球面摆的运动方程_数值模拟和实验验证

第25卷第7期2006年7月 大 学 物 理 COL L EGE PHYSICS Vol. 25N o. 7July. 2006

大学生园地

球面摆的运动方程、数值模拟和实验验证

何广源, 黄

本

(中山大学物理系, 广东广州 510275)

摘要:讨论了球面摆的运动方程, 分析了摆球运动的周期性. 通过数值模拟和实验证实了摆球在e H 方向的运动具有周期性.

关键词:球面摆的运动方程; 运动周期; 数值模拟; 实验验证

中图分类号:O 441 文献标识码:A 文章编号:1000-0712(2006) 07-0046-04

对于单摆问题, 绝大多数教科书中都是假设摆球只在一个平面上摆动. 而在一般情况下单摆的摆动并非被约束在某一个平面上, 而是会偏离原来的

摆动平面, 即摆球是在一个球面上摆动, 我们称之为球面摆. 在国内, 讨论球面摆的文章不多, 而通过实验观察球面摆运动轨迹的文章更是鲜见. 本文讨论了球面摆的运动方程和运动周期, 并通过实验观察球面摆的运动轨迹, 重点分析摆球的周期性.

图1 球面摆示意图

1 理论推导

1. 1 摆球的运动方程

考虑一个球面摆, 摆绳为一根长度为l 、不可伸长的柔软细绳, 故l =0. 摆球直径足够小, 因而可视其为质点, 忽略空气阻力及其他摩擦力. 在摆球运动过程中, 摆绳始终绷直. 以绳的悬点为球心, 建立球坐标, 如图1. 由摆球的受力及牛顿定律可得微分方程:

e U 方向:(sin H ) &U +(2cos H ) H ÛU =0e H 方向:(sin H cos H ) ÛU -H =sin H

l

2

##

#

#

42

sin H =C cos H (4) l

摆球在竖直方向的角动量守恒, 分析可知积分常数C 为一个与小球竖直方向角动量有关的量, 且有

(sin H ) H +

3

##

C =

v 0sin H 0

l

(5)

(1) (2)

对式(4) 积分一次, 可得摆球在e H 方向运动方程的相轨线方程:

#22H =cos H -+C E 2l 2sin 2H

(6)

其中g 为重力加速度, 0[H

1. 2 摆球在e H 方向的运动方程、相轨线和运动

周期

不失一般性, 设初始时刻摆球在e H 方向的摆角

为H 0, e U 方向的位置为U 0=0, 初速度v 0沿e U 方向. 由式(1) 积分可得

ÛU =

在e H 方向的运动方程:

收稿日期:2005-06-08; 修回日期:2006-01-23

由于整个系统机械能守恒, 分析可知积分常数C E 与

系统的总能量有关, 故有

v 2g cos H 00

C E =-l 2l

(7)

式(6) 右方是关于H 的函数, 记为f (H ). 由式(6) 可以看出, 只要在区间0[H

摆球在e H 方向运动方程的相轨线是简单的闭合曲线, 即摆球在e H 方向的运动方程具有周期性. 再对式(6) 积分, 可得摆球在e H 方向的运动周期为

sin H

(3)

其中, C 为积分常数. 将式(3) 代入式(2) , 可得摆球

() ) , 男, , 03

第7期 何广源等:球面摆的运动方程、数值模拟和实验验证 47

T H =2

Q

H

H max

min

C E cos H -2+2C E l sin H

d H (8)

所示. 由图3可见, 相轨线为一条闭合曲线, 说明摆

球在e H 方向的运动具有周期性, 由图4也可以得到周期为T c H =0171s, 与数值计算相符.

其中C 、C E 分别由式(5) 和式(7) 给出. 由式(8) 可知, 对于给定的长度为l 的摆绳, 摆球在e H 方向运动的周期还决定于摆球的初始摆角H 0和初速度v 0, 这是非线性振动的特点. 1. 3 摆球在e U 方向的运动

将式(3) 对时间积分, 并联系式(6) , 可得摆球在e U 方向运动的积分表达式:

U =

d H 2sin H cos H -+2C E l sin H

(9)

图2 球面摆轨迹的模拟

若摆球在e H 方向运动一个周期, 则在e U 方向的移动

量为

H max

$UT =2d H 2H sin H min cos H -+2C E l sin H

Q

(10)

由摆球在e H 方向的运动具有周期性和式(3) 可知, ÛU 也具有周期性, 且周期为T H . 1. 4 摆球运动的周期性讨论

记C =2P /$UT , 若C 为有理数, 并记C =p /q 为其最简约分式(p , q I N ) , 则摆球运动的轨迹是一条闭合曲线, 摆球的运动具有周期性, 且周期为

T =p T H

若C 为无理数, 则摆球的运动轨迹是不闭合的, 摆球的运动没有周期性或周期为无穷大.

C 的值由初始条件决定, 只要初始条件有所改变, C 就可能由有理数变为无理数, 或由无理数变为有理数. 因此, 摆球运动的周期性对初始条件是十分敏感的, 也就是说, 摆球运动的周期性是不稳定的, 很容易受到外界的影响.

图4 摆球在e H 方向运动的模拟图3 摆球在e H 方向运动的相轨

2 摆球运动过程的数值模拟

把式(1) 和(2) 写成:

U =(-2cot H &) H ÛU H =(sin H cos H ) ÛU 2-#

##

#

sin H l

在m athematica 软件中, 以l =4913cm , U U 0=0=0, Û3139rad/s, H 0=01191rad, H 0=0为初始条件, 运用欧拉算法对方程进行数值模拟, 可得到摆球运动的水平投影之轨迹、e H 方向运动的相轨线图像、e H 方向

和U , 24图5 摆球在e U 方向的运动模拟

48大 学 物 理 第25卷

3 实验验证

3. 1 实验装置

实验装置如图6所示

.

图7

球面摆水平投影的轨迹

图6 实验装置

3. 2 实验原理

单摆在预定高度自由下落, 并在最低点与球面摆碰撞. 因为两摆球质量相同, 所以两摆球碰撞后交换速度, 由此可以确定球面摆摆球的初始速度. 通过调整两摆球定位器的位置, 可以调节球面摆的位置, 使摆球初速度v 0的方向与e U 方向相同, 并使两摆球刚好发生正碰. 用摄像头拍下球面摆摆球的运动过程以供分析.

3. 3 实验记录

摆球参数记录如表1所示.

表1 摆球参数记录表

摆球质量/g 摆球直径/cm 摆绳长/cm

球面摆单摆

15151516

2120421202

48125818

初摆角/rad 0118601131

图8 摆球在e H 方向的运动

摄像头软件参数设置:帖率为10. 00帖/s; 输出大小为320@240.

由以上数据得球面摆初始数据:l =4913cm, U 0=0, ÛU 0=3139rad/s, H 0=01191rad, H 0=0(与数值模拟的初始数据相同) . 3. 4 实验结果与分析

利用Windows Media Player 逐帖播放拍下的文件, 同时把图像屏幕捉取到Photoshop 中, 得到摆球位置的数据. 把数据输入Matlab 软件, 作图得到图7. 由图可见, 球面摆摆球运动的水平投影之轨迹像缓慢旋转的椭圆轨迹. 由摆球的位置数据及悬挂点的位置, 分析可得摆球在e H 方向和e U 方向的运动图像, 如图8和图9所示

.

#

图9 摆球在e U 方向的运动

图8为摆球在e H 方向的运动图像, 由图可见, e H 方向的运动具有周期性, 周期为

T H =

s=0175s 24

在式(8) 中代入数据并作数值积分得T c H =0171s. 实验值的相对误差为

E T =

|T H -T c H |

=517%T c H

8

第7期 何广源等:球面摆的运动方程、数值模拟和实验验证 49

于摄像头的光学透镜的不对称引起的, 而曲线的整

体下降则是存在空气阻尼所引起的. 图9为摆球在e U 方向的运动图像, 分析可知, 摆球在e H 方向运动一个周期(T H =0175s) 时, 在e U 方向移动量的平均值为

$UT =3116rad

在式(10) 中代入数据并进行数值积分得$Uc =3117rad T 实验值的相对误差为

|$UT -$Uc T |E $U==014%T T

始运动时, 会与其定位器产生摩擦, 使摆球的初速度

比预设值小, 从而导致其周期比预计值偏大.

5 结论

球面摆的运动是非线性的二维摆动. 我们从理论和实验上均得到结论:球面摆的摆球在e H 方向的运动具有周期性, 但是, 摆球的二维运动不一定具有周期性. 仅在C 为有理数的条件下, 摆球的二维运动才具有周期性. 而且由于球面摆很容易受到外部干扰, C 值很不稳定, 其值会不断在有理数和无理数之间变化, 使得摆球的周期性很不稳定.

4 理论计算、数值模拟与实验结果的比较

实验得到的摆球的轨迹(图7) 与数值模拟得到的轨迹(图2) 形状相同, 在e H 方向运动的图像(图4与图8) 也基本相符. 而实验得到的e H 方向的运动周期与理论计算得到的结果也较为接近. 说明球面摆摆球的运动与式(1) 和式(2) 所描述的运动相符合. 实验得到的摆球在e H 方向的周期与计算值的相对误差为E T =517%, 之所以出现这么大的误差, 主要原因是球面摆的摆球与单摆的摆球碰撞后, 在刚开

参考文献:

[1] 陆同兴. 非线性物理概论[M ]. 合肥:中国科学技术大

学出版社, 2002.

[2] 莫克威. 偏摆对单摆振动周期的影响[J].物理实验,

1996, 16(4) :189.

[3] 赵凯华, 罗蔚茵. 新概念物理教程:力学[M ].北京:高

等教育出版社, 2000.

[4] 向裕民. 摆球的二维摆动[J]. 重庆大学学报, 2000, 23

(6) :49~52.

[5] 潘武明. 牛顿动力学方程的数值解法[J]. 高等函授学

报, 2002, 15(1) :22~23.

The equation of motion, numerical calculation and experiment for

two -dimensional vibration

HE Guang -yuan, HUANG Na-i ben

(Department of P hysics, Sun Yat -sen U niversity, Guangzhou 510275, China)

Abstract :T he equation of motion for a spherical surface v ibration is studied, and the period is analysed. T he period of the e H direction motion of the vibration is also verified by numerical calculation and experiment. Key words :equation of motion for the spherical surface v ibration; periodicity of motion; numerical calculat -ing ; experiment

(上接21页)

Thermal equilibrium of system with negative heat capacity

YANG Xiao -rong 1, GUAN Jing 2

(1. Science College of T ibet U niversity, Lhasa 850000, China;

2. Department of PhySics, Beijing Normal U niversit y, Beijing 100875, China)

Abstract:M aking a postil for instability of system w ith neg ative heat capacity, for ex ample black hole, mentioned in /Mechanics of new concept physics 0and /Heat of new concept physics 0.

Key words:black hole; system w ith negative heat capacity; stable thermal equilibrium

第25卷第7期2006年7月 大 学 物 理 COL L EGE PHYSICS Vol. 25N o. 7July. 2006

大学生园地

球面摆的运动方程、数值模拟和实验验证

何广源, 黄

本

(中山大学物理系, 广东广州 510275)

摘要:讨论了球面摆的运动方程, 分析了摆球运动的周期性. 通过数值模拟和实验证实了摆球在e H 方向的运动具有周期性.

关键词:球面摆的运动方程; 运动周期; 数值模拟; 实验验证

中图分类号:O 441 文献标识码:A 文章编号:1000-0712(2006) 07-0046-04

对于单摆问题, 绝大多数教科书中都是假设摆球只在一个平面上摆动. 而在一般情况下单摆的摆动并非被约束在某一个平面上, 而是会偏离原来的

摆动平面, 即摆球是在一个球面上摆动, 我们称之为球面摆. 在国内, 讨论球面摆的文章不多, 而通过实验观察球面摆运动轨迹的文章更是鲜见. 本文讨论了球面摆的运动方程和运动周期, 并通过实验观察球面摆的运动轨迹, 重点分析摆球的周期性.

图1 球面摆示意图

1 理论推导

1. 1 摆球的运动方程

考虑一个球面摆, 摆绳为一根长度为l 、不可伸长的柔软细绳, 故l =0. 摆球直径足够小, 因而可视其为质点, 忽略空气阻力及其他摩擦力. 在摆球运动过程中, 摆绳始终绷直. 以绳的悬点为球心, 建立球坐标, 如图1. 由摆球的受力及牛顿定律可得微分方程:

e U 方向:(sin H ) &U +(2cos H ) H ÛU =0e H 方向:(sin H cos H ) ÛU -H =sin H

l

2

##

#

#

42

sin H =C cos H (4) l

摆球在竖直方向的角动量守恒, 分析可知积分常数C 为一个与小球竖直方向角动量有关的量, 且有

(sin H ) H +

3

##

C =

v 0sin H 0

l

(5)

(1) (2)

对式(4) 积分一次, 可得摆球在e H 方向运动方程的相轨线方程:

#22H =cos H -+C E 2l 2sin 2H

(6)

其中g 为重力加速度, 0[H

1. 2 摆球在e H 方向的运动方程、相轨线和运动

周期

不失一般性, 设初始时刻摆球在e H 方向的摆角

为H 0, e U 方向的位置为U 0=0, 初速度v 0沿e U 方向. 由式(1) 积分可得

ÛU =

在e H 方向的运动方程:

收稿日期:2005-06-08; 修回日期:2006-01-23

由于整个系统机械能守恒, 分析可知积分常数C E 与

系统的总能量有关, 故有

v 2g cos H 00

C E =-l 2l

(7)

式(6) 右方是关于H 的函数, 记为f (H ). 由式(6) 可以看出, 只要在区间0[H

摆球在e H 方向运动方程的相轨线是简单的闭合曲线, 即摆球在e H 方向的运动方程具有周期性. 再对式(6) 积分, 可得摆球在e H 方向的运动周期为

sin H

(3)

其中, C 为积分常数. 将式(3) 代入式(2) , 可得摆球

() ) , 男, , 03

第7期 何广源等:球面摆的运动方程、数值模拟和实验验证 47

T H =2

Q

H

H max

min

C E cos H -2+2C E l sin H

d H (8)

所示. 由图3可见, 相轨线为一条闭合曲线, 说明摆

球在e H 方向的运动具有周期性, 由图4也可以得到周期为T c H =0171s, 与数值计算相符.

其中C 、C E 分别由式(5) 和式(7) 给出. 由式(8) 可知, 对于给定的长度为l 的摆绳, 摆球在e H 方向运动的周期还决定于摆球的初始摆角H 0和初速度v 0, 这是非线性振动的特点. 1. 3 摆球在e U 方向的运动

将式(3) 对时间积分, 并联系式(6) , 可得摆球在e U 方向运动的积分表达式:

U =

d H 2sin H cos H -+2C E l sin H

(9)

图2 球面摆轨迹的模拟

若摆球在e H 方向运动一个周期, 则在e U 方向的移动

量为

H max

$UT =2d H 2H sin H min cos H -+2C E l sin H

Q

(10)

由摆球在e H 方向的运动具有周期性和式(3) 可知, ÛU 也具有周期性, 且周期为T H . 1. 4 摆球运动的周期性讨论

记C =2P /$UT , 若C 为有理数, 并记C =p /q 为其最简约分式(p , q I N ) , 则摆球运动的轨迹是一条闭合曲线, 摆球的运动具有周期性, 且周期为

T =p T H

若C 为无理数, 则摆球的运动轨迹是不闭合的, 摆球的运动没有周期性或周期为无穷大.

C 的值由初始条件决定, 只要初始条件有所改变, C 就可能由有理数变为无理数, 或由无理数变为有理数. 因此, 摆球运动的周期性对初始条件是十分敏感的, 也就是说, 摆球运动的周期性是不稳定的, 很容易受到外界的影响.

图4 摆球在e H 方向运动的模拟图3 摆球在e H 方向运动的相轨

2 摆球运动过程的数值模拟

把式(1) 和(2) 写成:

U =(-2cot H &) H ÛU H =(sin H cos H ) ÛU 2-#

##

#

sin H l

在m athematica 软件中, 以l =4913cm , U U 0=0=0, Û3139rad/s, H 0=01191rad, H 0=0为初始条件, 运用欧拉算法对方程进行数值模拟, 可得到摆球运动的水平投影之轨迹、e H 方向运动的相轨线图像、e H 方向

和U , 24图5 摆球在e U 方向的运动模拟

48大 学 物 理 第25卷

3 实验验证

3. 1 实验装置

实验装置如图6所示

.

图7

球面摆水平投影的轨迹

图6 实验装置

3. 2 实验原理

单摆在预定高度自由下落, 并在最低点与球面摆碰撞. 因为两摆球质量相同, 所以两摆球碰撞后交换速度, 由此可以确定球面摆摆球的初始速度. 通过调整两摆球定位器的位置, 可以调节球面摆的位置, 使摆球初速度v 0的方向与e U 方向相同, 并使两摆球刚好发生正碰. 用摄像头拍下球面摆摆球的运动过程以供分析.

3. 3 实验记录

摆球参数记录如表1所示.

表1 摆球参数记录表

摆球质量/g 摆球直径/cm 摆绳长/cm

球面摆单摆

15151516

2120421202

48125818

初摆角/rad 0118601131

图8 摆球在e H 方向的运动

摄像头软件参数设置:帖率为10. 00帖/s; 输出大小为320@240.

由以上数据得球面摆初始数据:l =4913cm, U 0=0, ÛU 0=3139rad/s, H 0=01191rad, H 0=0(与数值模拟的初始数据相同) . 3. 4 实验结果与分析

利用Windows Media Player 逐帖播放拍下的文件, 同时把图像屏幕捉取到Photoshop 中, 得到摆球位置的数据. 把数据输入Matlab 软件, 作图得到图7. 由图可见, 球面摆摆球运动的水平投影之轨迹像缓慢旋转的椭圆轨迹. 由摆球的位置数据及悬挂点的位置, 分析可得摆球在e H 方向和e U 方向的运动图像, 如图8和图9所示

.

#

图9 摆球在e U 方向的运动

图8为摆球在e H 方向的运动图像, 由图可见, e H 方向的运动具有周期性, 周期为

T H =

s=0175s 24

在式(8) 中代入数据并作数值积分得T c H =0171s. 实验值的相对误差为

E T =

|T H -T c H |

=517%T c H

8

第7期 何广源等:球面摆的运动方程、数值模拟和实验验证 49

于摄像头的光学透镜的不对称引起的, 而曲线的整

体下降则是存在空气阻尼所引起的. 图9为摆球在e U 方向的运动图像, 分析可知, 摆球在e H 方向运动一个周期(T H =0175s) 时, 在e U 方向移动量的平均值为

$UT =3116rad

在式(10) 中代入数据并进行数值积分得$Uc =3117rad T 实验值的相对误差为

|$UT -$Uc T |E $U==014%T T

始运动时, 会与其定位器产生摩擦, 使摆球的初速度

比预设值小, 从而导致其周期比预计值偏大.

5 结论

球面摆的运动是非线性的二维摆动. 我们从理论和实验上均得到结论:球面摆的摆球在e H 方向的运动具有周期性, 但是, 摆球的二维运动不一定具有周期性. 仅在C 为有理数的条件下, 摆球的二维运动才具有周期性. 而且由于球面摆很容易受到外部干扰, C 值很不稳定, 其值会不断在有理数和无理数之间变化, 使得摆球的周期性很不稳定.

4 理论计算、数值模拟与实验结果的比较

实验得到的摆球的轨迹(图7) 与数值模拟得到的轨迹(图2) 形状相同, 在e H 方向运动的图像(图4与图8) 也基本相符. 而实验得到的e H 方向的运动周期与理论计算得到的结果也较为接近. 说明球面摆摆球的运动与式(1) 和式(2) 所描述的运动相符合. 实验得到的摆球在e H 方向的周期与计算值的相对误差为E T =517%, 之所以出现这么大的误差, 主要原因是球面摆的摆球与单摆的摆球碰撞后, 在刚开

参考文献:

[1] 陆同兴. 非线性物理概论[M ]. 合肥:中国科学技术大

学出版社, 2002.

[2] 莫克威. 偏摆对单摆振动周期的影响[J].物理实验,

1996, 16(4) :189.

[3] 赵凯华, 罗蔚茵. 新概念物理教程:力学[M ].北京:高

等教育出版社, 2000.

[4] 向裕民. 摆球的二维摆动[J]. 重庆大学学报, 2000, 23

(6) :49~52.

[5] 潘武明. 牛顿动力学方程的数值解法[J]. 高等函授学

报, 2002, 15(1) :22~23.

The equation of motion, numerical calculation and experiment for

two -dimensional vibration

HE Guang -yuan, HUANG Na-i ben

(Department of P hysics, Sun Yat -sen U niversity, Guangzhou 510275, China)

Abstract :T he equation of motion for a spherical surface v ibration is studied, and the period is analysed. T he period of the e H direction motion of the vibration is also verified by numerical calculation and experiment. Key words :equation of motion for the spherical surface v ibration; periodicity of motion; numerical calculat -ing ; experiment

(上接21页)

Thermal equilibrium of system with negative heat capacity

YANG Xiao -rong 1, GUAN Jing 2

(1. Science College of T ibet U niversity, Lhasa 850000, China;

2. Department of PhySics, Beijing Normal U niversit y, Beijing 100875, China)

Abstract:M aking a postil for instability of system w ith neg ative heat capacity, for ex ample black hole, mentioned in /Mechanics of new concept physics 0and /Heat of new concept physics 0.

Key words:black hole; system w ith negative heat capacity; stable thermal equilibrium