第六章 定积分的应用典型习题解答与提示
习题6-1
1．图 6-11 中
S = 图 6-13 中 S =
⎰10
x dx ; 图 6-12 中 S =⎰
2
)
-1
(e -e )dx ;
-x
⎰(3-x
-3a
1
-2x dx ; 图6-14 中 S =⎰
)
3
-1
(2x +3-x )dx ;
5π
⎛y 2⎫
图 6-15 中 S =⎰ a -⎪dy ; 图6-16 中 S =π4(sin x -cos x )dx . -a a ⎭⎝4
2
． (1) S =
8
; (2) S =23
21
1; (3) S =18;
2
)
(4) 见图 6-6， S =⎰
1⎫13⎛⎛12⎫
x -dx =x -ln x =2-ln 2-=-ln 2;
⎪ ⎪x 222⎝⎭⎝⎭1
3
图6-6 习题2(4)面积 图6-7 习题2(5)面积
(5) 见图 6-7，S =⎰
1
1
1⎫1⎛2
x dx = x 2-x 3⎪=;
3⎭03⎝3
)
1
(6) S =⎰(e x -e -x )dx =(e x +e -x )=e +e -1-2.
1
习题 6-2
1．V x =π
⎰dx =π⎰xdx =2x
4
2
4
1
1
1
2
π
421
=
15π. 2
2
2⎡⎛1⎛1⎫⎫
2．见图 6-8 ，V x =π⎰ x ⎪dx +π⎰⎢ x ⎪-
01⎝2⎭⎢⎣⎝2⎭
⎤
⎥dx
⎥⎦
2
2⎛1⎫
=π⎰ x ⎪dx -π⎰01
⎝2⎭
2
2
dx
2
=
π
12
2
x 3-
01
π
2
2
(x -1)
21
=
π
6
22
V y =π⎰⎡(y 2+1)-(2y )⎤dy
0⎣⎦18=π⎰(y 4-2y 2+1)dy =π.
15
图 6-8 习题 2 图形
3. V =π⎰
+∞
(e -x )dx =π⎰e -2x dx =-
2
+∞
π
2
+∞
e -2x
=
π
2
.
习题6-3
1．（1）总收益函数为R (Q )=
⎰
Q
MRdQ =⎰
Q
Q ⎫Q 2⎛
， 200-⎪dQ =200Q -
100200⎝⎭
502
=9987.5； 故Q =50个单位时，总收益R =R (50)=200⨯50-200
（2）
R =⎰
200
100
Q 2⎫⎛
MRdQ = 200Q -=19850。 ⎪200⎭100⎝
3
3
200
2．（1）C =
⎰
3
1
Q ⎫Q 2⎫⎛⎛
MCdQ =⎰ 6+⎪dQ = 6Q +⎪=14（万元） 1
24⎝⎭⎝⎭1Q 2⎫⎛
MRdQ =⎰(12-Q )dQ = 12Q -=20（万元）； ⎪1
2⎭1⎝
3
3
R =⎰
3
1
（2）总利润L (Q )=R (Q )-C (Q )
故L '(Q )=R '(Q )-C '(Q )=(12-Q )- 6+
⎛⎝Q ⎫3Q
=6-⎪
2⎭2
令L '(Q )=0即6-由L ''(Q )=-
3Q
=0得Q =4（百台） 2
1
（3）总成本C (Q )=
⎰
Q
MCdQ +C 0=⎰
Q
Q
Q ⎫Q ⎛6+dQ +5=6Q ++5 ⎪
24⎝⎭
2
总利润函数L (Q )= =
⎰(MR -MC )dQ -C
⎰
Q
Q ⎛⎡Q ⎫⎤3Q ⎫⎛
12-Q -6+dQ -5=6-() ⎪⎥ ⎪dQ -5 ⎢⎰0
2⎭⎦2⎭⎝⎝⎣
3Q 2
-5； =6Q -4
（4）
Q ⎫⎤3Q ⎫⎛⎛
L =⎰(MR -MC )dQ =⎰⎡12-Q -6+dQ =6-) ⎪⎥ ⎪dQ ⎢(⎰22
6
6
6
4
4
⎣⎝⎭⎦
4
⎝⎭
3Q 2⎤⎡
=⎢6Q -⎥=-3（万元） 4⎣⎦4
可见，在最大利润基础再增加200台，利润将减少3万元。 3．R =2000e
+0.06⨯20
=2000⨯e +1.2=6640.23（元） R =2000e 。
+0.065⨯16
=1200 4．Ae
A =424.14（元）。 5．设每年付款A 元
5000=
即5000=
复 习 题 六
rt
6
A
1-e -rT )， (r
A
1-e -0.03⨯10)，解得A =578.74（元）。 (0.03
⎧y =x 2
1．（1） ⎨ 交点为 A (1,1)、B (-2,4)
⎩x +y =2
1213⎤9⎡2
取 x 为积分变量 S =⎰⎡2-x -x dx =2x -x -x =; ⎤()⎦⎢⎥-2⎣23⎦-22⎣
1
1
（2
）取 y 为积分变量 S =
⎰
1
333
=y 4=1;
414
2
()
（3）见图 6-9，取 y 为积分变量 S =
⎰
1
e y dy =e y 0=e -1;
1
图 6-9 习题 1（3）图形 图 6-10 习题 1（4）图形
x 2⎧
（4）见图 6-10, ⎨y = 交点为 A (-2,2), B (2,2)
2⎩
212⎫x 2⎫S =⎰x ⎪dx =2⎰⎪dx
-20
2⎭2⎭2
122⎤⎡=2⎢⎰-⎰x dx ⎥
20⎣0⎦而 ⎰
⎰(40
π
t dt =8⎰4
)
2
π
1+cos 2t
dt =π+2 2
122134
x dx =x =⎰0
2603
所以 S =2 π+2-
2
2
⎛
⎝4⎫4=2π+. ⎪3⎭3
2．见图 6-11, y =-x +4x -3. y '=-2x +4. y '(0)=4. y '(3)=-2.
所以点 (0，-3) 处在切线方程为 y +3=4x , 点 (3,0) 处的切线方程为
⎛3⎫
y =-2(x -3), 两切线交点 C ,3⎪, 所求面积为 S 1 与 S 2 之和，而
⎝2⎭
92
⎤S 1=⎰⎡4x -3--x +4x -3dx =x dx = ()()⎰0⎦0⎣8
2
3
2
32
92
⎤S 2=3⎡-2x -3--x +4x -3dx = ()()⎣⎦82
3
因而所围区域面积 S =S 1+S 2=
999
+=. 884
3. V x =π
⎰
π
sin 2xdx =
Q
π
2⎰0
π
1π2⎤
(1-cos 2x )dx =⎢x -sin 2x ⎥=.
2⎣22⎦0
Q
π⎡
π
4. (1) R (Q )=
⎰
R '(Q )dQ =⎰
Q ⎫Q ⎛
; 200-⎪dQ =200Q -
50⎭100⎝
200
(2) R =⎰
200
100
Q ⎫⎛
R '(Q )dQ = 200Q -⎪=19700(万元).
100⎝⎭100
5. (i) 计算租金总值的现值
由每月 600 元知该机器的年租金为 7200 元，所以租金总值的现值为
R =7200⎰e -0.14t dt =
10
7200
1-e -0.14⨯10)=54128.5(1-0.2466)=38756(元); (0.14
因购进机器的费用只需 35000元，故购用机器比租用机器合算. (ii) 将购进机器的费用折算成按租用付款
设每年付出租金 A 元，经过10年，现金流量总值的现值为 35000元，于是有35000=A
⎰
10
e -0.14t dt =
A
1-e -0.14⨯10), 得出 A ≈6504元
还是购进机器合算.
6. 由已知条件收入率 A =25万元，年利率 r =5%, 故 10 年中投资的总收入的现值为
R =⎰25e -0.05t dt =
10
25
1-e -0.05⨯10)=196.7(万元) (0.05
从而纯收入现值为 R -C =196.7-100=96.7(万元).
第六章 定积分的应用典型习题解答与提示
习题6-1
1．图 6-11 中
S = 图 6-13 中 S =
⎰10
x dx ; 图 6-12 中 S =⎰
2
)
-1
(e -e )dx ;
-x
⎰(3-x
-3a
1
-2x dx ; 图6-14 中 S =⎰
)
3
-1
(2x +3-x )dx ;
5π
⎛y 2⎫
图 6-15 中 S =⎰ a -⎪dy ; 图6-16 中 S =π4(sin x -cos x )dx . -a a ⎭⎝4
2
． (1) S =
8
; (2) S =23
21
1; (3) S =18;
2
)
(4) 见图 6-6， S =⎰
1⎫13⎛⎛12⎫
x -dx =x -ln x =2-ln 2-=-ln 2;
⎪ ⎪x 222⎝⎭⎝⎭1
3
图6-6 习题2(4)面积 图6-7 习题2(5)面积
(5) 见图 6-7，S =⎰
1
1
1⎫1⎛2
x dx = x 2-x 3⎪=;
3⎭03⎝3
)
1
(6) S =⎰(e x -e -x )dx =(e x +e -x )=e +e -1-2.
1
习题 6-2
1．V x =π
⎰dx =π⎰xdx =2x
4
2
4
1
1
1
2
π
421
=
15π. 2
2
2⎡⎛1⎛1⎫⎫
2．见图 6-8 ，V x =π⎰ x ⎪dx +π⎰⎢ x ⎪-
01⎝2⎭⎢⎣⎝2⎭
⎤
⎥dx
⎥⎦
2
2⎛1⎫
=π⎰ x ⎪dx -π⎰01
⎝2⎭
2
2
dx
2
=
π
12
2
x 3-
01
π
2
2
(x -1)
21
=
π
6
22
V y =π⎰⎡(y 2+1)-(2y )⎤dy
0⎣⎦18=π⎰(y 4-2y 2+1)dy =π.
15
图 6-8 习题 2 图形
3. V =π⎰
+∞
(e -x )dx =π⎰e -2x dx =-
2
+∞
π
2
+∞
e -2x
=
π
2
.
习题6-3
1．（1）总收益函数为R (Q )=
⎰
Q
MRdQ =⎰
Q
Q ⎫Q 2⎛
， 200-⎪dQ =200Q -
100200⎝⎭
502
=9987.5； 故Q =50个单位时，总收益R =R (50)=200⨯50-200
（2）
R =⎰
200
100
Q 2⎫⎛
MRdQ = 200Q -=19850。 ⎪200⎭100⎝
3
3
200
2．（1）C =
⎰
3
1
Q ⎫Q 2⎫⎛⎛
MCdQ =⎰ 6+⎪dQ = 6Q +⎪=14（万元） 1
24⎝⎭⎝⎭1Q 2⎫⎛
MRdQ =⎰(12-Q )dQ = 12Q -=20（万元）； ⎪1
2⎭1⎝
3
3
R =⎰
3
1
（2）总利润L (Q )=R (Q )-C (Q )
故L '(Q )=R '(Q )-C '(Q )=(12-Q )- 6+
⎛⎝Q ⎫3Q
=6-⎪
2⎭2
令L '(Q )=0即6-由L ''(Q )=-
3Q
=0得Q =4（百台） 2
1
（3）总成本C (Q )=
⎰
Q
MCdQ +C 0=⎰
Q
Q
Q ⎫Q ⎛6+dQ +5=6Q ++5 ⎪
24⎝⎭
2
总利润函数L (Q )= =
⎰(MR -MC )dQ -C
⎰
Q
Q ⎛⎡Q ⎫⎤3Q ⎫⎛
12-Q -6+dQ -5=6-() ⎪⎥ ⎪dQ -5 ⎢⎰0
2⎭⎦2⎭⎝⎝⎣
3Q 2
-5； =6Q -4
（4）
Q ⎫⎤3Q ⎫⎛⎛
L =⎰(MR -MC )dQ =⎰⎡12-Q -6+dQ =6-) ⎪⎥ ⎪dQ ⎢(⎰22
6
6
6
4
4
⎣⎝⎭⎦
4
⎝⎭
3Q 2⎤⎡
=⎢6Q -⎥=-3（万元） 4⎣⎦4
可见，在最大利润基础再增加200台，利润将减少3万元。 3．R =2000e
+0.06⨯20
=2000⨯e +1.2=6640.23（元） R =2000e 。
+0.065⨯16
=1200 4．Ae
A =424.14（元）。 5．设每年付款A 元
5000=
即5000=
复 习 题 六
rt
6
A
1-e -rT )， (r
A
1-e -0.03⨯10)，解得A =578.74（元）。 (0.03
⎧y =x 2
1．（1） ⎨ 交点为 A (1,1)、B (-2,4)
⎩x +y =2
1213⎤9⎡2
取 x 为积分变量 S =⎰⎡2-x -x dx =2x -x -x =; ⎤()⎦⎢⎥-2⎣23⎦-22⎣
1
1
（2
）取 y 为积分变量 S =
⎰
1
333
=y 4=1;
414
2
()
（3）见图 6-9，取 y 为积分变量 S =
⎰
1
e y dy =e y 0=e -1;
1
图 6-9 习题 1（3）图形 图 6-10 习题 1（4）图形
x 2⎧
（4）见图 6-10, ⎨y = 交点为 A (-2,2), B (2,2)
2⎩
212⎫x 2⎫S =⎰x ⎪dx =2⎰⎪dx
-20
2⎭2⎭2
122⎤⎡=2⎢⎰-⎰x dx ⎥
20⎣0⎦而 ⎰
⎰(40
π
t dt =8⎰4
)
2
π
1+cos 2t
dt =π+2 2
122134
x dx =x =⎰0
2603
所以 S =2 π+2-
2
2
⎛
⎝4⎫4=2π+. ⎪3⎭3
2．见图 6-11, y =-x +4x -3. y '=-2x +4. y '(0)=4. y '(3)=-2.
所以点 (0，-3) 处在切线方程为 y +3=4x , 点 (3,0) 处的切线方程为
⎛3⎫
y =-2(x -3), 两切线交点 C ,3⎪, 所求面积为 S 1 与 S 2 之和，而
⎝2⎭
92
⎤S 1=⎰⎡4x -3--x +4x -3dx =x dx = ()()⎰0⎦0⎣8
2
3
2
32
92
⎤S 2=3⎡-2x -3--x +4x -3dx = ()()⎣⎦82
3
因而所围区域面积 S =S 1+S 2=
999
+=. 884
3. V x =π
⎰
π
sin 2xdx =
Q
π
2⎰0
π
1π2⎤
(1-cos 2x )dx =⎢x -sin 2x ⎥=.
2⎣22⎦0
Q
π⎡
π
4. (1) R (Q )=
⎰
R '(Q )dQ =⎰
Q ⎫Q ⎛
; 200-⎪dQ =200Q -
50⎭100⎝
200
(2) R =⎰
200
100
Q ⎫⎛
R '(Q )dQ = 200Q -⎪=19700(万元).
100⎝⎭100
5. (i) 计算租金总值的现值
由每月 600 元知该机器的年租金为 7200 元，所以租金总值的现值为
R =7200⎰e -0.14t dt =
10
7200
1-e -0.14⨯10)=54128.5(1-0.2466)=38756(元); (0.14
因购进机器的费用只需 35000元，故购用机器比租用机器合算. (ii) 将购进机器的费用折算成按租用付款
设每年付出租金 A 元，经过10年，现金流量总值的现值为 35000元，于是有35000=A
⎰
10
e -0.14t dt =
A
1-e -0.14⨯10), 得出 A ≈6504元
还是购进机器合算.
6. 由已知条件收入率 A =25万元，年利率 r =5%, 故 10 年中投资的总收入的现值为
R =⎰25e -0.05t dt =
10
25
1-e -0.05⨯10)=196.7(万元) (0.05
从而纯收入现值为 R -C =196.7-100=96.7(万元).