现代信号处理

第一章练习题

1.1（1）对一AR模型随机信号xn，证明：xn的功率谱可以表示为：

Pxe

j



b0

，其中apk



pk1

和b0都是AR模型参数。要求给出证明过

apkejk

k1

程中用到的假定条件。

（2）假定测得观测数据为x01，x10.5，x20.4。求：xn的有偏自相关函数的估计值。

1.2设xn是均值为0，方差为1的白噪声vn通过一个1阶线性移不变系统产生的随机信号，系统传递函数为Hz的自相关函数rxxm。

1.3一个2阶过程xn0.8xn10.48xn2vn，其中vn是均值为0，方差为1的白噪声。求： xn的功率谱。

，求：（1）、xn的功率谱Pxxz；（2）、xn

10.25z1

第二章练习题

2.1已知xnsnvn，其中信号sn是AR(1)过程：sn0.6sn1wn，

wn是均值为0，方差为0.64的白噪声，vn是均值为0，方差为1的白噪声，且sn

与vn不相关。试设计一个长度为M＝2的维纳滤波器估计sn。

ˆn的表达式。求：（1）、Wiener滤波器的传递函数；（2）、s

2.2已知xnsnvn，其中信号sn是AR(1)过程：sn0.8sn1wn，

wn是均值为0，方差为0.36的白噪声；vn是均值为0，方差为1的白噪声，且sn

与vn不相关。试设计一个长度为M=2的维纳滤波器估计sn。求：（1）维纳滤波器的

ˆn的表达式。传递函数Hoptz；（2）滤波器的输出s

2.3已知：（1）、观测数据xndnvn，其中，dn为期望信号，其自相关函数为Rdk0.8；vn是均值为0，方差为1的白噪声。

（2）、期望信号是一个AR(1)过程：dn0.8dn1wn，其中，wn是一白噪声，

其均值为0，方差为w0.36。

（3）、期望信号dn与噪声vn不相关，噪声vn与wn不相关，且观测数据xn为实信号。试用因果Wiener滤波器对xn进行滤波，滤波器输出作为期望信号dn的估计

ˆn。 d

ˆn的表达式。求：（1）、因果Wiener滤波器的传递函数；（2）、d

第三章练习题

3.1（1）对于自适应维纳滤波器，采用最陡梯度算法求解滤波器参数，递推式为试说明维纳滤波在何意义下是最优的？并说明收敛因子在递推中Wj1Wj2ejXj。所起的作用。

（2）图1是简化的飞行器噪声抵消器结构图，其中xn是发动机噪声，sn是语音信号，

vn是一噪声信号，在接收麦克风中对语音信号sn造成干扰，H是发动机和麦克

风之间的传递函数，W是自适应维纳滤波器的频率响应。试证明通过调整自适应维纳滤波器参数，当WH时，均方误差值Ee

n达到最小。

图1

3.2下图是一个2阶LMS格型自适应滤波器，对每一级的前向预测误差epn均采用LMS准

则进行处理。已知输入实信号

xn的自相关函数

rxx00.51,rxx10.462,rxx20.353，求：

（1）、达到最佳滤波时的反射系数k1和k2的值；

（2）、如果采用梯度算法求反射系数，假定收敛因子为，试给出反射系数kp,p1,2的递推表达式。

（注：递推表达式请用xn描述）

f02

f1图2

e2f(n)b

2(n)

3.3自适应滤波器如下图3所示，设E[x(n)]1，E[x(n)x(n1)]0.5，E[d(n)]4，

E[d(n)x(n)]1，E[d(n)x(n1)]1，在开关S闭合情况下，求解：

（1）误差性能函数；（2）最佳权值w*；（3）最小均方误差。

x(n

)1

)

图3

3.4图4为一自适应抵消器，假设信号sn有一部分泄露到参考信道中，输入功率为

Pssz，vn是总功率为N的白噪声。

求：（1）、原始输入端的信噪比和抵消器输出端的信噪比；（2）、最佳传输函数W*z。

图 4

3.5假设观测信号xn是一复信号，它的预测误差递推公式可以表示为

epnepf1nkpebp1n1

b*f

ebpnep1n1k

pep1n

（1）、试采用前、后向预测误差平均功率最小的方法求反射系数，即要求最小化性能函数

pkp的情况下，求误差功率最小时的kp。其中，性能函数可以描述如下：

221fb

pkpEepnepn

（2）、当只有N个观测数据x1,x2,,xN已知时，试证明：



2epf1(n)ebp1(n1)

kp

np1f

p1

np1

(|e

,p1,2,

(n)|2|eb(n1)|)p1

第四章练习题

4.1（1）简要分析经典谱估计方法和参数模型谱估计方法的主要区别。

（2）如果模型阶次p选择的不恰当，对于参数模型功率谱估计将带来什么影响？以及如何解决这个问题？ 4.2（1）、AR模型谱估计法相对经典谱估计有哪些改进？

（2）、讨论自相关法、Burg法、协方差法和修正协方差法的区别和联系。（3）、AR模型谱估计中模型阶次、数据长度和信噪比对谱分辨率有何影响？ 4.3利用1.1（2）题中所提供的观测数据xn，分别采用自相关法和协方差法，（1）估计AR（1）模型参数；

（2）分析两种方法用于功率谱估计时的区别。

第五章练习题

5.1 对于短时傅立叶变换，在窗函数分别选择gtt和gt1两种情况下，请问变换结果的时间分辨率和频率分辨率有什么区别？

5.2试简述傅立叶变换、加窗傅立叶变换、小波变换与拉氏变换的关系。 5.3对于已知信号

zt

，在窗函数

gtt

和

gt1

两种情况下，求：

（1）、各自对应的STFT，并对变换结果进行分析。（2）、试说明STFT与WT的区别和联系。 5.4

如果连续小波变换中的基函数为a(t)

t

()

a请回答问题：

（1）尺度增大后，时间分辨率如何？频率分辨率如何？（2）尺度增大后，小波带通滤波器的带宽将如何变化？