线y =ax 的标准式为x ＝y ，
a
∴焦点F （0，
1）. 4a
取特殊情况，即直线PQ 平行x 轴，则p =q .
1
如图，∵PF ＝PM ，∴p ＝，故
2a
11112
+=+==4a ． p q p p p
4．D ；
5．A ；解析：由条件可得F 1（－3，0），PF 1的中点在y 轴上，∴P 坐标（3，
3x 2y 23y 0），又P 在=1的椭圆上得y 0=±，∴M 的坐标（0，±），+
12324
故选A .
评述：本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，中点坐标公式以及运算能力.
6．A ；解法一：由双曲线方程知|F 1F 2|＝2
5，且双曲线是对称图形，假
x
2x 2
-1-1
x 244设P （x ，，由已知F 1P ⊥F 2 P，有⋅=-1，即-1）4x
-x +
241x 2
x =, S =⋅25⋅-1=1，因此选A .
524
2
评述：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、两条直线垂直的条件、三角形面积公式以及运算能力. 7．D ； 8．D ； 9．B ； 10．C ； 二、
11．4；解析：∵抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点坐标是（
p
，0），由两点2
间距离公式，得
p
(+2) 2+32=5．解得p =4. 2
1216c +a 5+3
=；解析：如图8—15所示，设圆心P （x 0，y 0），则|x 0|＝223
16⨯716x 2y 222
＝4，代入＝1，得y 02＝，∴|OP |＝x 0+y 0=． -
39916
评述：本题重点考查双曲线的对称性、两点间距离公式以及数形结合的思
想. 13．
16
；解析：设|PF 1|＝M ，|PF 2|＝n （m ＞n ），a ＝3、b ＝4、c ＝5，∴m 5
－n ＝６ m 2＋n 2＝4c 2，m 2＋n 2－（m －n ）2＝m 2＋n 2－（m 2＋n 2－2mn ）＝2mn ＝4³25－36＝64，mn ＝32. 又利用等面积法可得：2c ²y ＝mn ，∴y ＝
16． 5
14．6-三、
2；
c 2y 0
15．解：（1）设F 2（c ，0）（c ＞0），P （c ，y 0），则2-2=1．解得y 0=
a b b 2
±，
a
b 2
∴|PF 2|=，在直角三角形PF 2F 1中，∠PF 1F 2=30°
a
b 2
解法一：|F 1F 2|=3|PF 2|，即2c =3，将c 2=a 2+b 2代入，解得b 2=2a 2
a
解法二：|PF 1|=2|PF 2|，由双曲线定义可知|PF 1|－|PF 2|=2a ，得|PF 2|=2a .
2
b b 2b 2
∵|PF 2|=，∴2a =，即b 2=2a 2，∴=2
a a a
故所求双曲线的渐近线方程为y =±
2x ．
b 2b 2
16．解：（1）∵F 1(-c , 0), 则x M =-c , y M =，∴k OM =-．
a ac
b b 2b 2, 与是共线向量，=-，∵k AB =-∴-∴b =c,故e =． a ac a 2FQ =r 1, F 2Q =r 2, ∠F 1QF 2=θ, 1
（2）设
∴r 1+r 2=2a , F 1F 2=2c ,
r 12+r 22-4c 2(r 1+r 2) 2-2r 1r 2-4c 2a 2a 2
cos θ===-1≥-1=0
1222r 1r 22r 1r 2r 1r 2
() 2
当且仅当r 1=r 2时，cos θ=0，∴θ∈[0,
π
2
]．
说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题．求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题．
17．解：(Ⅰ) ∵焦点为F(c, 0), AB 斜率为
, 故CD 方程为y=(x －c). 于a a
c bc
椭圆联立后消去y 得2x 2－2c x －b 2=0. ∵CD 的中点为G(, -), 点E(c,
22a
bc bc －) 在椭圆上, ∴将E(c, －) 代入椭圆方程并整理得2c 2=a 2, ∴e
a a
=
c 2
. =
a 2
2
(x －c), b =c, a =2c. 与椭圆联立消去y 2
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知CD 的方程为y=
得2x 2－2c x －c 2=0.
∵平行四边形OCED 的面积为 S=c|yC y D |=
－
222222
c x C +x D ）-4x C x D =c c +2c =c =6,
222
x 2y 2
+=1 ∴c=2, a =2, b =2. 故椭圆方程为42
18．解：直线l 的方程为bx +a y －ab =0.由点到直线的距离公式, 且a >1,得到点(1,0)到直线l 的距离d 1 =
b (a -1) a +b
2
2
．
同理得到点(－1,0) 到直线l 的距离d 2 =+d2=
b (a +1) a +b
2
2
.s= d 1
ab
a 2+b 2
42ab 4由s ≥c, 得≥c, 即5a c 2-a 2≥2c 2.
55c
于是得5e 2-1≥2e 2. 即4e 2－25e+25≤0. 解不等式, 得由于e>1>0,所以e 的取值范围是
=
2ab
. c
5
≤e 2≤5. 4
5
≤e ≤5. 2
19．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点.
依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A 、B 分别为C 的端点.
设曲线段C 的方程为，y 2=2px （p ＞0），（x A ≤x ≤x B ，y ＞0） 其中x A 、x B 分别为A 、B 的横坐标，p ＝|MN |．所以M （-0） 由|AM |＝
p p
，0），N （，22
，|AN |＝3得：
①
（x A ＋
p 2
）＋2px A ＝17 2
p 2
）＋2px A ＝9 2
（x A -
②
由①②两式联立解得x A ＝
⎧p =44
，再将其代入①式并由p >0，解得⎨或p ⎩x A =1
⎧p =2
⎨x =2⎩A
因为△AMN 是锐角三角形，所以
⎧p =2p
＞x A ，故舍去⎨ 2⎩x A =2
所以p ＝4，x A ＝1．由点B 在曲线段C 上，得x B ＝|BN |-
p
＝4． 2
综上得曲线段C 的方程为y 2＝8x （1≤x ≤4，y ＞0）．
解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点. 作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F . 设A （x A ，y A ）、B （x B ，y B ）、N （x N ，0）
依题意有x A ＝|ME |＝|DA |＝|AN |＝3，y A ＝|DM |＝
AM |2-|DA |2=22
由于△AMN 为锐角三角形，故有 x N ＝|ME |＋|EN |＝|ME |＋
|AN |2-|AE |2＝4，x B ＝|BF |＝|BN |＝6
．
设点P （x ，y ）是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合
｛（x ，y ）|（x －x N ）2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0｝
故曲线段C 的方程为y 2＝8（x －2）（3≤x ≤6，y ＞0）．
评述：本题考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想，考查了抛物线的概念和性质、曲线和方程的关系以及综合运用知识的能力.
20．由e=c 22，得=，a 2=2c2, b 2=c2． a 22x 2y 2
设椭圆方程为+=1．又设A (x 1,y 1), B (x 2,y 2) ．由圆心为(2,1)，得2b 2b 2
x 1+x 2=4,y1+y2=2．
2222x 12y 12x 2y 2x 12-x 2y 12-y 2又2+2=1，2+2=1，两式相减，得 +=0． 222b 2b b 2b b b
∴y 1-y 2x +x 2=-1=-1 x 1-x 22(y 1+y 2)
∴直线AB 的方程为y －1= －(x －2) ，即y= －x +3．
x 2y 2
将y= －x +3代入2+2=1，得3x 2－12x +18－2b 2=0 2b b
又直线AB 与椭圆C 2相交，∴Δ=24b 2－72>0．
由|AB |=2|x 1－x 2|=2(x 1+x 2) -4x 1x 22220=, 得3
2024b 2-722²=． 33
x 2y 2
解得 b =8，故所求椭圆方程为+=1． 1682
学数学 用专页 第 11 页 共 11 页 搜资源
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