13.1 轴对称
【教学目标】
1.知识与能力
（1）理解并掌握轴对称、轴对称图形的概念，能够判断一个图形是否是轴对称图形．
（2）探索轴对称的性质，并能够利用轴对称的性质作轴对称图形．
（3）探索线段垂直平分线的性质，能够利用其解决相关问题．
2.过程与方法
在探索轴对称性质的过程中体会数学的美，在探索线段垂直平分线性质的过程中感受逻辑推理的严谨性．
3.情感、态度与价值观
培养学生的审美情趣，激发学生学习兴趣．
【教学重点】
（1）理解并掌握轴对称、轴对称图形的概念，能够判断一个图形是否是轴对称图形．
（2）探索轴对称的性质，并能够利用轴对称的性质作轴对称图形．
（3）探索线段垂直平分线的性质，能够利用其解决相关问题．
【教学难点】轴对称、线段垂直平分线性质的探索．
【教学方法】创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．
【教学过程】
一、创设情境，欣赏图片，感受生活中的轴对称现象和轴对称图形，归纳轴对称和轴对称图形的概念
活动1
我们生活在图形的世界中，许多美丽的事物往往与图形的对称联系在一起，（一边播放图片一边叙述）．无论是随风起舞的风筝，凌空翱翔的飞机，还是中外各式风格的典型建筑；无论是艺术家的创造，还是日常生活中的图案的设计，甚至是照镜子，都和对称密不可分．
问题：观察下列几幅图片，大家观察后回答下列问题：（先出示建筑物、柳叶、蝴蝶、窗花等图片，然后出示投影片）．
（1）这些图形有什么共同的特征？
（2）你能举出几个生活中具有对称特征的物体，并与同伴进行交流吗？ 学生活动设计：
学生观察图形，讨论其具有的共同特征，可以发现这些图形沿一条直线对折，直线两旁的部分可以互相重合，比如在生活中具有这种特征的物体有：飞机、风筝、汽车等．
教师活动设计：
经过学生讨论，找到特征后，引导学生归纳轴对称图形的概念．
归纳：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴．
活动2
问题
出示图片（教材图13.1－3）下面的每对图形有什么共同特点？你能概括这些特点吗？
学生活动设计：
学生观察图片，在独立思考的基础上进行交流，共同总结每对图形所具有的特征，学生可能发现：沿某条直线对折，两个图形能够完全重合．
教师活动设计：
在学生交流的基础上，引导学生对轴对称的概念进行归纳．
把一个图形沿着某条直线对折，如果能够和另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
之后教师引导学生对轴对称和轴对称图形进行讨论交流，加深理解：
轴对称是说两个图形的位置关系．而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形．
轴对称的两个图形和轴对称图形都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就是关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
二、主体探究、合作交流，探究轴对称图形的性质和线段垂直平分线的性质 活动3
如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′和直线MN有什么关系？
B'
学生活动设计：
学生自行分析操作过程，从操作过程中发现数量关系，点A和A′是对称点，可以设AA′与对称轴的交点为P，将△ABC沿MN对折后A与A′重合，于是有AP=PA′、∠MPA=∠MPA′＝90°，对于其他的点也有类似的情况，于是可以发现，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点并且垂直于这条线段．
教师活动设计：
鼓励学生经过独立思考，发现数量关系并进行交流，同时给出线段垂直平分线的定义：“经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线”，进而引导学生进行归纳：
轴对称的性质：“如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点的所连线段的垂直平分线”．
“轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”．
活动4
问题：如图，木条l与AB钉在一起，l垂直平分AB，点P是l上的点，当点P在l上移动时，分别量出点P到A、B的距离，你有什么发现？你能证明你的结论吗？
学生活动设计：
学生观察、操作、思考可以得出线段垂直平分线的性质，然后运用所学知识证明结论的正确性：根据条件OA=OB、∠AOP=∠BOP、OP=OP由SAS可以得出△AOP≌△BOP，于是得出AP=BP．
教师活动设计：
鼓励学生大胆猜测，然后验证自己的猜测，从而让学生体会数学的学习是“猜测－验证”过程．
引导学生进行归纳：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等． 活动5
问题
类比探究角平分线的性质的过程自行探究“到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”．
引导学生归纳：如果两个图形成轴对称，其中对称轴就是任何一对对应点连线的垂直平分线，因此只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴；对于轴对称图形也是类似．
三、应用提高、拓展创新
问题
如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条对称轴吗？
（学生在教师的引导下，利用尺规作图作出线段AB的垂直平分线，然后由学生进行证明．）
问题
电信部门要修建一个电视信号发射塔．如图所示，按照要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等。发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．
学生活动设计：
根据问题的条件和要求，可以发现发射塔必须修建在公路所成角的平分线上，同时还要在线段AB的垂直平分线上，只要作出角的平分线和线段AB的垂直平分线，两者的交点就是符合条件的点．
教师活动设计：
引导学生根据角平分线性质和线段垂直平分线性质寻找符合条件的点．
四、归纳小结、布置作业
小结：
1．轴对称、轴对称图形的概念；
2．轴对称、轴对称图形的性质；
3．线段垂直平分线的性质．
作业：习题13.1．
13.1 轴对称
【教学目标】
1.知识与能力
（1）理解并掌握轴对称、轴对称图形的概念，能够判断一个图形是否是轴对称图形．
（2）探索轴对称的性质，并能够利用轴对称的性质作轴对称图形．
（3）探索线段垂直平分线的性质，能够利用其解决相关问题．
2.过程与方法
在探索轴对称性质的过程中体会数学的美，在探索线段垂直平分线性质的过程中感受逻辑推理的严谨性．
3.情感、态度与价值观
培养学生的审美情趣，激发学生学习兴趣．
【教学重点】
（1）理解并掌握轴对称、轴对称图形的概念，能够判断一个图形是否是轴对称图形．
（2）探索轴对称的性质，并能够利用轴对称的性质作轴对称图形．
（3）探索线段垂直平分线的性质，能够利用其解决相关问题．
【教学难点】轴对称、线段垂直平分线性质的探索．
【教学方法】创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．
【教学过程】
一、创设情境，欣赏图片，感受生活中的轴对称现象和轴对称图形，归纳轴对称和轴对称图形的概念
活动1
我们生活在图形的世界中，许多美丽的事物往往与图形的对称联系在一起，（一边播放图片一边叙述）．无论是随风起舞的风筝，凌空翱翔的飞机，还是中外各式风格的典型建筑；无论是艺术家的创造，还是日常生活中的图案的设计，甚至是照镜子，都和对称密不可分．
问题：观察下列几幅图片，大家观察后回答下列问题：（先出示建筑物、柳叶、蝴蝶、窗花等图片，然后出示投影片）．
（1）这些图形有什么共同的特征？
（2）你能举出几个生活中具有对称特征的物体，并与同伴进行交流吗？ 学生活动设计：
学生观察图形，讨论其具有的共同特征，可以发现这些图形沿一条直线对折，直线两旁的部分可以互相重合，比如在生活中具有这种特征的物体有：飞机、风筝、汽车等．
教师活动设计：
经过学生讨论，找到特征后，引导学生归纳轴对称图形的概念．
归纳：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴．
活动2
问题
出示图片（教材图13.1－3）下面的每对图形有什么共同特点？你能概括这些特点吗？
学生活动设计：
学生观察图片，在独立思考的基础上进行交流，共同总结每对图形所具有的特征，学生可能发现：沿某条直线对折，两个图形能够完全重合．
教师活动设计：
在学生交流的基础上，引导学生对轴对称的概念进行归纳．
把一个图形沿着某条直线对折，如果能够和另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
之后教师引导学生对轴对称和轴对称图形进行讨论交流，加深理解：
轴对称是说两个图形的位置关系．而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形．
轴对称的两个图形和轴对称图形都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就是关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
二、主体探究、合作交流，探究轴对称图形的性质和线段垂直平分线的性质 活动3
如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′和直线MN有什么关系？
B'
学生活动设计：
学生自行分析操作过程，从操作过程中发现数量关系，点A和A′是对称点，可以设AA′与对称轴的交点为P，将△ABC沿MN对折后A与A′重合，于是有AP=PA′、∠MPA=∠MPA′＝90°，对于其他的点也有类似的情况，于是可以发现，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点并且垂直于这条线段．
教师活动设计：
鼓励学生经过独立思考，发现数量关系并进行交流，同时给出线段垂直平分线的定义：“经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线”，进而引导学生进行归纳：
轴对称的性质：“如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点的所连线段的垂直平分线”．
“轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”．
活动4
问题：如图，木条l与AB钉在一起，l垂直平分AB，点P是l上的点，当点P在l上移动时，分别量出点P到A、B的距离，你有什么发现？你能证明你的结论吗？
学生活动设计：
学生观察、操作、思考可以得出线段垂直平分线的性质，然后运用所学知识证明结论的正确性：根据条件OA=OB、∠AOP=∠BOP、OP=OP由SAS可以得出△AOP≌△BOP，于是得出AP=BP．
教师活动设计：
鼓励学生大胆猜测，然后验证自己的猜测，从而让学生体会数学的学习是“猜测－验证”过程．
引导学生进行归纳：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等． 活动5
问题
类比探究角平分线的性质的过程自行探究“到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”．
引导学生归纳：如果两个图形成轴对称，其中对称轴就是任何一对对应点连线的垂直平分线，因此只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴；对于轴对称图形也是类似．
三、应用提高、拓展创新
问题
如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条对称轴吗？
（学生在教师的引导下，利用尺规作图作出线段AB的垂直平分线，然后由学生进行证明．）
问题
电信部门要修建一个电视信号发射塔．如图所示，按照要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等。发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．
学生活动设计：
根据问题的条件和要求，可以发现发射塔必须修建在公路所成角的平分线上，同时还要在线段AB的垂直平分线上，只要作出角的平分线和线段AB的垂直平分线，两者的交点就是符合条件的点．
教师活动设计：
引导学生根据角平分线性质和线段垂直平分线性质寻找符合条件的点．
四、归纳小结、布置作业
小结：
1．轴对称、轴对称图形的概念；
2．轴对称、轴对称图形的性质；
3．线段垂直平分线的性质．
作业：习题13.1．