（一）模糊控制的发展历史 1. 模糊集合理论
• 问题的提出：多变量大系统中复杂性和精确性的矛盾 • 借鉴：人具有总体粗略、局部精确的认识能力
• 计算机如何模仿：1965年美国California 大学L A Zadeh 提出模糊集合理论“Fuzzy
Sets ”，建立数学新分支
2. 模糊控制
• 1972： Zadeh 提出“A rationale for Fuzzy Control”
• 1974：英国伦敦大学E H Mamdani设计模糊控制器，用于锅炉和汽轮机的运行控制 • 1985：日本在家电实用化
• 目前：应用到复杂系统、智能系统、人类与社会系统、自然系统，出现专用芯片硬
件
（二） 模糊控制的总体思想
1. 基于专家知识和经验，模仿人类对于模糊现象进行不精确决策推理的能力，采用数学方法对系统实施控制 2. 主要特点：
1) 不依赖精确模型，适于复杂系统与模糊性现象（精确模型很难得到或无模型） 2) 智能性和自学习性：知识表示、规则、推理是基于专家知识或经验，并通过学习可更
新
3) 形式上利用规则进行推理，同时基于数学方法表示、处理知识→可用VLSI 实现硬件芯
片
3. 与专家控制的区别： 1) 针对模糊现象/精确量
2) 基于数学方法（模糊数学）/符号方法 处理知识
（三）模糊控制的数学基础－模糊集合理论 1. 模糊概念
1) “转速很高”等表示事物量的不确定性 2) 量 确定性————经典数学
不确定性、随机性——统计数学：概率、数理统计等
模糊性——模糊数学：Fuzzy Sets 3) 随机性与模糊性的区别：
a) 模糊性是人对客观事物认识的不确定性，事物本身确定，如“转速（确定）很高（不
确定）”
b) 随机性是客观事物本身的不确定性或发生的偶然性，个案偶然无意义，大量个案服从
统计规律，掷骰子 4) 模糊的必要性：
a) 日常人的智能常常是模糊的
b) 复杂大系统必须，用模糊性降低精确引起的复杂程度 2. 模糊概念的数学表示——模糊集合FS • •
概念的表示 内涵法：描述本质属性
外延法：本质属性确定的对象总和，集合法
如小于10的正整数 0,整数 {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
• 集合的特点：研究的对象x 要么属于、要么不属于某集合A ，必居其一，集合的边界明
确、突变，x ∈A 或 x ∉A •
模糊集合FS ：对象x 可以既属于又不属于集合A ，亦此亦彼，集合的边界模糊、渐变，x 无绝对的∈A 或∉A ，只有属于A 的程度—隶属度函数μA (x)，取值[0,1] • FS 定义：给定论域X ，X 到[0,1]闭区间的任一映射μA ： μA ：X → [0,1] x → μA (x)
都确定X 的一个模糊子集A ， μA 称为A 的隶属函数，μA (x)称为x 对于A 的隶属度，模糊子集A 也称为模糊集合 a)FS 的表示方法
• 序偶（成对出现且有次序的客体(x,y)≠(y,x)）表示法： A={(x,μA (x))|x∈X}
例：论域{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中，设A 表示模糊集合“几个”，各元素的隶属度依次为μA (x)={0,0,0.3,0.7,1,1,0.7,0.3,0},则
A={(1,0),(2,0),(3,0.3),(4,0.7),(5,1),(6,1),(7,0.7),(8,0.3),(9,0)}
• Zadeh 表示法： •
μ(x )
A= ⎰ A X 连续
X
x
μA (x i )
= ∑ X 离散
i =1
n
x i
上例A ＝0/1+0/2+0.3/3+0.7/4+1/5+1/6+0.7/7+0.3/8+0/9 b)FS 的基本运算
• 相等A=B μA (x)=μB (x)对所有x ∈X • 包含A ⊆B μA (x)≤ μB (x) • 空集A=Φ
• 并C ＝A ∪B μC (x)＝∨(μA (x),μB (x))=max(μA (x),μB (x)) • 交C ＝A ∩B μC (x)＝∧(μA (x),μB (x))=min(μA (x),μB (x)) • 补集B=A’ μB (x)=1-μA (x)对所有x ∈X • 直积A ×B c)FS 运算的基本性质
• 分配律，结合律，交换律，吸收律，幂等律，同一律等 • 普通集合中的排中律、矛盾律不成立，即 A ∪A ’ ≠X，A ∩A’ ≠ Φ
3. 模糊概念向多维空间推广——模糊关系 1) 例如：“Ud 与设定值差不多”，“A 与B 很象”
2) 定义：n 元模糊关系R 是定义在直积P1×P2ׄ×Pn 上的模糊集合，可表示为 R P1×P2×…×Pn ={((p1,p2, …,pn),μR (p1,p2, …,pn))| (p1,p2, …,pn)∈ P1×P2×…×Pn} =∫P1×P2×…×Pn μR (p1,p2, …,pn)/ (p1,p2, …,pn) 模糊集合 → 模糊关系
论域X P1×P2ׄ×Pn 的直积空间 元素x 多元序偶(p1,p2, …,pn) 模糊集合A 模糊关系R
隶属度μA (x) 隶属度μR (p1,p2, …,pn)表示p1,p2, …,pn具 有关系R 的程度 序偶(x, μA (x)) 复合序偶((p1,p2, …,pn),μR (p1,p2, …,pn)) 3) 常用的二元模糊关系表示—— 模糊矩阵
当X=｛x1,x2, …,xn), Y={y1,y2, …, yn}为有限集合时，定义在X×Y上的模糊关系R X×Y可表示为矩阵形式：
⎡μR (x 1, y 1) ⎢ μR (x 2, y 1) ⎢R =⎢
⎢
⎣μR (x n , y 1)
μR (x 1, y 2) μR (x 2, y 2)
μR (x n , y 2)
⎥⎥ ⎥
⎥
μR (x n , y m ) ⎦
μR (x 1, y m ) ⎤
μR (x 2, y m )
R 即为模糊矩阵，其元素为隶属度函数∈〔0，1〕 4) 模糊关系的合成
设X 、Y 、Z 为论域，R 是X 到Y 的一个模糊关系，S 是Y 到Z 的一个模糊关系，则R 对S 的合成T 是X 到Z 的一个模糊关系，记为T ＝R ○S ，其隶属度为
其中V 为并运算，对所有元素取极大值； *为二项积运算，可用交、代数积等运算。
最常用的合成形式——最大最小合成
μR S (x , z ) =∨(μR (x , y ) *μS (y , z ))
y ∈Y
V 为并运算， *为交运算，即
T =R S μR
S (x , z ) =∨(μR (x , y ) ∧μS (y , z ))
y ∈Y
4. 模糊规则的表示及运算——模糊蕴含关系 1) 语言变量
经典数学 模糊数学
转速nd 很高A1 →电压ud 大幅降低B1
nd=ni → ud=ui 转速nd 偏高A2 →电压ud 适当降低B2
变量 变量的值 语言变量 语言变量的值FS 值域：FS 的集合 2) 模糊蕴含关系
对于一条规则：“如果x 是A ，则y 是B”表示了A 与B 之间的模糊蕴含关系，表示为A →B
A →B的运算方法有：最小，积，最大最小等集合运算
其中模糊蕴含关系最小运算为：
R c =A →B =A ⨯B =⎰μA (x ) ∧μB (y ) /(x , y )
X ⨯Y
例：nd ＝A1＝“转速很低”
＝1/200+0.8/400+0.6/600+0.4/800+0.1/1000
ud=B1=大幅升高＝0.2/5V+0.4/6V+0.6/7V+0.8/8V+1/9V
当X=｛x1,x2, …,xn), Y={y1,y2, …, yn}为有限集合时，定义在X×Y上的模糊关系R X×Y可表示为矩阵形式：
⎡1⎤⎢⎥0. 8⎢⎥
Rc =A ⨯B =⎢0. 6⎥∧[0. 2
⎢⎥0. 4⎢⎥⎢0. 2⎥⎣⎦⎡1∧0. 2
⎢
0. 8∧0. 2⎢
⎢0. 6∧0. 2⎢
⎢0. 4∧0. 2⎢⎣0. 2∧0. 2
1∧0. 40. 8∧0. 40. 6∧0. 40. 4∧0. 40. 2∧0. 4
0. 40. 60. 8
1]=
1∧0. 60. 8∧0. 60. 6∧0. 60. 4∧0. 60. 2∧0. 6
1∧0. 80. 8∧0. 80. 6∧0. 80. 4∧0. 80. 2∧0. 8
1∧1⎤⎡0. 2
⎥⎢
0. 8∧10. 2
⎥⎢
0. 6∧1⎥=⎢0. 2
⎥⎢
0. 4∧1⎥⎢0. 20. 2∧1⎥⎦⎢⎣0. 2
0. 40. 40. 40. 40. 2
0. 60. 60. 60. 40. 2
0. 80. 80. 60. 40. 2
1⎤
⎥0. 8
⎥0. 6⎥
⎥0. 4⎥0. 2⎥⎦
5. 模糊推理——关系的合成
1) 运用上面蕴含关系，前面例子可表示为
规 R1：如x 是A1则y 是B1 即 A1 → B1 则 R2：如x 是A2则y 是B2 A2 → B2 库 ┇ ┇
推理：输入x 是A ’，则输出y 是B ’ B ’＝A ’○R 规则库R=∪
2) 模糊推理：由输入（模糊集合A ’）和模糊蕴含关系A → B的合成推出结论（模糊集合B’），
即
B ’＝ A ’○ （A → B）＝A ’○R 3) 推理的2种方法： •
广义肯定式：如x 是Ai 则y 是Bi x 是A ’则y 是B ’
• • •
广义否定式：如x 是Ai 则y 是Bi y 是B ’则x 是A ’
对于每一种方法， ○与→运算符采用不同的运算，又可组合出多种推理运算方法 广义肯定式推理的最大最小合成、最小蕴含法： ○取最大最小法，→取最小运算法 例：A’=A1，R=Rc，则
B ' =A ' Rc =[1
0. 80. 60. 4
=[0. 2
0. 40. 60. 8
1]
⎡0. 2⎢⎢0. 20. 2] ⎢0. 2
⎢⎢0. 2⎢⎣0. 2
0. 40. 60. 40. 60. 40. 60. 40. 40. 2
0. 2
0. 81⎤
0. 80. 8
⎥⎥0. 60. 6⎥
0. 40. 4⎥⎥0. 2
0. 2⎥⎦
（一）模糊控制的发展历史 1. 模糊集合理论
• 问题的提出：多变量大系统中复杂性和精确性的矛盾 • 借鉴：人具有总体粗略、局部精确的认识能力
• 计算机如何模仿：1965年美国California 大学L A Zadeh 提出模糊集合理论“Fuzzy
Sets ”，建立数学新分支
2. 模糊控制
• 1972： Zadeh 提出“A rationale for Fuzzy Control”
• 1974：英国伦敦大学E H Mamdani设计模糊控制器，用于锅炉和汽轮机的运行控制 • 1985：日本在家电实用化
• 目前：应用到复杂系统、智能系统、人类与社会系统、自然系统，出现专用芯片硬
件
（二） 模糊控制的总体思想
1. 基于专家知识和经验，模仿人类对于模糊现象进行不精确决策推理的能力，采用数学方法对系统实施控制 2. 主要特点：
1) 不依赖精确模型，适于复杂系统与模糊性现象（精确模型很难得到或无模型） 2) 智能性和自学习性：知识表示、规则、推理是基于专家知识或经验，并通过学习可更
新
3) 形式上利用规则进行推理，同时基于数学方法表示、处理知识→可用VLSI 实现硬件芯
片
3. 与专家控制的区别： 1) 针对模糊现象/精确量
2) 基于数学方法（模糊数学）/符号方法 处理知识
（三）模糊控制的数学基础－模糊集合理论 1. 模糊概念
1) “转速很高”等表示事物量的不确定性 2) 量 确定性————经典数学
不确定性、随机性——统计数学：概率、数理统计等
模糊性——模糊数学：Fuzzy Sets 3) 随机性与模糊性的区别：
a) 模糊性是人对客观事物认识的不确定性，事物本身确定，如“转速（确定）很高（不
确定）”
b) 随机性是客观事物本身的不确定性或发生的偶然性，个案偶然无意义，大量个案服从
统计规律，掷骰子 4) 模糊的必要性：
a) 日常人的智能常常是模糊的
b) 复杂大系统必须，用模糊性降低精确引起的复杂程度 2. 模糊概念的数学表示——模糊集合FS • •
概念的表示 内涵法：描述本质属性
外延法：本质属性确定的对象总和，集合法
如小于10的正整数 0,整数 {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
• 集合的特点：研究的对象x 要么属于、要么不属于某集合A ，必居其一，集合的边界明
确、突变，x ∈A 或 x ∉A •
模糊集合FS ：对象x 可以既属于又不属于集合A ，亦此亦彼，集合的边界模糊、渐变，x 无绝对的∈A 或∉A ，只有属于A 的程度—隶属度函数μA (x)，取值[0,1] • FS 定义：给定论域X ，X 到[0,1]闭区间的任一映射μA ： μA ：X → [0,1] x → μA (x)
都确定X 的一个模糊子集A ， μA 称为A 的隶属函数，μA (x)称为x 对于A 的隶属度，模糊子集A 也称为模糊集合 a)FS 的表示方法
• 序偶（成对出现且有次序的客体(x,y)≠(y,x)）表示法： A={(x,μA (x))|x∈X}
例：论域{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中，设A 表示模糊集合“几个”，各元素的隶属度依次为μA (x)={0,0,0.3,0.7,1,1,0.7,0.3,0},则
A={(1,0),(2,0),(3,0.3),(4,0.7),(5,1),(6,1),(7,0.7),(8,0.3),(9,0)}
• Zadeh 表示法： •
μ(x )
A= ⎰ A X 连续
X
x
μA (x i )
= ∑ X 离散
i =1
n
x i
上例A ＝0/1+0/2+0.3/3+0.7/4+1/5+1/6+0.7/7+0.3/8+0/9 b)FS 的基本运算
• 相等A=B μA (x)=μB (x)对所有x ∈X • 包含A ⊆B μA (x)≤ μB (x) • 空集A=Φ
• 并C ＝A ∪B μC (x)＝∨(μA (x),μB (x))=max(μA (x),μB (x)) • 交C ＝A ∩B μC (x)＝∧(μA (x),μB (x))=min(μA (x),μB (x)) • 补集B=A’ μB (x)=1-μA (x)对所有x ∈X • 直积A ×B c)FS 运算的基本性质
• 分配律，结合律，交换律，吸收律，幂等律，同一律等 • 普通集合中的排中律、矛盾律不成立，即 A ∪A ’ ≠X，A ∩A’ ≠ Φ
3. 模糊概念向多维空间推广——模糊关系 1) 例如：“Ud 与设定值差不多”，“A 与B 很象”
2) 定义：n 元模糊关系R 是定义在直积P1×P2ׄ×Pn 上的模糊集合，可表示为 R P1×P2×…×Pn ={((p1,p2, …,pn),μR (p1,p2, …,pn))| (p1,p2, …,pn)∈ P1×P2×…×Pn} =∫P1×P2×…×Pn μR (p1,p2, …,pn)/ (p1,p2, …,pn) 模糊集合 → 模糊关系
论域X P1×P2ׄ×Pn 的直积空间 元素x 多元序偶(p1,p2, …,pn) 模糊集合A 模糊关系R
隶属度μA (x) 隶属度μR (p1,p2, …,pn)表示p1,p2, …,pn具 有关系R 的程度 序偶(x, μA (x)) 复合序偶((p1,p2, …,pn),μR (p1,p2, …,pn)) 3) 常用的二元模糊关系表示—— 模糊矩阵
当X=｛x1,x2, …,xn), Y={y1,y2, …, yn}为有限集合时，定义在X×Y上的模糊关系R X×Y可表示为矩阵形式：
⎡μR (x 1, y 1) ⎢ μR (x 2, y 1) ⎢R =⎢
⎢
⎣μR (x n , y 1)
μR (x 1, y 2) μR (x 2, y 2)
μR (x n , y 2)
⎥⎥ ⎥
⎥
μR (x n , y m ) ⎦
μR (x 1, y m ) ⎤
μR (x 2, y m )
R 即为模糊矩阵，其元素为隶属度函数∈〔0，1〕 4) 模糊关系的合成
设X 、Y 、Z 为论域，R 是X 到Y 的一个模糊关系，S 是Y 到Z 的一个模糊关系，则R 对S 的合成T 是X 到Z 的一个模糊关系，记为T ＝R ○S ，其隶属度为
其中V 为并运算，对所有元素取极大值； *为二项积运算，可用交、代数积等运算。
最常用的合成形式——最大最小合成
μR S (x , z ) =∨(μR (x , y ) *μS (y , z ))
y ∈Y
V 为并运算， *为交运算，即
T =R S μR
S (x , z ) =∨(μR (x , y ) ∧μS (y , z ))
y ∈Y
4. 模糊规则的表示及运算——模糊蕴含关系 1) 语言变量
经典数学 模糊数学
转速nd 很高A1 →电压ud 大幅降低B1
nd=ni → ud=ui 转速nd 偏高A2 →电压ud 适当降低B2
变量 变量的值 语言变量 语言变量的值FS 值域：FS 的集合 2) 模糊蕴含关系
对于一条规则：“如果x 是A ，则y 是B”表示了A 与B 之间的模糊蕴含关系，表示为A →B
A →B的运算方法有：最小，积，最大最小等集合运算
其中模糊蕴含关系最小运算为：
R c =A →B =A ⨯B =⎰μA (x ) ∧μB (y ) /(x , y )
X ⨯Y
例：nd ＝A1＝“转速很低”
＝1/200+0.8/400+0.6/600+0.4/800+0.1/1000
ud=B1=大幅升高＝0.2/5V+0.4/6V+0.6/7V+0.8/8V+1/9V
当X=｛x1,x2, …,xn), Y={y1,y2, …, yn}为有限集合时，定义在X×Y上的模糊关系R X×Y可表示为矩阵形式：
⎡1⎤⎢⎥0. 8⎢⎥
Rc =A ⨯B =⎢0. 6⎥∧[0. 2
⎢⎥0. 4⎢⎥⎢0. 2⎥⎣⎦⎡1∧0. 2
⎢
0. 8∧0. 2⎢
⎢0. 6∧0. 2⎢
⎢0. 4∧0. 2⎢⎣0. 2∧0. 2
1∧0. 40. 8∧0. 40. 6∧0. 40. 4∧0. 40. 2∧0. 4
0. 40. 60. 8
1]=
1∧0. 60. 8∧0. 60. 6∧0. 60. 4∧0. 60. 2∧0. 6
1∧0. 80. 8∧0. 80. 6∧0. 80. 4∧0. 80. 2∧0. 8
1∧1⎤⎡0. 2
⎥⎢
0. 8∧10. 2
⎥⎢
0. 6∧1⎥=⎢0. 2
⎥⎢
0. 4∧1⎥⎢0. 20. 2∧1⎥⎦⎢⎣0. 2
0. 40. 40. 40. 40. 2
0. 60. 60. 60. 40. 2
0. 80. 80. 60. 40. 2
1⎤
⎥0. 8
⎥0. 6⎥
⎥0. 4⎥0. 2⎥⎦
5. 模糊推理——关系的合成
1) 运用上面蕴含关系，前面例子可表示为
规 R1：如x 是A1则y 是B1 即 A1 → B1 则 R2：如x 是A2则y 是B2 A2 → B2 库 ┇ ┇
推理：输入x 是A ’，则输出y 是B ’ B ’＝A ’○R 规则库R=∪
2) 模糊推理：由输入（模糊集合A ’）和模糊蕴含关系A → B的合成推出结论（模糊集合B’），
即
B ’＝ A ’○ （A → B）＝A ’○R 3) 推理的2种方法： •
广义肯定式：如x 是Ai 则y 是Bi x 是A ’则y 是B ’
• • •
广义否定式：如x 是Ai 则y 是Bi y 是B ’则x 是A ’
对于每一种方法， ○与→运算符采用不同的运算，又可组合出多种推理运算方法 广义肯定式推理的最大最小合成、最小蕴含法： ○取最大最小法，→取最小运算法 例：A’=A1，R=Rc，则
B ' =A ' Rc =[1
0. 80. 60. 4
=[0. 2
0. 40. 60. 8
1]
⎡0. 2⎢⎢0. 20. 2] ⎢0. 2
⎢⎢0. 2⎢⎣0. 2
0. 40. 60. 40. 60. 40. 60. 40. 40. 2
0. 2
0. 81⎤
0. 80. 8
⎥⎥0. 60. 6⎥
0. 40. 4⎥⎥0. 2
0. 2⎥⎦