第三讲 圆锥曲线定义的运用

第三讲 圆锥曲线定义的运用

薛文叙

圆锥曲线的定义反映了曲线固有的本质属性，它与坐标系的位置无关，在解决解析几何的某些问题时常常运用曲线固有的本质属性，解决与坐标相关的性质。

1．以曲线(y3)28(x2)上任一点为圆心作圆与y轴相切。则这些圆心过定点（ ）

（A）（2，3） （B）（4，3）

（C）（3，3） （D）（3，0）

顶点为（2，3），p=4，y轴恰是抛物线的准线，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此这些圆必过焦点（4，3），答案为B。

2．M是抛物线y22x上的一点，P点的坐标为(3,

要使d+|MP|最小，则M点的坐标是（ ）

（A）(,1) （B）（2，2）

（C）(1,2) （D）(3,6)

容易判断P点在抛物线外，d←→|MF|， 10)，设d是M点到准线的距离，312

y2

,y2)，(y20) 只须P、F、M三点，M(2

则

10

y2，得y2，1（舍） 222y2131222

答案为B。

3．（93．11）一动圆与两圆x2y21和x2y28x120都相切，则动圆圆心轨迹为

（A）圆 （B）椭圆

（C）双曲线的一支 （D）抛物线

分析：设动圆圆心P，半径为R，则|OP|=R+1，|PA|=R+2，|PA|-|OP|=1，P点的轨迹为双曲线的左支。

x2

y21的两个焦点，点P在双曲线上且满足4．（94．8）设F1和F2为双曲线4

F1PF290，则F1PF2的面积是（ ）

（A）1 （B）5 2

（C）2 （D）5

分析1设|PF1|x，|PF2|y，得

xy4

222xy(2)

则xy=2， SPF1F21xy1。 2

分析2设P（x，y）F1PF2是直角三角形，得

2211x4y42y ∴， ， |y|225xy5

SPF1F2111|F1F2||y|21。 225

5．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B，若A、B在抛物线准线上的射影分别是C、D，则∠CFD等于（ ）

（A）45° （B）60°

（C）90° （D）120°

2y12y2思路1记A(,y1)，B(,y2)，由A、F、B共线，得 2p2p

y1

y12p2p2

C(y2y12，即， yyp1222y2y12p2ppp,y1)，D(,y2)， 22

kCFkDF

y1y21， 则∠CFD=90°。

pp

思路2 AC=AF，BD=BF，

∴∠CFD=180°-（∠ACF+∠BDF）=∠FCD+∠FDC，

∴∠CFD=90°。

显然利用抛物线定义解题要方便。

6．（02年全国高考题理19，12′）设点P到点M（-1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2。求m的取值范围。

由数观察图形特征，并联想圆锥曲线的定义。

解法一：分析出隐条件：|m|

x2y2

1m21m2

， |y|2x

m2(1m2)2消y，x，得15m0， 215m2

即m的取值范围为(5,0)(0,)。 55

解法二：若看不出P点在双曲线上，可以直接把题设条件坐标化，得

(x1)2y2(x1)2y22m，

依然可得(15m)xm(1m)。即 2222

15m20。

第三讲 圆锥曲线定义的运用

薛文叙

圆锥曲线的定义反映了曲线固有的本质属性，它与坐标系的位置无关，在解决解析几何的某些问题时常常运用曲线固有的本质属性，解决与坐标相关的性质。

1．以曲线(y3)28(x2)上任一点为圆心作圆与y轴相切。则这些圆心过定点（ ）

（A）（2，3） （B）（4，3）

（C）（3，3） （D）（3，0）

顶点为（2，3），p=4，y轴恰是抛物线的准线，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此这些圆必过焦点（4，3），答案为B。

2．M是抛物线y22x上的一点，P点的坐标为(3,

要使d+|MP|最小，则M点的坐标是（ ）

（A）(,1) （B）（2，2）

（C）(1,2) （D）(3,6)

容易判断P点在抛物线外，d←→|MF|， 10)，设d是M点到准线的距离，312

y2

,y2)，(y20) 只须P、F、M三点，M(2

则

10

y2，得y2，1（舍） 222y2131222

答案为B。

3．（93．11）一动圆与两圆x2y21和x2y28x120都相切，则动圆圆心轨迹为

（A）圆 （B）椭圆

（C）双曲线的一支 （D）抛物线

分析：设动圆圆心P，半径为R，则|OP|=R+1，|PA|=R+2，|PA|-|OP|=1，P点的轨迹为双曲线的左支。

x2

y21的两个焦点，点P在双曲线上且满足4．（94．8）设F1和F2为双曲线4

F1PF290，则F1PF2的面积是（ ）

（A）1 （B）5 2

（C）2 （D）5

分析1设|PF1|x，|PF2|y，得

xy4

222xy(2)

则xy=2， SPF1F21xy1。 2

分析2设P（x，y）F1PF2是直角三角形，得

2211x4y42y ∴， ， |y|225xy5

SPF1F2111|F1F2||y|21。 225

5．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B，若A、B在抛物线准线上的射影分别是C、D，则∠CFD等于（ ）

（A）45° （B）60°

（C）90° （D）120°

2y12y2思路1记A(,y1)，B(,y2)，由A、F、B共线，得 2p2p

y1

y12p2p2

C(y2y12，即， yyp1222y2y12p2ppp,y1)，D(,y2)， 22

kCFkDF

y1y21， 则∠CFD=90°。

pp

思路2 AC=AF，BD=BF，

∴∠CFD=180°-（∠ACF+∠BDF）=∠FCD+∠FDC，

∴∠CFD=90°。

显然利用抛物线定义解题要方便。

6．（02年全国高考题理19，12′）设点P到点M（-1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2。求m的取值范围。

由数观察图形特征，并联想圆锥曲线的定义。

解法一：分析出隐条件：|m|

x2y2

1m21m2

， |y|2x

m2(1m2)2消y，x，得15m0， 215m2

即m的取值范围为(5,0)(0,)。 55

解法二：若看不出P点在双曲线上，可以直接把题设条件坐标化，得

(x1)2y2(x1)2y22m，

依然可得(15m)xm(1m)。即 2222

15m20。