第25卷 第4期
2008年12月应用力学学报CHINESEJOURNALOFAPPLIEDMECHANICSVol.25 No.4Dec.2008文章编号:100024939(2008)0420683204
偶应力理论的等效量定义
张晓敏 严 波 彭向和 张培源
(重庆大学 400044 重庆)3
摘要:从应力和偶应力、外加面力和体力、外加面力偶矩和体力偶矩满足的平衡方程及其边界条件出发,讨论应力和偶应力场的静力学性质。,给出它们与相应的体积平均值间的差异。单位体积上虚功的表达式与均匀介质具有同一性。,关键词:;13:条件;式(3)和式(4)分别为边界元素平衡的主矢条
1 引 言
在非均匀介质均化处理问题中,如何定义等效
偶应力是一个需要讨论的问题。本文从应力和偶应
力满足的平衡方程、边界条件出发,讨论应力、偶应
力、外加面力与体力和外加面力偶矩和体力偶矩的
静力学性质。由此导出代表性体积上等效应力和等
效偶应力的定义,给出它们与对应的体积平均值间
的差异。用本文给出的等效偶应力的定义,对于体
元和代表性体积两种情况,单位体积上应力元功的
表达式有同一性。如果用体积平均值定义等效偶应
力,则对于体元和代表性体积两种情况,单位体积上
应力元功的表达式无同一性。
按文献[122],在物体B所占空间B及其边界
5B上,应力和偶应力场分别记为σji和μji,它们满足
平衡条件
σB: pi,p+fi=0
μpi,p+eijkσjk+Mi=0
σpi=pi5B:np
μpi=minp(1)(2)(3)(4)件和主矩条件。如果存在间断面Φ,则在Φ上,有Φ: [npσpi]Φ=0μpi]Φ=0[np式中方括号表示跨越间断面Φ的跳跃值σpi]S=(npσpi)S+-(npσpi)S-,[npμpi]S=(npμpi)S+-(npμpi)S-[np这里fi和Mi分别为外加的体力和体力偶矩;pi和mi分别为物体边界面5B上外加的面力和面力偶(5)(6)矩;np则为法线单位矢量,在5B上指向物体外部,在S上由负侧指向正侧。sa设应力张量的对称和反对称部分分别为σ和σsσσji=(ji+σij)/2aσσji=(ji-σij)/2a 定义σji的轴矢量为σk(7)(8)σσak=ekjiji/2或aσσkji=ejik(9)(10)
(11)式(1)和式(2)分别为体元平衡的主矢条件和主矩式(2)成为μpi,p+2σi+Mi=0
3基金项目:国家自然科学基金(10272119);国家自然科学青年基金(10802103) 来稿日期:2007201212 修回日期:2008207207第一作者简介:张晓敏,男,1974年生,博士,重庆大学工程力学系,副教授;研究方向———固体力学。E2mail:xiaomin@cqu,edu.cn
684应用力学学报第25卷2 静力学性质
由上述应力和偶应力场满足的平衡条件可以推出以下静力学性质。
211 物体的全局平衡方程物体的全局平衡方程为
主矢条件:作用于物体B上主矢为零的条件
pdS+fdV∫∫5BiBi(es)σ=[(xj-xAj)pi+(xi-xAj)pj]dSji2V5B(ea)σji=[(x2V∫5B(20)(21)j-xAj)pi-(xi-xAj)pj]dS=0(12)
主矩条件:关于点A的主矩为零条件
[(m∫5Bi+eijk(xj-xAj)pk]dS+又定义等效应力的反对称部分的轴矢量为(e)σ(ea)(e)σ(e)σ(22)=ekjiji or σ=ekjijikk22式中xAj为任意点A的坐标。推论3:如果不计体力,则等效应力、等效应力的对称部分和反对称部分的定义式(19)～式(21)与点A的选择无关,且σ k=ekji[(xj-xAj)pi-(xi-xAj)pj]dS22V5B [Mi+eijk(xj-xAj)fk]dV=0
B∫(13)(23)
上两式中S为5B的表面积。
推论1:体力fi和外加面力pi关于任何点的矩相等,例如A点关于原点的矩和C[e(x-x)p]dS+∫=[e(x-dS[e(x-∫=expdS+exfdV∫∫ijkjAjkijkjAjkdVxBj)fkdV(14)5B(x5B也与点A的位置选择无关。推论3计算(xj-Api]dS-xj-5BCj)pi]dS=CjAj)pi]dSijkjijkj5BBijkjkijkjk
5BB
证明从略。
推论2:如果不计体力和体力偶矩,则式(12)和式(13)成为按式(15),此式为零,便证明了式(19)与点A的选择无关。余类推之。推论4:如下关系成立(e)(σ=σ ji-xj-xAj)fidV,jiV(es)σ=σ sji-ji[(x2VBBj-xAj)fi+(xi-xAi)fj]dV
(24)∫
[(m∫5B
5BpidS=0i(15)(16)+eijk(xj-xAj)pk]dS=0(ea)()σ=σ jiea-[(xj-xAj)fi-(xi-xAi)fj]dV,ji2VB(e)σ=σ k-ekjik2212 应力的体积平均值和等效应力(x-Vj
BxAj)fidV(25)
定义应力的体积平均值、应力对称部分体积
平均值和应力反对称部分的体积平均值分别为
σσsσσ ji= sji=jidV, jidV,
σ aji[3]推论4的证明:由定义式(19)(e)σ=[(xj-xAj)pi]dSjiσ=dVVVB
aji
BVB(17)
再定义应力反对称部分的轴矢量的体积平均值为
σσ(18) k=kdVV=[(xV=[(xVV5B5B5Bj-xAj)nσkki]dS-xAj)σki,k+σji]dSjB
式中V为B的体积。
定义等效应力[4]、等效应力的对称部分和反对
称部分分别为
(e)σ(19)=[(xj-xAj)pi]dSjiV5B注意到定义式(17),式(24)便得以证明。余类推之。由式(24)和式(25)可见,如果不计体力,则等效应力、等效应力的对称部分和反对称部分分别等于应力的体积平均值、应力对称部分的体积平均值和应力反对称部分的体积平均值(e)(es)σσ(26)=σ ji, =σ sjijiji(ea)(e)σσ(27)=σ a=σ kjiji, k
第4期 张晓敏,等:偶应力理论的等效量定义685213 外加面力偶矩的表面积平均值则
saσδui,j=σδεji+2σδφijijii定义外加面力偶矩的表面积平均值为
m i=(38)S5BmidS(28)式(35)成为
用式(27)和式(28),由式(13)可以证明如下推论。推论5:如下的等式成立
σ(29)m i+(2 i+MidV)=0SVB∫(fδu∫BkBsδεδφi,j-2σδφi+δφi)]dV=[σjiij+μjii(k+Mδkφk)dV+(pδu∫kk+mδkφk)dS(39)5B
如果不计外加体力矩,或外加体力矩为零矢量,则有
m i+σ2 i=0S(30)χji,使再引入γji、γφkji=ui,j-ejikχji=φi,j
式(36)又可以写成为
γ[σδ∫
(fδu∫jiB
k
Bji(40)(41)214 偶应力的体积平均值和等效偶应力定义偶应力的体积平均值和等效偶应力[4]分别为μμ ki=kidVVδχji]dV=+μjiδφk)dV++Mk(pδu∫kkkδφk)dS+mk(42)B(31)
(32)5B(e)μ=kiV(x5Bk-xAk)midS
推论6:如果无外加体力矩,,恒有
((e)μ(33=μ ki-xAkkiMi式(42)ui和φifii;γji和χji分别jiμji的功共轭广义应变,分别称为应变张量和扭曲张量。式(40)和式(41)正
是文献[2]引入的几何方程。式(42)中左端被积函数正是单位体积上的应力和偶应力的虚功δw
δδγji+μjiδχji(43)w=σji
如果不计体力和体力偶矩,虚功方程(42)简化为
γ[σδ∫ji
Bji,((e)μ=μ ki-xk-xAk)σkiidVVB(34)推论6的证明:将式(4)代入式(32)的右端,利用散度定理,注意到式(31)和式(2),便证明了此式。δχji]dV=+μji(pδu∫kkδφk)dS(44)+mk5B
3 虚功方程
虚功方程是平衡的充要条件,本节导出相应的
虚功方程。引入彼此独立的乘子ui和φi,其变分记
φi。为δui和δ分别用它们去点乘式(1)和式(2)两
端,在B上作积分,得到
(σ∫Bpi,p需要指出的是,多胞材料等效本构方程的讨论通常不考虑偶应力[527]。文献[8]考虑了偶应力,但应用了余应变能的卡氏公式,因此避开了等效扭曲张量的定义。文献[9]考虑了偶应力,但定义方法与本文不同。+fi)δuidV+4 应力元功表达式的同一性
(35)φidV=0 (μpi,p+eijkσjk+Mi)δ
B∫
i,j分部积分,利用Green公式,得到(σδu∫
(fδu∫jiB
k
Bδφi,j-2σδ+μjiiφi)dV=δφk)dV++Mkk∫(pδu5Bkkδφk)dS(36)+mk对于非均匀材料的本构等效问题,或对于多相固体混合物的等效本构方程的讨论,常常取出一个代表性区域,设其为G。等效本构方程的讨论往往涉及G上位移矢量和角位移矢量的如下特殊边值条件[4]0005G:ui=ui+Dpi(xp-xp),000φ(45)i=φi+χpi(xp-xp)式中x0p为常矢量。这里引入了与坐标无关的常矢量
0000ui和φi与常张量Dpi和χpi,它们的变分不受限制。在无偶应力的对称弹性力学问题中,边值条件(45)类似于文献[5]。ωji、φ引入εji、i,使(εωji=(ui,j-uj.i),ui,j+uj.i), ji=22
ωji=-ejikφk(37)
686应用力学学报第25卷 计算式(44)右端第二项
∫
δDp(x∫
δφmdS∫5B0pkk0(pkδuk+mkδφk)dS=δukpkdS+p-5B∫χm(xx)dS+δ∫5B0p(e)(e)来代替(这里γpk和χpk由式(46)、式(47)表示),则虚功方程(44)仍具有与式(48)相同的形式。0pkkp-xp)dS+05 结 论
从偶应力和不对称应力的静力平衡性质讨论,
得到应力和偶应力、外加面力和体力、外加面力偶矩和体力偶矩的静力学性质。由此导出用式(19)～式(22)和式(32)定义的等效量与对应的体积平均值5B0kk5B如果不计体力和体力偶矩,式(15)、式(26)、式(27)、式(34)成立,于是得到
∫5B(pkδuk+mkδφk)dS=VσδD0pk+Vμδχ0pk-
()(e)pk(e)pkφ02Vσkeδk
注意到式(22),又可写为
∫5B间的差异。用式(19)～式(22)和式(32)定义等效量,则在均匀介质和代表性体积的等效均匀体两种情况,单位体积上应力元功的表达式有同一性。如果用体积平均值定义等效量,则在均匀介质和代表性体积的等效均匀体两种情况下,单位体积上应力元。
[]W.TheoryofAsymmetricElasticity[M].Pergamon
Press,1985.
[2] 黄克智,黄永刚.固体本构关系[M].北京:清华大学出版社,
1999:3832411.
[3] 胡更开,郑泉水,黄筑平.复合材料有效弹性性质分析方法[J].e)0(pkδuk+mkδφk)dS=Vσ(pk(δδφ0Dpk-epkii)+(e)χpkVμpkδ如果以类似于式(40)、式(41)的形式定义等效应变张量、等效扭曲张量(e)00γ(=Dpk-eipk(e)pk这样一来,式(V0B(e)(e)e)e)δγji+μji]dV=σγ(pkχ(pk(48)[σ+μjijipkδpkδ
式(48)的右端与式(43)有相同的形式,它正是等效均匀体单位体积上的应力和偶应力的虚功。
如果用应力的体积平均值和偶应力的体积平均
值代替此式中的等效应力和等效偶应力,则有
e)e)δγji+μδχji]dV=σγ(pkχ(pk[σ pkδ+μ pkδ-jiji力学进展,2001,31(3):3612393.[4] 张培源,杨绪灿.多相固体的本构等效问题[J].重庆大学学报,1989,12(3):21229.[5] HillR.Theessentialstructureofconstitutivelawsformetalcompositesandpolycrystals[J].JMechPhysofSolids,1967,15:79295.
[6] GobsonLJ.Modellingthemechanicalbehaviorofcellularmaterial
[J].MaterScienceandEnginnering,1989,A110:1236.
[7] 华云龙,余同希.多胞材料的力学行为[J].力学进展,1991,
21:457.
[8] 王颖坚.蜂窝结构在面内剪力作用下的变形模式[J].北京大学χ(x-V∫VB(e)pkkBxAk)σidV(49)式(48)表明,在均匀介质和代表性体积的等效均匀体两种情况下,单位体积上应力元功的表达式有同
一性。式(49)表明,如果取偶应力的体积平均值来定义等效偶应力,则在均匀介质和代表性体积的等效均匀体两种情况下,单位体积上应力元功的表达式不具有同一性。
顺便指出,如果将边界条件式(45)用条件5B
(e)(e)00φ上的ui=u0i+γpi(xp-xp), i=χpi(xp-xp)学报:自然科学版,1991,27(3):3012306.[9] 张培源,严波.含等效偶应力的蜂窝材料面内变形等效本构方程[J].重庆大学学报,1994,17(1):13217.[10]KumerRS,McDowellDL.Generalizedcontinuummodelingof22Dperiodiccellularsolids[J].IntJofSolidsandStruc2tures,2004,41:739927422.
第25卷 第4期
2008年12月应用力学学报CHINESEJOURNALOFAPPLIEDMECHANICSVol.25 No.4Dec.2008文章编号:100024939(2008)0420683204
偶应力理论的等效量定义
张晓敏 严 波 彭向和 张培源
(重庆大学 400044 重庆)3
摘要:从应力和偶应力、外加面力和体力、外加面力偶矩和体力偶矩满足的平衡方程及其边界条件出发,讨论应力和偶应力场的静力学性质。,给出它们与相应的体积平均值间的差异。单位体积上虚功的表达式与均匀介质具有同一性。,关键词:;13:条件;式(3)和式(4)分别为边界元素平衡的主矢条
1 引 言
在非均匀介质均化处理问题中,如何定义等效
偶应力是一个需要讨论的问题。本文从应力和偶应
力满足的平衡方程、边界条件出发,讨论应力、偶应
力、外加面力与体力和外加面力偶矩和体力偶矩的
静力学性质。由此导出代表性体积上等效应力和等
效偶应力的定义,给出它们与对应的体积平均值间
的差异。用本文给出的等效偶应力的定义,对于体
元和代表性体积两种情况,单位体积上应力元功的
表达式有同一性。如果用体积平均值定义等效偶应
力,则对于体元和代表性体积两种情况,单位体积上
应力元功的表达式无同一性。
按文献[122],在物体B所占空间B及其边界
5B上,应力和偶应力场分别记为σji和μji,它们满足
平衡条件
σB: pi,p+fi=0
μpi,p+eijkσjk+Mi=0
σpi=pi5B:np
μpi=minp(1)(2)(3)(4)件和主矩条件。如果存在间断面Φ,则在Φ上,有Φ: [npσpi]Φ=0μpi]Φ=0[np式中方括号表示跨越间断面Φ的跳跃值σpi]S=(npσpi)S+-(npσpi)S-,[npμpi]S=(npμpi)S+-(npμpi)S-[np这里fi和Mi分别为外加的体力和体力偶矩;pi和mi分别为物体边界面5B上外加的面力和面力偶(5)(6)矩;np则为法线单位矢量,在5B上指向物体外部,在S上由负侧指向正侧。sa设应力张量的对称和反对称部分分别为σ和σsσσji=(ji+σij)/2aσσji=(ji-σij)/2a 定义σji的轴矢量为σk(7)(8)σσak=ekjiji/2或aσσkji=ejik(9)(10)
(11)式(1)和式(2)分别为体元平衡的主矢条件和主矩式(2)成为μpi,p+2σi+Mi=0
3基金项目:国家自然科学基金(10272119);国家自然科学青年基金(10802103) 来稿日期:2007201212 修回日期:2008207207第一作者简介:张晓敏,男,1974年生,博士,重庆大学工程力学系,副教授;研究方向———固体力学。E2mail:xiaomin@cqu,edu.cn
684应用力学学报第25卷2 静力学性质
由上述应力和偶应力场满足的平衡条件可以推出以下静力学性质。
211 物体的全局平衡方程物体的全局平衡方程为
主矢条件:作用于物体B上主矢为零的条件
pdS+fdV∫∫5BiBi(es)σ=[(xj-xAj)pi+(xi-xAj)pj]dSji2V5B(ea)σji=[(x2V∫5B(20)(21)j-xAj)pi-(xi-xAj)pj]dS=0(12)
主矩条件:关于点A的主矩为零条件
[(m∫5Bi+eijk(xj-xAj)pk]dS+又定义等效应力的反对称部分的轴矢量为(e)σ(ea)(e)σ(e)σ(22)=ekjiji or σ=ekjijikk22式中xAj为任意点A的坐标。推论3:如果不计体力,则等效应力、等效应力的对称部分和反对称部分的定义式(19)～式(21)与点A的选择无关,且σ k=ekji[(xj-xAj)pi-(xi-xAj)pj]dS22V5B [Mi+eijk(xj-xAj)fk]dV=0
B∫(13)(23)
上两式中S为5B的表面积。
推论1:体力fi和外加面力pi关于任何点的矩相等,例如A点关于原点的矩和C[e(x-x)p]dS+∫=[e(x-dS[e(x-∫=expdS+exfdV∫∫ijkjAjkijkjAjkdVxBj)fkdV(14)5B(x5B也与点A的位置选择无关。推论3计算(xj-Api]dS-xj-5BCj)pi]dS=CjAj)pi]dSijkjijkj5BBijkjkijkjk
5BB
证明从略。
推论2:如果不计体力和体力偶矩,则式(12)和式(13)成为按式(15),此式为零,便证明了式(19)与点A的选择无关。余类推之。推论4:如下关系成立(e)(σ=σ ji-xj-xAj)fidV,jiV(es)σ=σ sji-ji[(x2VBBj-xAj)fi+(xi-xAi)fj]dV
(24)∫
[(m∫5B
5BpidS=0i(15)(16)+eijk(xj-xAj)pk]dS=0(ea)()σ=σ jiea-[(xj-xAj)fi-(xi-xAi)fj]dV,ji2VB(e)σ=σ k-ekjik2212 应力的体积平均值和等效应力(x-Vj
BxAj)fidV(25)
定义应力的体积平均值、应力对称部分体积
平均值和应力反对称部分的体积平均值分别为
σσsσσ ji= sji=jidV, jidV,
σ aji[3]推论4的证明:由定义式(19)(e)σ=[(xj-xAj)pi]dSjiσ=dVVVB
aji
BVB(17)
再定义应力反对称部分的轴矢量的体积平均值为
σσ(18) k=kdVV=[(xV=[(xVV5B5B5Bj-xAj)nσkki]dS-xAj)σki,k+σji]dSjB
式中V为B的体积。
定义等效应力[4]、等效应力的对称部分和反对
称部分分别为
(e)σ(19)=[(xj-xAj)pi]dSjiV5B注意到定义式(17),式(24)便得以证明。余类推之。由式(24)和式(25)可见,如果不计体力,则等效应力、等效应力的对称部分和反对称部分分别等于应力的体积平均值、应力对称部分的体积平均值和应力反对称部分的体积平均值(e)(es)σσ(26)=σ ji, =σ sjijiji(ea)(e)σσ(27)=σ a=σ kjiji, k
第4期 张晓敏,等:偶应力理论的等效量定义685213 外加面力偶矩的表面积平均值则
saσδui,j=σδεji+2σδφijijii定义外加面力偶矩的表面积平均值为
m i=(38)S5BmidS(28)式(35)成为
用式(27)和式(28),由式(13)可以证明如下推论。推论5:如下的等式成立
σ(29)m i+(2 i+MidV)=0SVB∫(fδu∫BkBsδεδφi,j-2σδφi+δφi)]dV=[σjiij+μjii(k+Mδkφk)dV+(pδu∫kk+mδkφk)dS(39)5B
如果不计外加体力矩,或外加体力矩为零矢量,则有
m i+σ2 i=0S(30)χji,使再引入γji、γφkji=ui,j-ejikχji=φi,j
式(36)又可以写成为
γ[σδ∫
(fδu∫jiB
k
Bji(40)(41)214 偶应力的体积平均值和等效偶应力定义偶应力的体积平均值和等效偶应力[4]分别为μμ ki=kidVVδχji]dV=+μjiδφk)dV++Mk(pδu∫kkkδφk)dS+mk(42)B(31)
(32)5B(e)μ=kiV(x5Bk-xAk)midS
推论6:如果无外加体力矩,,恒有
((e)μ(33=μ ki-xAkkiMi式(42)ui和φifii;γji和χji分别jiμji的功共轭广义应变,分别称为应变张量和扭曲张量。式(40)和式(41)正
是文献[2]引入的几何方程。式(42)中左端被积函数正是单位体积上的应力和偶应力的虚功δw
δδγji+μjiδχji(43)w=σji
如果不计体力和体力偶矩,虚功方程(42)简化为
γ[σδ∫ji
Bji,((e)μ=μ ki-xk-xAk)σkiidVVB(34)推论6的证明:将式(4)代入式(32)的右端,利用散度定理,注意到式(31)和式(2),便证明了此式。δχji]dV=+μji(pδu∫kkδφk)dS(44)+mk5B
3 虚功方程
虚功方程是平衡的充要条件,本节导出相应的
虚功方程。引入彼此独立的乘子ui和φi,其变分记
φi。为δui和δ分别用它们去点乘式(1)和式(2)两
端,在B上作积分,得到
(σ∫Bpi,p需要指出的是,多胞材料等效本构方程的讨论通常不考虑偶应力[527]。文献[8]考虑了偶应力,但应用了余应变能的卡氏公式,因此避开了等效扭曲张量的定义。文献[9]考虑了偶应力,但定义方法与本文不同。+fi)δuidV+4 应力元功表达式的同一性
(35)φidV=0 (μpi,p+eijkσjk+Mi)δ
B∫
i,j分部积分,利用Green公式,得到(σδu∫
(fδu∫jiB
k
Bδφi,j-2σδ+μjiiφi)dV=δφk)dV++Mkk∫(pδu5Bkkδφk)dS(36)+mk对于非均匀材料的本构等效问题,或对于多相固体混合物的等效本构方程的讨论,常常取出一个代表性区域,设其为G。等效本构方程的讨论往往涉及G上位移矢量和角位移矢量的如下特殊边值条件[4]0005G:ui=ui+Dpi(xp-xp),000φ(45)i=φi+χpi(xp-xp)式中x0p为常矢量。这里引入了与坐标无关的常矢量
0000ui和φi与常张量Dpi和χpi,它们的变分不受限制。在无偶应力的对称弹性力学问题中,边值条件(45)类似于文献[5]。ωji、φ引入εji、i,使(εωji=(ui,j-uj.i),ui,j+uj.i), ji=22
ωji=-ejikφk(37)
686应用力学学报第25卷 计算式(44)右端第二项
∫
δDp(x∫
δφmdS∫5B0pkk0(pkδuk+mkδφk)dS=δukpkdS+p-5B∫χm(xx)dS+δ∫5B0p(e)(e)来代替(这里γpk和χpk由式(46)、式(47)表示),则虚功方程(44)仍具有与式(48)相同的形式。0pkkp-xp)dS+05 结 论
从偶应力和不对称应力的静力平衡性质讨论,
得到应力和偶应力、外加面力和体力、外加面力偶矩和体力偶矩的静力学性质。由此导出用式(19)～式(22)和式(32)定义的等效量与对应的体积平均值5B0kk5B如果不计体力和体力偶矩,式(15)、式(26)、式(27)、式(34)成立,于是得到
∫5B(pkδuk+mkδφk)dS=VσδD0pk+Vμδχ0pk-
()(e)pk(e)pkφ02Vσkeδk
注意到式(22),又可写为
∫5B间的差异。用式(19)～式(22)和式(32)定义等效量,则在均匀介质和代表性体积的等效均匀体两种情况,单位体积上应力元功的表达式有同一性。如果用体积平均值定义等效量,则在均匀介质和代表性体积的等效均匀体两种情况下,单位体积上应力元。
[]W.TheoryofAsymmetricElasticity[M].Pergamon
Press,1985.
[2] 黄克智,黄永刚.固体本构关系[M].北京:清华大学出版社,
1999:3832411.
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式(48)的右端与式(43)有相同的形式,它正是等效均匀体单位体积上的应力和偶应力的虚功。
如果用应力的体积平均值和偶应力的体积平均
值代替此式中的等效应力和等效偶应力,则有
e)e)δγji+μδχji]dV=σγ(pkχ(pk[σ pkδ+μ pkδ-jiji力学进展,2001,31(3):3612393.[4] 张培源,杨绪灿.多相固体的本构等效问题[J].重庆大学学报,1989,12(3):21229.[5] HillR.Theessentialstructureofconstitutivelawsformetalcompositesandpolycrystals[J].JMechPhysofSolids,1967,15:79295.
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一性。式(49)表明,如果取偶应力的体积平均值来定义等效偶应力,则在均匀介质和代表性体积的等效均匀体两种情况下,单位体积上应力元功的表达式不具有同一性。
顺便指出,如果将边界条件式(45)用条件5B
(e)(e)00φ上的ui=u0i+γpi(xp-xp), i=χpi(xp-xp)学报:自然科学版,1991,27(3):3012306.[9] 张培源,严波.含等效偶应力的蜂窝材料面内变形等效本构方程[J].重庆大学学报,1994,17(1):13217.[10]KumerRS,McDowellDL.Generalizedcontinuummodelingof22Dperiodiccellularsolids[J].IntJofSolidsandStruc2tures,2004,41:739927422.