让数学文化走进课堂
南京市百家湖中学徐惠
摘要：数学的内涵十分丰富，数学应该作为一种文化走进数学课堂，渗入实际数学教学，努力使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位。
关键词：数学文化 课堂教学 数学历史
作为一名数学教师，时常会碰到这样的尴尬：有部分学生在努力学习数学的同时，逐渐地厌烦、冷漠数学，而且随着数学知识的丰富，厌倦的程度也在加剧；还有部分学生在离开学校若干年后，你问他哪些数学知识现在还能派得上用场，他却茫然不知如何回答，或是干脆回答：真不好意思，除了加减乘除，其他的都还给老师了。一旦数学解题的任务完成了，数学教育的功能也就消失了。我个人认为：这不能不说是数学教育的悲哀。凡此种种，也促使教师不得不再一次来反思数学教育的价值。
其实数学的内涵十分丰富，数学应该作为一种文化走进数学课堂，渗入实际数学教学，努力使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位。
比如在“勾股定理”的教学中如何感受数学的文化价值，我们可以设计这样的教案：
（一）引入
师：同学们，当你每天手握三角尺绘制自己的宏伟蓝图时，你是否想过：他们的边有什么关系呢？今天我们来探索这一小秘密。
（二）实验研究
取方格纸片，在上面先设计任意直角三角形，再以它们的每一边分别向三角形外作正方形（如图1）
设网格正方形的边长为1，直角三角形的直角边长分别为a 、b ，斜边长
（此时讨论难点：以斜边为边的正方形的面积找法）
交流后得出一般结论（用关于a 、b 、c 的式子表示）（三）探索所得结论的正确性
当直角三角形的直角边长分别为a 、b ，斜边长为c 时，是否一定成立呢？
1、指导学生运用拼图正方形网格纸构造或设计合理分割（或补全）图形，去探索本结论的正确性。（以四人小组为单位进行）
在学生所创作图形中选择有代表性的割、补图，展示出来交流讲解，并引导学生进行说理（如图2）。（用补的方法说明）
师：（出示图片）毕达哥拉斯，是古希腊一位哲学家、数学家。一天，他应邀到一位朋友家做客，他一进朋友家门就被朋友家豪华的方形大理石地砖的形状深深吸引住了。于是，他立刻找来尺子和笔，又量又画。他发现以大理石地砖的相邻两直角边向三角形外作正方形，它们的面积和等于这块大理石地砖的对角线为边向三角形外作正方形的面积，回到家里立刻对他的这一发现进行了探究证明‥‥‥终获成功。后来，人们为了纪念他的发现，将这一定理命名为“毕达哥拉斯定理” 。
2、用割的方法去探索（如图3）
师：（出示图片）中国古代数学家们很早就发现并运用这个结论。早在公元前2000年左右，大禹治水时期，就曾经用过此方法测量土地的等高差，公元前1100年左右，西周的数学家商高就曾经用“勾三、股四、弦五”测量土地，他们对这一结论的运用至少比古希腊人早500多年。公元200年左右，三国时期吴国数学家赵爽曾构造此图验证了这一结论的正确性。他用几何图形的补割法来证明代数式之间的相等关系，既严密，又直观，为中国古代以“形” 证“数” ，形、数统一方法树立了一个典范。我国数学家们为了纪念我国在这方面的数学成就，将这一结论命名为“勾股定理” 。2002年，世界数学家大会在我国北京召开，当时选用这个图案作为会场主图，它标志着我国古代数学的辉煌成就。
3、用构造新图形的方法去探索（如图4）
师：（出示图片）勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠，它的证明在数学史上屡创奇迹。从毕达哥拉斯到现在，吸引着世界上无数的数学家、物理学家、数学爱好者对它的探究，甚至政界要人——美国第20任总统加菲尔德也加入到对它的探究证明中。图4是他当年设计的证明方法。据说至今已经找到的证明方法有400多种，且每年还会有所增加。有兴趣的同学课后还可以继续探讨…… b
图2 图3 观的层面上展示了数学的特征、作用和力量。作为一个整体的人的发展，应该是人格与智力的和谐发展，但长期以来数学教学轻人文教育，重科学教育，教学中往往过于强调通过“求真”要求学生的思维和行为合乎客观规律，比较轻视侧重于社会价值、规范、情感的形成和确立的人文教育。因此数学课堂中与学生生活紧密联系的情境少，学生的非智力因素难以调动，学生的学习往往处于被动状态，除了少部分尖子学生有一些学习兴趣外，大部分学生对数学感到讨厌、害怕甚至恐惧，少有亲近感。添数词写成语，猜猜数学名词，听一听数学家的故事和趣闻，让学生在轻松愉悦的气氛里感悟数的奥妙，在浓浓的生活气息中理解数学名词的内涵，尤其是唤起学生强烈的民族自尊心和责任感。数学家不是“书呆子” ，而是全面发展、富有人格魅力的人，他们和自己一样也有一个从不懂到懂的成长过程。研究数学作为探索真理的事业，会造就一个人独特的人格气质；探索数学的过程，也是数学家尊重事实，实事求是地求实精神体现。于是，学生眼界开阔了，对事物的判断和联想的参照系增多了，学习的兴趣增强了。特有的数学文化教育在使学生们亲近数学的同时也提供了丰富的精神养料，改变了学生对数学的态度，使学生感到学习需要责任心，学习数学是做人的需要。
当然，一定时间保证的数学文化的数学教育自有它的优越性，但同时，也应看到这样的数学教育不应是数学教学中人文教育的唯一方式。因为培养
学生的学习兴趣和责任感是数学教学的一个长期任务，所以，不管是哪套教材，不管是什么类型的课，结合所学的数学知识对数学的知识背景、来龙去脉、训练思维的价值和应用价值都需要深入浅出，适时渗透。
在《数学课程标准》中指出：数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言都是现代文明的重要组成部分。由于广大教师认识与理解上的偏差，很少有人从文化的角度去研究数学教学。数学教学中文化性的缺失给当代学生造成了什么影响呢？为此，曾经有人做了学生调查，一个班90%的学生认为学习数学最大的好处是用来计算。学生的片面认识，反映出目前数学教学存在的一个较为普遍的现象：即过分强调数学的工具作用，弱化了数学的文化价值，忽视数学对其他学科的影响，这非常不利于学生视野的拓展与数学素养的提高。我认为，教师应尝试从数学文化的角度去从事数学教学，让同学们在数学文化的背景下学数学。
在实践中我收集和总结了一些具体做法：
（一）、营造数学文化氛围
1、搜集数学家故事，感受数学家的科学精神
数学家们废寝忘食、孜孜不倦的态度，屡遭失败、永不放弃的意志，身处逆境、矢志不渝的精神……都极大地鼓舞着学生。尤其是一些成绩中等的学生了解到许多数学家少年时资质平平，甚至被人误为傻瓜，但他们都没有丧失信心，后来终成一代大家的故事后，更是激动不已。阅读数学家的故事，拉近了学生与成功人士之间的情感距离，给学生树立了学习榜样，确立了奋斗目标。
2、查找数学符号来源，体会科学发明过程
学习数学，是从学习数学符号开始的。每一个数学符号，它的产生都有一段鲜为人知的经历。让学生通过查阅资料，对它们寻踪探源，可以让学生在了解数学发展史的同时，体会到数学符号并非枯燥乏味，而是充满着智慧、闪烁着生命活力。如，在学习有理数的时候，就有学生问为什么把整数和分数的统称叫有理数，我不明白，这两种数有什么道理呢？通过查找证实其中的确是有原因的。这个原因是翻译上的一个失误。“rational number ”这个单词，日本人把它译做了有理数，我们又从日文译成了中文。在这里，译者只知“rational ”的最常用的意义：理性的，合乎情理的。一般字典上也只有这个译法。但“rational ”还有另外一个意思：比。“rational number”是指“可以精确地表示为两个整数之比的数”。这样一来恍然大悟，就再明白不过了。一个个生动的数学故事，引发了学生对数学的强烈好奇心，增强了学习数学的兴趣。
3、探访数学史名题，领略数学思想方法的魅力
在数学活动课上，老师根据学生掌握数学知识的程度，适当安排介绍古今中外数学史上的一些名题。如，向学生介绍中外数学家解决“幻方”的不同策略，杨辉法、罗伯法、巴舍法；斐波那契的“兔子问题”、牛顿的“牛吃草问题”等等。这些数学史上的名题，因其精妙的解题思想与策略向人们展现了数学的无穷魅力，深深地吸引了学生，启迪着他们的心智，激荡着他们的心灵。
（二）、再现知识产生发展的过程
数学是人类在一定文化环境中所从事的创造性活动。教师的任务应该为学生提供自由广阔的学习天地，有意识地启发学生通过自身活动，根据自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识。
1、揭示知识产生的背景
数学知识的产生与自然客观的需求是分不开的，它昭示着人类进步与发展的历程，向学生阐述其产生的背景，能帮助学生更为深刻的认识与理解知识，学生清楚地看到知识出台的原因，就能揭开数学的神秘面纱，消除学生对数学的畏惧感，使他们在内心深处亲近数学。
2、展示知识形成的过程
费莱登塔尔认为：每一个学生都可能在一定的指导下，通过自己的实践来获得数学知识。教学中，教师要防止重结论轻过程的现象发生，要为学生提供一定的学习材料，鼓励学生通过自己的探索活动，对知识的形成过程建立清晰的表象，主动地完成知识的建构。
3、预示知识发展的前景
数学中前后知识间的联系十分紧密，先学的内容往往为后继学习做知识与方法上的准备。教学中，教师要善于瞻前顾后，给知识的发展留有余地。数学是创造的，也是发现的，数学教学应当努力还原、再现这一发现过程，让学生经历知识产生、形成与发展过程，对于夯实他们的数学文化底蕴有着非常现实的意义。
（三）丰富课外作业的形式
1、撰写数学小日记、小心得
学生因其所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，他们考虑问题、解决问题的方式与方法有着强烈的个性色彩。引导学生将自己的思考过程有条理的纪录下来，不仅可以掌握学生的思维动向，还可以促使学生对问题进行反思，帮助学生提高解决问题的能力。在老师的指导下，学生可以通过撰写数学小日记，如：《数学的美》、《动手心得》、《简单而又不简单》
等等，给数学教学增添了文化的韵味。
2、自办数学小报
办报需要考验学生各方面的能力，如版面设计、信息搜索、美工誊写等。而且，为能使小报能够吸引“读者”（老师可将学生自办的小报收集装订，挂在班中的小读书栏，供学生自由翻看），学生想尽办法充实小报的内容，有的自编了数学童话故事，有的搜集了数学家的奇闻轶事，有的则向同学们介绍自己的学生方法，有的选编了数学趣题……显然，通过自办小报拓宽了学生的知识视野，培养了他们的综合素养，提高了他们的人文素养。
3、制作手工模型
苏霍姆林斯基说过：在手和脑之间有着千丝万缕的联系，这些联系起着两方面的作用：手使得脑得到发展，使它更加明智；脑使手得到发展，使它变成创造的聪明工具。教师常结合教材进度，布置一些动手操作类的作业，如设计建筑模型、绘制学校平面图等等。这些作业，需要学生综合地运用所学的知识原理创造性地加以完成。
实践证明，以上这些课外作业留给学生更大的探索知识的余地和思考空间，对培养学生的创新精神和实践能力起到积极的推进作用。
半个多世纪以前，著名的数学家柯朗在《数学是什么》的序言里这样写道：“今天，数学教育的传统地位陷入了严重的危机。数学教学有时竟变成一种空洞的解题训练。数学研究已经出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势，而忽视了数学的应用以及与其它领域的联系。教师、学生和一般受过教育的人都要求有一个建设性的改造，其目的就是要真正理解数学是一个有机整体，是科学思考与行动的基础。”
每一个民族都有自己的文化，也就一定有属于这个文化的数学文化，数学作为一种文化早已是人们的共识，融入了古老和先进的数学文化，数学教学将会变得更加富有生机。
参考文献：
李求来：《初中数学课堂教学研究》，湖南师范大学出版社1966年版 黄毅英：《数学教育学报》、《数学观研究综述》，2002年第1期
肖柏荣、周焕山：《数学史与数学方法论》，成都科技大学出版社，1996年9月第一版
刘兼、孙晓天：《数学课程标准解读》，北京师范大学出版社2002年5月 第一版
让数学文化走进课堂
南京市百家湖中学徐惠
摘要：数学的内涵十分丰富，数学应该作为一种文化走进数学课堂，渗入实际数学教学，努力使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位。
关键词：数学文化 课堂教学 数学历史
作为一名数学教师，时常会碰到这样的尴尬：有部分学生在努力学习数学的同时，逐渐地厌烦、冷漠数学，而且随着数学知识的丰富，厌倦的程度也在加剧；还有部分学生在离开学校若干年后，你问他哪些数学知识现在还能派得上用场，他却茫然不知如何回答，或是干脆回答：真不好意思，除了加减乘除，其他的都还给老师了。一旦数学解题的任务完成了，数学教育的功能也就消失了。我个人认为：这不能不说是数学教育的悲哀。凡此种种，也促使教师不得不再一次来反思数学教育的价值。
其实数学的内涵十分丰富，数学应该作为一种文化走进数学课堂，渗入实际数学教学，努力使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位。
比如在“勾股定理”的教学中如何感受数学的文化价值，我们可以设计这样的教案：
（一）引入
师：同学们，当你每天手握三角尺绘制自己的宏伟蓝图时，你是否想过：他们的边有什么关系呢？今天我们来探索这一小秘密。
（二）实验研究
取方格纸片，在上面先设计任意直角三角形，再以它们的每一边分别向三角形外作正方形（如图1）
设网格正方形的边长为1，直角三角形的直角边长分别为a 、b ，斜边长
（此时讨论难点：以斜边为边的正方形的面积找法）
交流后得出一般结论（用关于a 、b 、c 的式子表示）（三）探索所得结论的正确性
当直角三角形的直角边长分别为a 、b ，斜边长为c 时，是否一定成立呢？
1、指导学生运用拼图正方形网格纸构造或设计合理分割（或补全）图形，去探索本结论的正确性。（以四人小组为单位进行）
在学生所创作图形中选择有代表性的割、补图，展示出来交流讲解，并引导学生进行说理（如图2）。（用补的方法说明）
师：（出示图片）毕达哥拉斯，是古希腊一位哲学家、数学家。一天，他应邀到一位朋友家做客，他一进朋友家门就被朋友家豪华的方形大理石地砖的形状深深吸引住了。于是，他立刻找来尺子和笔，又量又画。他发现以大理石地砖的相邻两直角边向三角形外作正方形，它们的面积和等于这块大理石地砖的对角线为边向三角形外作正方形的面积，回到家里立刻对他的这一发现进行了探究证明‥‥‥终获成功。后来，人们为了纪念他的发现，将这一定理命名为“毕达哥拉斯定理” 。
2、用割的方法去探索（如图3）
师：（出示图片）中国古代数学家们很早就发现并运用这个结论。早在公元前2000年左右，大禹治水时期，就曾经用过此方法测量土地的等高差，公元前1100年左右，西周的数学家商高就曾经用“勾三、股四、弦五”测量土地，他们对这一结论的运用至少比古希腊人早500多年。公元200年左右，三国时期吴国数学家赵爽曾构造此图验证了这一结论的正确性。他用几何图形的补割法来证明代数式之间的相等关系，既严密，又直观，为中国古代以“形” 证“数” ，形、数统一方法树立了一个典范。我国数学家们为了纪念我国在这方面的数学成就，将这一结论命名为“勾股定理” 。2002年，世界数学家大会在我国北京召开，当时选用这个图案作为会场主图，它标志着我国古代数学的辉煌成就。
3、用构造新图形的方法去探索（如图4）
师：（出示图片）勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠，它的证明在数学史上屡创奇迹。从毕达哥拉斯到现在，吸引着世界上无数的数学家、物理学家、数学爱好者对它的探究，甚至政界要人——美国第20任总统加菲尔德也加入到对它的探究证明中。图4是他当年设计的证明方法。据说至今已经找到的证明方法有400多种，且每年还会有所增加。有兴趣的同学课后还可以继续探讨…… b
图2 图3 观的层面上展示了数学的特征、作用和力量。作为一个整体的人的发展，应该是人格与智力的和谐发展，但长期以来数学教学轻人文教育，重科学教育，教学中往往过于强调通过“求真”要求学生的思维和行为合乎客观规律，比较轻视侧重于社会价值、规范、情感的形成和确立的人文教育。因此数学课堂中与学生生活紧密联系的情境少，学生的非智力因素难以调动，学生的学习往往处于被动状态，除了少部分尖子学生有一些学习兴趣外，大部分学生对数学感到讨厌、害怕甚至恐惧，少有亲近感。添数词写成语，猜猜数学名词，听一听数学家的故事和趣闻，让学生在轻松愉悦的气氛里感悟数的奥妙，在浓浓的生活气息中理解数学名词的内涵，尤其是唤起学生强烈的民族自尊心和责任感。数学家不是“书呆子” ，而是全面发展、富有人格魅力的人，他们和自己一样也有一个从不懂到懂的成长过程。研究数学作为探索真理的事业，会造就一个人独特的人格气质；探索数学的过程，也是数学家尊重事实，实事求是地求实精神体现。于是，学生眼界开阔了，对事物的判断和联想的参照系增多了，学习的兴趣增强了。特有的数学文化教育在使学生们亲近数学的同时也提供了丰富的精神养料，改变了学生对数学的态度，使学生感到学习需要责任心，学习数学是做人的需要。
当然，一定时间保证的数学文化的数学教育自有它的优越性，但同时，也应看到这样的数学教育不应是数学教学中人文教育的唯一方式。因为培养
学生的学习兴趣和责任感是数学教学的一个长期任务，所以，不管是哪套教材，不管是什么类型的课，结合所学的数学知识对数学的知识背景、来龙去脉、训练思维的价值和应用价值都需要深入浅出，适时渗透。
在《数学课程标准》中指出：数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言都是现代文明的重要组成部分。由于广大教师认识与理解上的偏差，很少有人从文化的角度去研究数学教学。数学教学中文化性的缺失给当代学生造成了什么影响呢？为此，曾经有人做了学生调查，一个班90%的学生认为学习数学最大的好处是用来计算。学生的片面认识，反映出目前数学教学存在的一个较为普遍的现象：即过分强调数学的工具作用，弱化了数学的文化价值，忽视数学对其他学科的影响，这非常不利于学生视野的拓展与数学素养的提高。我认为，教师应尝试从数学文化的角度去从事数学教学，让同学们在数学文化的背景下学数学。
在实践中我收集和总结了一些具体做法：
（一）、营造数学文化氛围
1、搜集数学家故事，感受数学家的科学精神
数学家们废寝忘食、孜孜不倦的态度，屡遭失败、永不放弃的意志，身处逆境、矢志不渝的精神……都极大地鼓舞着学生。尤其是一些成绩中等的学生了解到许多数学家少年时资质平平，甚至被人误为傻瓜，但他们都没有丧失信心，后来终成一代大家的故事后，更是激动不已。阅读数学家的故事，拉近了学生与成功人士之间的情感距离，给学生树立了学习榜样，确立了奋斗目标。
2、查找数学符号来源，体会科学发明过程
学习数学，是从学习数学符号开始的。每一个数学符号，它的产生都有一段鲜为人知的经历。让学生通过查阅资料，对它们寻踪探源，可以让学生在了解数学发展史的同时，体会到数学符号并非枯燥乏味，而是充满着智慧、闪烁着生命活力。如，在学习有理数的时候，就有学生问为什么把整数和分数的统称叫有理数，我不明白，这两种数有什么道理呢？通过查找证实其中的确是有原因的。这个原因是翻译上的一个失误。“rational number ”这个单词，日本人把它译做了有理数，我们又从日文译成了中文。在这里，译者只知“rational ”的最常用的意义：理性的，合乎情理的。一般字典上也只有这个译法。但“rational ”还有另外一个意思：比。“rational number”是指“可以精确地表示为两个整数之比的数”。这样一来恍然大悟，就再明白不过了。一个个生动的数学故事，引发了学生对数学的强烈好奇心，增强了学习数学的兴趣。
3、探访数学史名题，领略数学思想方法的魅力
在数学活动课上，老师根据学生掌握数学知识的程度，适当安排介绍古今中外数学史上的一些名题。如，向学生介绍中外数学家解决“幻方”的不同策略，杨辉法、罗伯法、巴舍法；斐波那契的“兔子问题”、牛顿的“牛吃草问题”等等。这些数学史上的名题，因其精妙的解题思想与策略向人们展现了数学的无穷魅力，深深地吸引了学生，启迪着他们的心智，激荡着他们的心灵。
（二）、再现知识产生发展的过程
数学是人类在一定文化环境中所从事的创造性活动。教师的任务应该为学生提供自由广阔的学习天地，有意识地启发学生通过自身活动，根据自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识。
1、揭示知识产生的背景
数学知识的产生与自然客观的需求是分不开的，它昭示着人类进步与发展的历程，向学生阐述其产生的背景，能帮助学生更为深刻的认识与理解知识，学生清楚地看到知识出台的原因，就能揭开数学的神秘面纱，消除学生对数学的畏惧感，使他们在内心深处亲近数学。
2、展示知识形成的过程
费莱登塔尔认为：每一个学生都可能在一定的指导下，通过自己的实践来获得数学知识。教学中，教师要防止重结论轻过程的现象发生，要为学生提供一定的学习材料，鼓励学生通过自己的探索活动，对知识的形成过程建立清晰的表象，主动地完成知识的建构。
3、预示知识发展的前景
数学中前后知识间的联系十分紧密，先学的内容往往为后继学习做知识与方法上的准备。教学中，教师要善于瞻前顾后，给知识的发展留有余地。数学是创造的，也是发现的，数学教学应当努力还原、再现这一发现过程，让学生经历知识产生、形成与发展过程，对于夯实他们的数学文化底蕴有着非常现实的意义。
（三）丰富课外作业的形式
1、撰写数学小日记、小心得
学生因其所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，他们考虑问题、解决问题的方式与方法有着强烈的个性色彩。引导学生将自己的思考过程有条理的纪录下来，不仅可以掌握学生的思维动向，还可以促使学生对问题进行反思，帮助学生提高解决问题的能力。在老师的指导下，学生可以通过撰写数学小日记，如：《数学的美》、《动手心得》、《简单而又不简单》
等等，给数学教学增添了文化的韵味。
2、自办数学小报
办报需要考验学生各方面的能力，如版面设计、信息搜索、美工誊写等。而且，为能使小报能够吸引“读者”（老师可将学生自办的小报收集装订，挂在班中的小读书栏，供学生自由翻看），学生想尽办法充实小报的内容，有的自编了数学童话故事，有的搜集了数学家的奇闻轶事，有的则向同学们介绍自己的学生方法，有的选编了数学趣题……显然，通过自办小报拓宽了学生的知识视野，培养了他们的综合素养，提高了他们的人文素养。
3、制作手工模型
苏霍姆林斯基说过：在手和脑之间有着千丝万缕的联系，这些联系起着两方面的作用：手使得脑得到发展，使它更加明智；脑使手得到发展，使它变成创造的聪明工具。教师常结合教材进度，布置一些动手操作类的作业，如设计建筑模型、绘制学校平面图等等。这些作业，需要学生综合地运用所学的知识原理创造性地加以完成。
实践证明，以上这些课外作业留给学生更大的探索知识的余地和思考空间，对培养学生的创新精神和实践能力起到积极的推进作用。
半个多世纪以前，著名的数学家柯朗在《数学是什么》的序言里这样写道：“今天，数学教育的传统地位陷入了严重的危机。数学教学有时竟变成一种空洞的解题训练。数学研究已经出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势，而忽视了数学的应用以及与其它领域的联系。教师、学生和一般受过教育的人都要求有一个建设性的改造，其目的就是要真正理解数学是一个有机整体，是科学思考与行动的基础。”
每一个民族都有自己的文化，也就一定有属于这个文化的数学文化，数学作为一种文化早已是人们的共识，融入了古老和先进的数学文化，数学教学将会变得更加富有生机。
参考文献：
李求来：《初中数学课堂教学研究》，湖南师范大学出版社1966年版 黄毅英：《数学教育学报》、《数学观研究综述》，2002年第1期
肖柏荣、周焕山：《数学史与数学方法论》，成都科技大学出版社，1996年9月第一版
刘兼、孙晓天：《数学课程标准解读》，北京师范大学出版社2002年5月 第一版