2016年高考数学专题复习——导数
目录
一、有关切线的相关问题
二、导数单调性、极值、最值的直接应用 三、交点与根的分布
1、判断零点个数
2、已知零点个数求解参数范围 四、不等式证明
1、作差证明不等式
2、变形构造函数证明不等式 3、替换构造不等式证明不等式 五、不等式恒成立求参数范围
1、恒成立之最值的直接应用 2、恒成立之分离常数 3、恒成立之讨论参数范围 六、函数与导数性质的综合运用
导数运用中常见结论
一、有关切线的相关问题
例题、【2015高考新课标1，理21】已知函数f （x ）=x 3+ax +(Ⅰ) 当a 为何值时，x 轴为曲线y =f (x ) 的切线； 【答案】（Ⅰ）a =
1
, g (x ) =-ln x . 4
3 4
跟踪练习：
1、【2011高考新课标1，理21】已知函数f (x ) =处的切线方程为x +2y -3=0。 （Ⅰ）求a 、b 的值；
a ln x b
+，曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))x +1x
α(
解：（Ⅰ）f '(x ) =
x +1
-ln x )
b - 22
(x +1) x
⎧f (1)=1,
1⎪
由于直线x +2y -3=0的斜率为-，且过点(1,1)，故⎨1即
2f '(1)=-, ⎪⎩2
⎧b =1,
⎪⎨a 1 -b =-, ⎪⎩22
解得a =1，b =1。
2、(2013课标全国Ⅰ，理21) 设函数f (x ) ＝x 2＋ax ＋b ，g (x ) ＝e x (cx ＋d ) ．若曲
线y ＝f (x ) 和曲线y ＝g (x ) 都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2. (1)求a ，b ，c ，d 的值；
解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4. 而f ′(x ) ＝2x ＋a ，g ′(x ) ＝e x (cx ＋d ＋c ) ， 故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.
be x -1x
3、 (2014课标全国Ⅰ，理21) 设函数f (x 0=ae ln x +，曲线y =f (x ) 在点（1，
x
f (1)处的切线为y =e (x -1) +2. (Ⅰ) 求a , b ；
a x b x -1b x -1x
【解析】：(Ⅰ) 函数f (x ) 的定义域为(0, +∞)，f '(x ) =ae ln x +e -2e +e
x x x
由题意可得f (1)=2, f '(1)=e ，故a =1, b =2 ……………6分
二、导数单调性、极值、最值的直接应用
（一）单调性
1、根据导数极值点的相对大小进行讨论 例题：【2015高考江苏，19】
已知函数f (x ) =x +ax +b (a , b ∈R ) . （1）试讨论f (x ) 的单调性；
【答案】（1）当a =0时， f (x )在(-∞, +∞)上单调递增； 当a >0时， f (x )在 -∞, -
3
2
⎛
⎝2a ⎫⎛2a ⎫
0, +∞，上单调递增，在()⎪ -,0⎪上单调递减；
3⎭⎝3⎭2a ⎫⎛2a ⎫⎛
, +∞⎪上单调递增，在 0, -⎪上单调递减．
3⎭⎝3⎭⎝
当a
2a ⎫⎛2a ⎫⎛'x ∈-∞,0 -, +∞x ∈0, -f x >0() 当a
所以函数f (x )在(-∞,0)， -
2a ⎫⎛2a ⎫⎛
, +∞⎪上单调递增，在 0, -⎪上单调递减．
3⎭⎝3⎭⎝
练习：1、已知函数f (x ) =ln x -ax +
⑴当a ≤
1-a
-1(a ∈R ) . x
1
时，讨论f (x ) 的单调性； 2
1-a l a -1-ax 2+x +a -1
-1(x >0) ，f '(x ) =-a +2=答案：⑴f (x ) =ln x -ax +(x >0) 2x x x x
令h (x ) =ax 2-x +1-a (x >0)
①当a =0时，h (x ) =-x +1(x >0) ，当x ∈(0,1),h (x ) >0, f '(x )
当x ∈(1,+∞), h (x ) 0，函数f (x ) 单调递增.
②当a ≠0时，由f '(x ) =0，即ax 2-x +1-a =0，解得x 1=1, x 2=当a =
1
-1. a
1
时x 1=x 2，h (x ) ≥0恒成立，此时f '(x ) ≤0，函数f (x ) 单调递减； 211
当01>0, x ∈(0,1)时h (x ) >0, f '(x )
2a 1
x ∈(1,-1) 时，h (x ) 0，函数f (x ) 单调递增；
a 1
x ∈(-1, +∞) 时，h (x ) >0, f '(x )
a
1
当a 0, f '(x )
a
当x ∈(1,+∞), h (x ) 0，函数f (x ) 单调递增.
综上所述：当a ≤0时，函数f (x ) 在(0,1)单调递减，(1,+∞) 单调递增；
1
时x 1=x 2, h (x ) ≥0恒成立, 此时f '(x ) ≤0，函数f (x ) 在(0,+∞) 单调递减； 2111
当0
2a a
当a =
2、已知a 为实数，函数f (x ) =(1+ax )e x ，函数g (x ) =当a
解：函数F (x ) =
1
，令函数F (x ) =f (x ) ⋅g (x ) ． 1-ax
1+ax x ⎧
e ，定义域为⎨x x ≠1-ax ⎩
-a x +2a +1x
e =
(1-ax ) 2
2
2
1⎫⎬． a ⎭
-a 2(x 2-
当a
2a +1
)
2e x ． (1-ax ) 2
令F '(x ) =0，得x 2=
2a +1
． ……………………………………9分 a 2
1
①当2a +1
2
111
∴当a
2a a 12a +1
x 2= ②当-
2得x 1= 2a
1
∵
a 11
∴令F '(x )
a a
令F '(x ) >0，得x ∈(x 1, x 2) ． ……………………………13分
1
11
，
) ，(a a 2
(+∞) ；函数F (x
) 单调增区间为． …………15分
1
③当2a +1=0，即a =-时，由（2）知，函数F (x ) 的单调减区间为(-∞, -2) 及
2
(-2, +∞)
∴当-
2、根据判别式进行讨论
例题：【2015高考四川，理21】已知函数f (x ) =-2(x +a )ln x +x 2-2ax -2a 2+a ，其
中a >0.
（1）设g (x ) 是f (x ) 的导函数，评论g (x ) 的单调性； 【答案】（1）当0
1时，g (x
) 在区间
+∞) 上单调递增，4在区间增.
1上单调递减；当a ≥时，g (x ) 在区间(0,+∞) 上单调递
4【解析】（1）由已知，函数f (x ) 的定义域为(0,+∞) ，
a
g (x ) =f '(x ) =2x -2a -2ln x -2(1+) ，
x 112(x -) 2+2(a -)
22a . 所以g '(x ) =2-+2=2x x x
当0
1时，g (x
) 在区间+∞) 上单调递增，
4在区间当a ≥
上单调递减； 1
时，g (x ) 在区间(0,+∞) 上单调递增. 4
a
，a ∈R ． x
练习： 已知函数f (x ) =ln x -x -
（1）求函数f (x ) 的单调区间； 解：函数f (x ) 的定义域为(0,+∞) ．
1a -x 2+x +a
f '(x ) =-1+2=．
x x x 2
令f '(x ) =0，得-x 2+x +a =0，记∆=1+4a ．
1
（ⅰ）当a ≤-时，f '(x ) ≤0，所以f (x ) 单调减区间为(0,+∞) ； …………5分
41
x 2= （ⅱ）当a >-时，由f '(x ) =
0得x 1= 4
1
①若-x 2>0，
4
由f '(x ) x 1；由f '(x ) >0，得x 2
) ，+∞
) ，单调增区间为 所以，f (x
) 的单调减区间为； …………………………………………………………7分
②若a =0，由（1）知f (x ) 单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,+∞) ；
③若a >0，则x 1>0>x 2，
由f '(x ) x 1；由f '(x ) >0，得0
+∞
) ，单调增区间为． ……9分 f (x
) 的单调减区间为1
综上所述：当a ≤-时，f (x ) 的单调减区间为(0,+∞) ；
4
1
，+∞) ，
当-
) 的单调减区间为4
； 单调增区间为+∞) ，单调增区间
为 当a ≥0时，f (x ) 单调减区间
为． ………………………………………………………10分
1
2. 已知函数f (x ) =a (x -) -2ln x (a ∈R ) ．
x
求函数f (x ) 的单调区间；
12ax 2-2x +a
解：函数的定义域为(0, +∞)，f '(x ) =a (1+2) -=． ……………1分
x x x 2
（1）当a ≤0时，h (x ) =ax 2-2x +a
则f '(x )
2
（2）当a >0时，∆=4-4a ，
（ⅰ）若0
由f '(x ) >0，即h (x ) >
0，得x
或x >； ………………5分
11+由f '(x )
0，得．………………………6分
a a 1
1所以函数f (x
) 的单调递增区间为(0,和(+∞) ，
a a
单调递减区间为． ……………………………………7分
（ⅱ）若a ≥1，h (x ) ≥0在(0,+∞) 上恒成立，则f '(x ) ≥0在(0,+∞) 上恒成立，此时f (x ) 在(0,+∞) 上单调递增． ……………………………………………………………
3、含绝对值的函数单调性讨论
例题：已知函数f (x ) =x x -a -ln x .
（1）若a =1，求函数f (x ) 在区间[1,e ]的最大值; （2）求函数f (x ) 的单调区间； （3）若f (x ) >0恒成立，求a 的取值范围 解：（1）若a =1, 则f (x ) =x x --ln x ．
12x 2-x -1
>0， 当x ∈[1,e ]时, f (x ) =x -x -ln x , f (x ) =2x -1-=
x x
2
'
所以f (x ) 在[1,e ]上单调增, ∴f (x ) max =f (e ) =e 2-e -1. ……………2分 （2）由于f (x ) =x x -a -ln x ，x ∈(0,+∞) ．
12x 2-ax -1
（ⅰ）当a ≤0时，则f (x ) =x -ax -ln x ，f (x ) =2x -a -=，
x x
2
'
a + 令f (x ) =
0，得x 0=， >0（负根舍去）
4
'
且当x ∈(0,x 0) 时，f (x ) 0，
' '
a
a + 所以f (x
) 在(0,上单调减，在(+∞) 上单调增. ……4分
44
（ⅱ）当a >0时，
12x 2-ax -1
①当x ≥a 时， f (x ) =2x -a -=,
x x
'
令f (x ) =
0，得x 1=
x =，
'
≤a ，即a ≥1, 则f ' (x ) ≥0，所以f (x ) 在(a , +∞) 上单调增；
) 时，>a ，即0
a
a +上是单调减，在(+∞) 上单调f (x ) >0，所以f (x
) 在区间(0,
44
'
增. ……………………………………………6分
1-2x 2+ax -1
②当0x x
'
'
令f (x ) =0，得-2x +ax -1=0，记∆=a -8，
22
'
若∆=a -8≤
0，即0
2
若∆=a -8>
0，即a >
2
a a +则由f (x ) =
0得x 3=
，x 4=且044
'
当x ∈(0,x 3) 时，f (x ) 0；当x ∈(x 4, +∞) 时，
' '
a
a a +
上是单调减，在(f (x ) >0，所以f (x
) 在区间(0,
444
'
a 上单调增；在(+∞) 上单调减. …………………………………………8分
4
综上所述，当a
) 单调递减区间是 ，f (x ) 单调递增区间
a +是(+∞) ；
4
当1≤a ≤, f (x ) 单调递减区间是(0,a ) ，f (x ) 单调的递增区间是
(a , +∞) ；
当a >, f (x ) 单调递减区间是
(0, )
和a ) ，
a a f (x
) 单调的递增区间是(和(a , +∞) . ………………10分
44
（3）函数f (x ) 的定义域为x ∈(0,+∞) ． 由f (x ) >0，得x -a >
ln x
． * x
ln x
（ⅰ）当x ∈(0,1)时，x -a ≥0，（ⅱ）当x =1时，-a ≥0，
ln x
=0，所以a ≠1； ………………12分 x
（ⅲ）当x >1时，不等式*恒成立等价于a
ln x ln x
恒成立或a >x +恒成立． x x
ln x x 2-1+ln x
令h (x ) =x -，则h '(x ) =．
x x 2因为x >1，所以h '(x ) >0，从而h (x ) >1． 因为a
ln x
恒成立等价于a
ln x x 2+1-ln x
令g (x ) =x +，则g '(x ) =． 2
x x
1
再令e (x ) =x 2+1-ln x ，则e '(x ) =2x -0在x ∈(1,+∞) 上恒成立，e (x ) 在x ∈(1,+∞) 上
x 无最大值．
综上所述，满足条件的a 的取值范围是(-∞,1) ． …………………………16分 2．设a 为实数，函数f (x ) =x |x -a | （2）求函数f (x ) 的单调区间
2
4、分奇数还是偶数进行讨论
n *
例题：【2015高考天津，理20已知函数f (x ) =n x -x , x ∈R ，其中n ∈N , n ≥2.
(I)讨论f (x ) 的单调性；
【答案】(I) 当n 为奇数时，f (x ) 在(-∞, -1) ，(1,+∞) 上单调递减，在(-1,1) 内单调递增；当n 为偶数时，f (x ) 在(-∞, -1) 上单调递增，f (x ) 在(1,+∞) 上单调递减. (II)见解析； (III)
见解析
.
(2)当n 为偶数时，
当f '(x ) >0，即x 1时，函数f (x ) 单调递减.
所以，f (x ) 在(-∞, -1) 上单调递增，f (x ) 在(1,+∞) 上单调递减.
5、已知单调区间求参数范围
例题：（14年全国大纲卷文）函数f(x )=ax 3+3x 2+3x (a≠0).
（1）讨论函数f(x ) 的单调性；
（2）若函数f(x ) 在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围.
22解：（1）f '(x ) =3ax +6x +3，f '(x ) =3ax +6x +3=0的判别式△=36（1-a ）.
（i ）若a ≥1，则f '(x ) ≥0，且f '(x ) =0当且仅当a=1，x =-1，故此时f （x ）在R 上是增函数.
（ii ）由于a ≠0，故当a
0有两个根：x 1=
， x 2=
若00，故f （x ）在（－∞，x 2），（x 1，+∞）上是增函数；
当x ∈（x 2，x 1）时，f '(x )
（2）当a>0，x >0时, f '(x ) >0，所以当a>0时，f （x ）在区间（1，2）是增函数. 若a
-
5
≤a
综上，a 的取值范围是[-
5
,0) (0,+∞) . 4
二、极值
（一）判断有无极值以及极值点个数问题
例题：【2015高考山东，理21】设函数f (x )=ln (x +1)+a (x 2-x )，其中a ∈R .
（Ⅰ）讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由；
（2）当a >0 时， ∆=a -8a (1-a )=a (9a -8)
2
①当0
8
时，∆≤0 ，g (x )≥0 9
所以，f '(x )≥0，函数f (x )在(-1, +∞)上单调递增无极值； ②当a >
8
时，∆>0 9
设方程2ax 2+ax +1-a =0的两根为x 1, x 2(x 1
1 2
11, x 2>- 44
1
, 4
由g (-1)=1>0可得：-1
所以，当x ∈(-1, x 1)时，g (x )>0, f '(x )>0 ，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 1, x 2)时，g (x )0, f '(x )>0 ，函数f (x )单调递增； 因此函数f (x )有两个极值点． （3）当a 0 由g (-1)=1>0可得：x 1
当x ∈(-1, x 2)时，g (x )>0, f '(x )>0 ，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 2, +∞)时，g (x )
当a
8
时，函数f (x )在(-1, +∞)上无极值点；9
8
时，函数f (x )在(-1, +∞)上有两个极值点； 9
2
例题：【2015高考安徽，理21】设函数f (x ) =x -ax +b .
（Ⅰ）讨论函数f (sinx ) 在(-【解析】
ππ
, ) 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
22
（Ⅰ）f (sinx ) =sin x -a sin x +b =sin x (sinx -a ) +b ，- [f (sinx )]'=(2sinx -a ) cos x ，- 因为-
2
π
2
π
2
.
π
2
π
2
.
π
2
π
2
，所以cos x >0, -2
①当a ≤-2, b ∈R 时，函数f (sinx ) 单调递增，无极值. ②当a ≥2, b ∈R 时，函数f (sinx ) 单调递减，无极值. ③当-2
ππ
, ) 内存在唯一的x 0，使得2sin x 0=a . 22
π
2
π
2
时，函数f (sinx ) 单调递增.
因此，-2
a a 2
f (sinx 0) =f () =b -.
24
（二）已知极值点个数求参数范围
e x 2
例题：【14年山东卷（理）】 设函数f (x )=2-k (+ln x ) （k 为常数，e =2.71828
x x
是自然对数的底数）
（I ）当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；
（II ）若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围。
e x ⋅x 2-2xe x 21
解：（1）f (x ) =-k (-+)
x 4x 2x
(x -2)(e x -kx ) =(x >0)
x 3
当k ≤0时，kx ≤0, ∴e x -kx >0
'
令f ' (x ) =0, 则x =2
∴当x ∈(0, 2) 时，f (x ) 单调递减；当x ∈(2, +∞) 时，f (x ) 单调递增。（2）令g (x )=e x -kx 则g ' (x ) =e x -k ∴e x =k , x =ln k
g ' (0) =1-k 0
e 2
g (2) =e -k >0, g (2)=e -2k >0∴k
2
g (ln k )=e ln k -k ln k 1∴k >e
'
2
2
e 2
综上:e 的取值范围为（e , ）。
2
练习：1、【2014年天津卷（理）】
2、（2014湖南）（本小题满分13分）
已知常数a >0，函数f (x ) =ln(1+ax ) -
（Ⅰ）讨论f (x ) 在区间(0,+∞) 上的单调性；
（Ⅱ）若f (x ) 存在两个极值点x 1, x 2，且f (x 1) +f (x 2) >0，求a 的取值范围.
2x
. x +2
ax 2+4(a -1)a (x +2)-4(1+ax )a 4
-【解析】（Ⅰ）f ' (x )=（, *） ==22
1+ax (x +2)2(1+ax )(x +2)(1+ax )(x +2)
因为(1+ax )(x +2)>0, 所以当1-a ≤0时,
当a ≥1时, f ' (x )≥0, 此时，函数f (x )在(0, +∞)单调递增,
2
2
x 2=-， 当x ∈(0,x 1) 时，f ' (x )
当0
x )=0⇒x 1=故f (x )在区间(0,x 1) 单调递减, 在(x 1, +∞) 单调递增的. 综上所述
当a ≥1时, f ' (x )≥0, 此时，函数f (x )在(0, +∞)单调递增, 当0
)在区间 的.
⎛ ⎝⎛⎫上单调递减,
在 上单调递增∞⎪ ⎪⎝⎭
（Ⅱ）由（*）式知，当a ≥1时，f ' (x )≥0函数f (x )不存在极值点，因而要使得f (x )有两个极值点，必有0
是x 1=
和x 2=-， 且由f (x )的定义可知，x >-且x ≠-
2，所以-1a 1>-
，--2，a 解得a ≠-，此时，（*）式知x 1, x 2分别是f (x )的极小值点和极大值点，而
1
2
f (x 1) +f (x 2) =ln(1+ax 1) -
2x 12x 2
+ln(1+ax 2) - x 1+2x 2+2
2
=ln ⎡⎣1+a (x 1+x 2)+a x 1x 2⎤⎦-
4x 1x 2+4(x 1+x 2)2x 1x 2+2x 1+x 2+4
2
=ln (2a -1)-
令2a -1=x ，由0
当0
2
4(a -1)2a -1
=ln (2a -1)+
2
-2 2a -1
a ≠-
12知
112
时, -122x
2
-2，所以 x
222x -2
g '(x ) =-2=
x x x 2
因此，g (x ) 在(-1,0)上单调递减，从而g (x )
（ⅰ）当-11
时，f (x 1) +f (x 2)
2
-2，所以 x
222x -2
g '(x ) =-2=2
x x x
因此，g (x ) 在(0,1)上单调递减，从而g (x ) >g (1)=0，
（ⅱ）当0
1
0 2
⎛1⎫
综上所述，满足条件的a 的取值范围是为 ,1⎪.
⎝2⎭
【考点定位】函数与导数：应用导数研究函数单调性与极值，不等式.
（三）最值
2016年高考数学专题复习——导数
目录
一、有关切线的相关问题
二、导数单调性、极值、最值的直接应用 三、交点与根的分布
1、判断零点个数
2、已知零点个数求解参数范围 四、不等式证明
1、作差证明不等式
2、变形构造函数证明不等式 3、替换构造不等式证明不等式 五、不等式恒成立求参数范围
1、恒成立之最值的直接应用 2、恒成立之分离常数 3、恒成立之讨论参数范围 六、函数与导数性质的综合运用
导数运用中常见结论
一、有关切线的相关问题
例题、【2015高考新课标1，理21】已知函数f （x ）=x 3+ax +(Ⅰ) 当a 为何值时，x 轴为曲线y =f (x ) 的切线； 【答案】（Ⅰ）a =
1
, g (x ) =-ln x . 4
3 4
跟踪练习：
1、【2011高考新课标1，理21】已知函数f (x ) =处的切线方程为x +2y -3=0。 （Ⅰ）求a 、b 的值；
a ln x b
+，曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))x +1x
α(
解：（Ⅰ）f '(x ) =
x +1
-ln x )
b - 22
(x +1) x
⎧f (1)=1,
1⎪
由于直线x +2y -3=0的斜率为-，且过点(1,1)，故⎨1即
2f '(1)=-, ⎪⎩2
⎧b =1,
⎪⎨a 1 -b =-, ⎪⎩22
解得a =1，b =1。
2、(2013课标全国Ⅰ，理21) 设函数f (x ) ＝x 2＋ax ＋b ，g (x ) ＝e x (cx ＋d ) ．若曲
线y ＝f (x ) 和曲线y ＝g (x ) 都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2. (1)求a ，b ，c ，d 的值；
解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4. 而f ′(x ) ＝2x ＋a ，g ′(x ) ＝e x (cx ＋d ＋c ) ， 故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.
be x -1x
3、 (2014课标全国Ⅰ，理21) 设函数f (x 0=ae ln x +，曲线y =f (x ) 在点（1，
x
f (1)处的切线为y =e (x -1) +2. (Ⅰ) 求a , b ；
a x b x -1b x -1x
【解析】：(Ⅰ) 函数f (x ) 的定义域为(0, +∞)，f '(x ) =ae ln x +e -2e +e
x x x
由题意可得f (1)=2, f '(1)=e ，故a =1, b =2 ……………6分
二、导数单调性、极值、最值的直接应用
（一）单调性
1、根据导数极值点的相对大小进行讨论 例题：【2015高考江苏，19】
已知函数f (x ) =x +ax +b (a , b ∈R ) . （1）试讨论f (x ) 的单调性；
【答案】（1）当a =0时， f (x )在(-∞, +∞)上单调递增； 当a >0时， f (x )在 -∞, -
3
2
⎛
⎝2a ⎫⎛2a ⎫
0, +∞，上单调递增，在()⎪ -,0⎪上单调递减；
3⎭⎝3⎭2a ⎫⎛2a ⎫⎛
, +∞⎪上单调递增，在 0, -⎪上单调递减．
3⎭⎝3⎭⎝
当a
2a ⎫⎛2a ⎫⎛'x ∈-∞,0 -, +∞x ∈0, -f x >0() 当a
所以函数f (x )在(-∞,0)， -
2a ⎫⎛2a ⎫⎛
, +∞⎪上单调递增，在 0, -⎪上单调递减．
3⎭⎝3⎭⎝
练习：1、已知函数f (x ) =ln x -ax +
⑴当a ≤
1-a
-1(a ∈R ) . x
1
时，讨论f (x ) 的单调性； 2
1-a l a -1-ax 2+x +a -1
-1(x >0) ，f '(x ) =-a +2=答案：⑴f (x ) =ln x -ax +(x >0) 2x x x x
令h (x ) =ax 2-x +1-a (x >0)
①当a =0时，h (x ) =-x +1(x >0) ，当x ∈(0,1),h (x ) >0, f '(x )
当x ∈(1,+∞), h (x ) 0，函数f (x ) 单调递增.
②当a ≠0时，由f '(x ) =0，即ax 2-x +1-a =0，解得x 1=1, x 2=当a =
1
-1. a
1
时x 1=x 2，h (x ) ≥0恒成立，此时f '(x ) ≤0，函数f (x ) 单调递减； 211
当01>0, x ∈(0,1)时h (x ) >0, f '(x )
2a 1
x ∈(1,-1) 时，h (x ) 0，函数f (x ) 单调递增；
a 1
x ∈(-1, +∞) 时，h (x ) >0, f '(x )
a
1
当a 0, f '(x )
a
当x ∈(1,+∞), h (x ) 0，函数f (x ) 单调递增.
综上所述：当a ≤0时，函数f (x ) 在(0,1)单调递减，(1,+∞) 单调递增；
1
时x 1=x 2, h (x ) ≥0恒成立, 此时f '(x ) ≤0，函数f (x ) 在(0,+∞) 单调递减； 2111
当0
2a a
当a =
2、已知a 为实数，函数f (x ) =(1+ax )e x ，函数g (x ) =当a
解：函数F (x ) =
1
，令函数F (x ) =f (x ) ⋅g (x ) ． 1-ax
1+ax x ⎧
e ，定义域为⎨x x ≠1-ax ⎩
-a x +2a +1x
e =
(1-ax ) 2
2
2
1⎫⎬． a ⎭
-a 2(x 2-
当a
2a +1
)
2e x ． (1-ax ) 2
令F '(x ) =0，得x 2=
2a +1
． ……………………………………9分 a 2
1
①当2a +1
2
111
∴当a
2a a 12a +1
x 2= ②当-
2得x 1= 2a
1
∵
a 11
∴令F '(x )
a a
令F '(x ) >0，得x ∈(x 1, x 2) ． ……………………………13分
1
11
，
) ，(a a 2
(+∞) ；函数F (x
) 单调增区间为． …………15分
1
③当2a +1=0，即a =-时，由（2）知，函数F (x ) 的单调减区间为(-∞, -2) 及
2
(-2, +∞)
∴当-
2、根据判别式进行讨论
例题：【2015高考四川，理21】已知函数f (x ) =-2(x +a )ln x +x 2-2ax -2a 2+a ，其
中a >0.
（1）设g (x ) 是f (x ) 的导函数，评论g (x ) 的单调性； 【答案】（1）当0
1时，g (x
) 在区间
+∞) 上单调递增，4在区间增.
1上单调递减；当a ≥时，g (x ) 在区间(0,+∞) 上单调递
4【解析】（1）由已知，函数f (x ) 的定义域为(0,+∞) ，
a
g (x ) =f '(x ) =2x -2a -2ln x -2(1+) ，
x 112(x -) 2+2(a -)
22a . 所以g '(x ) =2-+2=2x x x
当0
1时，g (x
) 在区间+∞) 上单调递增，
4在区间当a ≥
上单调递减； 1
时，g (x ) 在区间(0,+∞) 上单调递增. 4
a
，a ∈R ． x
练习： 已知函数f (x ) =ln x -x -
（1）求函数f (x ) 的单调区间； 解：函数f (x ) 的定义域为(0,+∞) ．
1a -x 2+x +a
f '(x ) =-1+2=．
x x x 2
令f '(x ) =0，得-x 2+x +a =0，记∆=1+4a ．
1
（ⅰ）当a ≤-时，f '(x ) ≤0，所以f (x ) 单调减区间为(0,+∞) ； …………5分
41
x 2= （ⅱ）当a >-时，由f '(x ) =
0得x 1= 4
1
①若-x 2>0，
4
由f '(x ) x 1；由f '(x ) >0，得x 2
) ，+∞
) ，单调增区间为 所以，f (x
) 的单调减区间为； …………………………………………………………7分
②若a =0，由（1）知f (x ) 单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,+∞) ；
③若a >0，则x 1>0>x 2，
由f '(x ) x 1；由f '(x ) >0，得0
+∞
) ，单调增区间为． ……9分 f (x
) 的单调减区间为1
综上所述：当a ≤-时，f (x ) 的单调减区间为(0,+∞) ；
4
1
，+∞) ，
当-
) 的单调减区间为4
； 单调增区间为+∞) ，单调增区间
为 当a ≥0时，f (x ) 单调减区间
为． ………………………………………………………10分
1
2. 已知函数f (x ) =a (x -) -2ln x (a ∈R ) ．
x
求函数f (x ) 的单调区间；
12ax 2-2x +a
解：函数的定义域为(0, +∞)，f '(x ) =a (1+2) -=． ……………1分
x x x 2
（1）当a ≤0时，h (x ) =ax 2-2x +a
则f '(x )
2
（2）当a >0时，∆=4-4a ，
（ⅰ）若0
由f '(x ) >0，即h (x ) >
0，得x
或x >； ………………5分
11+由f '(x )
0，得．………………………6分
a a 1
1所以函数f (x
) 的单调递增区间为(0,和(+∞) ，
a a
单调递减区间为． ……………………………………7分
（ⅱ）若a ≥1，h (x ) ≥0在(0,+∞) 上恒成立，则f '(x ) ≥0在(0,+∞) 上恒成立，此时f (x ) 在(0,+∞) 上单调递增． ……………………………………………………………
3、含绝对值的函数单调性讨论
例题：已知函数f (x ) =x x -a -ln x .
（1）若a =1，求函数f (x ) 在区间[1,e ]的最大值; （2）求函数f (x ) 的单调区间； （3）若f (x ) >0恒成立，求a 的取值范围 解：（1）若a =1, 则f (x ) =x x --ln x ．
12x 2-x -1
>0， 当x ∈[1,e ]时, f (x ) =x -x -ln x , f (x ) =2x -1-=
x x
2
'
所以f (x ) 在[1,e ]上单调增, ∴f (x ) max =f (e ) =e 2-e -1. ……………2分 （2）由于f (x ) =x x -a -ln x ，x ∈(0,+∞) ．
12x 2-ax -1
（ⅰ）当a ≤0时，则f (x ) =x -ax -ln x ，f (x ) =2x -a -=，
x x
2
'
a + 令f (x ) =
0，得x 0=， >0（负根舍去）
4
'
且当x ∈(0,x 0) 时，f (x ) 0，
' '
a
a + 所以f (x
) 在(0,上单调减，在(+∞) 上单调增. ……4分
44
（ⅱ）当a >0时，
12x 2-ax -1
①当x ≥a 时， f (x ) =2x -a -=,
x x
'
令f (x ) =
0，得x 1=
x =，
'
≤a ，即a ≥1, 则f ' (x ) ≥0，所以f (x ) 在(a , +∞) 上单调增；
) 时，>a ，即0
a
a +上是单调减，在(+∞) 上单调f (x ) >0，所以f (x
) 在区间(0,
44
'
增. ……………………………………………6分
1-2x 2+ax -1
②当0x x
'
'
令f (x ) =0，得-2x +ax -1=0，记∆=a -8，
22
'
若∆=a -8≤
0，即0
2
若∆=a -8>
0，即a >
2
a a +则由f (x ) =
0得x 3=
，x 4=且044
'
当x ∈(0,x 3) 时，f (x ) 0；当x ∈(x 4, +∞) 时，
' '
a
a a +
上是单调减，在(f (x ) >0，所以f (x
) 在区间(0,
444
'
a 上单调增；在(+∞) 上单调减. …………………………………………8分
4
综上所述，当a
) 单调递减区间是 ，f (x ) 单调递增区间
a +是(+∞) ；
4
当1≤a ≤, f (x ) 单调递减区间是(0,a ) ，f (x ) 单调的递增区间是
(a , +∞) ；
当a >, f (x ) 单调递减区间是
(0, )
和a ) ，
a a f (x
) 单调的递增区间是(和(a , +∞) . ………………10分
44
（3）函数f (x ) 的定义域为x ∈(0,+∞) ． 由f (x ) >0，得x -a >
ln x
． * x
ln x
（ⅰ）当x ∈(0,1)时，x -a ≥0，（ⅱ）当x =1时，-a ≥0，
ln x
=0，所以a ≠1； ………………12分 x
（ⅲ）当x >1时，不等式*恒成立等价于a
ln x ln x
恒成立或a >x +恒成立． x x
ln x x 2-1+ln x
令h (x ) =x -，则h '(x ) =．
x x 2因为x >1，所以h '(x ) >0，从而h (x ) >1． 因为a
ln x
恒成立等价于a
ln x x 2+1-ln x
令g (x ) =x +，则g '(x ) =． 2
x x
1
再令e (x ) =x 2+1-ln x ，则e '(x ) =2x -0在x ∈(1,+∞) 上恒成立，e (x ) 在x ∈(1,+∞) 上
x 无最大值．
综上所述，满足条件的a 的取值范围是(-∞,1) ． …………………………16分 2．设a 为实数，函数f (x ) =x |x -a | （2）求函数f (x ) 的单调区间
2
4、分奇数还是偶数进行讨论
n *
例题：【2015高考天津，理20已知函数f (x ) =n x -x , x ∈R ，其中n ∈N , n ≥2.
(I)讨论f (x ) 的单调性；
【答案】(I) 当n 为奇数时，f (x ) 在(-∞, -1) ，(1,+∞) 上单调递减，在(-1,1) 内单调递增；当n 为偶数时，f (x ) 在(-∞, -1) 上单调递增，f (x ) 在(1,+∞) 上单调递减. (II)见解析； (III)
见解析
.
(2)当n 为偶数时，
当f '(x ) >0，即x 1时，函数f (x ) 单调递减.
所以，f (x ) 在(-∞, -1) 上单调递增，f (x ) 在(1,+∞) 上单调递减.
5、已知单调区间求参数范围
例题：（14年全国大纲卷文）函数f(x )=ax 3+3x 2+3x (a≠0).
（1）讨论函数f(x ) 的单调性；
（2）若函数f(x ) 在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围.
22解：（1）f '(x ) =3ax +6x +3，f '(x ) =3ax +6x +3=0的判别式△=36（1-a ）.
（i ）若a ≥1，则f '(x ) ≥0，且f '(x ) =0当且仅当a=1，x =-1，故此时f （x ）在R 上是增函数.
（ii ）由于a ≠0，故当a
0有两个根：x 1=
， x 2=
若00，故f （x ）在（－∞，x 2），（x 1，+∞）上是增函数；
当x ∈（x 2，x 1）时，f '(x )
（2）当a>0，x >0时, f '(x ) >0，所以当a>0时，f （x ）在区间（1，2）是增函数. 若a
-
5
≤a
综上，a 的取值范围是[-
5
,0) (0,+∞) . 4
二、极值
（一）判断有无极值以及极值点个数问题
例题：【2015高考山东，理21】设函数f (x )=ln (x +1)+a (x 2-x )，其中a ∈R .
（Ⅰ）讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由；
（2）当a >0 时， ∆=a -8a (1-a )=a (9a -8)
2
①当0
8
时，∆≤0 ，g (x )≥0 9
所以，f '(x )≥0，函数f (x )在(-1, +∞)上单调递增无极值； ②当a >
8
时，∆>0 9
设方程2ax 2+ax +1-a =0的两根为x 1, x 2(x 1
1 2
11, x 2>- 44
1
, 4
由g (-1)=1>0可得：-1
所以，当x ∈(-1, x 1)时，g (x )>0, f '(x )>0 ，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 1, x 2)时，g (x )0, f '(x )>0 ，函数f (x )单调递增； 因此函数f (x )有两个极值点． （3）当a 0 由g (-1)=1>0可得：x 1
当x ∈(-1, x 2)时，g (x )>0, f '(x )>0 ，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 2, +∞)时，g (x )
当a
8
时，函数f (x )在(-1, +∞)上无极值点；9
8
时，函数f (x )在(-1, +∞)上有两个极值点； 9
2
例题：【2015高考安徽，理21】设函数f (x ) =x -ax +b .
（Ⅰ）讨论函数f (sinx ) 在(-【解析】
ππ
, ) 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
22
（Ⅰ）f (sinx ) =sin x -a sin x +b =sin x (sinx -a ) +b ，- [f (sinx )]'=(2sinx -a ) cos x ，- 因为-
2
π
2
π
2
.
π
2
π
2
.
π
2
π
2
，所以cos x >0, -2
①当a ≤-2, b ∈R 时，函数f (sinx ) 单调递增，无极值. ②当a ≥2, b ∈R 时，函数f (sinx ) 单调递减，无极值. ③当-2
ππ
, ) 内存在唯一的x 0，使得2sin x 0=a . 22
π
2
π
2
时，函数f (sinx ) 单调递增.
因此，-2
a a 2
f (sinx 0) =f () =b -.
24
（二）已知极值点个数求参数范围
e x 2
例题：【14年山东卷（理）】 设函数f (x )=2-k (+ln x ) （k 为常数，e =2.71828
x x
是自然对数的底数）
（I ）当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；
（II ）若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围。
e x ⋅x 2-2xe x 21
解：（1）f (x ) =-k (-+)
x 4x 2x
(x -2)(e x -kx ) =(x >0)
x 3
当k ≤0时，kx ≤0, ∴e x -kx >0
'
令f ' (x ) =0, 则x =2
∴当x ∈(0, 2) 时，f (x ) 单调递减；当x ∈(2, +∞) 时，f (x ) 单调递增。（2）令g (x )=e x -kx 则g ' (x ) =e x -k ∴e x =k , x =ln k
g ' (0) =1-k 0
e 2
g (2) =e -k >0, g (2)=e -2k >0∴k
2
g (ln k )=e ln k -k ln k 1∴k >e
'
2
2
e 2
综上:e 的取值范围为（e , ）。
2
练习：1、【2014年天津卷（理）】
2、（2014湖南）（本小题满分13分）
已知常数a >0，函数f (x ) =ln(1+ax ) -
（Ⅰ）讨论f (x ) 在区间(0,+∞) 上的单调性；
（Ⅱ）若f (x ) 存在两个极值点x 1, x 2，且f (x 1) +f (x 2) >0，求a 的取值范围.
2x
. x +2
ax 2+4(a -1)a (x +2)-4(1+ax )a 4
-【解析】（Ⅰ）f ' (x )=（, *） ==22
1+ax (x +2)2(1+ax )(x +2)(1+ax )(x +2)
因为(1+ax )(x +2)>0, 所以当1-a ≤0时,
当a ≥1时, f ' (x )≥0, 此时，函数f (x )在(0, +∞)单调递增,
2
2
x 2=-， 当x ∈(0,x 1) 时，f ' (x )
当0
x )=0⇒x 1=故f (x )在区间(0,x 1) 单调递减, 在(x 1, +∞) 单调递增的. 综上所述
当a ≥1时, f ' (x )≥0, 此时，函数f (x )在(0, +∞)单调递增, 当0
)在区间 的.
⎛ ⎝⎛⎫上单调递减,
在 上单调递增∞⎪ ⎪⎝⎭
（Ⅱ）由（*）式知，当a ≥1时，f ' (x )≥0函数f (x )不存在极值点，因而要使得f (x )有两个极值点，必有0
是x 1=
和x 2=-， 且由f (x )的定义可知，x >-且x ≠-
2，所以-1a 1>-
，--2，a 解得a ≠-，此时，（*）式知x 1, x 2分别是f (x )的极小值点和极大值点，而
1
2
f (x 1) +f (x 2) =ln(1+ax 1) -
2x 12x 2
+ln(1+ax 2) - x 1+2x 2+2
2
=ln ⎡⎣1+a (x 1+x 2)+a x 1x 2⎤⎦-
4x 1x 2+4(x 1+x 2)2x 1x 2+2x 1+x 2+4
2
=ln (2a -1)-
令2a -1=x ，由0
当0
2
4(a -1)2a -1
=ln (2a -1)+
2
-2 2a -1
a ≠-
12知
112
时, -122x
2
-2，所以 x
222x -2
g '(x ) =-2=
x x x 2
因此，g (x ) 在(-1,0)上单调递减，从而g (x )
（ⅰ）当-11
时，f (x 1) +f (x 2)
2
-2，所以 x
222x -2
g '(x ) =-2=2
x x x
因此，g (x ) 在(0,1)上单调递减，从而g (x ) >g (1)=0，
（ⅱ）当0
1
0 2
⎛1⎫
综上所述，满足条件的a 的取值范围是为 ,1⎪.
⎝2⎭
【考点定位】函数与导数：应用导数研究函数单调性与极值，不等式.
（三）最值