波尔振动的物理研究实验报告

波尔振动的物理研究

【实验目的】

1. 观察扭摆的阻尼振动，测定阻尼因数。 2. 研究在简谐外力矩作用下扭摆的受迫振动，描绘扭摆在不同阻尼情况下的共振曲线（幅频特性曲线）。

3. 描绘外加强迫力矩与受迫振动之间的位相随频率变化的特性曲线（即相频特性曲线）。 4. 分析波尔共振的相位和角速度的关系。

【实验仪器】

扭摆（波尔摆）一套（PHYWE），秒表，数据采集器，转动传感器。

【实验原理】

1．扭摆的阻尼振动

在有阻力矩的情况下，使扭摆由某一摆角开始做自由振动。此时扭摆受到两个力矩的作用：一是弹性恢复力矩M弹，它与摆的扭转角成正比，即M弹＝c（c为扭转系数）；二是阻力矩阻M阻，可近似认为它与摆动的角速度成正比，即M阻＝r若扭摆的转动惯量为I ，则根据转动定律可列出扭摆的运动方程：

d

(r为阻矩系数）。dt

d2dI2cr （1） dtdt

即

d2rdr0 （2） dt2IdtI

令

rr2

，0（称0为固有圆频率），则式(2)的解为 2（称为阻尼因数）

II

2

A0exp(t)costA0exp(t)cost （3）

T

其中A0为扭摆的初始振幅，T

为扭摆做阻尼振动的周期，且2T

由式（３）可见，扭摆的振幅随着时间按指数规律衰减。若测得初始振幅A0 及第n 个 周期时的振幅An，并测得摆动n个周期所用的时间nT ，则有

则

A0A0

exp(nT)AA0exp(nT)



2．扭摆的受迫振动

A1

ln0 （4） nTA

当扭摆在有阻尼的情况下受到简谐外力矩作用时，就会作受迫振动。设外加简谐力矩通过弹簧加到摆轮上，其频率是，幅度为M0（M0c0，0为外力矩角幅），且有

M外＝M0cost，则扭摆的运动方程变为

d2d2

20hcost （5） 2dtdt

其中hM0I，在稳态情况下，式（5）的解是

Acos(t) （6）

其中A 为角振幅，

A

（7）

而角位移 与简谐外力矩之间的位相差则可表示为

arctan(

2

) （8） 22

0

式（6）说明，扭摆在简谐外力矩作用下的运动也是简谐振动，它的振幅是A ，它的频率与外力矩的频率相同，但二者的位相差是。

由式（7）可见，当→0时，振幅A 接近外力矩角幅0（∵h随着的逐渐增大，振幅A

将随之增加，当为共振，此频率称为共振频率，即共减小；当很大时，振幅趋于零。

由式（8）可见，当00时，有0力矩的位相；在共振情况下，位相落后接近于

M0c2

，00）

II

A 有最大值，此时称

共或共时，振幅都将



2

，即受迫振动的位相落后于外加简谐



，而在0时（有阻尼时不是共振状态），2



位相才正好落后；当0时，有tg0，此时，即位相落后得更多；当0

22

时，趋近，即接近于反位相。在已知0及的情况下，则可由式（8）计算出各值

所对应的值。

【实验内容及步骤】

1．波尔共振实验注意事项

(1) 对电路有充分的认识，了解每一部分的作用（电流表、二极管等）。电路所加的电流不

能超过1A。

(2) 分析清楚自由振动、阻尼振动、受迫振动的区别：电路上怎么去区分这三种状态。 (3) 做受迫振动时，输出电压调到最大，则电机转速变化范围最大，有利于调出共振状态。

2. 手工操作实验内容

（1）测量扭摆在自由状态下的固有频率。

（2）观察阻尼振动现象，测量阻尼电压是6V 和8V 时候的阻尼因数β 。

（3）观察共振现象，测量在6V 和8V 阻尼情况下的受迫振动的幅频特性和相频特性。

幅频特性曲线：以ω/ω0为横坐标，振幅A为纵坐标。 相频特性曲线：以ω/ω0为横坐标，相位为纵坐标。

3. 计算机测控实验内容

此方法采用转动传感器（运动记录仪）和计算机自动采集和处理数据。将一条细线的一端粘在波尔摆黄色转盘的边缘上，另一端绕过传感器的转轮绑一个2g的砝码，使得波尔摆转动时可以带动传感器转动，这样就可以通过传感器获得波尔摆的转动角度、角速度、和周期等一系列参数。

（1）实验开始时，在计算机里打开一个与数据采集器对应的软件（measure）。在软件的参数设置时，同时选择角度和角速度，软件就会在同一个坐标里画出扭摆的转动角度、角速度和周期的样图，将样图和得到的数据存盘，存在“E:\2010材料物理 10330025陈嘉平 光信息10329051陈海域”。

（2）数据的导出：在measure 菜单中选择export data，里面的两个单选按钮都选第二个，然后存盘就可以了。在样图上分析周期：点击工具栏最后一栏的第二个按钮，再点击calculate，对数据分析可以得出周期。我们希望能在同一坐标系下画出扭摆的转动角度和角速度的相图。运行Origin 软件，点击工具栏的Import ASCII 按钮，打开刚才存盘的数据文件，将第二列数据改成X 坐标，再选定后面两列数据，点击“line”，就可以画出转动角度和角速度的相图了。

（3）用上述的方法对扭摆的三种振动状态进行分析。要求： ①利用软件算出扭摆的振动周期和固有频率。 ②讨论各振动状态相图中的物理意义。

③自由振动、阻尼振动、受迫振动的相图的异同点。

【实验数据记录与整理】

一、 手工操作

1. 测量共振摆在自由状态下的固有频率

测量玻尔摆的固有频率，通过改变初始振幅来取得多个数据。同时验证初始振幅与玻尔摆的固有频率无关。

步骤：①将玻尔摆转至一定角度A0。

②放手，用电子表测定一定周期数后的时间nT。这里定为10个周期。 ③记录A0、10T。

④改变初始振幅A0，重复①②③步。 ⑤计算玻尔摆平均共振频率。

表1 自由状态下的固有频率与初始振幅、振动周期数的关系

其中固有圆频率由0

2

T

计算得出。

平均值0

17

i=3.156rad/s。

07

标准误差：



7

1

(i)20.2018(rad/s)。

76i1

角频率的相对误差：E

0



0.02018

0.006390.639%。

3.156

所以波尔摆自由状态下的固有圆频率为0=3.156×(1+0.639%) rad/s，且从表1可以验证0与初始振幅无关。

2. 观察现象，测量不同阻尼电压时的阻尼因数。

步骤：①连接好电路，分别接入2V、4V、6V、8V的电压到阻尼线圈。

②以初始振幅为表盘上的90格（已修正）。

③自然放开波尔摆，用电子秒表测量5个周期T一共用去的总时间10t(s)

及末振幅格数，记录数据到表2。其中当我们做至6V电压时，五个周期后的振幅已变得很小。因此我们调整8V阻尼下的测算时间为两个周期。每个电压阻尼测量三或四次。

④计算不同阻尼电压下的阻尼因数β

根据阻尼振动方程，可得阻尼因数计算式1lnA0。取平均后可得

nTAn

各阻尼电压下的阻尼因数。

阻尼振动的实验现象：摆开始振动后，振幅急剧减小，最后趋于零；而且所加阻尼电压越大，振幅减小越快。

可以看到，随着阻尼电压增大，阻尼系数也会显著增大。

实验中A0 、n均改变，这样可能会增大误差，且无法计算标准误差。从数据中可以看出，当n取比较大且初始摆幅较小时，结果出现比较大的偏差。这是因为当n较大时，末状态摆幅将变小。导致相对误差较大。改进的办法是固定A0 为90、n随着阻尼电压增大而适当减小，使得误差程度保持相对稳定，在相同的条件下测量几组数据再加以计算。

3. 观察共振现象，测量不同阻尼电压下的受迫振动的幅频特性和相频特性。

步骤：①在实验2的基础上，分别接入6V和8V电压到阻尼线圈；

②从15V到6V变化，将电压接入受迫振动电机; ③测量不同电压下，振动10个周期后所用时间10T及波尔摆的末振幅格数，将其记录表3；

④根据表格数据，计算各振动角频率ω。

⑤画出幅频特性曲线：以/0为横坐标，振幅A为纵坐标。画出相频特性曲线：以/0为横坐标，相位为纵坐标。

其中共振摆固有频率ω0=3.156rad/s，6V下阻尼因数β=0.3628s-1，

arctan(

2

)，得出表3-1。 2

20

表3-1 各受迫电压下振动10T所用时间及末振幅格数 阻尼电压6V

以ω/ω0 为横坐标，分别以振幅A和相位φ为纵坐标，做出幅频特性曲线和相频特性曲线。

由图2可以看出，当ω/ω0=1，即驱动力频率在玻尔摆固有频率附近时，摆的振幅最大,此时即为共振。当驱动力频率分别在系统固有频率两侧减小或增大时，玻尔摆的振幅都在不断地减小。

由图3可以看到：当远小于0时，的值趋向于零，即驱动力与摆振动趋于同相；随着的增大，的值不断减小，当接近0时，的值趋于/2，即受迫振动的位相落后于外加简谐力矩的位相趋于/2;当远大于0时，的值接近，即受迫振动的位相落后于外加简谐力矩的位相趋于。

共振摆固有频率ω0=3.156rad/s，8V下阻尼因数β=0.6141s-1，

arctan(

2

)，得出表3-2。 2

20

表3-2 各受迫电压下振动10T所用时间及末振幅格数 阻尼电压8V

同样地，以ω/ω0 为横坐标，分别以振幅A 和相位φ为纵坐标，做出幅频特性曲线和相频特性曲线。

由图4和图5可以发现，6V阻尼和8V阻尼下受迫振动的幅频曲线和相频曲线的特性有很多可比较之处。为了更好地比较这两种情况下的特性曲线，将两种阻尼下的幅频曲线和相频曲线分别绘到同一个图中。如图6和图7。

由图6和图7可以看出：

（1）在不同的β值下，幅频特性曲线与相频特性曲线的变化趋势相同。从图6可以看出，两条幅频曲线均近似在ω/ω0=1处到达最高点。从图7可以看到两条相

频曲线近似在 ω/ω0=1处相交，即在不同的β值下，当ω接近ω0时，受迫振动

的相位均落后于驱动力相位π/2。

（2）在不同的β值下，摆受迫振动的幅频特性与相频特性有所不同：

幅频特性：β值越大，在相同的频率下摆的振幅越小。所以β值大的幅频特性

曲线应该在固有频率附近的部分总在β较小的曲线的下方，但当ω远小于ω0或远

大于ω0时振幅的差值越来越小，变化的趋势越来越相近。本实验所得图线表示两

β值不同的曲线在有限点处有相交，可能与测量精确度有关。

相频特性：对同一个ω值，以ω/ω0=1分界线。若ω

大，若ω>ω0，β值越大，|φ|越小。

二、 计算机测控实验内容

传感器型号为：BEWEGUNGSAUFNEHMER MOVEMENTRECORDER；

数据存放路径：E:\2010材料物理 10330025陈嘉平 光信息10329051陈海域

1. 测量共振摆在自由状态下的固有频率。

数据源文件名freedampedvebration.txt。

如图8所示为波尔摆做自由振动时转动角度与角速度随时间的变化，由图可知：

虽没有外加阻尼，但是摆的转动角度与角速度的幅值都在随时间的变化而不断减

小。这是由于摆自身有一定的摩擦，使得摆在没有外加阻尼的情况下做微小的阻尼

振动。不同玻尔摆由于参数不进相同，所以其固有阻尼也不同。可以看出本组实验

所用玻尔摆固有阻尼较大，因而衰减稍明显。

由图8根据计算机测得，12T=21.8s，由02T得，计算机测固有频率为

3.177rad/s。与手工测量值3.156rad/s相比，绝对误差0.0209rad/s，相对误差为0.662%。

同时运用软件的快速傅里叶变换来分析数据，所得傅里叶分析如下：

所得频率为X = 0.0502512563，乘以系数10，根据02T，得固有角频

率为：ω0=3.157rad/s，绝对误差为1.38e-3 rad/s，相对误差为0.437%。综上可知手

动测量的准确度很高。

分析比较：两次测量的数据有所不同，但相差较小；虽然计算机采集的数

据也会有误差，但计算机采集的数据应该比手动测量的数据准确，因此两次测

量数据不同的原因主要是由于在使用秒表测量周期的时候，摆是运动着的，实

验人想要判断摆是否运动到某一标定位置是一件比较困难的事，而且眼睛的判

断与手按秒表之间存在反应时间，所以手工测量不如计算机的测量精确。

在计算机测量计算时，运用傅里叶变换能较为精确地测量出周期频率。

自由振动的位相图如图10，理论上自由振动的位相图应该是一个椭圆线，而实

际上由于摆的自身摩擦等原因，使得椭圆线向内收缩。但由于自身摩擦较小，自由

振动时椭圆线收缩得较慢。

2. 观察阻尼振动现象，测量不同阻尼电压时的阻尼因数β。

数据源文件名damped 2v.txt, damped 4v.txt, damped 6v.txt。

与手工测量结果表2-1作比较：

表2-2 各阻尼电压下的阻尼因数β

分析：

从图11中可以看出，玻尔摆做阻尼运动时，摆的转动角度与角速度随时间衰

减。而且阻尼越大，转动角度与角速度衰减得越快。

图11所测阻尼因数为通过数据所得的图线，在计算机上测量并计算而得到的

值。与手工测量值比较，有一定误差，且可发现阻尼电压越大，两者相差越大，大

概与手工测量时末期振幅较小导致读书不准确有关。但仍然在可接受范围内。两者

都从大小趋势上正确描述了阻尼电压（外界阻扰因子）对阻尼因数的影响。

从图13可以看出，摆在做阻尼振动时，由于阻尼的存在，摆的能量在不断被

消耗，所以摆的转动角度与角速度都在不断减小，最近将趋向于（0，0）点，即摆

停止摆动。而且摆所受阻尼越大，曲线向内收缩越快。

3. 观察共振现象，测量在6V阻尼情况下受迫振动的幅频特性和相频特性。

数据源文件名分别为forced damped 6v-6.011v.txt，forced damped 6v-7.010v.txt，

forced damped 6v-8.005v.txt，forced damped 6v-9.010v.txt，forced damped

6v-9.995v.txt，forced damped 6v-11.005v.txt，forced damped 6v-12.008v.txt，forced

damped 6v-13.010v.txt，forced damped 6v-14.000v.txt。

首先测量6V阻尼下的受迫振动，重复手工测量，改变电机输出电压。得出以

下角位置(angular)随时间变化的图线。

由图14可以看出，在受迫振动的情况下，当摆动稳定时，摆的转动角度与角

速度变化区间基本保持不变，这是由于驱动力为摆提供了能量。并且在外加简谐力矩的频率与摆固有频率接近时（U=9.995V），即ω接近ω0时，摆的角速度与角位置的大小都远大于另外两个频率下所测的数值。

从图中可以发现，随着驱动电压加大，相同时间内运动的周期数越多，这与事

实相符，因为驱动电压越来越大，频率ω就越来越大。

显然输出电压=9.995V时，玻尔摆振幅最大，最接近共振态。因此研究输出电

压=9.995V时的数据。

由图15可知，受迫振动时系统稳定，即能量状态处于平衡。同时振动频率与外力振动源一致，但存在相位差。

4. 对自由振动、阻尼振动和受迫振动的综合分析：

1.电路分析中示波器可出现李萨如图，其中椭圆表示X/Y输入端的信号频率相

同，与这里出现的椭圆本质是一样的。相图中椭圆的面积可以表示系统的能量大小；其中角速度代表动能，角位置代表势能。

2.自由振动、阻尼振动、受迫振动相图的相同点为：三者均可描述振动任意时刻的状态，三种相图均由数个椭圆线组成。不同点：自由振动的相图的椭圆线缓慢地向内收缩（系统自身有摩擦），系统能量缓慢地减小；阻尼振动的相图快速向内收缩，系统能量快速较小，而且所加阻尼电压越大，收缩速度越快，即系统能量减小地越快；受迫振动的相图中的椭圆面积不收缩，即驱动力为系统源源不断地提供能量，共振时，各椭圆同心，非共振时，各椭圆不同心。

【实验总结】

本实验分别通过手工测量和计算机测控两种方式来完成。

由于实验仪器自身存在系统误差，使得实验结果总是存在不可避免的误差，另一方面，实验人进行测量时也会使实验结果加入偶然误差。如使用计算机采集数据，则可以大大减小偶然误差。同时计算机在数据记录方面的方便性、全面性和准确性也使实验更为高效。

计算机在实验中有反应时间短、精度高的优势，而利用软件处理数据可以使之更精确，更全面。但同时，手工测量所做的前期工作、粗测取样范围，也为实验贡献良多。

波尔振动的物理研究

【实验目的】

1. 观察扭摆的阻尼振动，测定阻尼因数。 2. 研究在简谐外力矩作用下扭摆的受迫振动，描绘扭摆在不同阻尼情况下的共振曲线（幅频特性曲线）。

3. 描绘外加强迫力矩与受迫振动之间的位相随频率变化的特性曲线（即相频特性曲线）。 4. 分析波尔共振的相位和角速度的关系。

【实验仪器】

扭摆（波尔摆）一套（PHYWE），秒表，数据采集器，转动传感器。

【实验原理】

1．扭摆的阻尼振动

在有阻力矩的情况下，使扭摆由某一摆角开始做自由振动。此时扭摆受到两个力矩的作用：一是弹性恢复力矩M弹，它与摆的扭转角成正比，即M弹＝c（c为扭转系数）；二是阻力矩阻M阻，可近似认为它与摆动的角速度成正比，即M阻＝r若扭摆的转动惯量为I ，则根据转动定律可列出扭摆的运动方程：

d

(r为阻矩系数）。dt

d2dI2cr （1） dtdt

即

d2rdr0 （2） dt2IdtI

令

rr2

，0（称0为固有圆频率），则式(2)的解为 2（称为阻尼因数）

II

2

A0exp(t)costA0exp(t)cost （3）

T

其中A0为扭摆的初始振幅，T

为扭摆做阻尼振动的周期，且2T

由式（３）可见，扭摆的振幅随着时间按指数规律衰减。若测得初始振幅A0 及第n 个 周期时的振幅An，并测得摆动n个周期所用的时间nT ，则有

则

A0A0

exp(nT)AA0exp(nT)



2．扭摆的受迫振动

A1

ln0 （4） nTA

当扭摆在有阻尼的情况下受到简谐外力矩作用时，就会作受迫振动。设外加简谐力矩通过弹簧加到摆轮上，其频率是，幅度为M0（M0c0，0为外力矩角幅），且有

M外＝M0cost，则扭摆的运动方程变为

d2d2

20hcost （5） 2dtdt

其中hM0I，在稳态情况下，式（5）的解是

Acos(t) （6）

其中A 为角振幅，

A

（7）

而角位移 与简谐外力矩之间的位相差则可表示为

arctan(

2

) （8） 22

0

式（6）说明，扭摆在简谐外力矩作用下的运动也是简谐振动，它的振幅是A ，它的频率与外力矩的频率相同，但二者的位相差是。

由式（7）可见，当→0时，振幅A 接近外力矩角幅0（∵h随着的逐渐增大，振幅A

将随之增加，当为共振，此频率称为共振频率，即共减小；当很大时，振幅趋于零。

由式（8）可见，当00时，有0力矩的位相；在共振情况下，位相落后接近于

M0c2

，00）

II

A 有最大值，此时称

共或共时，振幅都将



2

，即受迫振动的位相落后于外加简谐



，而在0时（有阻尼时不是共振状态），2



位相才正好落后；当0时，有tg0，此时，即位相落后得更多；当0

22

时，趋近，即接近于反位相。在已知0及的情况下，则可由式（8）计算出各值

所对应的值。

【实验内容及步骤】

1．波尔共振实验注意事项

(1) 对电路有充分的认识，了解每一部分的作用（电流表、二极管等）。电路所加的电流不

能超过1A。

(2) 分析清楚自由振动、阻尼振动、受迫振动的区别：电路上怎么去区分这三种状态。 (3) 做受迫振动时，输出电压调到最大，则电机转速变化范围最大，有利于调出共振状态。

2. 手工操作实验内容

（1）测量扭摆在自由状态下的固有频率。

（2）观察阻尼振动现象，测量阻尼电压是6V 和8V 时候的阻尼因数β 。

（3）观察共振现象，测量在6V 和8V 阻尼情况下的受迫振动的幅频特性和相频特性。

幅频特性曲线：以ω/ω0为横坐标，振幅A为纵坐标。 相频特性曲线：以ω/ω0为横坐标，相位为纵坐标。

3. 计算机测控实验内容

此方法采用转动传感器（运动记录仪）和计算机自动采集和处理数据。将一条细线的一端粘在波尔摆黄色转盘的边缘上，另一端绕过传感器的转轮绑一个2g的砝码，使得波尔摆转动时可以带动传感器转动，这样就可以通过传感器获得波尔摆的转动角度、角速度、和周期等一系列参数。

（1）实验开始时，在计算机里打开一个与数据采集器对应的软件（measure）。在软件的参数设置时，同时选择角度和角速度，软件就会在同一个坐标里画出扭摆的转动角度、角速度和周期的样图，将样图和得到的数据存盘，存在“E:\2010材料物理 10330025陈嘉平 光信息10329051陈海域”。

（2）数据的导出：在measure 菜单中选择export data，里面的两个单选按钮都选第二个，然后存盘就可以了。在样图上分析周期：点击工具栏最后一栏的第二个按钮，再点击calculate，对数据分析可以得出周期。我们希望能在同一坐标系下画出扭摆的转动角度和角速度的相图。运行Origin 软件，点击工具栏的Import ASCII 按钮，打开刚才存盘的数据文件，将第二列数据改成X 坐标，再选定后面两列数据，点击“line”，就可以画出转动角度和角速度的相图了。

（3）用上述的方法对扭摆的三种振动状态进行分析。要求： ①利用软件算出扭摆的振动周期和固有频率。 ②讨论各振动状态相图中的物理意义。

③自由振动、阻尼振动、受迫振动的相图的异同点。

【实验数据记录与整理】

一、 手工操作

1. 测量共振摆在自由状态下的固有频率

测量玻尔摆的固有频率，通过改变初始振幅来取得多个数据。同时验证初始振幅与玻尔摆的固有频率无关。

步骤：①将玻尔摆转至一定角度A0。

②放手，用电子表测定一定周期数后的时间nT。这里定为10个周期。 ③记录A0、10T。

④改变初始振幅A0，重复①②③步。 ⑤计算玻尔摆平均共振频率。

表1 自由状态下的固有频率与初始振幅、振动周期数的关系

其中固有圆频率由0

2

T

计算得出。

平均值0

17

i=3.156rad/s。

07

标准误差：



7

1

(i)20.2018(rad/s)。

76i1

角频率的相对误差：E

0



0.02018

0.006390.639%。

3.156

所以波尔摆自由状态下的固有圆频率为0=3.156×(1+0.639%) rad/s，且从表1可以验证0与初始振幅无关。

2. 观察现象，测量不同阻尼电压时的阻尼因数。

步骤：①连接好电路，分别接入2V、4V、6V、8V的电压到阻尼线圈。

②以初始振幅为表盘上的90格（已修正）。

③自然放开波尔摆，用电子秒表测量5个周期T一共用去的总时间10t(s)

及末振幅格数，记录数据到表2。其中当我们做至6V电压时，五个周期后的振幅已变得很小。因此我们调整8V阻尼下的测算时间为两个周期。每个电压阻尼测量三或四次。

④计算不同阻尼电压下的阻尼因数β

根据阻尼振动方程，可得阻尼因数计算式1lnA0。取平均后可得

nTAn

各阻尼电压下的阻尼因数。

阻尼振动的实验现象：摆开始振动后，振幅急剧减小，最后趋于零；而且所加阻尼电压越大，振幅减小越快。

可以看到，随着阻尼电压增大，阻尼系数也会显著增大。

实验中A0 、n均改变，这样可能会增大误差，且无法计算标准误差。从数据中可以看出，当n取比较大且初始摆幅较小时，结果出现比较大的偏差。这是因为当n较大时，末状态摆幅将变小。导致相对误差较大。改进的办法是固定A0 为90、n随着阻尼电压增大而适当减小，使得误差程度保持相对稳定，在相同的条件下测量几组数据再加以计算。

3. 观察共振现象，测量不同阻尼电压下的受迫振动的幅频特性和相频特性。

步骤：①在实验2的基础上，分别接入6V和8V电压到阻尼线圈；

②从15V到6V变化，将电压接入受迫振动电机; ③测量不同电压下，振动10个周期后所用时间10T及波尔摆的末振幅格数，将其记录表3；

④根据表格数据，计算各振动角频率ω。

⑤画出幅频特性曲线：以/0为横坐标，振幅A为纵坐标。画出相频特性曲线：以/0为横坐标，相位为纵坐标。

其中共振摆固有频率ω0=3.156rad/s，6V下阻尼因数β=0.3628s-1，

arctan(

2

)，得出表3-1。 2

20

表3-1 各受迫电压下振动10T所用时间及末振幅格数 阻尼电压6V

以ω/ω0 为横坐标，分别以振幅A和相位φ为纵坐标，做出幅频特性曲线和相频特性曲线。

由图2可以看出，当ω/ω0=1，即驱动力频率在玻尔摆固有频率附近时，摆的振幅最大,此时即为共振。当驱动力频率分别在系统固有频率两侧减小或增大时，玻尔摆的振幅都在不断地减小。

由图3可以看到：当远小于0时，的值趋向于零，即驱动力与摆振动趋于同相；随着的增大，的值不断减小，当接近0时，的值趋于/2，即受迫振动的位相落后于外加简谐力矩的位相趋于/2;当远大于0时，的值接近，即受迫振动的位相落后于外加简谐力矩的位相趋于。

共振摆固有频率ω0=3.156rad/s，8V下阻尼因数β=0.6141s-1，

arctan(

2

)，得出表3-2。 2

20

表3-2 各受迫电压下振动10T所用时间及末振幅格数 阻尼电压8V

同样地，以ω/ω0 为横坐标，分别以振幅A 和相位φ为纵坐标，做出幅频特性曲线和相频特性曲线。

由图4和图5可以发现，6V阻尼和8V阻尼下受迫振动的幅频曲线和相频曲线的特性有很多可比较之处。为了更好地比较这两种情况下的特性曲线，将两种阻尼下的幅频曲线和相频曲线分别绘到同一个图中。如图6和图7。

由图6和图7可以看出：

（1）在不同的β值下，幅频特性曲线与相频特性曲线的变化趋势相同。从图6可以看出，两条幅频曲线均近似在ω/ω0=1处到达最高点。从图7可以看到两条相

频曲线近似在 ω/ω0=1处相交，即在不同的β值下，当ω接近ω0时，受迫振动

的相位均落后于驱动力相位π/2。

（2）在不同的β值下，摆受迫振动的幅频特性与相频特性有所不同：

幅频特性：β值越大，在相同的频率下摆的振幅越小。所以β值大的幅频特性

曲线应该在固有频率附近的部分总在β较小的曲线的下方，但当ω远小于ω0或远

大于ω0时振幅的差值越来越小，变化的趋势越来越相近。本实验所得图线表示两

β值不同的曲线在有限点处有相交，可能与测量精确度有关。

相频特性：对同一个ω值，以ω/ω0=1分界线。若ω

大，若ω>ω0，β值越大，|φ|越小。

二、 计算机测控实验内容

传感器型号为：BEWEGUNGSAUFNEHMER MOVEMENTRECORDER；

数据存放路径：E:\2010材料物理 10330025陈嘉平 光信息10329051陈海域

1. 测量共振摆在自由状态下的固有频率。

数据源文件名freedampedvebration.txt。

如图8所示为波尔摆做自由振动时转动角度与角速度随时间的变化，由图可知：

虽没有外加阻尼，但是摆的转动角度与角速度的幅值都在随时间的变化而不断减

小。这是由于摆自身有一定的摩擦，使得摆在没有外加阻尼的情况下做微小的阻尼

振动。不同玻尔摆由于参数不进相同，所以其固有阻尼也不同。可以看出本组实验

所用玻尔摆固有阻尼较大，因而衰减稍明显。

由图8根据计算机测得，12T=21.8s，由02T得，计算机测固有频率为

3.177rad/s。与手工测量值3.156rad/s相比，绝对误差0.0209rad/s，相对误差为0.662%。

同时运用软件的快速傅里叶变换来分析数据，所得傅里叶分析如下：

所得频率为X = 0.0502512563，乘以系数10，根据02T，得固有角频

率为：ω0=3.157rad/s，绝对误差为1.38e-3 rad/s，相对误差为0.437%。综上可知手

动测量的准确度很高。

分析比较：两次测量的数据有所不同，但相差较小；虽然计算机采集的数

据也会有误差，但计算机采集的数据应该比手动测量的数据准确，因此两次测

量数据不同的原因主要是由于在使用秒表测量周期的时候，摆是运动着的，实

验人想要判断摆是否运动到某一标定位置是一件比较困难的事，而且眼睛的判

断与手按秒表之间存在反应时间，所以手工测量不如计算机的测量精确。

在计算机测量计算时，运用傅里叶变换能较为精确地测量出周期频率。

自由振动的位相图如图10，理论上自由振动的位相图应该是一个椭圆线，而实

际上由于摆的自身摩擦等原因，使得椭圆线向内收缩。但由于自身摩擦较小，自由

振动时椭圆线收缩得较慢。

2. 观察阻尼振动现象，测量不同阻尼电压时的阻尼因数β。

数据源文件名damped 2v.txt, damped 4v.txt, damped 6v.txt。

与手工测量结果表2-1作比较：

表2-2 各阻尼电压下的阻尼因数β

分析：

从图11中可以看出，玻尔摆做阻尼运动时，摆的转动角度与角速度随时间衰

减。而且阻尼越大，转动角度与角速度衰减得越快。

图11所测阻尼因数为通过数据所得的图线，在计算机上测量并计算而得到的

值。与手工测量值比较，有一定误差，且可发现阻尼电压越大，两者相差越大，大

概与手工测量时末期振幅较小导致读书不准确有关。但仍然在可接受范围内。两者

都从大小趋势上正确描述了阻尼电压（外界阻扰因子）对阻尼因数的影响。

从图13可以看出，摆在做阻尼振动时，由于阻尼的存在，摆的能量在不断被

消耗，所以摆的转动角度与角速度都在不断减小，最近将趋向于（0，0）点，即摆

停止摆动。而且摆所受阻尼越大，曲线向内收缩越快。

3. 观察共振现象，测量在6V阻尼情况下受迫振动的幅频特性和相频特性。

数据源文件名分别为forced damped 6v-6.011v.txt，forced damped 6v-7.010v.txt，

forced damped 6v-8.005v.txt，forced damped 6v-9.010v.txt，forced damped

6v-9.995v.txt，forced damped 6v-11.005v.txt，forced damped 6v-12.008v.txt，forced

damped 6v-13.010v.txt，forced damped 6v-14.000v.txt。

首先测量6V阻尼下的受迫振动，重复手工测量，改变电机输出电压。得出以

下角位置(angular)随时间变化的图线。

由图14可以看出，在受迫振动的情况下，当摆动稳定时，摆的转动角度与角

速度变化区间基本保持不变，这是由于驱动力为摆提供了能量。并且在外加简谐力矩的频率与摆固有频率接近时（U=9.995V），即ω接近ω0时，摆的角速度与角位置的大小都远大于另外两个频率下所测的数值。

从图中可以发现，随着驱动电压加大，相同时间内运动的周期数越多，这与事

实相符，因为驱动电压越来越大，频率ω就越来越大。

显然输出电压=9.995V时，玻尔摆振幅最大，最接近共振态。因此研究输出电

压=9.995V时的数据。

由图15可知，受迫振动时系统稳定，即能量状态处于平衡。同时振动频率与外力振动源一致，但存在相位差。

4. 对自由振动、阻尼振动和受迫振动的综合分析：

1.电路分析中示波器可出现李萨如图，其中椭圆表示X/Y输入端的信号频率相

同，与这里出现的椭圆本质是一样的。相图中椭圆的面积可以表示系统的能量大小；其中角速度代表动能，角位置代表势能。

2.自由振动、阻尼振动、受迫振动相图的相同点为：三者均可描述振动任意时刻的状态，三种相图均由数个椭圆线组成。不同点：自由振动的相图的椭圆线缓慢地向内收缩（系统自身有摩擦），系统能量缓慢地减小；阻尼振动的相图快速向内收缩，系统能量快速较小，而且所加阻尼电压越大，收缩速度越快，即系统能量减小地越快；受迫振动的相图中的椭圆面积不收缩，即驱动力为系统源源不断地提供能量，共振时，各椭圆同心，非共振时，各椭圆不同心。

【实验总结】

本实验分别通过手工测量和计算机测控两种方式来完成。

由于实验仪器自身存在系统误差，使得实验结果总是存在不可避免的误差，另一方面，实验人进行测量时也会使实验结果加入偶然误差。如使用计算机采集数据，则可以大大减小偶然误差。同时计算机在数据记录方面的方便性、全面性和准确性也使实验更为高效。

计算机在实验中有反应时间短、精度高的优势，而利用软件处理数据可以使之更精确，更全面。但同时，手工测量所做的前期工作、粗测取样范围，也为实验贡献良多。