平面向量与三角形四心的公式 a
1 若P 是△ABC 的重心 PA+PB+PC=0
2 若P 是△ABC 的垂心 PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积)
3 若P 是△ABC 的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边)
4 若P 是△ABC 的外心 |PA|²=|PB|²=|PC|²
(AP 就表示AP 向量 |AP|就是它的模)
5 AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP 经过△ABC 内心
6 AP=λ(AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心
7 AP=λ(AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞)
或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心
8. 若aOA=bOB+cOC,则0为∠A 的旁心, ∠A 及∠B,C 的外角平分线的交点
【以下是一些结论的有关证明】
1.
O 是三角形内心的充要条件是aOA 向量+bOB向量+cOC向量=0向量
充分性:
已知aOA 向量+bOB向量+cOC向量=0向量,
延长CO 交AB 于D ,根据向量加法得:
OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得:
a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,
因为OD 与OC 共线,所以可设OD=kOC,
上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,
向量DA 与DB 共线,向量OC 与向量DA 、DB 不共线,
所以只能有:ka+kb+c=0,aDA+bDB=0向量,
由aDA+bDB=0向量可知:DA 与DB 的长度之比为b/a,
所以CD 为∠ACB 的平分线,同理可证其它的两条也是角平分线。
必要性:
已知O 是三角形内心,
设BO 与AC 相交于E ,CO 与AB 相交于F ,
∵O 是内心
∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE
过A 作CO 的平行线,与BO 的延长线相交于N ,过A 作BO 的平行线,与CO 的延长线相交于M ,
所以四边形OMAN 是平行四边形
根据平行四边形法则,得
向量OA
=向量OM+向量ON
=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO
=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO
=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO ∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO
∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0
2. 已知△ABC 为斜三角形, 且O 是△ABC 所在平面上的一个定点, 动点P 满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)},
求P 点轨迹过三角形的垂心
OP=OA+入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)},
OP-OA=入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)},
AP=入{(AB /|AB|^2*sin2B)+AC /(|AC|^2*sin2C)},
AP•BC=入{(AB•BC /|AB|^2*sin2B)+AC•BC /(|AC|^2*sin2C)},
AP •BC=入{|AB|•|BC|cos(180° -B) / (|AB|^2*sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|^2*sin2C)}, AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|^2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|^2*2sinC cosC)},
AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )},
根据正弦定理得:|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC
∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0,
即AP•BC=0,
P 点轨迹过三角形的垂心
3.
OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP 与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线
根据正弦定理:|AB|/sinC=|AC|/sinB,
所以|AB|sinB=|AC|sinC,
所以AP 与AB+AC共线
AB+AC过BC 中点D ,所以P 点的轨迹也过中点D ,
∴点P 过三角形重心。
4.
OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP•BC=λ(AB•BC cosC/|AB|+AC•BC cosB/|AC|)
=λ([|AB|•|BC|cos(180° -B)cosC/|AB|+|AC|•|BC| cosC cosB/|AC|]
=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]
=0,
所以向量AP 与向量BC 垂直,
P 点的轨迹过垂心。
5.
OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AB/|AB|、AC/|AC|各为AB 、AC 方向上的单位长度向量,
向量AB 与AC 的单位向量的和向量,
因为是单位向量,模长都相等,构成菱形,
向量AB 与AC 的单位向量的和向量为菱形对角线,
易知是角平分线,所以P 点的轨迹经过内心。
平面向量与三角形四心的公式 a
1 若P 是△ABC 的重心 PA+PB+PC=0
2 若P 是△ABC 的垂心 PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积)
3 若P 是△ABC 的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边)
4 若P 是△ABC 的外心 |PA|²=|PB|²=|PC|²
(AP 就表示AP 向量 |AP|就是它的模)
5 AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP 经过△ABC 内心
6 AP=λ(AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心
7 AP=λ(AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞)
或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心
8. 若aOA=bOB+cOC,则0为∠A 的旁心, ∠A 及∠B,C 的外角平分线的交点
【以下是一些结论的有关证明】
1.
O 是三角形内心的充要条件是aOA 向量+bOB向量+cOC向量=0向量
充分性:
已知aOA 向量+bOB向量+cOC向量=0向量,
延长CO 交AB 于D ,根据向量加法得:
OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得:
a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,
因为OD 与OC 共线,所以可设OD=kOC,
上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,
向量DA 与DB 共线,向量OC 与向量DA 、DB 不共线,
所以只能有:ka+kb+c=0,aDA+bDB=0向量,
由aDA+bDB=0向量可知:DA 与DB 的长度之比为b/a,
所以CD 为∠ACB 的平分线,同理可证其它的两条也是角平分线。
必要性:
已知O 是三角形内心,
设BO 与AC 相交于E ,CO 与AB 相交于F ,
∵O 是内心
∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE
过A 作CO 的平行线,与BO 的延长线相交于N ,过A 作BO 的平行线,与CO 的延长线相交于M ,
所以四边形OMAN 是平行四边形
根据平行四边形法则,得
向量OA
=向量OM+向量ON
=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO
=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO
=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO ∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO
∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0
2. 已知△ABC 为斜三角形, 且O 是△ABC 所在平面上的一个定点, 动点P 满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)},
求P 点轨迹过三角形的垂心
OP=OA+入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)},
OP-OA=入{(AB/|AB|^2*sin2B)+AC/(|AC|^2*sin2C)},
AP=入{(AB /|AB|^2*sin2B)+AC /(|AC|^2*sin2C)},
AP•BC=入{(AB•BC /|AB|^2*sin2B)+AC•BC /(|AC|^2*sin2C)},
AP •BC=入{|AB|•|BC|cos(180° -B) / (|AB|^2*sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|^2*sin2C)}, AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|^2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|^2*2sinC cosC)},
AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )},
根据正弦定理得:|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC
∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0,
即AP•BC=0,
P 点轨迹过三角形的垂心
3.
OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP 与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线
根据正弦定理:|AB|/sinC=|AC|/sinB,
所以|AB|sinB=|AC|sinC,
所以AP 与AB+AC共线
AB+AC过BC 中点D ,所以P 点的轨迹也过中点D ,
∴点P 过三角形重心。
4.
OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP•BC=λ(AB•BC cosC/|AB|+AC•BC cosB/|AC|)
=λ([|AB|•|BC|cos(180° -B)cosC/|AB|+|AC|•|BC| cosC cosB/|AC|]
=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]
=0,
所以向量AP 与向量BC 垂直,
P 点的轨迹过垂心。
5.
OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AB/|AB|、AC/|AC|各为AB 、AC 方向上的单位长度向量,
向量AB 与AC 的单位向量的和向量,
因为是单位向量,模长都相等,构成菱形,
向量AB 与AC 的单位向量的和向量为菱形对角线,
易知是角平分线,所以P 点的轨迹经过内心。