高考数学圆锥曲线知识点总结 方程的曲线：
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 ) 上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C 上⇔f(x0,y 0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C 上⇔f(x0,y0)≠0。
f 1(x 0, y 0) =0
两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点⇔{2方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。 二、圆：
1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.
2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x2+y2=r2
f (x 0, y 0) =0
(-
(2)一般方程：①当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为
D 2+E 2-4F
2。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+
D E
, -) 22半
径是
D E D 2+E 2-4F
2)2+(y+2)2=4
D E
②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-2,-2);
③当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形.
点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r, 点M 的坐标为(x0,y0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r⇔
(x0-a) 2+(y0-b) 2
⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r 点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=。
直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交⇔有两个公共点；直线与圆相切⇔有一个公共点；直线与圆相离⇔没有公共点。
d =
Aa +Bb +C A 2+B 2
②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离与半
径r 的大小关系来判定。 三、圆锥曲线的统一定义：
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数e(e＞0), 则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率。当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e ＞1时，轨迹为双曲线。 四、椭圆、双曲线、抛物线：
222
⑶等轴双曲线：双曲线x -y =±a 称为等轴双曲线，其渐近线方程为y =±x ，离心率e =2.
x 2y 2
-2=λ2a b ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线. 与
x 2y 2x 2y 2
-2=0-=-λ2a b a 2b 2互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.
x 2
⑸共渐近线的双曲线系方程：a
x 2
2
的双曲线方程可设为a
2
-
y 2b
2
=λ(λ≠0)
x y x y ±=0±=0a b a b 的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它
-
y 2b 2
=λ(λ≠0)
.
【备注2】抛物线：
p p
22y y 22（1）抛物线=2px(p>0)的焦点坐标是(,0) ，准线方程x=- ，开口向右；抛物线=-2px(p>0)的焦点坐标是p p p p
2x 22(-,0) ，准线方程x=，开口向左；抛物线=2py(p>0)的焦点坐标是(0,2) ，准线方程y=-2 ，开口向上； p p
2x 抛物线=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-2），准线方程y=2，开口向下.
2
y （2）抛物线=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离
MF =x 0+
p
2
2；抛物线y =-2px(p>0)上的点M(x0,y0)
MF =
与焦点F 的距离
p -x 02
p p
2y （3）设抛物线的标准方程为=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2，顶点到准线的距离2，焦点到
准线的距离为p.
2
y （4）已知过抛物线=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，则线段AB 称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，
2p p 2p
AB =x x =, AF =x +2121x 1+x 2
sin 2α(α为直线AB 的倾斜角) ，y 1y 2=-p ，42(AF 叫则弦长=+p或
做焦半径).
五、坐标的变换：
（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向) 叫做坐标变换. 实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.
（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。
（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M ，它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y) ，在新坐标系x ′O ′y ′中
x =x ' +h x ' =x -h
' ' (x , y ) . 设新坐标系的原点O ′在原坐标系xOy 中的坐标是(h,k)，则 y =y ' +k 或 y ' =y -k 的坐标是
叫做平移(或移轴) 公式.
点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角.
PT 平分△PF1F2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
x 0x y 0y x 2y 2
+2=1+=1222P (x , y ) P a b 0000a b 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
x 2y 2
+2=12P P (x , y ) 000a b 若在椭圆外，则过0作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x 0x y 0y
+2=1a 2b .
x 2y 2
+2=12∠F 1PF 2=γ，则椭圆的焦点角形b 椭圆a (a＞b ＞0) 的左右焦点分别为F1，F 2，点P 为椭圆上任意一点
S ∆F 1PF 2=b 2tan
γ
2.
的面积为
x 2y 2
+2=12|MF 1|=a +ex 0, |MF 2|=a -ex 0(F 1(-c ,0) , F 2(c ,0) M (x 0, y 0) ). a b 椭圆（a ＞b ＞0）的焦半径公式
设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的
椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和A2Q 交于点M ，A2P 和A1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
x y b K AB +=1k ⋅k =-OM AB 222(x , y ) b a ，AB 是椭圆a 的不平行于对称轴的弦，M 00为AB 的中点，则即x 0x y 0y x 02y 02x 2y 2
+2=2+2+2=122P (x , y ) 000a b a b ； a b 若在椭圆内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
【推论】：
222
b 2x 0
=-2
a y 0。
x 2y 2x 2y 2x 0x y 0y x 2y 2
+2=2+2+2=1+2=1222P (x , y ) b a b 。b b 1、若000在椭圆a 内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是a 椭圆a （a
＞b ＞o ）的两个顶点为
A 1(-a ,0) , A 2(a ,0) ，与y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程
x 2y 2
-2=12
b 是a .
x 2y 2
+2=12A (x 0, y 0) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线b 2、过椭圆a (a＞0, b ＞0) 上任一点
k BC
BC 有定向且
b 2x 0
=2
a y 0（常数）.
x 2y 2
+2=12∠PF 1F 2=α, ∠PF 2F 1=β，则b 3、若P 为椭圆a （a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, a -c αβ
=tan co t a +c 22.
x 2y 2
+2=12
b 4、设椭圆a （a ＞b ＞0）的两个焦点为F1、F2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，sin αc
==e
∠F 1PF 2=α, ∠PF 1F 2=β, ∠F 1F 2P =γ，则有sin β+sin γa 记.
x 2y 2
+2=12
b 5、若椭圆a （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L ，则当0＜e
1时，可在椭圆上
求一点P ，使得PF1是P 到对应准线距离d 与PF2的比例中项.
x 2y 2
+2=12a b 6、P 为椭圆（a ＞b ＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则
2a -|AF 2|≤|PA |+|PF 1|≤2a +|AF 1|, 当且仅当A , F 2, P 三点共线时，等号成立.
(x -x 0) 2(y -y 0) 2
+=122x a b 7、椭圆与直线A +
B +y 0=C 有公共点的充要条件是
A 2a 2+B 2b 2≥(Ax 0+By 0+C ) 2.
x 2y 2
+2=12
b 8、已知椭圆a （a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP ⊥OQ . （1）
222211114a b a b +=+
|OP |2|OQ |2a 2b 2; （2）|OP|2+|OQ|2的最大值为a 2+b 2; （3）S ∆OPQ 的最小值是a 2+b 2.
x 2y 2
+2=12
b 9、过椭圆a （a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，|PF |e =|MN |2. 则
x 2y 2
+2=12P (x 0,0) , b 10、已知椭圆a （ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点a 2-b 2a 2-b 2
-
a a . 则
x 2y 2
+2=12∠F 1PF 2=θ，则b 11、设P 点是椭圆a （ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记
γ2b 2
S ∆PF 1F 2=b 2tan |PF 1||PF 2|=
2. 1+cos θ.(2) (1)
x 2y 2
+2=12
b 12、设A 、B 是椭圆a （ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，∠PAB =α,
2ab 2|cos α|
|PA |=222
∠PBA =β, ∠BPA =γ，a -c co s γ.(2) tan αtan β=1-e 2.(3) c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)
S ∆PAB
2a 2b 2
=2cot γb -a 2.
x 2y 2
+2=12a b 13、已知椭圆（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B
两点, 点C 在右准线l 上，且BC ⊥x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.
14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、椭圆焦三角形中, 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. ） 17、椭圆焦三角形中, 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18、椭圆焦三角形中, 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 七、双曲线的常用结论：
1、点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的内角.
2、PT 平分△PF1F2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3、以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切. （内切：P 在右支；外切：P 在左支）
x 0x y 0y x 2y 2
-2=1-=1222P (x , y ) P b b 5、若000在双曲线a （a ＞0,b ＞0）上，则过0的双曲线的切线方程是a .
x 2y 2
-2=12P (x , y ) 000a b 6、若在双曲线（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦x 0x y 0y -2=12
b P1P2的直线方程是a .
x 2y 2
-2=12∠F 1PF 2=γ，则双曲a b 7、双曲线（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F1，F 2，点P 为双曲线上任意一点
S ∆F 1PF 2=b 2co t
γ
2.
线的焦点角形的面积为
x 2y 2
-2=12F (-c ,0) , F 2(c ,0) ）当M (x 0, y 0) 在右支上时，a b 8、双曲线（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1
|MF 1|=ex 0+a , |MF 2|=ex 0-a ；当M (x 0, y 0) 在左支上时，|MF 1|=-ex 0+a , |MF 2|=-ex 0-a 。
9、设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应
于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
10、过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和A2Q 交于点M ，A2P 和A1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
x y K OM ⋅K AB -=122(x , y ) b 11、AB 是双曲线a （a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M 00为AB 的中点，则
22
b 2x 0
=2
a y 0，
K AB
即
b 2x 0=2
a y 0。
x 0x y 0y x 02y 02x 2y 2
-2=2-2-2=122P (x , y ) 000a b a b . a b 12、若在双曲线（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是x 2y 2x 2y 2x 0x y 0y -2=2-2-2=122P (x , y ) 000a b a b . a b 13、若在双曲线（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
【推论】：
x 2y 2
-2=12A (-a ,0) , A 2(a ,0) ，与y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2时b 1、双曲线a （a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1x 2y 2
+2=12
b A1P1与A2P2交点的轨迹方程是a .
x 2y 2
-2=12A (x 0, y 0) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则b 2、过双曲线a （a ＞0,b ＞o ）上任一点
k BC
直线BC 有定向且
b 2x 0
=-2
a y 0（常数）.
x 2y 2
-2=12∠PF 1F 2=α, b 3、若P 为双曲线a （a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点,
c -a αβc -a βα
=tan co t =tan co t
∠PF 2F 1=β，则c +a 22（或c +a 22）.
x 2y 2
-2=12a b 4、设双曲线（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F1、F2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2sin αc
==e
∠F 1PF 2=α, ∠PF 1F 2=β, ∠F 1F 2P =γ，则有±(sinγ-sin β) a 中，记.
x 2y 2
-2=12a b 5、若双曲线（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L ，则当1＜e
1时，可在双
曲线上求一点P ，使得PF1是P 到对应准线距离d 与PF2的比例中项.
x 2y 2
-2=12|AF 2|-2a ≤|PA |+|PF 1|, b 6、P 为双曲线a （a ＞0,b ＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则
当且仅当
A , F 2, P 三点共线且P 和A , F 2在y 轴同侧时，等号成立.
x 2y 2
-2=1222222a b 7、双曲线（a ＞0,b ＞0）与直线Ax +By +C =0有公共点的充要条件是A a -B b ≤C . x 2y 2
-2=12a b 8、已知双曲线（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP ⊥OQ .
222211114a b a b +=-2
|OQ |2a 2b 2; （2）|OP|2+|OQ|2的最小值为b 2-a 2; （3）S ∆OPQ 的最小值是b 2-a 2. （1）|OP |
x 2y 2
-2=12a b 9、过双曲线（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交|PF |e
=
x 轴于P ，则|MN |2.
x 2y 2
-2=12P (x 0,0) , a b 10、已知双曲线（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点a 2+b 2a 2+b 2x 0≤-x 0≥
a . a 则或
x 2y 2
-2=12∠F 1PF 2=θ，则a b 11、设P 点是双曲线（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记
γ2b 2
S ∆PF 1F 2=b 2cot |PF 1||PF 2|=
2. 1-cos θ.(2) (1)
x 2y 2
-2=12
b 12、设A 、B 是双曲线a （a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，∠PAB =α,
2ab 2|cos α|
|PA |=222
∠PBA =β, ∠BPA =γ，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|a -c co s γ|.
2
tan αtan β=1-e (2) .(3)
S ∆PAB
2a 2b 2
=2cot γb +a 2.
x 2y 2
-2=12a b 13、已知双曲线（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交
于A 、B 两点, 点C 在右准线l 上，且BC ⊥x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.
14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂
直.
15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、双曲线焦三角形中, 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17、双曲线焦三角形中, 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18双曲线焦三角形中, 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 抛物线的常用结论：
4ac -b 2b (-) 2
4a 2a . ①ay +by +c =x 顶点
2
②y =2px (p ≠0) 则焦点半径
PF =x +
P
2
; x =2py (p ≠0) 则焦点半径为
2
PF =y +
P 2
.
③通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.
⎧x =2pt 2⎧x =2pt ⎨⎨22
y =2pt y =2pt 2y =2px x =2py ⎩⎩④（或）的参数方程为（或）（t 为参数）.
高考数学圆锥曲线知识点总结 方程的曲线：
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 ) 上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C 上⇔f(x0,y 0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C 上⇔f(x0,y0)≠0。
f 1(x 0, y 0) =0
两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点⇔{2方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。 二、圆：
1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.
2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x2+y2=r2
f (x 0, y 0) =0
(-
(2)一般方程：①当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为
D 2+E 2-4F
2。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+
D E
, -) 22半
径是
D E D 2+E 2-4F
2)2+(y+2)2=4
D E
②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-2,-2);
③当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形.
点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r, 点M 的坐标为(x0,y0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r⇔
(x0-a) 2+(y0-b) 2
⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r 点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=。
直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交⇔有两个公共点；直线与圆相切⇔有一个公共点；直线与圆相离⇔没有公共点。
d =
Aa +Bb +C A 2+B 2
②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离与半
径r 的大小关系来判定。 三、圆锥曲线的统一定义：
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数e(e＞0), 则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率。当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e ＞1时，轨迹为双曲线。 四、椭圆、双曲线、抛物线：
222
⑶等轴双曲线：双曲线x -y =±a 称为等轴双曲线，其渐近线方程为y =±x ，离心率e =2.
x 2y 2
-2=λ2a b ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线. 与
x 2y 2x 2y 2
-2=0-=-λ2a b a 2b 2互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.
x 2
⑸共渐近线的双曲线系方程：a
x 2
2
的双曲线方程可设为a
2
-
y 2b
2
=λ(λ≠0)
x y x y ±=0±=0a b a b 的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它
-
y 2b 2
=λ(λ≠0)
.
【备注2】抛物线：
p p
22y y 22（1）抛物线=2px(p>0)的焦点坐标是(,0) ，准线方程x=- ，开口向右；抛物线=-2px(p>0)的焦点坐标是p p p p
2x 22(-,0) ，准线方程x=，开口向左；抛物线=2py(p>0)的焦点坐标是(0,2) ，准线方程y=-2 ，开口向上； p p
2x 抛物线=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-2），准线方程y=2，开口向下.
2
y （2）抛物线=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离
MF =x 0+
p
2
2；抛物线y =-2px(p>0)上的点M(x0,y0)
MF =
与焦点F 的距离
p -x 02
p p
2y （3）设抛物线的标准方程为=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2，顶点到准线的距离2，焦点到
准线的距离为p.
2
y （4）已知过抛物线=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，则线段AB 称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，
2p p 2p
AB =x x =, AF =x +2121x 1+x 2
sin 2α(α为直线AB 的倾斜角) ，y 1y 2=-p ，42(AF 叫则弦长=+p或
做焦半径).
五、坐标的变换：
（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向) 叫做坐标变换. 实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.
（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。
（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M ，它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y) ，在新坐标系x ′O ′y ′中
x =x ' +h x ' =x -h
' ' (x , y ) . 设新坐标系的原点O ′在原坐标系xOy 中的坐标是(h,k)，则 y =y ' +k 或 y ' =y -k 的坐标是
叫做平移(或移轴) 公式.
点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角.
PT 平分△PF1F2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
x 0x y 0y x 2y 2
+2=1+=1222P (x , y ) P a b 0000a b 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
x 2y 2
+2=12P P (x , y ) 000a b 若在椭圆外，则过0作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x 0x y 0y
+2=1a 2b .
x 2y 2
+2=12∠F 1PF 2=γ，则椭圆的焦点角形b 椭圆a (a＞b ＞0) 的左右焦点分别为F1，F 2，点P 为椭圆上任意一点
S ∆F 1PF 2=b 2tan
γ
2.
的面积为
x 2y 2
+2=12|MF 1|=a +ex 0, |MF 2|=a -ex 0(F 1(-c ,0) , F 2(c ,0) M (x 0, y 0) ). a b 椭圆（a ＞b ＞0）的焦半径公式
设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的
椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和A2Q 交于点M ，A2P 和A1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
x y b K AB +=1k ⋅k =-OM AB 222(x , y ) b a ，AB 是椭圆a 的不平行于对称轴的弦，M 00为AB 的中点，则即x 0x y 0y x 02y 02x 2y 2
+2=2+2+2=122P (x , y ) 000a b a b ； a b 若在椭圆内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
【推论】：
222
b 2x 0
=-2
a y 0。
x 2y 2x 2y 2x 0x y 0y x 2y 2
+2=2+2+2=1+2=1222P (x , y ) b a b 。b b 1、若000在椭圆a 内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是a 椭圆a （a
＞b ＞o ）的两个顶点为
A 1(-a ,0) , A 2(a ,0) ，与y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程
x 2y 2
-2=12
b 是a .
x 2y 2
+2=12A (x 0, y 0) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线b 2、过椭圆a (a＞0, b ＞0) 上任一点
k BC
BC 有定向且
b 2x 0
=2
a y 0（常数）.
x 2y 2
+2=12∠PF 1F 2=α, ∠PF 2F 1=β，则b 3、若P 为椭圆a （a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, a -c αβ
=tan co t a +c 22.
x 2y 2
+2=12
b 4、设椭圆a （a ＞b ＞0）的两个焦点为F1、F2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，sin αc
==e
∠F 1PF 2=α, ∠PF 1F 2=β, ∠F 1F 2P =γ，则有sin β+sin γa 记.
x 2y 2
+2=12
b 5、若椭圆a （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L ，则当0＜e
1时，可在椭圆上
求一点P ，使得PF1是P 到对应准线距离d 与PF2的比例中项.
x 2y 2
+2=12a b 6、P 为椭圆（a ＞b ＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则
2a -|AF 2|≤|PA |+|PF 1|≤2a +|AF 1|, 当且仅当A , F 2, P 三点共线时，等号成立.
(x -x 0) 2(y -y 0) 2
+=122x a b 7、椭圆与直线A +
B +y 0=C 有公共点的充要条件是
A 2a 2+B 2b 2≥(Ax 0+By 0+C ) 2.
x 2y 2
+2=12
b 8、已知椭圆a （a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP ⊥OQ . （1）
222211114a b a b +=+
|OP |2|OQ |2a 2b 2; （2）|OP|2+|OQ|2的最大值为a 2+b 2; （3）S ∆OPQ 的最小值是a 2+b 2.
x 2y 2
+2=12
b 9、过椭圆a （a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，|PF |e =|MN |2. 则
x 2y 2
+2=12P (x 0,0) , b 10、已知椭圆a （ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点a 2-b 2a 2-b 2
-
a a . 则
x 2y 2
+2=12∠F 1PF 2=θ，则b 11、设P 点是椭圆a （ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记
γ2b 2
S ∆PF 1F 2=b 2tan |PF 1||PF 2|=
2. 1+cos θ.(2) (1)
x 2y 2
+2=12
b 12、设A 、B 是椭圆a （ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，∠PAB =α,
2ab 2|cos α|
|PA |=222
∠PBA =β, ∠BPA =γ，a -c co s γ.(2) tan αtan β=1-e 2.(3) c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)
S ∆PAB
2a 2b 2
=2cot γb -a 2.
x 2y 2
+2=12a b 13、已知椭圆（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B
两点, 点C 在右准线l 上，且BC ⊥x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.
14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、椭圆焦三角形中, 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. ） 17、椭圆焦三角形中, 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18、椭圆焦三角形中, 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 七、双曲线的常用结论：
1、点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的内角.
2、PT 平分△PF1F2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3、以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切. （内切：P 在右支；外切：P 在左支）
x 0x y 0y x 2y 2
-2=1-=1222P (x , y ) P b b 5、若000在双曲线a （a ＞0,b ＞0）上，则过0的双曲线的切线方程是a .
x 2y 2
-2=12P (x , y ) 000a b 6、若在双曲线（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦x 0x y 0y -2=12
b P1P2的直线方程是a .
x 2y 2
-2=12∠F 1PF 2=γ，则双曲a b 7、双曲线（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F1，F 2，点P 为双曲线上任意一点
S ∆F 1PF 2=b 2co t
γ
2.
线的焦点角形的面积为
x 2y 2
-2=12F (-c ,0) , F 2(c ,0) ）当M (x 0, y 0) 在右支上时，a b 8、双曲线（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1
|MF 1|=ex 0+a , |MF 2|=ex 0-a ；当M (x 0, y 0) 在左支上时，|MF 1|=-ex 0+a , |MF 2|=-ex 0-a 。
9、设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应
于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
10、过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和A2Q 交于点M ，A2P 和A1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
x y K OM ⋅K AB -=122(x , y ) b 11、AB 是双曲线a （a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M 00为AB 的中点，则
22
b 2x 0
=2
a y 0，
K AB
即
b 2x 0=2
a y 0。
x 0x y 0y x 02y 02x 2y 2
-2=2-2-2=122P (x , y ) 000a b a b . a b 12、若在双曲线（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是x 2y 2x 2y 2x 0x y 0y -2=2-2-2=122P (x , y ) 000a b a b . a b 13、若在双曲线（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
【推论】：
x 2y 2
-2=12A (-a ,0) , A 2(a ,0) ，与y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2时b 1、双曲线a （a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1x 2y 2
+2=12
b A1P1与A2P2交点的轨迹方程是a .
x 2y 2
-2=12A (x 0, y 0) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则b 2、过双曲线a （a ＞0,b ＞o ）上任一点
k BC
直线BC 有定向且
b 2x 0
=-2
a y 0（常数）.
x 2y 2
-2=12∠PF 1F 2=α, b 3、若P 为双曲线a （a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点,
c -a αβc -a βα
=tan co t =tan co t
∠PF 2F 1=β，则c +a 22（或c +a 22）.
x 2y 2
-2=12a b 4、设双曲线（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F1、F2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2sin αc
==e
∠F 1PF 2=α, ∠PF 1F 2=β, ∠F 1F 2P =γ，则有±(sinγ-sin β) a 中，记.
x 2y 2
-2=12a b 5、若双曲线（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L ，则当1＜e
1时，可在双
曲线上求一点P ，使得PF1是P 到对应准线距离d 与PF2的比例中项.
x 2y 2
-2=12|AF 2|-2a ≤|PA |+|PF 1|, b 6、P 为双曲线a （a ＞0,b ＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则
当且仅当
A , F 2, P 三点共线且P 和A , F 2在y 轴同侧时，等号成立.
x 2y 2
-2=1222222a b 7、双曲线（a ＞0,b ＞0）与直线Ax +By +C =0有公共点的充要条件是A a -B b ≤C . x 2y 2
-2=12a b 8、已知双曲线（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP ⊥OQ .
222211114a b a b +=-2
|OQ |2a 2b 2; （2）|OP|2+|OQ|2的最小值为b 2-a 2; （3）S ∆OPQ 的最小值是b 2-a 2. （1）|OP |
x 2y 2
-2=12a b 9、过双曲线（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交|PF |e
=
x 轴于P ，则|MN |2.
x 2y 2
-2=12P (x 0,0) , a b 10、已知双曲线（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点a 2+b 2a 2+b 2x 0≤-x 0≥
a . a 则或
x 2y 2
-2=12∠F 1PF 2=θ，则a b 11、设P 点是双曲线（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记
γ2b 2
S ∆PF 1F 2=b 2cot |PF 1||PF 2|=
2. 1-cos θ.(2) (1)
x 2y 2
-2=12
b 12、设A 、B 是双曲线a （a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，∠PAB =α,
2ab 2|cos α|
|PA |=222
∠PBA =β, ∠BPA =γ，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|a -c co s γ|.
2
tan αtan β=1-e (2) .(3)
S ∆PAB
2a 2b 2
=2cot γb +a 2.
x 2y 2
-2=12a b 13、已知双曲线（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交
于A 、B 两点, 点C 在右准线l 上，且BC ⊥x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.
14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂
直.
15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、双曲线焦三角形中, 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17、双曲线焦三角形中, 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18双曲线焦三角形中, 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 抛物线的常用结论：
4ac -b 2b (-) 2
4a 2a . ①ay +by +c =x 顶点
2
②y =2px (p ≠0) 则焦点半径
PF =x +
P
2
; x =2py (p ≠0) 则焦点半径为
2
PF =y +
P 2
.
③通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.
⎧x =2pt 2⎧x =2pt ⎨⎨22
y =2pt y =2pt 2y =2px x =2py ⎩⎩④（或）的参数方程为（或）（t 为参数）.