一元二次不等式的解法（二）
一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0, x ∈R ) , 有
⎧a >01）f (x ) >0对x ∈R 恒成立⇔⎨;
⎩∆
⎧a
2例1．已知函数y =lg[x +(a -1) x +a 2]的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
解：由题设可将问题转化为不等式x 2+(a -1) x +a 2>0对x ∈R 恒成立，即有
1∆=(a -1) 2-4a 2。 3
1所以实数a 的取值范围为(-∞, -1) (, +∞) 。 3
例2．设f (x ) =x 2-2mx +2，当x ∈[-1, +∞) 时，f (x ) ≥m 恒成立，求实数m 的
取值范围。
解：设F (x ) =x 2-2mx +2-m ，则当x ∈[-1, +∞) 时，F (x ) ≥0恒成立 当∆=4(m -1)(m +2) 0显然成立；
当∆≥0时，如图，F (x ) ≥0恒成立的充要条件为：
⎧⎪∆≥0⎪⎨F (-1) ≥0解得-3≤m ≤-2。
⎪-2m ⎪-≤-12⎩
综上可得实数m 的取值范围为[-3, 1) 。
二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
1）f (x ) >a 恒成立⇔a
2）f (x ) f (x ) max
例3 已知f (x ) =x 2+ax +3-a ，若x ∈[-2, 2],f (x ) ≥2恒成立，求a 的取值范围. 解析 本题可以化归为求函数f (x ) 在闭区间上的最值问题, 只要对于任意x ∈[-2, 2],f (x ) min ≥2. 若x ∈[-2, 2],f (x ) ≥2恒成
立
⇔∀x ∈[-2, 2],f (x ) min ⎧a ⎪-≤-2≥2⇔⎨2 ⎪⎩f (x ) min =f (-2) =7-3a ≥2
a ⎧-2≤-≤2⎧a ⎪2⎪⎪->2或⎨或，即⎨22a a ⎪f (x ) ⎪=f (-) =3-a -≥2⎩f (x ) min =f (2) =7+a ≥2min ⎪24⎩a 的取值范围为
[-5, -2+2].
例3．已知f (x ) =7x 2-28x -a , g (x ) =2x 3+4x 2-40x ，当x ∈[-3, 3]时，f (x ) ≤g (x ) 恒成立，求实数a 的取值范围。
解：设F (x ) =f (x ) -g (x ) =-2x 3+3x 2+12x -c ，
则由题可知F (x ) ≤0对任意x ∈[-3, 3]恒成立
令F ' (x ) =-6x 2+6x +12=0，得x =-1或x =2
而F (-1) =-7a , F (2) =20-a , F (-3) =45-a , F (3) =9-a ,
∴F (x ) max =45-a ≤0
∴a ≥45即实数a 的取值范围为[45, +∞) 。
x 2+2x +a , x ∈[1, +∞) ，若对任意x ∈[1, +∞) ，f (x ) >0恒成例4．函数f (x ) =x
立，求实数a 的取值范围。
解：若对任意x ∈[1, +∞) ，f (x ) >0恒成立，
x 2+2x +a >0恒成立， 即对x ∈[1, +∞) ，f (x ) =x
考虑到不等式的分母x ∈[1, +∞) ，只需x 2+2x +a >0在x ∈[1, +∞) 时恒成立而得 而抛物线g (x ) =x 2+2x +a 在x ∈[1, +∞) 的最小值g m i n (x ) =g (1) =3+a >0得a >-3
三、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：
1）f (x ) f (x ) max
2）f (x ) >g (a )(a 为参数）恒成立⇔g (a )
a ⎛⎫例1、已知函数f (x )=lg x +-2⎪，若对任意x ∈[2, +∞)恒有f (x )>0，试确x ⎝⎭
定a 的取值范围。
a -2>1在x ∈[2, +∞)上恒成立， x
即：a >-x 2+3x 在x ∈[2, +∞)上恒成立， 解：根据题意得：x +
3⎫9⎛设f (x )=-x 2+3x ，则f (x )=- x -⎪+ 2⎭4⎝
当x =2时，f (x )max =2 所以a >2
值范围。 2 例2、已知x ∈(-∞,1]时，不等式1+2x +(a -a 2)⋅4x >0恒成立，求a 的取
解：令2x =t ，x ∈(-∞,1] ∴t ∈(0,2] 所以原不等式可化为：a 2-a
可。
1⎡1t +1⎛1⎫1⎛11⎫1⎫∈⎢, +∞⎪ f (t )=2= ⎪+= +⎪- t ⎣2t ⎭⎝t ⎭t ⎝t 2⎭43313∴f (t )min =f (2)= ∴a 2-a 例4 已知函数f (x ) =|x 2-4x -5|，若在区间[-1, 5]上，y =kx +3k 的图象位于函数f (x ) 的上方，求k 的取值范围.
解析 本题等价于一个不等式恒成立问题, 即对于∀x ∈[-1, 5],kx +3k >-x 2+4x +5恒成立, 式子中有两个变量, 可以通过变量分离化归为求函数的最值问题. 对于∀x ∈[-1, 5],kx +3k >-x 2+4x +5恒成立
-x 2+4x +5-x 2+4x +5对于∀x ∈[-1, 5]恒成立, 令y =⇔k >, x ∈[-1, 5], 设x +3x +3
x +3=t , t ∈[2, 8], 则y =-(t +16) +10, t ∈[2, 8],∴当t =4, 即x =1时y max =2, ∴k 的取值t
范围是k >2.
例5．已知函数f (x ) =ax -4x -x 2, x ∈(0, 4]时f (x )
解： 将问题转化为a
对x ∈(0, 4]恒成立。 x
4x -x 2令g (x ) =，则a
g (x ) min =g (4) =0
∴a
四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例6．对任意a ∈[-1, 1]，不等式x 2+(a -4) x +4-2a >0恒成立，求x 的取值范围。
解：令f (a ) =(x -2) a +x 2-4x +4，则原问题转化为f (a ) >0恒成立（a ∈[-1, 1]）。
当x =2时，可得f (a ) =0，不合题意。
⎧f (1) >0当x ≠2时，应有⎨解之得x 3。 f (-1) >0⎩
故x 的取值范围为(-∞, 1) (3, +∞) 。
注：一般地，一次函数f (x ) =kx +b (k ≠0) 在[α, β]上恒有f (x ) >0的
⎧f (α) >0充要条件为⎨。
⎩f (β) >0
四、分类讨论
在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。
例3、若x ∈[-2,2]时，不等式x 2+ax +3≥a 恒成立，求a 的取值范围。
解：设f (x )=x 2+ax +3-a ，则问题转化为当x ∈[-2,2]时，f (x )的最小值非负。
（1） 当-a 74时，f (x )min =f (-2)=7-3a ≥0 ∴a ≤又a >4所23
以a 不存在；
a a 2⎛a ⎫（2） 当-2≤≤2即：-4≤a ≤4时，f (x )m i =f -⎪=3-a -≥0 n 24⎝2⎭
∴-6≤a ≤2 又-4≤a ≤4 ∴-4≤a ≤2
a （3） 当->2 即：a
a
综上所得：-7≤a ≤2
专项训练
变式：已知不等式(x -1) m 0对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围。
变式1：已知不等式x 2-2ax +2>0对x ∈[1,2]恒成立，求实数a 的取值范围。
变式2：已知不等式x 2-2ax +2>0对x ∈[-1,2]恒成立，求实数a 的取值范围。
例题3：当x ∈(1,2)时，不等式(x -1)
2
1练习1：已知函数f (x ) =-x 2+a ln(x +2) 在区间(-1, +∞)上为减函数，求实数2
a 的取值范围。
练习2：对于满足|p |≤2的所有实数p ，求使不等式x 2+px +1>2p +x 恒成立的x 的取值范围。
思考：
1、若不等式2x -1>m (x 2-1) 对满足|m |≤2的所有m 都成立，求实数x 的取值范围。
51，若满足不等式|x -a |
恒成立，求正实数b 的取值范围。
2、设0
一元二次不等式的解法（二）
一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0, x ∈R ) , 有
⎧a >01）f (x ) >0对x ∈R 恒成立⇔⎨;
⎩∆
⎧a
2例1．已知函数y =lg[x +(a -1) x +a 2]的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
解：由题设可将问题转化为不等式x 2+(a -1) x +a 2>0对x ∈R 恒成立，即有
1∆=(a -1) 2-4a 2。 3
1所以实数a 的取值范围为(-∞, -1) (, +∞) 。 3
例2．设f (x ) =x 2-2mx +2，当x ∈[-1, +∞) 时，f (x ) ≥m 恒成立，求实数m 的
取值范围。
解：设F (x ) =x 2-2mx +2-m ，则当x ∈[-1, +∞) 时，F (x ) ≥0恒成立 当∆=4(m -1)(m +2) 0显然成立；
当∆≥0时，如图，F (x ) ≥0恒成立的充要条件为：
⎧⎪∆≥0⎪⎨F (-1) ≥0解得-3≤m ≤-2。
⎪-2m ⎪-≤-12⎩
综上可得实数m 的取值范围为[-3, 1) 。
二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
1）f (x ) >a 恒成立⇔a
2）f (x ) f (x ) max
例3 已知f (x ) =x 2+ax +3-a ，若x ∈[-2, 2],f (x ) ≥2恒成立，求a 的取值范围. 解析 本题可以化归为求函数f (x ) 在闭区间上的最值问题, 只要对于任意x ∈[-2, 2],f (x ) min ≥2. 若x ∈[-2, 2],f (x ) ≥2恒成
立
⇔∀x ∈[-2, 2],f (x ) min ⎧a ⎪-≤-2≥2⇔⎨2 ⎪⎩f (x ) min =f (-2) =7-3a ≥2
a ⎧-2≤-≤2⎧a ⎪2⎪⎪->2或⎨或，即⎨22a a ⎪f (x ) ⎪=f (-) =3-a -≥2⎩f (x ) min =f (2) =7+a ≥2min ⎪24⎩a 的取值范围为
[-5, -2+2].
例3．已知f (x ) =7x 2-28x -a , g (x ) =2x 3+4x 2-40x ，当x ∈[-3, 3]时，f (x ) ≤g (x ) 恒成立，求实数a 的取值范围。
解：设F (x ) =f (x ) -g (x ) =-2x 3+3x 2+12x -c ，
则由题可知F (x ) ≤0对任意x ∈[-3, 3]恒成立
令F ' (x ) =-6x 2+6x +12=0，得x =-1或x =2
而F (-1) =-7a , F (2) =20-a , F (-3) =45-a , F (3) =9-a ,
∴F (x ) max =45-a ≤0
∴a ≥45即实数a 的取值范围为[45, +∞) 。
x 2+2x +a , x ∈[1, +∞) ，若对任意x ∈[1, +∞) ，f (x ) >0恒成例4．函数f (x ) =x
立，求实数a 的取值范围。
解：若对任意x ∈[1, +∞) ，f (x ) >0恒成立，
x 2+2x +a >0恒成立， 即对x ∈[1, +∞) ，f (x ) =x
考虑到不等式的分母x ∈[1, +∞) ，只需x 2+2x +a >0在x ∈[1, +∞) 时恒成立而得 而抛物线g (x ) =x 2+2x +a 在x ∈[1, +∞) 的最小值g m i n (x ) =g (1) =3+a >0得a >-3
三、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：
1）f (x ) f (x ) max
2）f (x ) >g (a )(a 为参数）恒成立⇔g (a )
a ⎛⎫例1、已知函数f (x )=lg x +-2⎪，若对任意x ∈[2, +∞)恒有f (x )>0，试确x ⎝⎭
定a 的取值范围。
a -2>1在x ∈[2, +∞)上恒成立， x
即：a >-x 2+3x 在x ∈[2, +∞)上恒成立， 解：根据题意得：x +
3⎫9⎛设f (x )=-x 2+3x ，则f (x )=- x -⎪+ 2⎭4⎝
当x =2时，f (x )max =2 所以a >2
值范围。 2 例2、已知x ∈(-∞,1]时，不等式1+2x +(a -a 2)⋅4x >0恒成立，求a 的取
解：令2x =t ，x ∈(-∞,1] ∴t ∈(0,2] 所以原不等式可化为：a 2-a
可。
1⎡1t +1⎛1⎫1⎛11⎫1⎫∈⎢, +∞⎪ f (t )=2= ⎪+= +⎪- t ⎣2t ⎭⎝t ⎭t ⎝t 2⎭43313∴f (t )min =f (2)= ∴a 2-a 例4 已知函数f (x ) =|x 2-4x -5|，若在区间[-1, 5]上，y =kx +3k 的图象位于函数f (x ) 的上方，求k 的取值范围.
解析 本题等价于一个不等式恒成立问题, 即对于∀x ∈[-1, 5],kx +3k >-x 2+4x +5恒成立, 式子中有两个变量, 可以通过变量分离化归为求函数的最值问题. 对于∀x ∈[-1, 5],kx +3k >-x 2+4x +5恒成立
-x 2+4x +5-x 2+4x +5对于∀x ∈[-1, 5]恒成立, 令y =⇔k >, x ∈[-1, 5], 设x +3x +3
x +3=t , t ∈[2, 8], 则y =-(t +16) +10, t ∈[2, 8],∴当t =4, 即x =1时y max =2, ∴k 的取值t
范围是k >2.
例5．已知函数f (x ) =ax -4x -x 2, x ∈(0, 4]时f (x )
解： 将问题转化为a
对x ∈(0, 4]恒成立。 x
4x -x 2令g (x ) =，则a
g (x ) min =g (4) =0
∴a
四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例6．对任意a ∈[-1, 1]，不等式x 2+(a -4) x +4-2a >0恒成立，求x 的取值范围。
解：令f (a ) =(x -2) a +x 2-4x +4，则原问题转化为f (a ) >0恒成立（a ∈[-1, 1]）。
当x =2时，可得f (a ) =0，不合题意。
⎧f (1) >0当x ≠2时，应有⎨解之得x 3。 f (-1) >0⎩
故x 的取值范围为(-∞, 1) (3, +∞) 。
注：一般地，一次函数f (x ) =kx +b (k ≠0) 在[α, β]上恒有f (x ) >0的
⎧f (α) >0充要条件为⎨。
⎩f (β) >0
四、分类讨论
在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。
例3、若x ∈[-2,2]时，不等式x 2+ax +3≥a 恒成立，求a 的取值范围。
解：设f (x )=x 2+ax +3-a ，则问题转化为当x ∈[-2,2]时，f (x )的最小值非负。
（1） 当-a 74时，f (x )min =f (-2)=7-3a ≥0 ∴a ≤又a >4所23
以a 不存在；
a a 2⎛a ⎫（2） 当-2≤≤2即：-4≤a ≤4时，f (x )m i =f -⎪=3-a -≥0 n 24⎝2⎭
∴-6≤a ≤2 又-4≤a ≤4 ∴-4≤a ≤2
a （3） 当->2 即：a
a
综上所得：-7≤a ≤2
专项训练
变式：已知不等式(x -1) m 0对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围。
变式1：已知不等式x 2-2ax +2>0对x ∈[1,2]恒成立，求实数a 的取值范围。
变式2：已知不等式x 2-2ax +2>0对x ∈[-1,2]恒成立，求实数a 的取值范围。
例题3：当x ∈(1,2)时，不等式(x -1)
2
1练习1：已知函数f (x ) =-x 2+a ln(x +2) 在区间(-1, +∞)上为减函数，求实数2
a 的取值范围。
练习2：对于满足|p |≤2的所有实数p ，求使不等式x 2+px +1>2p +x 恒成立的x 的取值范围。
思考：
1、若不等式2x -1>m (x 2-1) 对满足|m |≤2的所有m 都成立，求实数x 的取值范围。
51，若满足不等式|x -a |
恒成立，求正实数b 的取值范围。
2、设0