第六节 压缩映象原理及其应用
本节作为完备度量空间何重要特征，我们介绍Banach 压缩映象原理，它在许多关于存在唯一性的定理证明中是一个有力的工具。
随着现代电子计算机技术的发展，我们在解方程（包括常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等）的过程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法。几乎可以这样说：对一个方程，只要我们找到一个迭代公式，就算解出了这个方程（当然我们还要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问题）。但是，在逐次迭代中，我们必须保证迭代过程中得到的是个收敛序列，否则就是毫无意义的了。而选代法解方程的实质就是寻求变换（映射、映照）的不动点。例如求方程f(x)=0的根，我们可令g(x)=x-f(x)，则求f(x)=0的根就变成求g(x)的不动点，即求x 0, 使g (x 0)=x 0. 而在通常求映射的不动点的方法中，最简单的就是下面我们所讲的--Banach 压缩映象定理。 定义（压缩映象）
设T 是度量空间X 到X 中的映照，如果对∀x ∈X , y ∈X 都有
)0
从几何上说：压缩映照即点x 和y 经过映照T 后，它们的像的距离缩短了（不超过d(x,y)的α倍）
定理1（Banach 压缩映照原理）1922年
（Banach 1892-1945 波兰数学家）
设（X,d ）是一个完备度量空间，T 是X 上的一个压缩映照，则丅有唯一的不动点。即∃的x ∈X 使Tx =x . 证：任取x 0∈X , 令x 1=Tx 0, x 2=Tx 1,... x n =Tx n -1,...
（此即解方程的逐次迭代法） 先证{x n }是Cauchy 点列 ① ① 先考虑相邻两点的距离
d (x m +1, x m )=d (Tx m , Tx m -1)≤αd (x m , x m -1)≤α2d (x m -1, x m -2)≤... ≤αm d (x 1, x 0)
②再考虑任意两点的距离 当n>m时
m m +1n -1
()()≤αd x , x +αd x , x +... +αd (x 1, x 0) 1010
d (x n , x m )≤d (x m , x m +1)+d (x m +1, x m +2)+... +d (x n -1, x n )
m
=(α
αm (1-αn -m )αm →∞
d (x 1, x 0)≤d (x 1, x 0)−m −−→0
1-α1-α =
∴
+αm +1+... +αn -1d (x 1, x 0)
)
{x n }是Cauchy 点列
是完备度量空间, ∴∃x ∈X 使x n →x
下证x 为不动点
X
n →∞
()()≤d x , x +αd x , x −−−→0 n n -1
d (x , Tx )≤d (x , x n )+d (x n , Tx )≤d (x , x n )+d (Tx n -1, Tx )
再证不动点唯一 ' ' ' x ∈X Tx =x 若还有, 使 ' ' ' ()()() d x , x =d Tx , Tx ≤αd x , x 则
' '
α
注:①定理条件(a)X完备,(b)α
(a)若X 不完备, 则定理不成立
例如:令X=(0,1),用欧氏距离,
∀x , y ∈X , d (Tx , Ty )=
Tx =
1x 2
则
但不动点0∉X
(b)α=1定理不成立
例如:令 X=R用欧氏距离 Tx =x +1
1
x -y
则 ∀x , y ∈X , d (Tx , Ty )=x -y =d (x , y )但显然T 无不动点。
②若将空间X 条件加强为紧距空间，则压缩因子α条件可放
宽为1，即可改为d (Tx , Ty )
限于我们的学时，我们只介绍一下Banach 压缩映象原理的简单应用。
定理2（隐函数存在定理）
设u =f (x , y )在带状区域D ={(x , y ):a ≤x ≤b , -∞
0
f y ' (x , y )
, 且如果存在常数m,M ，适合
. 则方程f (x , y )=0在闭区间[a , b ]上有唯一的连续
函数y =ϕ(x ), 使f (x , ϕ(x ))≡0。
证：（在C [a b ]中考虑映照则有不动点T ϕ=ϕ⇒f (x , ϕ(x ))在完备度量空间C [a
∀ϕ∈C [a
b ]
b ]
T ϕ=ϕ-
1
f (x , ϕ(x ))M ，若其为压缩映照，
1
f (x , ϕ(x ))M
b ]
≡0）
T ϕ=ϕ-
中作映照, 显然, 对
由连续函数的运算性质有
b ]
T ϕ∈C [a
。
到自身的一个映照
下证是压缩的.
d (T ϕ1, T ϕ2)≤αd (ϕ1, ϕ2), ∀ϕ1, ϕ2∈C [a
即证
由微分中值定理, 存在0
T ϕ2-T ϕ1=ϕ2-
∴T 是C [a
b ]
, 0
, 任取
ϕ1, ϕ2∈C [a
b ]
11f (x , ϕ2(x ))-ϕ1-f (x , ϕ1(x ))M M
1'
=(ϕ2-ϕ1)-f y [x , ϕ1(x )+θ(ϕ2(x )-ϕ1(x ))](ϕ2-ϕ1)
M
m ⎫⎛
≤ϕ2(x )-ϕ1(x ) 1-⎪
⎝M ⎭
m
α=1-
M 则 0
取最大值 ⇒d (T ϕ2, T ϕ1)≤αd (ϕ2, ϕ1), 0
∴映照T 是压缩的. 由Banach 压缩映象定理
在C [a b ]上有唯一的不动点ϕ(x )使 T ϕ=ϕ 显然这个不动点适合f (x , ϕ(x ))≡0
注：① 注意本定理的证明思路：先确定空间，再找映照（这是难点）, 然后证明此映照是压缩的，最后利用定理即得。注意到这是利用Banach 压缩映照定理解题的一般方法。
② ② 此隐函数存在定理给出的条件强于数学分析中隐函数存在定理所给出的条件，因而得出的结论也强些：此处得出区间上的连续隐函数y =ϕ(x ).
下面我们介绍Banach 不动点定理在常微分方程解的存在唯一性定理中的应用--Picard 定理. 定理3：（Picard 定理 Cauchy--Peano微分方程解的存在唯一
性定理）
（Picard 法国人 1856—1941 Peano 意大利人1858--1932） 设f (t , x )在矩形R ={(t , x ):t -t 0≤a , x -x 0≤b }上连续, 设
又f (t , x )在R 上关于x 満足Lipschitz （德
国人 1832--1903）条件, 即存在常数k 使对∀(t , x 1), (t , x 2)∈R 有 f (t , x 1)-f (t , x 2≤k x 1-x 2, 那么方程在区间J =[t 0-β, t 0+β]上有唯一的满足初始条件x (t 0)=x 0的连续函数解. 其中证：设C [t -β
f (t , x ≤M , (t , x )∈R
dx
=f (t , x )dt
β
⎧b 1⎫
, ⎬M k ⎭ ⎩
t 0+β]
表示在区间J =[t 0-β, t 0+β]上的连续函数全体。
t 0+β]
max
~d (x , y )=x (t )-y (t )
t ∈J 对成完备度量空间。又令C 表示C [t 0-β
中满
~
足条件
x (t )-x 0(t ≤M β(t ∈J )
~
的连续函数全体所成的子空间。显然C
闭, 因而C 也是完备度量空间. 令
Tx (t )=x 0+⎰f (τ, x (τ))d τ
t 0
~
t
M β≤b 如果 x (t )∈C 当 t ∈J 时, (t , x (t ))∈R
而 f (t , x )是R 上的二元连续函数, ∴映照中积分有意义。
t
()t ∈J Tx t -x 0=⎰f (τ, x (τ))d τ≤M t -t 0≤M β≤b
t
又对一切
∴Tx (t )∈C 故
~
T 是C 到C 的一个映照
~~
下证是压缩的。 由Lipschitz 有
, Tv =
t t 0
条件, 对C 中的任意两点 x (t ), v (t )
~
⎰[f (τ, x (τ))-f (τ, v (τ))]d τ
t t 0
≤⎰f (τ, x (τ))-f (τ, v (τ))d τ
≤t -t 0⋅k ⋅
max
x (t )-v (t )≤k β⋅d (x , v )t ∈J
⎧b 1⎫
β
⎩M k ⎭有 0
则
d (Tx , Tv )=
max
-Tv ≤αd (x , v )t ∈J 故
~
T 是压缩的。
由Banach 压缩映象定理,T 在C 中有唯一的不动点. 即 ∃x (t )∈C 使 Tx (t )=x (t )
~
即
∴
x (t )=x 0+⎰f (τ, x (τ))d τ
t 0
t
且 x (t 0)=x 0
dx
=f (t , x )dt 即 x (t )是满足初值条件的连续解。
dx
=f (t , x )dt 满足 x (t 0)=x 0的连续解.
再证唯一性。 如果 x =x (t ) 也是
x (t )=x 0+
~
~~
那么 因而 x ∈C
而且也是T 的不动点. 而T 的不动点是唯一的. 故 x (t )≡x (t )
∴
dx
=f (t , x )dt 有唯一解。
~
⎰
t
t 0
⎛~
f τ, x (⎝
)⎫⎪d τ
⎭
~~
注：题设条件中Lipschitz 条件的要求是十分强的，它保证了解
的唯一性。实际上満足Lipschtz 条件即为一致收敛。因而可在积分号下求导，如果把解的要求降低，例如只要求广
t
义解，即只要求满足积分方程 则题设条件可大大放宽：只要 f (t , x )有界, 即可利用Lebesgue 控制收敛定理得到广义解。
注意到Banach 压缩映照定理不仅证明了方程的解的存在唯一性，而且也提供了求解的方法--逐次逼近法：即只要任取
x (t )=x 0+⎰f (τ, x (τ))d τ
t
x 0∈X , 令 x n =T n x 0 则解
x =
lim n →∞
x n
. 且在Banach 不动点定理的
αn
d (x n , x )≤d (x 1, x 0)
1-α证明中, 有 . 即此式给出了用x n 逼近解x 的误
差估计式。
补充：Brouwer 不动点是定理与Schauder 不动点定理
简介
鉴于不动点理论在现代数学中非常重要的地位，以及不动点理论是现代泛函分析中一个十分活跃的重要分支，下面我们简单
介绍Brouwer 不动点定理和Schauder 不动点定理及其简单应用。 一、Brouwer 不动点定理及其应用： （一）Brouwer 不动点定理
（Brouwer ：荷兰人 1881-1966）
定义（凸集）：
X 为一集, A ⊂X 若 ∀x , y ∈A , ∀λ∈(0, 1), λx +(1-λ)y ∈A 则称A 为X 的凸子集。
定理1（Brouwer 不动点定理）：
*
设A ⊂R n 为 R n 的有界闭凸集，f :A →A 连续, 则 ∃x ∈A 使f (x *)=x *.
证：1、若 A ⊂R 1 证明如下：不妨设 A =[0, 1]
作辅助函数 g (x )=x -f (x ) 显然g (x )在 [0, 1]上连续.
**
从而变成证明 ∃x ∈[0, 1], 使 g (x )=0即可.
显然:g (0)=-f (0)
g (1)=1-f (1)>0 否则g (1)=1-f (1)=0则1为f 之不动点: (证毕) 由连续函数的介值性定理的推论：根的存在定理可得∃x *∈(0, 1)使 g (x *)=0⇒x *=f (x *) 证毕。
n
(n >1), 其证明方法很多，其中纯分析方法的证明要A ⊂R 2、若
用到场论中旋度的概念，且很繁，而简洁的证明要用到拓扑学中映象度理论，因而希望对此有兴趣的同学可参阅张石生《不动点定理及其应用》, 或一般常微分方程教材的附录。
3、注意到Brouwer 不动点定理中的条件是不可缺少的，但某些条件可以减弱。
下面我们讨论Brouwer 不动点定理的应用。 （二）证明代数基本定理：
代数基本定理：
复系数一元n 次方程 个复根。
f (z )=z n +a 1z n -1+a 2z n -2+... +a n 至少有一
证：令 α=2+a 1+a 2+... +a n
f (z )⎧z -i n -1θ⎪
F (z )=⎨α⋅e
f (z )⎪z -
α⋅z n -1⎩作辅助函数
z ≤1z >1
考虑闭圆盘：c ={z :z ≤α}
显然 c为有界闭凸集，且F (z )连续（只要考虑z=1连续即可，而这是显然的。）。下证 F (z )将c 映入c: 当 z ≤1时
F (z =z -
≤1+
f (z )f (z )≤z +
αα⋅e i n -i θ
1+a 1+... +a n
=1+
α-1
αα
n -1
z a z +... +a n
F (z )=z --1
n -1
α≥z ≥1αα⋅z 当 时
a n a 1z n -1a 2z n -2z
≤z -+++... +
αα⋅z n -1α⋅z n -1α⋅z n -1
≤
a 1a 2a n α-1
z +++... +αααz αz n -1
a 1+... +a n
( α≥z ) ≤α-1+
α-1+
α
=
∴F (z ) 将 c映入 c. 由Brouwer 不动点定理
**
∃z *∈c 使 F (z )=z
*
∴∃z *∈c 使 f (z )=0 证毕 （三）证明Perrou 定理： Perrou 定理：
矩阵
*
α-2
A =(a ij )n ⨯n
a ij >0⇒∃λ>0x *=(x 1, x 2,... x n )x j >0n =1, 2,... n
使 Ax =λx .
即：正矩阵一定存在正特征值和特征向量。
⎛a 11... a 1n ⎫ ⎪A = ... ⎪⎧n -1
s =x ∈R n :x i ≥0i =1, 2,... n ⎨ a ⎪
⎩证：设 ⎝n 1... a nn ⎭, 令
*
⎫
x =1⎬∑i i =1⎭
n
为标准单纯形，则
∑∑a
i =1j =1
n n
ij
x j >0
.
f (x )=
Ax
i =1j =1
作映照 显然为连续映照.
n -1n -1
下面先证 f 将 s 映入 s .
∑∑a
n n
ij
x j
⎛n ⎫ ∑a 1j x j ⎪ j =1⎪n ⎪a x ij j ⎪>0Ax = ∑j =1 ⎪ ... ⎪ n ⎪
a x ∑ij j ⎪ j =1⎝⎭注意到 .
n -1
∀x ∈s 则
f (x )∈s n -1 由
Brouwer 不动点定理
Ax *
**
∃x *∈s n -1 使 f x =x 即
()
∑∑a
i =1j =1*
n n
=x *
ij
x *j
.
令
λ=∑∑a ij x *j >0
i =1j =1
n n
则有 Ax
*
=λx *.
n
下证 由
n
x * 的每个分量 x j
严挌大于零.
Ax *=λx * 的第
ij j =1
i 个分量方程为j =1
∑a
ij
*
x *j =λx i
*
∴正矩阵一定存在正特征值λ和特征向量x 。
（四）Rother 证明定理：
Brouwer 定理条件可以减弱，作为Brouwer 不动点定理的推广，下面我们证明Rother 定理。 Rother 定理：
∑a
x *λ>0⇒x i *>0n =1, 2,... n . j >0
f 在 B 上连续, 且当 f (x )≤1, ⇒∃x ∈B
使 =d (x , θ))
⎧y ≥1(y ∉B )⎪y g (y )=⎨⎪y y
B n =x ∈R n :x ≤1
*
n
n
{
x =1
时,
n
n
则 g (y ) 连续, 且 g (y ≤1.
作 F (x )=g [f (x )], 则F 在B n 上连续, 且将B n 映入B n .
由 Brouwer不动点定理,F 有不动点.
****n []()()F x =g f x =x ∃x ∈B 即 , 使得 .
*
下证此 x 为 f 之不动点. 若
x *=1
*
[()]()
x
f (x )x =g [f (x )]=⇒g [f (x )=1f x f (x >1
若 , 则 ⇒1>x =1⇒f (x ≤1
矛盾, .
从而 g [f (x )]=f (x )=x . 故 f有不动点x . 证毕
f x *≤1⇒
(g f x *=f x *=x *;
*
**
***
*
**
***
*
Brouwer 不动点定理有着十分广泛的应用，由于时间关系，我们就不再多谈。对此有兴趣的同学可参阅张石生《不动点理论及其应用》。
我们可以进一步将Brouwer 不动点定理推广到无穷维空间—这就是Schauder 不动点定理。 二、Schauder 不动点定理： （Schauder:1899-1940）
首先我们注意到度量空间中：紧集⇔列紧闭集（致密闭集），在拓扑空间中：紧集⇔任意开复盖都有有限复盖之集。 Schauder 不动点定理：
紧凸集到自身的连续映照必有不动点。 证：（略）
Schauder 不动点定理的应用（略）。
我们还可以将Schauder 不动点定理再推广到多值映照得到
Kakutani 不动点定理。
第六节 压缩映象原理及其应用
本节作为完备度量空间何重要特征，我们介绍Banach 压缩映象原理，它在许多关于存在唯一性的定理证明中是一个有力的工具。
随着现代电子计算机技术的发展，我们在解方程（包括常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等）的过程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法。几乎可以这样说：对一个方程，只要我们找到一个迭代公式，就算解出了这个方程（当然我们还要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问题）。但是，在逐次迭代中，我们必须保证迭代过程中得到的是个收敛序列，否则就是毫无意义的了。而选代法解方程的实质就是寻求变换（映射、映照）的不动点。例如求方程f(x)=0的根，我们可令g(x)=x-f(x)，则求f(x)=0的根就变成求g(x)的不动点，即求x 0, 使g (x 0)=x 0. 而在通常求映射的不动点的方法中，最简单的就是下面我们所讲的--Banach 压缩映象定理。 定义（压缩映象）
设T 是度量空间X 到X 中的映照，如果对∀x ∈X , y ∈X 都有
)0
从几何上说：压缩映照即点x 和y 经过映照T 后，它们的像的距离缩短了（不超过d(x,y)的α倍）
定理1（Banach 压缩映照原理）1922年
（Banach 1892-1945 波兰数学家）
设（X,d ）是一个完备度量空间，T 是X 上的一个压缩映照，则丅有唯一的不动点。即∃的x ∈X 使Tx =x . 证：任取x 0∈X , 令x 1=Tx 0, x 2=Tx 1,... x n =Tx n -1,...
（此即解方程的逐次迭代法） 先证{x n }是Cauchy 点列 ① ① 先考虑相邻两点的距离
d (x m +1, x m )=d (Tx m , Tx m -1)≤αd (x m , x m -1)≤α2d (x m -1, x m -2)≤... ≤αm d (x 1, x 0)
②再考虑任意两点的距离 当n>m时
m m +1n -1
()()≤αd x , x +αd x , x +... +αd (x 1, x 0) 1010
d (x n , x m )≤d (x m , x m +1)+d (x m +1, x m +2)+... +d (x n -1, x n )
m
=(α
αm (1-αn -m )αm →∞
d (x 1, x 0)≤d (x 1, x 0)−m −−→0
1-α1-α =
∴
+αm +1+... +αn -1d (x 1, x 0)
)
{x n }是Cauchy 点列
是完备度量空间, ∴∃x ∈X 使x n →x
下证x 为不动点
X
n →∞
()()≤d x , x +αd x , x −−−→0 n n -1
d (x , Tx )≤d (x , x n )+d (x n , Tx )≤d (x , x n )+d (Tx n -1, Tx )
再证不动点唯一 ' ' ' x ∈X Tx =x 若还有, 使 ' ' ' ()()() d x , x =d Tx , Tx ≤αd x , x 则
' '
α
注:①定理条件(a)X完备,(b)α
(a)若X 不完备, 则定理不成立
例如:令X=(0,1),用欧氏距离,
∀x , y ∈X , d (Tx , Ty )=
Tx =
1x 2
则
但不动点0∉X
(b)α=1定理不成立
例如:令 X=R用欧氏距离 Tx =x +1
1
x -y
则 ∀x , y ∈X , d (Tx , Ty )=x -y =d (x , y )但显然T 无不动点。
②若将空间X 条件加强为紧距空间，则压缩因子α条件可放
宽为1，即可改为d (Tx , Ty )
限于我们的学时，我们只介绍一下Banach 压缩映象原理的简单应用。
定理2（隐函数存在定理）
设u =f (x , y )在带状区域D ={(x , y ):a ≤x ≤b , -∞
0
f y ' (x , y )
, 且如果存在常数m,M ，适合
. 则方程f (x , y )=0在闭区间[a , b ]上有唯一的连续
函数y =ϕ(x ), 使f (x , ϕ(x ))≡0。
证：（在C [a b ]中考虑映照则有不动点T ϕ=ϕ⇒f (x , ϕ(x ))在完备度量空间C [a
∀ϕ∈C [a
b ]
b ]
T ϕ=ϕ-
1
f (x , ϕ(x ))M ，若其为压缩映照，
1
f (x , ϕ(x ))M
b ]
≡0）
T ϕ=ϕ-
中作映照, 显然, 对
由连续函数的运算性质有
b ]
T ϕ∈C [a
。
到自身的一个映照
下证是压缩的.
d (T ϕ1, T ϕ2)≤αd (ϕ1, ϕ2), ∀ϕ1, ϕ2∈C [a
即证
由微分中值定理, 存在0
T ϕ2-T ϕ1=ϕ2-
∴T 是C [a
b ]
, 0
, 任取
ϕ1, ϕ2∈C [a
b ]
11f (x , ϕ2(x ))-ϕ1-f (x , ϕ1(x ))M M
1'
=(ϕ2-ϕ1)-f y [x , ϕ1(x )+θ(ϕ2(x )-ϕ1(x ))](ϕ2-ϕ1)
M
m ⎫⎛
≤ϕ2(x )-ϕ1(x ) 1-⎪
⎝M ⎭
m
α=1-
M 则 0
取最大值 ⇒d (T ϕ2, T ϕ1)≤αd (ϕ2, ϕ1), 0
∴映照T 是压缩的. 由Banach 压缩映象定理
在C [a b ]上有唯一的不动点ϕ(x )使 T ϕ=ϕ 显然这个不动点适合f (x , ϕ(x ))≡0
注：① 注意本定理的证明思路：先确定空间，再找映照（这是难点）, 然后证明此映照是压缩的，最后利用定理即得。注意到这是利用Banach 压缩映照定理解题的一般方法。
② ② 此隐函数存在定理给出的条件强于数学分析中隐函数存在定理所给出的条件，因而得出的结论也强些：此处得出区间上的连续隐函数y =ϕ(x ).
下面我们介绍Banach 不动点定理在常微分方程解的存在唯一性定理中的应用--Picard 定理. 定理3：（Picard 定理 Cauchy--Peano微分方程解的存在唯一
性定理）
（Picard 法国人 1856—1941 Peano 意大利人1858--1932） 设f (t , x )在矩形R ={(t , x ):t -t 0≤a , x -x 0≤b }上连续, 设
又f (t , x )在R 上关于x 満足Lipschitz （德
国人 1832--1903）条件, 即存在常数k 使对∀(t , x 1), (t , x 2)∈R 有 f (t , x 1)-f (t , x 2≤k x 1-x 2, 那么方程在区间J =[t 0-β, t 0+β]上有唯一的满足初始条件x (t 0)=x 0的连续函数解. 其中证：设C [t -β
f (t , x ≤M , (t , x )∈R
dx
=f (t , x )dt
β
⎧b 1⎫
, ⎬M k ⎭ ⎩
t 0+β]
表示在区间J =[t 0-β, t 0+β]上的连续函数全体。
t 0+β]
max
~d (x , y )=x (t )-y (t )
t ∈J 对成完备度量空间。又令C 表示C [t 0-β
中满
~
足条件
x (t )-x 0(t ≤M β(t ∈J )
~
的连续函数全体所成的子空间。显然C
闭, 因而C 也是完备度量空间. 令
Tx (t )=x 0+⎰f (τ, x (τ))d τ
t 0
~
t
M β≤b 如果 x (t )∈C 当 t ∈J 时, (t , x (t ))∈R
而 f (t , x )是R 上的二元连续函数, ∴映照中积分有意义。
t
()t ∈J Tx t -x 0=⎰f (τ, x (τ))d τ≤M t -t 0≤M β≤b
t
又对一切
∴Tx (t )∈C 故
~
T 是C 到C 的一个映照
~~
下证是压缩的。 由Lipschitz 有
, Tv =
t t 0
条件, 对C 中的任意两点 x (t ), v (t )
~
⎰[f (τ, x (τ))-f (τ, v (τ))]d τ
t t 0
≤⎰f (τ, x (τ))-f (τ, v (τ))d τ
≤t -t 0⋅k ⋅
max
x (t )-v (t )≤k β⋅d (x , v )t ∈J
⎧b 1⎫
β
⎩M k ⎭有 0
则
d (Tx , Tv )=
max
-Tv ≤αd (x , v )t ∈J 故
~
T 是压缩的。
由Banach 压缩映象定理,T 在C 中有唯一的不动点. 即 ∃x (t )∈C 使 Tx (t )=x (t )
~
即
∴
x (t )=x 0+⎰f (τ, x (τ))d τ
t 0
t
且 x (t 0)=x 0
dx
=f (t , x )dt 即 x (t )是满足初值条件的连续解。
dx
=f (t , x )dt 满足 x (t 0)=x 0的连续解.
再证唯一性。 如果 x =x (t ) 也是
x (t )=x 0+
~
~~
那么 因而 x ∈C
而且也是T 的不动点. 而T 的不动点是唯一的. 故 x (t )≡x (t )
∴
dx
=f (t , x )dt 有唯一解。
~
⎰
t
t 0
⎛~
f τ, x (⎝
)⎫⎪d τ
⎭
~~
注：题设条件中Lipschitz 条件的要求是十分强的，它保证了解
的唯一性。实际上満足Lipschtz 条件即为一致收敛。因而可在积分号下求导，如果把解的要求降低，例如只要求广
t
义解，即只要求满足积分方程 则题设条件可大大放宽：只要 f (t , x )有界, 即可利用Lebesgue 控制收敛定理得到广义解。
注意到Banach 压缩映照定理不仅证明了方程的解的存在唯一性，而且也提供了求解的方法--逐次逼近法：即只要任取
x (t )=x 0+⎰f (τ, x (τ))d τ
t
x 0∈X , 令 x n =T n x 0 则解
x =
lim n →∞
x n
. 且在Banach 不动点定理的
αn
d (x n , x )≤d (x 1, x 0)
1-α证明中, 有 . 即此式给出了用x n 逼近解x 的误
差估计式。
补充：Brouwer 不动点是定理与Schauder 不动点定理
简介
鉴于不动点理论在现代数学中非常重要的地位，以及不动点理论是现代泛函分析中一个十分活跃的重要分支，下面我们简单
介绍Brouwer 不动点定理和Schauder 不动点定理及其简单应用。 一、Brouwer 不动点定理及其应用： （一）Brouwer 不动点定理
（Brouwer ：荷兰人 1881-1966）
定义（凸集）：
X 为一集, A ⊂X 若 ∀x , y ∈A , ∀λ∈(0, 1), λx +(1-λ)y ∈A 则称A 为X 的凸子集。
定理1（Brouwer 不动点定理）：
*
设A ⊂R n 为 R n 的有界闭凸集，f :A →A 连续, 则 ∃x ∈A 使f (x *)=x *.
证：1、若 A ⊂R 1 证明如下：不妨设 A =[0, 1]
作辅助函数 g (x )=x -f (x ) 显然g (x )在 [0, 1]上连续.
**
从而变成证明 ∃x ∈[0, 1], 使 g (x )=0即可.
显然:g (0)=-f (0)
g (1)=1-f (1)>0 否则g (1)=1-f (1)=0则1为f 之不动点: (证毕) 由连续函数的介值性定理的推论：根的存在定理可得∃x *∈(0, 1)使 g (x *)=0⇒x *=f (x *) 证毕。
n
(n >1), 其证明方法很多，其中纯分析方法的证明要A ⊂R 2、若
用到场论中旋度的概念，且很繁，而简洁的证明要用到拓扑学中映象度理论，因而希望对此有兴趣的同学可参阅张石生《不动点定理及其应用》, 或一般常微分方程教材的附录。
3、注意到Brouwer 不动点定理中的条件是不可缺少的，但某些条件可以减弱。
下面我们讨论Brouwer 不动点定理的应用。 （二）证明代数基本定理：
代数基本定理：
复系数一元n 次方程 个复根。
f (z )=z n +a 1z n -1+a 2z n -2+... +a n 至少有一
证：令 α=2+a 1+a 2+... +a n
f (z )⎧z -i n -1θ⎪
F (z )=⎨α⋅e
f (z )⎪z -
α⋅z n -1⎩作辅助函数
z ≤1z >1
考虑闭圆盘：c ={z :z ≤α}
显然 c为有界闭凸集，且F (z )连续（只要考虑z=1连续即可，而这是显然的。）。下证 F (z )将c 映入c: 当 z ≤1时
F (z =z -
≤1+
f (z )f (z )≤z +
αα⋅e i n -i θ
1+a 1+... +a n
=1+
α-1
αα
n -1
z a z +... +a n
F (z )=z --1
n -1
α≥z ≥1αα⋅z 当 时
a n a 1z n -1a 2z n -2z
≤z -+++... +
αα⋅z n -1α⋅z n -1α⋅z n -1
≤
a 1a 2a n α-1
z +++... +αααz αz n -1
a 1+... +a n
( α≥z ) ≤α-1+
α-1+
α
=
∴F (z ) 将 c映入 c. 由Brouwer 不动点定理
**
∃z *∈c 使 F (z )=z
*
∴∃z *∈c 使 f (z )=0 证毕 （三）证明Perrou 定理： Perrou 定理：
矩阵
*
α-2
A =(a ij )n ⨯n
a ij >0⇒∃λ>0x *=(x 1, x 2,... x n )x j >0n =1, 2,... n
使 Ax =λx .
即：正矩阵一定存在正特征值和特征向量。
⎛a 11... a 1n ⎫ ⎪A = ... ⎪⎧n -1
s =x ∈R n :x i ≥0i =1, 2,... n ⎨ a ⎪
⎩证：设 ⎝n 1... a nn ⎭, 令
*
⎫
x =1⎬∑i i =1⎭
n
为标准单纯形，则
∑∑a
i =1j =1
n n
ij
x j >0
.
f (x )=
Ax
i =1j =1
作映照 显然为连续映照.
n -1n -1
下面先证 f 将 s 映入 s .
∑∑a
n n
ij
x j
⎛n ⎫ ∑a 1j x j ⎪ j =1⎪n ⎪a x ij j ⎪>0Ax = ∑j =1 ⎪ ... ⎪ n ⎪
a x ∑ij j ⎪ j =1⎝⎭注意到 .
n -1
∀x ∈s 则
f (x )∈s n -1 由
Brouwer 不动点定理
Ax *
**
∃x *∈s n -1 使 f x =x 即
()
∑∑a
i =1j =1*
n n
=x *
ij
x *j
.
令
λ=∑∑a ij x *j >0
i =1j =1
n n
则有 Ax
*
=λx *.
n
下证 由
n
x * 的每个分量 x j
严挌大于零.
Ax *=λx * 的第
ij j =1
i 个分量方程为j =1
∑a
ij
*
x *j =λx i
*
∴正矩阵一定存在正特征值λ和特征向量x 。
（四）Rother 证明定理：
Brouwer 定理条件可以减弱，作为Brouwer 不动点定理的推广，下面我们证明Rother 定理。 Rother 定理：
∑a
x *λ>0⇒x i *>0n =1, 2,... n . j >0
f 在 B 上连续, 且当 f (x )≤1, ⇒∃x ∈B
使 =d (x , θ))
⎧y ≥1(y ∉B )⎪y g (y )=⎨⎪y y
B n =x ∈R n :x ≤1
*
n
n
{
x =1
时,
n
n
则 g (y ) 连续, 且 g (y ≤1.
作 F (x )=g [f (x )], 则F 在B n 上连续, 且将B n 映入B n .
由 Brouwer不动点定理,F 有不动点.
****n []()()F x =g f x =x ∃x ∈B 即 , 使得 .
*
下证此 x 为 f 之不动点. 若
x *=1
*
[()]()
x
f (x )x =g [f (x )]=⇒g [f (x )=1f x f (x >1
若 , 则 ⇒1>x =1⇒f (x ≤1
矛盾, .
从而 g [f (x )]=f (x )=x . 故 f有不动点x . 证毕
f x *≤1⇒
(g f x *=f x *=x *;
*
**
***
*
**
***
*
Brouwer 不动点定理有着十分广泛的应用，由于时间关系，我们就不再多谈。对此有兴趣的同学可参阅张石生《不动点理论及其应用》。
我们可以进一步将Brouwer 不动点定理推广到无穷维空间—这就是Schauder 不动点定理。 二、Schauder 不动点定理： （Schauder:1899-1940）
首先我们注意到度量空间中：紧集⇔列紧闭集（致密闭集），在拓扑空间中：紧集⇔任意开复盖都有有限复盖之集。 Schauder 不动点定理：
紧凸集到自身的连续映照必有不动点。 证：（略）
Schauder 不动点定理的应用（略）。
我们还可以将Schauder 不动点定理再推广到多值映照得到
Kakutani 不动点定理。