第8章 矩阵和行列式初步
1. 理解矩阵的有关概念
（1）矩阵的定义：由m ⨯n 个数a ij (i =1, 2, 3m , j ; =1, 2, 3n , ，) 按一定次序排列成的矩阵表
A =(a ij ) m ⨯n
⎛a 11
a = 21 ⎝a m 1
a 12a 22 a m 2
a 1n ⎫
⎪
a 2n ⎪
，叫做一个m 行n 列的矩阵，简记为m ⨯n 矩阵. ⎪ ⎪
a mn ⎭
⎧a 11x 1+a 12x 2+ a 1n x n =b 1⎪a x +a x + a x =b ⎪2112222n n 2
（2）在一般矩阵中，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素；线性方程组⎨，矩阵
⎪
⎪⎩a m 1x 1+a m 2x 2+ a mn x n =b m ⎛a 11
a 21 A =
⎝a m 1
a 12a 22 a m 2
a 1n ⎫
⎪- a 2n ⎪
A =叫做一般线性方程组的系数矩阵，
⎪
⎪
a mn ⎭
⎛a 11 a 21 ⎝a m 1
a 12a 22
a 1n a 2n
b 1⎫⎪b 2⎪
叫做一般线 ⎪⎪b m ⎭
a m 2
性方程组的增广矩阵；如：方程组⎨
⎧x -2y =5⎛1-2⎫
对应系数矩阵 其中1行2列的矩阵(1, -2), (3,1)⎪，
⎩3x +y =8⎝31⎭
⎛1⎫⎛-2⎫
⎪叫做系数矩阵的列向量；
31⎝⎭⎝⎭
叫做系数矩阵的两个行向量；2行1列的矩阵 ⎪,
（3）当矩阵的行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵，简称方阵；我们把主对角线元素为1、其余元素均为零的方矩阵，如 2. 矩阵的运算及其性质
⎛10⎫
⎪，叫做单位矩阵.
⎝01⎭
（1）矩阵的加法，若A =(a ij ) m ⨯n
⎛a 11 a = 21 ⎝a m 1
a 12a 22 a m 2
a 1n ⎫⎛b 11b 12
⎪
a 2n ⎪b 21b 22
，B =(b ij ) m ⨯n =
⎪
⎪
a mn ⎭⎝b m 1b m 2 b 1n ⎫
⎪
b 2n ⎪
，则 ⎪ ⎪
b mn ⎭
a 11+b 11
C =A +B =
a 12+b 12a 22+b 22
a 1n +b 1n
.
a 21+b 21
a m 1+b m 1
a 2n +b 2n
a m 2+b m 2 a mn +b mn
（2）矩阵的加法满足性质: 交换律, 结合律.
（3）数与矩阵乘法定义：以数k 乘矩阵A =(a ij ) 的每个元素所得的矩阵(ka ij ) 叫做数k 与矩阵A 相乘的积，记作kA ；
（4）设矩阵A =
⎛a 11⎝a 21a 12⎫⎛b 11b 12⎫⎛c 11c 12⎫
, B =, C =
⎪ ⎪ ⎪. 如果它们元素间的关系可以用下列等式表a 22⎭b b c c ⎝2122⎭⎝2122⎭
示：c ij =a i 1b 1j +a i 2b 2j (i =1,2; j =1,2) ，则C 叫做矩阵A 和矩阵B 的积，记作C =AB （5）矩阵A 的初等变换，指的是对A 实施如下变换： 3．行列式的有关概念与性质 （1）初中代数中，二元线性方程组⎨
⎧a 1x +b 1y =c 1
, 当a 1b 2-a 2b 1≠0时，二元线性方程组有唯一解：
a x +b y =c ⎩222
c 1b 2-c 2b 1⎧
x =⎪a 1b 2-a 2b 1a c a c ⎪
ad -bc ，为了方便记忆，引入定义，叫做二阶行列式， =⎨
a c -a c b d b d 21⎪y =12
⎪a 1b 2-a 2b 1⎩
a 1b 1c 1b 1a 1c 1
ad -bc 叫做二阶行列式的展开式；设D =，D x =，D y =，则方程组的唯一解
a 2b 2c 2b 2a 2c 2
第8章 矩阵和行列式初步
1. 理解矩阵的有关概念
（1）矩阵的定义：由m ⨯n 个数a ij (i =1, 2, 3m , j ; =1, 2, 3n , ，) 按一定次序排列成的矩阵表
A =(a ij ) m ⨯n
⎛a 11
a = 21 ⎝a m 1
a 12a 22 a m 2
a 1n ⎫
⎪
a 2n ⎪
，叫做一个m 行n 列的矩阵，简记为m ⨯n 矩阵. ⎪ ⎪
a mn ⎭
⎧a 11x 1+a 12x 2+ a 1n x n =b 1⎪a x +a x + a x =b ⎪2112222n n 2
（2）在一般矩阵中，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素；线性方程组⎨，矩阵
⎪
⎪⎩a m 1x 1+a m 2x 2+ a mn x n =b m ⎛a 11
a 21 A =
⎝a m 1
a 12a 22 a m 2
a 1n ⎫
⎪- a 2n ⎪
A =叫做一般线性方程组的系数矩阵，
⎪
⎪
a mn ⎭
⎛a 11 a 21 ⎝a m 1
a 12a 22
a 1n a 2n
b 1⎫⎪b 2⎪
叫做一般线 ⎪⎪b m ⎭
a m 2
性方程组的增广矩阵；如：方程组⎨
⎧x -2y =5⎛1-2⎫
对应系数矩阵 其中1行2列的矩阵(1, -2), (3,1)⎪，
⎩3x +y =8⎝31⎭
⎛1⎫⎛-2⎫
⎪叫做系数矩阵的列向量；
31⎝⎭⎝⎭
叫做系数矩阵的两个行向量；2行1列的矩阵 ⎪,
（3）当矩阵的行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵，简称方阵；我们把主对角线元素为1、其余元素均为零的方矩阵，如 2. 矩阵的运算及其性质
⎛10⎫
⎪，叫做单位矩阵.
⎝01⎭
（1）矩阵的加法，若A =(a ij ) m ⨯n
⎛a 11 a = 21 ⎝a m 1
a 12a 22 a m 2
a 1n ⎫⎛b 11b 12
⎪
a 2n ⎪b 21b 22
，B =(b ij ) m ⨯n =
⎪
⎪
a mn ⎭⎝b m 1b m 2 b 1n ⎫
⎪
b 2n ⎪
，则 ⎪ ⎪
b mn ⎭
a 11+b 11
C =A +B =
a 12+b 12a 22+b 22
a 1n +b 1n
.
a 21+b 21
a m 1+b m 1
a 2n +b 2n
a m 2+b m 2 a mn +b mn
（2）矩阵的加法满足性质: 交换律, 结合律.
（3）数与矩阵乘法定义：以数k 乘矩阵A =(a ij ) 的每个元素所得的矩阵(ka ij ) 叫做数k 与矩阵A 相乘的积，记作kA ；
（4）设矩阵A =
⎛a 11⎝a 21a 12⎫⎛b 11b 12⎫⎛c 11c 12⎫
, B =, C =
⎪ ⎪ ⎪. 如果它们元素间的关系可以用下列等式表a 22⎭b b c c ⎝2122⎭⎝2122⎭
示：c ij =a i 1b 1j +a i 2b 2j (i =1,2; j =1,2) ，则C 叫做矩阵A 和矩阵B 的积，记作C =AB （5）矩阵A 的初等变换，指的是对A 实施如下变换： 3．行列式的有关概念与性质 （1）初中代数中，二元线性方程组⎨
⎧a 1x +b 1y =c 1
, 当a 1b 2-a 2b 1≠0时，二元线性方程组有唯一解：
a x +b y =c ⎩222
c 1b 2-c 2b 1⎧
x =⎪a 1b 2-a 2b 1a c a c ⎪
ad -bc ，为了方便记忆，引入定义，叫做二阶行列式， =⎨
a c -a c b d b d 21⎪y =12
⎪a 1b 2-a 2b 1⎩
a 1b 1c 1b 1a 1c 1
ad -bc 叫做二阶行列式的展开式；设D =，D x =，D y =，则方程组的唯一解
a 2b 2c 2b 2a 2c 2