旋转液体综合实验
浙江大学物理实验教学中心
2005-11
旋转液体综合实验
在力学创建之初，牛顿的水桶实验就发现，当水桶中的水旋转时，水会沿着桶壁上升。旋转的液体其表面形状为一个抛物面，可利用这点测量重力加速度；旋转液体的抛物面也是一个很好的光学元件。美国的物理学家乌德创造了液体镜面，他在一个大容器里旋转水银，得到一个理想的抛物面，由于水银能很好地反射光线，所以能起反射镜的作用。
随着现代技术的发展液体镜头正在向一“大”一“小”两极发展。大，可以作为大型天文望远镜的镜头； 反射式液体镜头已经在大型望远镜中得到了应用，代替传统望远镜中使用的玻璃反射境。当盛满液体（通常采用水银）的容器旋转时，向心力会产生一个光滑的用于望远镜的反射凹面。通常这样一个光滑的曲面，完全可以代替需要大量复杂工艺并且价格昂贵的玻璃镜头，而哈勃空间望远镜的失败也让我们了解了玻璃镜头何等脆弱。
小，则可以作为拍照手机的变焦镜头。美国加利福尼亚大学的科学家发明了液体镜头，它通过改变厚度仅为8mm 的两种不同的液体交接处月牙形表面的形状，实现焦距的变化。这种液体镜头相对于传统的变焦系统而言，兼顾了紧凑的结构和低成本两方面的优势。
旋转液体的综合实验可利用抛物面的参数与重力加速度关系，测量重力加速度，另外，液面凹面镜成像与转速的关系也可研究凹面镜焦距的变化情况。还可通过旋转液体研究牛顿流体力学，分析流层之间的运动，测量液体的粘滞系数。
【实验原理】
一、 旋转液体抛物面公式推导
定量计算时，选取随圆柱形容器旋转的参考系，这是一个转动的非惯性参考系。液相对于参考系静止，任选一小块液体P ，其受力如图1。Fi 为沿径向向外的惯性离心力，mg 为重力，N 为这一小块液体周围液体对它的作用力的合力，由对称性可知，N 必然垂直于液体表面。在X-Y 坐标下P(x,y) 则有：
图1 原理图
N cos θ-m g =0
N sin θ-F i =0
F i =m ωx
2
tan θ=
dy dx
=
ωx g
2
根据图1有： y =
ω
2
2
x +y 0 （1）
2g
为旋转角速度，y 0为x =0处的y 值。此为抛物线方程，可见液面为旋转抛物面。
二 、 用旋转液体测量重力加速度g
在实验系统中，一个盛有液体半径为R 的圆柱形容器绕该圆柱体的对称轴以角速度ω匀速稳定转动时，液体的表面形成抛物面，如图2。 设液体未旋转时液面高度为h ，液体的体积为：
V =πR h （2）
2
因液体旋转前后体积保持不变，旋转时液体体积可表示为：
V =
⎰
R
y (2πx ) dx =2π
⎰
(
ωx
2g
22
+y 0) xdx （3）
由（2）、（3）式得：
ωR
4g
2
2
y 0=h -
（4）
联立（1）、（4）可得，当x =x 0=R /2时，y (x 0) =h ，即液面在x 0处的高度是恒定值。
方法一：用旋转液体液面最高与最低处的高度差测量重力加速度g
如图2所示，设旋转液面最高与最低处的高度差
为∆h ，点（R , y 0+∆h ）在（1）式的抛物线上，有
ωR
2g
2
2
y 0+∆h =
+y 0，
图2 实验示意图
得：g =
ωR
2∆h
22
又ω
=
2πn 60
，则
g =
πD n
222
7200⋅∆h
（5）
D 为圆筒直径，n 为旋转速度（转/分）。
方法二、斜率法测重力加速度
如图2所示，激光束平行转轴入射，经过BC 透明屏幕，打在x 0=R
2的液面A 点上，反射
光点为C ，A 处切线与x 方向的夹角为θ，则∠B A C =2θ，测出透明屏幕至圆桶底部的距离H 、液面静止时高度h ，以及两光点BC 间距离d ，则tan 2θ=因为 tan θ
2πn 60
dy dx
d H -h
2
，求出θ值。
==
ωx g
2
，在x 0=R
2处有
tan θ=
因为ω
=
，
2πn ⎫
则
tan θ=⎛ ⎪
⎝60⎭
2
2
=
22
=
22
g =
(6)
2
或可作tan θ～n 曲线，求斜率k
，可得k =
2
2
，求出g
=
三、验证抛物面焦距与转速的关系
旋转液体表面形成的抛物面可看作一个凹面镜，符合光学成像系统的规律，若光线平行于曲面对称轴入射，反射光将全部会聚于抛物面的焦点。 根据抛物线方程（1），抛物面的焦距f =
g 2ω
2
。
四、测量液体粘滞系数
图3 液体粘滞系数测量原理图
在旋转的液体中，沿中心放入张丝悬挂的圆柱形物体，圆柱高度为L ，半径为R 1，外圆桶半径为R 2，如图3所示。
外圆筒以恒定的角速度ω0旋转，在转速较小的情况下，流体会很规则地一层层地转动，稳定时圆柱形物体静止角速度为零。
1、设外圆桶稳定旋转时，圆柱形物体所承受的阻力矩为M ，则
M = 圆柱侧面所受液体的阻力矩M
1
+ 圆柱底面所受液体摩擦力矩M 2（推导略）
R 1R 2
22
22
M 1=4πηL ω0
πηR 2ω0
2∆z
4
R 1-R 2
（7）
M
2
=
（8）
圆柱形物体所承受的液体阻力矩M
M =M 1+M
2
=4πηL ω0
R 1R 2
2
222
R 1-R 2
+
πηR 2ω0
2∆z
4
（9）
2、 张丝扭转力矩M ‘。
‘
悬挂圆柱形物体的张丝为钢丝，其切变模量为G ，张丝半径为R ，张丝长度为L 。转动
力矩为： M =
'
πGR
2L
'
4
θ （10）
该式表示力矩M ‘与扭转角度θ成正比。
在液体旋转系统稳定时，液体产生的阻力矩与悬挂张丝所产生的扭转力矩平衡，使得圆柱形物体达到静止。
所以 M =M ‘
从（9）、（10）式可以解出粘度系数为：
22
⎡2∆z (R 1-R 2)
η=‘θ⎢22224
2L ω0⎢8L ∆zR R +(R -R ) R 12122⎣
4
GR
⎤
⎥ （11） ⎥⎦
其中：
G 金属张丝的切变模量
R 张丝半径 L 张丝长度
‘
θ 为偏转角度
ω0 圆桶转速
∆z 圆柱底面到外圆桶底面的距离
L 圆柱高度
R 1 圆柱半径， R 2 为外圆桶半径
【实验装置】
1．激光器 2.米刻度水平屏幕 3 . 水平标线 4.水平
仪 5.激光器电源插孔6. 调速开关 7.速度显示窗 8. 圆柱形实验容器 9.水平量角器 10.米刻度垂直屏幕 11. 张丝悬挂圆柱体 12.实验容器内径R /红线）（可自行标注）
2刻线（见底盘
【实验内容】
1、仪器调整
a 、水平调整
将圆形水平仪放在载物台中心，调整仪器底部支撑脚，直到水平仪上的气泡到中心位置。
b 、激光器位置调整
用自准直法调整激光束平行转轴入射，经过透明屏幕，对准桶底x 0=R
2处的记号，R 为圆桶内径。
图4
2、测量重力加速度g(装置见图5)
1）用旋转液体液面最高与最低处的高度差测量重力加速度g 改变圆桶转速n （转/秒）（ω=2πn ）6次，测量液面最高与最低处的高度差，计算重力加速度g 。 2）斜率法测重力加速度
将透明屏幕（1）置于圆桶上方，用自准直法调整激光束平行转轴入射，经过透明屏幕，对准桶底x 0=R
改变圆桶转速n （转/分）（ω
2πn 60
2处的记号，
测出透明屏幕至圆筒底部的距离H 、液面静止时高度h 。
=
）6次，在透明屏幕上
d H -h
读出入射光与反射光点BC 间距离d ，则t a n 2θ=
tan θ
，求出
图5
值。
3、验证抛物面焦距与转速的关系(装置见图6) 将毫米刻度垂直屏幕过转轴放入实验容器中央，激光束平行转轴入射至液面，后聚焦在屏幕上，可改变入射位置观察聚焦情况。改变圆桶转速n （转/分）（ω
4
、研究旋转液体表面成像规律
给激光器装上有箭头状光阑的帽盖，
使其光束略有发散且在屏幕上成箭头状像。光束平行光轴在偏离光轴处射向旋转液体，经液面反射后，在水平屏幕上也留下了箭头。固定转速，上下移
=2πn 60
）6次，记录焦点位置。
图6
动屏幕的位置，观察像箭头的方向及大小变化。实验发现，屏幕在较低处时，入射光和反射光留下的箭头方向相同，随着屏幕逐渐上移，反射光留下的箭头越来越小直至成一光点，随后箭头反向且逐渐变大。也可以固定屏幕，改变转速n ，将会观察到类似的现象。
5、测量液体粘滞系数(装置见图7)
装好实验装置、将张丝悬挂的圆柱体垂直置于液体中心，柱体上表面有一刻度线记号，低速旋转液体，稳定后柱面上刻度线偏一角度，用激光器和量角器测出偏转角。同一转速测三次，改变转速3次。 测量：
G 金属张丝的切变模量
‘
1、R 张丝半径 2、L 张丝长度 3、∆z 圆柱底面到外圆桶
底面的距离4、L 圆柱高度 5、R 1 圆柱半径 6、R 2 圆筒容器半径
【数据处理】（参考数据）
1、 测量重力加速度g 方法一:
图7
2
=983(cm /s ) 杭州地区重力加速度公认值：g =979.30cm /s 2
2
实验相对误差： E =0. 4% 测量结果：g =983(1±0. 4%)(cm /s )
方法二: 屏幕高度H
=13.0cm
, 液面高度 h
=5.5cm
22
=967(cm /s ) E =1. 2% 测量结果：g =967(1±1. 2%)(cm /s )
2、验证抛物面焦距与转速的关系
3、测量液体粘滞系数
实验所用液体为蓖麻油，已知条件：油温T =18 C 、G
=81GPa
‘
实验测得：R =0. 148mm 、L =146. 66mm 、∆z =17. 96mm 、L =30. 10mm 、R 1=18. 34mm 、R 2=49. 56mm
将张丝悬挂的圆柱体，沿实验容器中心置于液体中，完全浸没。张丝套入水平放置的量角器中心圆孔与量角器圆心一致，激光光线对准圆柱体上端面上的标记，读出量角器上的角度值，打开仪器电源使旋转液体，待稳定后再次将激光对准圆柱体上端面上的标记，读出量角器上的角度值，计算偏转角θ。
参考资料
[1] 武瑞兰，田静 蓖麻油粘滞系数随温度变化的经验公式[J] 山东工业大学学报 1998（28）： 94-95 [2] 林佩芬 周炎辉 旋转圆筒法测粘滞系数的计算公式讨论[J] 工科物理 1996（4）：23-25 [3]《物理实验》2002.11、12。第32届国际物理奥林匹克竞赛力学和光学综合实验题。
旋转液体综合实验
浙江大学物理实验教学中心
2005-11
旋转液体综合实验
在力学创建之初，牛顿的水桶实验就发现，当水桶中的水旋转时，水会沿着桶壁上升。旋转的液体其表面形状为一个抛物面，可利用这点测量重力加速度；旋转液体的抛物面也是一个很好的光学元件。美国的物理学家乌德创造了液体镜面，他在一个大容器里旋转水银，得到一个理想的抛物面，由于水银能很好地反射光线，所以能起反射镜的作用。
随着现代技术的发展液体镜头正在向一“大”一“小”两极发展。大，可以作为大型天文望远镜的镜头； 反射式液体镜头已经在大型望远镜中得到了应用，代替传统望远镜中使用的玻璃反射境。当盛满液体（通常采用水银）的容器旋转时，向心力会产生一个光滑的用于望远镜的反射凹面。通常这样一个光滑的曲面，完全可以代替需要大量复杂工艺并且价格昂贵的玻璃镜头，而哈勃空间望远镜的失败也让我们了解了玻璃镜头何等脆弱。
小，则可以作为拍照手机的变焦镜头。美国加利福尼亚大学的科学家发明了液体镜头，它通过改变厚度仅为8mm 的两种不同的液体交接处月牙形表面的形状，实现焦距的变化。这种液体镜头相对于传统的变焦系统而言，兼顾了紧凑的结构和低成本两方面的优势。
旋转液体的综合实验可利用抛物面的参数与重力加速度关系，测量重力加速度，另外，液面凹面镜成像与转速的关系也可研究凹面镜焦距的变化情况。还可通过旋转液体研究牛顿流体力学，分析流层之间的运动，测量液体的粘滞系数。
【实验原理】
一、 旋转液体抛物面公式推导
定量计算时，选取随圆柱形容器旋转的参考系，这是一个转动的非惯性参考系。液相对于参考系静止，任选一小块液体P ，其受力如图1。Fi 为沿径向向外的惯性离心力，mg 为重力，N 为这一小块液体周围液体对它的作用力的合力，由对称性可知，N 必然垂直于液体表面。在X-Y 坐标下P(x,y) 则有：
图1 原理图
N cos θ-m g =0
N sin θ-F i =0
F i =m ωx
2
tan θ=
dy dx
=
ωx g
2
根据图1有： y =
ω
2
2
x +y 0 （1）
2g
为旋转角速度，y 0为x =0处的y 值。此为抛物线方程，可见液面为旋转抛物面。
二 、 用旋转液体测量重力加速度g
在实验系统中，一个盛有液体半径为R 的圆柱形容器绕该圆柱体的对称轴以角速度ω匀速稳定转动时，液体的表面形成抛物面，如图2。 设液体未旋转时液面高度为h ，液体的体积为：
V =πR h （2）
2
因液体旋转前后体积保持不变，旋转时液体体积可表示为：
V =
⎰
R
y (2πx ) dx =2π
⎰
(
ωx
2g
22
+y 0) xdx （3）
由（2）、（3）式得：
ωR
4g
2
2
y 0=h -
（4）
联立（1）、（4）可得，当x =x 0=R /2时，y (x 0) =h ，即液面在x 0处的高度是恒定值。
方法一：用旋转液体液面最高与最低处的高度差测量重力加速度g
如图2所示，设旋转液面最高与最低处的高度差
为∆h ，点（R , y 0+∆h ）在（1）式的抛物线上，有
ωR
2g
2
2
y 0+∆h =
+y 0，
图2 实验示意图
得：g =
ωR
2∆h
22
又ω
=
2πn 60
，则
g =
πD n
222
7200⋅∆h
（5）
D 为圆筒直径，n 为旋转速度（转/分）。
方法二、斜率法测重力加速度
如图2所示，激光束平行转轴入射，经过BC 透明屏幕，打在x 0=R
2的液面A 点上，反射
光点为C ，A 处切线与x 方向的夹角为θ，则∠B A C =2θ，测出透明屏幕至圆桶底部的距离H 、液面静止时高度h ，以及两光点BC 间距离d ，则tan 2θ=因为 tan θ
2πn 60
dy dx
d H -h
2
，求出θ值。
==
ωx g
2
，在x 0=R
2处有
tan θ=
因为ω
=
，
2πn ⎫
则
tan θ=⎛ ⎪
⎝60⎭
2
2
=
22
=
22
g =
(6)
2
或可作tan θ～n 曲线，求斜率k
，可得k =
2
2
，求出g
=
三、验证抛物面焦距与转速的关系
旋转液体表面形成的抛物面可看作一个凹面镜，符合光学成像系统的规律，若光线平行于曲面对称轴入射，反射光将全部会聚于抛物面的焦点。 根据抛物线方程（1），抛物面的焦距f =
g 2ω
2
。
四、测量液体粘滞系数
图3 液体粘滞系数测量原理图
在旋转的液体中，沿中心放入张丝悬挂的圆柱形物体，圆柱高度为L ，半径为R 1，外圆桶半径为R 2，如图3所示。
外圆筒以恒定的角速度ω0旋转，在转速较小的情况下，流体会很规则地一层层地转动，稳定时圆柱形物体静止角速度为零。
1、设外圆桶稳定旋转时，圆柱形物体所承受的阻力矩为M ，则
M = 圆柱侧面所受液体的阻力矩M
1
+ 圆柱底面所受液体摩擦力矩M 2（推导略）
R 1R 2
22
22
M 1=4πηL ω0
πηR 2ω0
2∆z
4
R 1-R 2
（7）
M
2
=
（8）
圆柱形物体所承受的液体阻力矩M
M =M 1+M
2
=4πηL ω0
R 1R 2
2
222
R 1-R 2
+
πηR 2ω0
2∆z
4
（9）
2、 张丝扭转力矩M ‘。
‘
悬挂圆柱形物体的张丝为钢丝，其切变模量为G ，张丝半径为R ，张丝长度为L 。转动
力矩为： M =
'
πGR
2L
'
4
θ （10）
该式表示力矩M ‘与扭转角度θ成正比。
在液体旋转系统稳定时，液体产生的阻力矩与悬挂张丝所产生的扭转力矩平衡，使得圆柱形物体达到静止。
所以 M =M ‘
从（9）、（10）式可以解出粘度系数为：
22
⎡2∆z (R 1-R 2)
η=‘θ⎢22224
2L ω0⎢8L ∆zR R +(R -R ) R 12122⎣
4
GR
⎤
⎥ （11） ⎥⎦
其中：
G 金属张丝的切变模量
R 张丝半径 L 张丝长度
‘
θ 为偏转角度
ω0 圆桶转速
∆z 圆柱底面到外圆桶底面的距离
L 圆柱高度
R 1 圆柱半径， R 2 为外圆桶半径
【实验装置】
1．激光器 2.米刻度水平屏幕 3 . 水平标线 4.水平
仪 5.激光器电源插孔6. 调速开关 7.速度显示窗 8. 圆柱形实验容器 9.水平量角器 10.米刻度垂直屏幕 11. 张丝悬挂圆柱体 12.实验容器内径R /红线）（可自行标注）
2刻线（见底盘
【实验内容】
1、仪器调整
a 、水平调整
将圆形水平仪放在载物台中心，调整仪器底部支撑脚，直到水平仪上的气泡到中心位置。
b 、激光器位置调整
用自准直法调整激光束平行转轴入射，经过透明屏幕，对准桶底x 0=R
2处的记号，R 为圆桶内径。
图4
2、测量重力加速度g(装置见图5)
1）用旋转液体液面最高与最低处的高度差测量重力加速度g 改变圆桶转速n （转/秒）（ω=2πn ）6次，测量液面最高与最低处的高度差，计算重力加速度g 。 2）斜率法测重力加速度
将透明屏幕（1）置于圆桶上方，用自准直法调整激光束平行转轴入射，经过透明屏幕，对准桶底x 0=R
改变圆桶转速n （转/分）（ω
2πn 60
2处的记号，
测出透明屏幕至圆筒底部的距离H 、液面静止时高度h 。
=
）6次，在透明屏幕上
d H -h
读出入射光与反射光点BC 间距离d ，则t a n 2θ=
tan θ
，求出
图5
值。
3、验证抛物面焦距与转速的关系(装置见图6) 将毫米刻度垂直屏幕过转轴放入实验容器中央，激光束平行转轴入射至液面，后聚焦在屏幕上，可改变入射位置观察聚焦情况。改变圆桶转速n （转/分）（ω
4
、研究旋转液体表面成像规律
给激光器装上有箭头状光阑的帽盖，
使其光束略有发散且在屏幕上成箭头状像。光束平行光轴在偏离光轴处射向旋转液体，经液面反射后，在水平屏幕上也留下了箭头。固定转速，上下移
=2πn 60
）6次，记录焦点位置。
图6
动屏幕的位置，观察像箭头的方向及大小变化。实验发现，屏幕在较低处时，入射光和反射光留下的箭头方向相同，随着屏幕逐渐上移，反射光留下的箭头越来越小直至成一光点，随后箭头反向且逐渐变大。也可以固定屏幕，改变转速n ，将会观察到类似的现象。
5、测量液体粘滞系数(装置见图7)
装好实验装置、将张丝悬挂的圆柱体垂直置于液体中心，柱体上表面有一刻度线记号，低速旋转液体，稳定后柱面上刻度线偏一角度，用激光器和量角器测出偏转角。同一转速测三次，改变转速3次。 测量：
G 金属张丝的切变模量
‘
1、R 张丝半径 2、L 张丝长度 3、∆z 圆柱底面到外圆桶
底面的距离4、L 圆柱高度 5、R 1 圆柱半径 6、R 2 圆筒容器半径
【数据处理】（参考数据）
1、 测量重力加速度g 方法一:
图7
2
=983(cm /s ) 杭州地区重力加速度公认值：g =979.30cm /s 2
2
实验相对误差： E =0. 4% 测量结果：g =983(1±0. 4%)(cm /s )
方法二: 屏幕高度H
=13.0cm
, 液面高度 h
=5.5cm
22
=967(cm /s ) E =1. 2% 测量结果：g =967(1±1. 2%)(cm /s )
2、验证抛物面焦距与转速的关系
3、测量液体粘滞系数
实验所用液体为蓖麻油，已知条件：油温T =18 C 、G
=81GPa
‘
实验测得：R =0. 148mm 、L =146. 66mm 、∆z =17. 96mm 、L =30. 10mm 、R 1=18. 34mm 、R 2=49. 56mm
将张丝悬挂的圆柱体，沿实验容器中心置于液体中，完全浸没。张丝套入水平放置的量角器中心圆孔与量角器圆心一致，激光光线对准圆柱体上端面上的标记，读出量角器上的角度值，打开仪器电源使旋转液体，待稳定后再次将激光对准圆柱体上端面上的标记，读出量角器上的角度值，计算偏转角θ。
参考资料
[1] 武瑞兰，田静 蓖麻油粘滞系数随温度变化的经验公式[J] 山东工业大学学报 1998（28）： 94-95 [2] 林佩芬 周炎辉 旋转圆筒法测粘滞系数的计算公式讨论[J] 工科物理 1996（4）：23-25 [3]《物理实验》2002.11、12。第32届国际物理奥林匹克竞赛力学和光学综合实验题。