希尔伯特23个问题

连续统假设提示：本条目的主题不是连续体假设。 在数学中，连续统假设（英语：Continuum hypothesis，简称 CH）是一个猜想， 也是希尔伯特的 23 个问题的第一题，由康托尔提出，关于无穷集的可能大小。 其为：在一个基数绝对大于可列集而绝对小于实数集的集合。康托尔引入了基数的概念以比较无穷集间的大小， 也证明了整数集的基数绝对小 于实集的基数。康托尔也就给了出连续统假设，就是说，在无限集中，比自然数 集{0，1，2，3，4......}基数大的集合中，基数最小的集合是实数集。而连续 统就是实数集的一个旧称。 更加形式地说，自然数集的基数为 为 。而连续统假设的观点认为实数集的基数。由是，康托尔定义了绝对无限。等价地，整数集的序数是 出不存在一个集合 使得("艾礼富数")而实数的序数是，连续续假设指假设选择公理是对的， 那就会有一个最小的基数 连续统假设也就等价于以下的等式：大于， 而连续统假设有个更广义的形式，叫作广义连续统假设（GCH），其命题为：对于所有的序数 ,库尔特·哥德尔在 1940 年用内模型法证明了连续统假设与 ZFC 的相对协调性， 保罗·柯恩在 1963 年用力迫法证明了连续统假设不能由 ZFC 推导。也就是说连 续统假设成立与否无法由 ZFC 确定。作为希尔伯特第一问题主条目：希尔伯特的 23 个问题

1900 年, 大卫· 希尔伯特以 “连续统假设是否成立” 作为 “希尔伯特第一问题” 。 Kurt Godel 和 Paul Cohen 确定了连续统假设在 ZFC 系统下，加上了选择公理， 也不能证明或证否。 Cohen 的结果并没有被广泛认同作为连续统假设问题的解决，而希尔伯特的问题 依然为当代研究的热门课题。(见 Woodin 2001a).集合的大小主条目：基数 要正式地列出这个猜想， 我们需要一些定义：假如两个集合 S 与 T 之间存在着一 个双射，我们会说这两个集合拥有相同的基数。直观的意思是在“T 的每个元素 只能配上仅仅一个 S 的元素，反之亦然”这个前提下，把 S 与 T 的元素拿出来配 对是可能的。因此，集合{蕉, 苹果, 橙}与集合{黄, 红, 绿}拥有相同基数。 当情况去到如整数集或有理数集等无穷集的情况时，事件就变得复杂得多。当考 虑所有有理数的集合时， 有些门外汉可能会天真地认为有理数理所当然地多于整 数，而有理数又显然少于实数，因此把连续统假设证否。但透过简单集合论的方 法， 我们能证明有理数集能与整数集形成一双射，因此有理集跟整数集有着一样 的大小， 而它们都被称为可列集。 对角论证法则证明了整数集跟连续统 （实数集） 的基数并不一样。 连续统假设亦指出，实数集中每一个子集，要么和整数集有相同的基数，要么和 实数集有相同的基数。证明或证否的不可能性（在 ZFC 系统下）康托尔相信连续统假设是对的，花了很多年尝试证明它，结果徒劳无功。它成为 了希尔伯特那重要难题名单中的第一条，并在 1900 年巴黎的国际数学家大会上 宣布此事。在那个时候，还没有公理化集合论的概念。 库尔特·哥德尔在 1940 年指出连续统假设不能在 ZFC 系统下证否，即使接受了 选择公理为前提。这个定理称为哥德尔定理。Paul Cohen 在 1963 年证明了连续 统假设同样不能在 ZFC 下被证明。因此，连续统假设“逻辑地独立于”ZFC。这 些结果都是以 ZFC 的公设系统本身并不存在自相矛盾（相容性）为假设大前提， 而这个大前提是被广泛接受为对的。 连续统假设并非被证明跟 ZFC 互相独立的第一个命题。 哥德尔不完备定理一个立 即的结论在 1931 年被发表，那是“‘存在着一个正式命题表达 ZFC 的相容性’ 乃独立于 ZFC”。有别于纯粹数学的，这个一致的命题乃是有着在数学之上的特 性。连续统假设和选择公理乃是最先被证明跟 ZF 集合论独立的命题。在 Paul Cohen 在 1960 年代发展出力迫法以前，这些独立性的证明并没有完成。

连续统假设与数学分析、 点集拓扑学和测度论中很多的命题有紧密关系。由于其 独立性，很多这些范畴中的猜想也就被证明了其独立性。支持和反对连续统假设的辩论哥德尔相信连续统假设是错的，而他对于连续统假设相容性的证明，只表示了 ZF 系统的公理有缺陷。哥德尔是一个柏拉图主义者，因此独立于一个命题的可 证性而宣称其正确或错误，对他来说并无问题。Paul Cohen 也倾向于反对连续 统假设。 历史上，喜欢一个“丰富”而且“大”的全集的数学家倾向反对连续统假设；而 喜欢一个“整齐”而且“可控制”的全集的数学家则倾向支持连续统假设。对于 能推导出连续统假设的可建造公理， 一直以来也有一些支持与反对的争论。 最近， Matthew Foreman 更指出本体论的多元主义对支持连续统假设有利(Maddy 1988, p. 500)。这是因为在各种模型里面，支持连续统假设的模型往往会存在更多集 合。 另一个观点是对于集合的幼稚概念并不足够明确地使我们能分辨究竟连续统假 设是对是错。这个观点被“连续统假设对于 ZFC 系统的独立性”所支持，由于这 些公理足够建立集合与基数的基本特性。要反对这一观点，要是能展示一条既能 被直观所支持、又能从证明或证否面解决连续统假设的新公理，那就很足够了。 尽管可建造公理能解决连续统假设， 但它比较起连续统假设的反题并不显得更直 观地正确。 至少有另外两个可推导出连续统假设的公理被提出， 即使它们目前还没有被数学 社群所广泛接受。 1986 年， 在 Chris Freiling 展示了一个反连续统假设的论点， 透过显示连续统的反题跟 Freiling 对称公理──一个跟概率有关的命题──等 价。 Freiling 相信这条公理 “直观正确” 但其它人反对。 ， 一个由 W. Hugh Woodin 发展的困难论点同样反连续统假设，并自 2000 年开始获得了值得考虑的注意。 Foreman (2003) 并没有完全反对 Woodin 的论点但敦促小心谨慎。广义连续统假设广义连续统假设（Generalized continuum hypothesis，简称 GCH）是指： 若一个无限集 的基数在另一个无限集 与其幂集 定与 或其幂集 相同。 之间，则 的基数必CH 与 GCH 都独立于 ZFC，不过 Sierpiński 证明了 ZF+GCH 可以推导出选择公理， 换句话说，不存在 ZF+GCH 但 AC 不成立的公设系统。

任何的无限集合 A 和 B，假如存在一个由 A 到 B 的单射，那就存在一个由 A 的子 集到 B 的子集的单射。因此对于任何有限的序数 A 和 B， . 假如 A 和 B 是有限集合，那我们可以得到更强的不等式：GCH 意味着这个严格的不等式对无限序数和有限序数都成立。

希尔伯特第二问题希尔伯特第二问题， 即关于一个公理系统相容性的问题， 也就是判定一个公理系 统内的所命题是彼此相容无矛盾的， 希尔伯特希望能以严谨的方式来证明任意公 理系统内命题的相容性。 库尔特·哥德尔在 1930 年证明了哥德尔不完备定理，粉碎了希尔伯特的梦想。

希尔伯特第三问题维基百科，自由的百科全书 跳转到： 导航, 搜索 希尔伯特第三问题是希尔伯特的 23 个问题中认为最容易解决的一个。 此题是问： “已知两个多面体有相同体积， 能否把其中一个多面体分割成有限块再将之给合 成另一个？”根据高斯之前的作品，希尔伯特断定此为不可以的。这个猜想在几 年内被他的学生马克斯· 德恩以一反例证明了是不可以的了。但其二维空间的情 况却可能（参见华勒斯·波埃伊·格维也纳定理）。

希尔伯特第四问题希尔伯特第四问题为大卫·希尔伯特于 1900 年提出的一则几何学基本问题，主 旨是建立所有度量空间使得所有线段为测地线[1]。由于希尔伯特对于这个问题的 定义过于含糊，所以此问题未能有一确实定义性的解答。乔治·哈梅尔(Georg Hamel)提出一个解答。[来源请求]

希尔伯特第五问题希尔伯特第五问题， 即是否所有连续群都是可微群的问题。 它由德国著名数学家 大卫· 希尔伯特在 1900 年的国际数学家大会提出，是当时他提出的 23 个问题之 一。1953 年日本数学家山边英彦证明了这个问题的答案是肯定的。

希尔伯特第六问题希尔伯特第六问题即公理化物理。 虽然物理学并非数学， 但是两者之间的关系密 切， 许多物理学上的概念可借由数学来明确化，而数学上有一些东西的灵感也是 来自于物理学的研究，微积分就是最著名的例子，因此希尔伯特认为能使用数学 上公理化的概念来将物理学给公理化，而后来也确实有人进行这项工作，并且也 获得了成功，凡举古典力学、机率论、热力学、狭义相对论乃至于量子力学都有 人进行公理化的工作。

希尔伯特第七问题希尔伯特第七问题是一个有关无理数及超越数的问题，包括以下二个问题： 1. 在等腰三角形中， 若底角和顶角的比值为无理数的代数数，则底边和侧边 长度的比值是否恒为超越数？ 2. 若 b 是无理数、a 是非 0、1 的代数数，那么 否恒为超越数？ 第二个问题已于 1934 年由阿勒克山德·格尔丰德（Aleksandr Gelfond）证明， 西奥多·施奈德（Theodor Schneider）也在 1935 年独立证明此问题，他们证明 的结果即为格尔丰德－施奈德定理。 在第二个问题成立后，也意味着第一个问题成立。 （例如 、 = ）是

希尔伯特第八问题希尔伯特第八问题是希尔伯特的 23 个问题之一，它包含了几个数论上悬而未决 的问题，这些问题看似简单，但事实上若要证明是非常困难的。它包含了以下几 个问题：  黎曼猜想：黎曼ζ函数ζ(s)非平凡零点(在此情况下是指 s 不为-2、-4、 -6‧‧‧等点的值)的实数部份是½。 哥德巴赫猜想：任一大于 2 的偶数，都可表示成两个质数之和。 孪生素数猜想： 是否有无穷多个相差 2 的素数， 例如 3,5； 5,7； 11,13； ...。虽然这些问题的研究已有进展，但这些问题现在尚未解决。

希尔伯特第九问题希尔伯特第九问题是希尔伯特的 23 个问题的一个问题，要在一般代数数域中找 到可以对应 k 阶范式剩余的互反律，[1]其中 k 为质数，而范式剩余是利用希尔伯 特符号计算。进展在此问题的求解上， 已有一些进展， 但还没完全解决。 埃米尔· （1924; 1927; 阿廷 1930）发现了处理代数数域下阿贝尔扩展的阿廷互反律。赫尔穆特·哈斯不但发 现了更一般性的哈塞互反律， 他和高木贞治的贡献也带动了类域论的发展，用抽 象的方式来处理希尔伯特符号。后来伊戈尔·沙发列维奇（1948; 1949; 1950） 找到特定情形下范式剩余的公式。 和希尔伯特第十二问题有关的非阿贝尔类域论是数论中最有挑战性的问题之一， 此问题仅解决了一小部份。外部链接希尔伯特演讲内容的英文翻译参考资料1. ^ Bruce A. Magurn. An algebraic introduction to K-theory. Cambridge University Press. 2002: p.569. ISBN 0521800781.隐藏▲ 查 · 论 · 编希尔伯特的 23 个问题I | II | III | IV | V | VI | VII | VIII | IX | X | XI | XII | XIII | XIV | XV | XVI | XVII | XVIII | XIX | XX | XXI | XXII | XXIII

希尔伯特第十问题希尔伯特的第十个问题， 就是不定方程(又称为丢番图方程)的可解答性。这是希 尔伯特于 1900 年在巴黎的国际数学家大会演说中， 所提出的 23 个重要数学问题 的第十题。 这个问题是问， 对于任意多个未知数的整系数不定方程，要求给出一个可行的方 法(verfahren)，使得借助于它，通过有限次运算，可以判定该方程有无整数解。 这里德文的方法 verfahren， 就是英文所谓的算法 algorithm。对于算法的概念 我们是不陌生的，例如远在古希腊时代，人们就知道可以使用辗转相除法，求两 个自然数的最大公约数。还有，任给一个自然数，也存在着一个方法，在有限步 骤内，可以判定这个数是不是质数。 虽然人们很早就有了算法的朴素概念，但对于到底什么是可行的计算，仍没有精 确的概念。一个问题的可解与不可解究竟是什么含意，当时的人们还不得而知。 然而为了研究第十问题， 必须给予算法精确化的观念。这点还有赖于数理逻辑学 对可计算性理论的发展，才得以实现。基本观念不定方程不定方程是指含任意数量变元的整系数多项式方程这里 都是正整数、负整数或零，而变元 数或整数。若能找到整数 ，使得的定义域是自然则称此不定方程具有整数解。例如：

则 (3,4,5)、(5,12,13) 等都是它的整数解。事实上可找出它所有的整数解： ，其中 。这是著名的勾股定理或称毕式定理。 著名的费马最后定理，是说当 时，方程式没有非零整数解。丢番图集自然数，自然数对（或具有自然数的 n-元组）的有丢番图定义的集合被称为丢 番图集。 丢番图定义可以由方程组或单个方程给出，因为方程组等价于单个方程：递归可枚举集可以被描述为一个集合，对其存在一种算法，对这个算法，当集合 的一个成员被输入时最终会停机，但一个非成员被输入时会不确定的继续。是可 计算性理论（亦即递归论）给出了算法可计算性的直觉符号的精确解释，因而使 得递归可枚举性的符号具有完美的严格性。显然，丢番图集是递归可枚举的。因 为可以排列所有可能的未知数的值的多元组为一个序列， 然后对于一个给定的参 数值，一个接一个的测试这些多元组，看他们是否是相应方程的解。希尔伯特第 十问题的不可解性源于令人惊讶的事实──其逆命题成立：每个递归可枚举集都是丢番图集。这一结果即马季亚谢维奇定理（由他提供的完成证明的关键步骤）和 MRDP 定理 （即尤里·马季亚谢维奇，朱莉娅·罗宾逊，马丁·戴维斯和希拉里·普特南的 首字母缩写）。因为“存在一个递归可枚举集是不可计算的”，希尔伯特第十问 题的不可解性是其直接后果。实际上，还有更多的结论：有一个多项式有整数系数使对于方程

有自然数解的 的值的集合不可计算。因此，不仅没有一般的算法测试丢番图方 程可解性，甚至也没有算法来测试单一参数家族的方程。丢番图函数 递归函数 递归可枚举集 通用丢番图集历史发展第十问题的解决是众人集体的智慧结晶。其中美国数学家 Davis、Putnam 和 Robinson 做出了突出的贡献。而最终的结果，是由俄国数学家 Yuri Matiyasevich 于 1970 年所完成的。 年代 1944 事件 Emil Leon Post 首先猜测，对于第十问题，应寻求不可解的证明。 Martin Davis 利用 Kurt Gödel 的方法，并应用中国余数定理的编 码技巧，得到递归可枚举集的戴维斯范式 1949 其中 是不定方程。他注意到丢番图集的补集并非丢番图的。而递归 可枚举集对于补集运算也非封闭的，他因此猜测这两个集合类是相同 的。 Julia Robinson 在未知 Davis 工作的情况下，试图证明幂函数是丢 番图的1950虽然并未成功，她发现如果存在这样的丢番图集 得，使

而且 使得 在假设这样丢番图集存在(称为 J.R.)的情况下，她证明了幂函数是 丢番图的。并且如果幂函数是丢番图的，那么二项式系数、阶乘以及 质数集合都是丢番图的。 David 与 Putnam 共同研究了指数丢番图集，也就是以丢番图方程所 定义的集合， 但其中指数可以是未知数。 使用戴维斯范式与 Robinson 的方法， 并且利用数论中一个当时尚未证明的假设(注： 已于 2004 年 由 Ben Green 和 Terence Tao 所证明)：存在任意有限长度全由质 数所组成的算数级数，他们证明了每一个递归可枚举集都是指数丢番 图的。因此若是 J.R. 成立，就可以将“指数”两字拿掉，而得到每 一个递归可枚举集都是丢番图的。因而第十问题是不可解的。 Robinson 证明了上述的数论假设是不必要的，并且大大简化了证明。 从而可知，只要能证明幂函数是丢番图的，第十问题就可以解决。而 关键又是寻找满足 J.R. 假设的丢番图集。 David 与 Putnam 提出数种可证明 J.R. 的假定。Robinson 指出， 若存在一个全由质数组成的无限丢番图集，便可证明 J.R. Matiyasevich 指出可由十个一次和二次的联立不定方程组，定义偶 角标的斐波那契函数：19591960 1961-19691970其中是第个斐波那契数。也就是它是丢番图的，并满足 J.R.假设。从而可构造出一个不定方程，它不是递归可解的。也就是不存 在算法，可以计算该方程式的整数解。因此使得希尔伯特第十问题， 得到最终否定的解答。

希尔伯特第十一问题希尔伯特第十一问题是希尔伯特的 23 个问题之一。给定一个系数为代数数的二 次式令。给定，希尔伯特提议研究二次方程式在 里的的解 。 根据哈瑟原则， 上述二次方程式可解的充要条件它局部上可解，这为希尔伯特第 十一问题提供了部份的解答。

希尔伯特第十二问题希尔伯特第十二问题是将只适用实数下阿贝耳扩张的克罗内克－韦伯定理， 扩展 到任意基底下的代数数体。利用复乘已可将克罗内克－韦伯定理延伸到虚二次 体。进一步的扩展（一般不太精确的称为 Kronecker Jugendtraum）到 2008 年 为止尚未解决。一般认为利奥波德·克罗内克将这个和复乘有关的问题视为 liebster Jugendtraum（年轻时最亲爱的梦想）。 在 1920 年，高木贞治已解决此问题，开创了类域论。

希尔伯特第十三问题希尔伯特第十三问题，是希尔伯特的 23 个问题之一。希尔伯特希望数学界能够 证明： 这个方程式的七个解，若表成系数为 的函数，则此函数无法简化成两个变量的函数。 1957 年，安德雷·柯尔莫哥洛夫的学生、当时 19 岁的弗拉基米尔·阿诺尔德解 决了这个问题 柯尔莫哥洛夫证明每个有多个变元的函数可用有限个三变元函数 。 构作。阿诺尔德按这个结果研究，证明两个变元已足够。之后阿诺尔德和志村五 郎发表了一篇论文（Superposition of algebraic functions (1976), in Mathematical Developments Arising From Hilbert's Problems）。

希尔伯特第十四问题维基百科，自由的百科全书 跳转到： 导航, 搜索 希尔伯特第十四问题是希尔伯特的 23 个问题之一。它探讨某些有理函数域中的 子环的有限性问题。令 为一个域， ，希尔伯特猜想 是有限生成的 。令 -代数。历史此问题源自不变量理论。具体而言，假设群 作用于 n 维仿射空间 价地说，作用于多项式环 。为了研究商空间 ，或者等 ，必须考虑：希尔伯特本人证明了 是某些半单李群的情形，包括 证明了。扎里斯基在 1954 年的情形。对于一般的状况，永田雅宜借着考虑某些线性代数群的作用而在 1959 年造出反例。 基于蒙福德假设，可以推出：若 是代数封闭域，且 是定义在 上的可约群，则 是有限生成的。此假设已在 1975 年由 W. J. Haboush 证明，并由 C. S. Seshadri 推广。

希尔伯特第十五问题希尔伯特第十五问题是希尔伯特的 23 个问题之一。希尔伯特要求对舒伯特的列 举算术赋予严格基础。问题这个问题可以分成两部份。第一部份是舒伯特算术，第二部份是列举几何。前者 已经借由格拉斯曼簇的拓扑构造与相交理论阐明。后者关系到舒伯特的“数量守 恒原理”，这涉及某些相交数在连续变形下的不变性。此原理出现在许多代数几 何的计数问题上， 例如： 给定空间中四个二次曲面， 如何证明恰有 666841048 个 二次曲面与之相切？ 虽然相交理论已有长足进展，量子上同调理论也为列举几何带来部份启发，此学 科的现状离希尔伯特百年前的梦想仍有差距。

希尔伯特第十六问题希尔伯特第十六问题，是希尔伯特的 23 个问题之一。它分成两个部份：实代数曲线与曲面的拓扑结构Harnack 在 1876 年证明了一个平面上 次实代数曲线最多有个分支。 希尔伯特提议研究这些分支之间的拓扑性质，并将 Harnack 的估计推广到空 间里的实代数曲面。极限环的拓扑结构 ，考虑下述平面上的动力系统给定二元 次实多项式希尔伯特提议研究其极限环的最大数目及其拓扑。 总而言之，此问题意在研究由实多项式定义出的拓扑结构。在第一部份，我们考 虑实多项式的零点； 在第二部份， 我们考虑实多项式定义的向量场及其积分曲线。 希尔伯特第十六问题在 20 世纪 50 年代末由苏联科学院院士彼得洛夫斯基 （I.G.Petrovsky）与兰迪斯（E.M.Landies）解决。但随后，他们的证明被证明 存在漏洞。1980 年，中国科学技术大学研究生史松龄举出一反例，彻底推翻了 二人的证明。因此，第十六问题至今仍未解决。

希尔伯特第十七问题维基百科，自由的百科全书 跳转到： 导航, 搜索陈述希尔伯特第十七问题，是希尔伯特的 23 个问题之一。假设 实系数多项式，且对每个 伯特提出下述问题：是否可能将 和？ 此问题首先由埃米尔· 阿廷于 1927 年给出肯定回答，并开展了实封闭域的理论； 此后也有就模型论观点的相关研究，请参见下列文献。 都有 为 ，希尔表成实系数有理函数的平方文献  E. Artin, Über die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate, Abh. Math. Sem. Hansischen Univ. 5 (1927), pp. 100-115 E. Artin and E. Schreier, Algebraische Konstruktion reeller Körper, Abh. Math. Sem. Hansischen Univ. 5 (1927), pp.85-99 G. L. Cherlin, Model Theoretic Algebra - Selected Topics (1976), Lecture Notes in Mathematics No. 521, Springer ISBN 0-387-07696-4

希尔伯特第十八问题希尔伯特第十八问题，是一些关于 n 维欧氏几何空间的问题，主要有三个部份：n 维欧氏几何空间是否只允许有限多种两两不等价的空间群？─已由路 德维希·比勃巴赫解决 是否存在一个能填满整个空间的多面体，但其本身并非某个群的基本域 （即不规则多面体能否填满空间）？─已解决 在 n 维欧氏几何空间中最佳的装球模式（使空隙最小）？─未解决，开普 勒猜想与此相关虽然装球问题至今未解决，但是在 24 维空间中，存在一种叫 Leech lattice 的 格子， 可使在其中的球的排列方法近似于最佳方法，而虽然三维空间装球的问题 至今未解决， 但是已有所斩获， 理论上的最佳效率已经和已知的最佳效率较为接 近了─虽然还有一段距离。 另外还有一个相关的问题： n 维欧氏几何空间中，一个球最多可以和几个一样 在 的球邻接？这个数称之为 Kissing number，在一维至四维、八维以及 24 维的情 况下，这个数为已知数。

希尔伯特第十九问题希尔伯特第十九问题， 是一个有关于变分法的问题， 尤其是有关于位势方程正则 性的问题位势方程： 希尔伯特注意到了这个偏微分方程具有某种正则性，除此之外，还有一些偏微分 方程也有这类的特性， 他称这些具有此特性的方程式为拉格朗日方程，他认为这 些方程式的解是可解析的。这个问题在 1904 年由谢尔盖·伯恩施坦在巴黎大学 上交的博士论文中得以解决， 他证明了椭圆偏微分方程 （位势方程等拉格朗日方 程为椭圆偏微分方程），只要符合某些条件，则它的解必是可解析的，并且在证 明出现后，希尔伯特第十九问题、第二十问题及第二十三问题被整合，并且有了 相当程度的推广。

希尔伯特第二十问题希尔伯特第二十问题，是数学家大卫·希尔伯特在 1900 年国际数学家大会上提 出的 23 个问题中的第 20 题。 问题是问，是否所有的边值问题都有解（即，是否有确定边界条件的变分问题都 有解）。对于这一问题的研究在 20 世纪取得了迅速地进展，也推动了椭圆型微 分方程理论的发展。[1]

希尔伯特第二十一问题希尔伯特第二十一问题是希尔伯特的 23 个问题之一：给定 及一个线性表示 （给定 方程，使得其单值群由 给出？ ），是否存在一组 上的 Fuchs现况此问题的答案决定于其表述：如果我们容许明显的奇异点（即：其单值群是平凡 的），并在复流形上的向量丛及其联络的意义下理解 Fuchs 方程，则答案是肯定 的；否则存在反例。这是 L. Plemelj、G. Birkhoff、I. Lappo-Danilevskij、 P. Deligne 与 A. Bolibrukh 等数学家的工作。 此问题有时亦称为黎曼-希尔伯特问题。数学家柏原正树与 Zoghman Mebkhout 已借助 D-模的抽象语言将此结果推广到高维情形，称作黎曼-希尔伯特对应。文献   A. Beauville, Equations différentielles à points singuliers réguliers d'apres Bolybrukh, Sem. Bourbaki , 1992/3 (1993) pp. 103–120 A. Borel Algebraic D-modules ISBN 0-12-117740-8 P. Deligne, Equations differentials a points singuliers reguliers, Springer Lecture notes in mathematics 163 (1970). M. Kashiwara, Faiseaux constructibles et systems holonomes d'equations aux derivees partielles lineaires a points singuliers reguliers, Se. Goulaouic-Schwartz, 1979-80, Exp. 19. Z. Mebkhout, Sur le probleme de Hilbert-Riemann, Lecture notes in physics 129 (1980) 99-110.

希尔伯特第二十二问题希尔伯特第二十二问题是关于以自守函数一致化可解析关系。这问题已在 1907 年由德国数学家克伯解决。黎曼曲面理论和这问题有一定关系。参见   大卫·希尔伯特 克伯 曲面理论 自守函数

希尔伯特第二十三问题希尔伯特第二十三问题是希尔伯特的 23 个问题中的最后一个，是有关变分法的 长远发展。 此问题中没有出现待解或待证明的问题，与其他问题中有明确问题的 情形不同。此问题尚未解决。参考来源Hilbert, David, "Mathematische Probleme" Göttinger Nachrichten, (1900), pp. 253-297, and in Archiv der Mathematik und Physik, (3) 1 (1901), 44-63 and 213-237. Published in English translation by Dr. Maby Winton Newson, Bulletin of the American Mathematical Society 8 (1902), 437-479 [1] [2] DOI:10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 .

连续统假设提示：本条目的主题不是连续体假设。 在数学中，连续统假设（英语：Continuum hypothesis，简称 CH）是一个猜想， 也是希尔伯特的 23 个问题的第一题，由康托尔提出，关于无穷集的可能大小。 其为：在一个基数绝对大于可列集而绝对小于实数集的集合。康托尔引入了基数的概念以比较无穷集间的大小， 也证明了整数集的基数绝对小 于实集的基数。康托尔也就给了出连续统假设，就是说，在无限集中，比自然数 集{0，1，2，3，4......}基数大的集合中，基数最小的集合是实数集。而连续 统就是实数集的一个旧称。 更加形式地说，自然数集的基数为 为 。而连续统假设的观点认为实数集的基数。由是，康托尔定义了绝对无限。等价地，整数集的序数是 出不存在一个集合 使得("艾礼富数")而实数的序数是，连续续假设指假设选择公理是对的， 那就会有一个最小的基数 连续统假设也就等价于以下的等式：大于， 而连续统假设有个更广义的形式，叫作广义连续统假设（GCH），其命题为：对于所有的序数 ,库尔特·哥德尔在 1940 年用内模型法证明了连续统假设与 ZFC 的相对协调性， 保罗·柯恩在 1963 年用力迫法证明了连续统假设不能由 ZFC 推导。也就是说连 续统假设成立与否无法由 ZFC 确定。作为希尔伯特第一问题主条目：希尔伯特的 23 个问题

1900 年, 大卫· 希尔伯特以 “连续统假设是否成立” 作为 “希尔伯特第一问题” 。 Kurt Godel 和 Paul Cohen 确定了连续统假设在 ZFC 系统下，加上了选择公理， 也不能证明或证否。 Cohen 的结果并没有被广泛认同作为连续统假设问题的解决，而希尔伯特的问题 依然为当代研究的热门课题。(见 Woodin 2001a).集合的大小主条目：基数 要正式地列出这个猜想， 我们需要一些定义：假如两个集合 S 与 T 之间存在着一 个双射，我们会说这两个集合拥有相同的基数。直观的意思是在“T 的每个元素 只能配上仅仅一个 S 的元素，反之亦然”这个前提下，把 S 与 T 的元素拿出来配 对是可能的。因此，集合{蕉, 苹果, 橙}与集合{黄, 红, 绿}拥有相同基数。 当情况去到如整数集或有理数集等无穷集的情况时，事件就变得复杂得多。当考 虑所有有理数的集合时， 有些门外汉可能会天真地认为有理数理所当然地多于整 数，而有理数又显然少于实数，因此把连续统假设证否。但透过简单集合论的方 法， 我们能证明有理数集能与整数集形成一双射，因此有理集跟整数集有着一样 的大小， 而它们都被称为可列集。 对角论证法则证明了整数集跟连续统 （实数集） 的基数并不一样。 连续统假设亦指出，实数集中每一个子集，要么和整数集有相同的基数，要么和 实数集有相同的基数。证明或证否的不可能性（在 ZFC 系统下）康托尔相信连续统假设是对的，花了很多年尝试证明它，结果徒劳无功。它成为 了希尔伯特那重要难题名单中的第一条，并在 1900 年巴黎的国际数学家大会上 宣布此事。在那个时候，还没有公理化集合论的概念。 库尔特·哥德尔在 1940 年指出连续统假设不能在 ZFC 系统下证否，即使接受了 选择公理为前提。这个定理称为哥德尔定理。Paul Cohen 在 1963 年证明了连续 统假设同样不能在 ZFC 下被证明。因此，连续统假设“逻辑地独立于”ZFC。这 些结果都是以 ZFC 的公设系统本身并不存在自相矛盾（相容性）为假设大前提， 而这个大前提是被广泛接受为对的。 连续统假设并非被证明跟 ZFC 互相独立的第一个命题。 哥德尔不完备定理一个立 即的结论在 1931 年被发表，那是“‘存在着一个正式命题表达 ZFC 的相容性’ 乃独立于 ZFC”。有别于纯粹数学的，这个一致的命题乃是有着在数学之上的特 性。连续统假设和选择公理乃是最先被证明跟 ZF 集合论独立的命题。在 Paul Cohen 在 1960 年代发展出力迫法以前，这些独立性的证明并没有完成。

连续统假设与数学分析、 点集拓扑学和测度论中很多的命题有紧密关系。由于其 独立性，很多这些范畴中的猜想也就被证明了其独立性。支持和反对连续统假设的辩论哥德尔相信连续统假设是错的，而他对于连续统假设相容性的证明，只表示了 ZF 系统的公理有缺陷。哥德尔是一个柏拉图主义者，因此独立于一个命题的可 证性而宣称其正确或错误，对他来说并无问题。Paul Cohen 也倾向于反对连续 统假设。 历史上，喜欢一个“丰富”而且“大”的全集的数学家倾向反对连续统假设；而 喜欢一个“整齐”而且“可控制”的全集的数学家则倾向支持连续统假设。对于 能推导出连续统假设的可建造公理， 一直以来也有一些支持与反对的争论。 最近， Matthew Foreman 更指出本体论的多元主义对支持连续统假设有利(Maddy 1988, p. 500)。这是因为在各种模型里面，支持连续统假设的模型往往会存在更多集 合。 另一个观点是对于集合的幼稚概念并不足够明确地使我们能分辨究竟连续统假 设是对是错。这个观点被“连续统假设对于 ZFC 系统的独立性”所支持，由于这 些公理足够建立集合与基数的基本特性。要反对这一观点，要是能展示一条既能 被直观所支持、又能从证明或证否面解决连续统假设的新公理，那就很足够了。 尽管可建造公理能解决连续统假设， 但它比较起连续统假设的反题并不显得更直 观地正确。 至少有另外两个可推导出连续统假设的公理被提出， 即使它们目前还没有被数学 社群所广泛接受。 1986 年， 在 Chris Freiling 展示了一个反连续统假设的论点， 透过显示连续统的反题跟 Freiling 对称公理──一个跟概率有关的命题──等 价。 Freiling 相信这条公理 “直观正确” 但其它人反对。 ， 一个由 W. Hugh Woodin 发展的困难论点同样反连续统假设，并自 2000 年开始获得了值得考虑的注意。 Foreman (2003) 并没有完全反对 Woodin 的论点但敦促小心谨慎。广义连续统假设广义连续统假设（Generalized continuum hypothesis，简称 GCH）是指： 若一个无限集 的基数在另一个无限集 与其幂集 定与 或其幂集 相同。 之间，则 的基数必CH 与 GCH 都独立于 ZFC，不过 Sierpiński 证明了 ZF+GCH 可以推导出选择公理， 换句话说，不存在 ZF+GCH 但 AC 不成立的公设系统。

任何的无限集合 A 和 B，假如存在一个由 A 到 B 的单射，那就存在一个由 A 的子 集到 B 的子集的单射。因此对于任何有限的序数 A 和 B， . 假如 A 和 B 是有限集合，那我们可以得到更强的不等式：GCH 意味着这个严格的不等式对无限序数和有限序数都成立。

希尔伯特第二问题希尔伯特第二问题， 即关于一个公理系统相容性的问题， 也就是判定一个公理系 统内的所命题是彼此相容无矛盾的， 希尔伯特希望能以严谨的方式来证明任意公 理系统内命题的相容性。 库尔特·哥德尔在 1930 年证明了哥德尔不完备定理，粉碎了希尔伯特的梦想。

希尔伯特第三问题维基百科，自由的百科全书 跳转到： 导航, 搜索 希尔伯特第三问题是希尔伯特的 23 个问题中认为最容易解决的一个。 此题是问： “已知两个多面体有相同体积， 能否把其中一个多面体分割成有限块再将之给合 成另一个？”根据高斯之前的作品，希尔伯特断定此为不可以的。这个猜想在几 年内被他的学生马克斯· 德恩以一反例证明了是不可以的了。但其二维空间的情 况却可能（参见华勒斯·波埃伊·格维也纳定理）。

希尔伯特第四问题希尔伯特第四问题为大卫·希尔伯特于 1900 年提出的一则几何学基本问题，主 旨是建立所有度量空间使得所有线段为测地线[1]。由于希尔伯特对于这个问题的 定义过于含糊，所以此问题未能有一确实定义性的解答。乔治·哈梅尔(Georg Hamel)提出一个解答。[来源请求]

希尔伯特第五问题希尔伯特第五问题， 即是否所有连续群都是可微群的问题。 它由德国著名数学家 大卫· 希尔伯特在 1900 年的国际数学家大会提出，是当时他提出的 23 个问题之 一。1953 年日本数学家山边英彦证明了这个问题的答案是肯定的。

希尔伯特第六问题希尔伯特第六问题即公理化物理。 虽然物理学并非数学， 但是两者之间的关系密 切， 许多物理学上的概念可借由数学来明确化，而数学上有一些东西的灵感也是 来自于物理学的研究，微积分就是最著名的例子，因此希尔伯特认为能使用数学 上公理化的概念来将物理学给公理化，而后来也确实有人进行这项工作，并且也 获得了成功，凡举古典力学、机率论、热力学、狭义相对论乃至于量子力学都有 人进行公理化的工作。

希尔伯特第七问题希尔伯特第七问题是一个有关无理数及超越数的问题，包括以下二个问题： 1. 在等腰三角形中， 若底角和顶角的比值为无理数的代数数，则底边和侧边 长度的比值是否恒为超越数？ 2. 若 b 是无理数、a 是非 0、1 的代数数，那么 否恒为超越数？ 第二个问题已于 1934 年由阿勒克山德·格尔丰德（Aleksandr Gelfond）证明， 西奥多·施奈德（Theodor Schneider）也在 1935 年独立证明此问题，他们证明 的结果即为格尔丰德－施奈德定理。 在第二个问题成立后，也意味着第一个问题成立。 （例如 、 = ）是

希尔伯特第八问题希尔伯特第八问题是希尔伯特的 23 个问题之一，它包含了几个数论上悬而未决 的问题，这些问题看似简单，但事实上若要证明是非常困难的。它包含了以下几 个问题：  黎曼猜想：黎曼ζ函数ζ(s)非平凡零点(在此情况下是指 s 不为-2、-4、 -6‧‧‧等点的值)的实数部份是½。 哥德巴赫猜想：任一大于 2 的偶数，都可表示成两个质数之和。 孪生素数猜想： 是否有无穷多个相差 2 的素数， 例如 3,5； 5,7； 11,13； ...。虽然这些问题的研究已有进展，但这些问题现在尚未解决。

希尔伯特第九问题希尔伯特第九问题是希尔伯特的 23 个问题的一个问题，要在一般代数数域中找 到可以对应 k 阶范式剩余的互反律，[1]其中 k 为质数，而范式剩余是利用希尔伯 特符号计算。进展在此问题的求解上， 已有一些进展， 但还没完全解决。 埃米尔· （1924; 1927; 阿廷 1930）发现了处理代数数域下阿贝尔扩展的阿廷互反律。赫尔穆特·哈斯不但发 现了更一般性的哈塞互反律， 他和高木贞治的贡献也带动了类域论的发展，用抽 象的方式来处理希尔伯特符号。后来伊戈尔·沙发列维奇（1948; 1949; 1950） 找到特定情形下范式剩余的公式。 和希尔伯特第十二问题有关的非阿贝尔类域论是数论中最有挑战性的问题之一， 此问题仅解决了一小部份。外部链接希尔伯特演讲内容的英文翻译参考资料1. ^ Bruce A. Magurn. An algebraic introduction to K-theory. Cambridge University Press. 2002: p.569. ISBN 0521800781.隐藏▲ 查 · 论 · 编希尔伯特的 23 个问题I | II | III | IV | V | VI | VII | VIII | IX | X | XI | XII | XIII | XIV | XV | XVI | XVII | XVIII | XIX | XX | XXI | XXII | XXIII

希尔伯特第十问题希尔伯特的第十个问题， 就是不定方程(又称为丢番图方程)的可解答性。这是希 尔伯特于 1900 年在巴黎的国际数学家大会演说中， 所提出的 23 个重要数学问题 的第十题。 这个问题是问， 对于任意多个未知数的整系数不定方程，要求给出一个可行的方 法(verfahren)，使得借助于它，通过有限次运算，可以判定该方程有无整数解。 这里德文的方法 verfahren， 就是英文所谓的算法 algorithm。对于算法的概念 我们是不陌生的，例如远在古希腊时代，人们就知道可以使用辗转相除法，求两 个自然数的最大公约数。还有，任给一个自然数，也存在着一个方法，在有限步 骤内，可以判定这个数是不是质数。 虽然人们很早就有了算法的朴素概念，但对于到底什么是可行的计算，仍没有精 确的概念。一个问题的可解与不可解究竟是什么含意，当时的人们还不得而知。 然而为了研究第十问题， 必须给予算法精确化的观念。这点还有赖于数理逻辑学 对可计算性理论的发展，才得以实现。基本观念不定方程不定方程是指含任意数量变元的整系数多项式方程这里 都是正整数、负整数或零，而变元 数或整数。若能找到整数 ，使得的定义域是自然则称此不定方程具有整数解。例如：

则 (3,4,5)、(5,12,13) 等都是它的整数解。事实上可找出它所有的整数解： ，其中 。这是著名的勾股定理或称毕式定理。 著名的费马最后定理，是说当 时，方程式没有非零整数解。丢番图集自然数，自然数对（或具有自然数的 n-元组）的有丢番图定义的集合被称为丢 番图集。 丢番图定义可以由方程组或单个方程给出，因为方程组等价于单个方程：递归可枚举集可以被描述为一个集合，对其存在一种算法，对这个算法，当集合 的一个成员被输入时最终会停机，但一个非成员被输入时会不确定的继续。是可 计算性理论（亦即递归论）给出了算法可计算性的直觉符号的精确解释，因而使 得递归可枚举性的符号具有完美的严格性。显然，丢番图集是递归可枚举的。因 为可以排列所有可能的未知数的值的多元组为一个序列， 然后对于一个给定的参 数值，一个接一个的测试这些多元组，看他们是否是相应方程的解。希尔伯特第 十问题的不可解性源于令人惊讶的事实──其逆命题成立：每个递归可枚举集都是丢番图集。这一结果即马季亚谢维奇定理（由他提供的完成证明的关键步骤）和 MRDP 定理 （即尤里·马季亚谢维奇，朱莉娅·罗宾逊，马丁·戴维斯和希拉里·普特南的 首字母缩写）。因为“存在一个递归可枚举集是不可计算的”，希尔伯特第十问 题的不可解性是其直接后果。实际上，还有更多的结论：有一个多项式有整数系数使对于方程

有自然数解的 的值的集合不可计算。因此，不仅没有一般的算法测试丢番图方 程可解性，甚至也没有算法来测试单一参数家族的方程。丢番图函数 递归函数 递归可枚举集 通用丢番图集历史发展第十问题的解决是众人集体的智慧结晶。其中美国数学家 Davis、Putnam 和 Robinson 做出了突出的贡献。而最终的结果，是由俄国数学家 Yuri Matiyasevich 于 1970 年所完成的。 年代 1944 事件 Emil Leon Post 首先猜测，对于第十问题，应寻求不可解的证明。 Martin Davis 利用 Kurt Gödel 的方法，并应用中国余数定理的编 码技巧，得到递归可枚举集的戴维斯范式 1949 其中 是不定方程。他注意到丢番图集的补集并非丢番图的。而递归 可枚举集对于补集运算也非封闭的，他因此猜测这两个集合类是相同 的。 Julia Robinson 在未知 Davis 工作的情况下，试图证明幂函数是丢 番图的1950虽然并未成功，她发现如果存在这样的丢番图集 得，使

而且 使得 在假设这样丢番图集存在(称为 J.R.)的情况下，她证明了幂函数是 丢番图的。并且如果幂函数是丢番图的，那么二项式系数、阶乘以及 质数集合都是丢番图的。 David 与 Putnam 共同研究了指数丢番图集，也就是以丢番图方程所 定义的集合， 但其中指数可以是未知数。 使用戴维斯范式与 Robinson 的方法， 并且利用数论中一个当时尚未证明的假设(注： 已于 2004 年 由 Ben Green 和 Terence Tao 所证明)：存在任意有限长度全由质 数所组成的算数级数，他们证明了每一个递归可枚举集都是指数丢番 图的。因此若是 J.R. 成立，就可以将“指数”两字拿掉，而得到每 一个递归可枚举集都是丢番图的。因而第十问题是不可解的。 Robinson 证明了上述的数论假设是不必要的，并且大大简化了证明。 从而可知，只要能证明幂函数是丢番图的，第十问题就可以解决。而 关键又是寻找满足 J.R. 假设的丢番图集。 David 与 Putnam 提出数种可证明 J.R. 的假定。Robinson 指出， 若存在一个全由质数组成的无限丢番图集，便可证明 J.R. Matiyasevich 指出可由十个一次和二次的联立不定方程组，定义偶 角标的斐波那契函数：19591960 1961-19691970其中是第个斐波那契数。也就是它是丢番图的，并满足 J.R.假设。从而可构造出一个不定方程，它不是递归可解的。也就是不存 在算法，可以计算该方程式的整数解。因此使得希尔伯特第十问题， 得到最终否定的解答。

希尔伯特第十一问题希尔伯特第十一问题是希尔伯特的 23 个问题之一。给定一个系数为代数数的二 次式令。给定，希尔伯特提议研究二次方程式在 里的的解 。 根据哈瑟原则， 上述二次方程式可解的充要条件它局部上可解，这为希尔伯特第 十一问题提供了部份的解答。

希尔伯特第十二问题希尔伯特第十二问题是将只适用实数下阿贝耳扩张的克罗内克－韦伯定理， 扩展 到任意基底下的代数数体。利用复乘已可将克罗内克－韦伯定理延伸到虚二次 体。进一步的扩展（一般不太精确的称为 Kronecker Jugendtraum）到 2008 年 为止尚未解决。一般认为利奥波德·克罗内克将这个和复乘有关的问题视为 liebster Jugendtraum（年轻时最亲爱的梦想）。 在 1920 年，高木贞治已解决此问题，开创了类域论。

希尔伯特第十三问题希尔伯特第十三问题，是希尔伯特的 23 个问题之一。希尔伯特希望数学界能够 证明： 这个方程式的七个解，若表成系数为 的函数，则此函数无法简化成两个变量的函数。 1957 年，安德雷·柯尔莫哥洛夫的学生、当时 19 岁的弗拉基米尔·阿诺尔德解 决了这个问题 柯尔莫哥洛夫证明每个有多个变元的函数可用有限个三变元函数 。 构作。阿诺尔德按这个结果研究，证明两个变元已足够。之后阿诺尔德和志村五 郎发表了一篇论文（Superposition of algebraic functions (1976), in Mathematical Developments Arising From Hilbert's Problems）。

希尔伯特第十四问题维基百科，自由的百科全书 跳转到： 导航, 搜索 希尔伯特第十四问题是希尔伯特的 23 个问题之一。它探讨某些有理函数域中的 子环的有限性问题。令 为一个域， ，希尔伯特猜想 是有限生成的 。令 -代数。历史此问题源自不变量理论。具体而言，假设群 作用于 n 维仿射空间 价地说，作用于多项式环 。为了研究商空间 ，或者等 ，必须考虑：希尔伯特本人证明了 是某些半单李群的情形，包括 证明了。扎里斯基在 1954 年的情形。对于一般的状况，永田雅宜借着考虑某些线性代数群的作用而在 1959 年造出反例。 基于蒙福德假设，可以推出：若 是代数封闭域，且 是定义在 上的可约群，则 是有限生成的。此假设已在 1975 年由 W. J. Haboush 证明，并由 C. S. Seshadri 推广。

希尔伯特第十五问题希尔伯特第十五问题是希尔伯特的 23 个问题之一。希尔伯特要求对舒伯特的列 举算术赋予严格基础。问题这个问题可以分成两部份。第一部份是舒伯特算术，第二部份是列举几何。前者 已经借由格拉斯曼簇的拓扑构造与相交理论阐明。后者关系到舒伯特的“数量守 恒原理”，这涉及某些相交数在连续变形下的不变性。此原理出现在许多代数几 何的计数问题上， 例如： 给定空间中四个二次曲面， 如何证明恰有 666841048 个 二次曲面与之相切？ 虽然相交理论已有长足进展，量子上同调理论也为列举几何带来部份启发，此学 科的现状离希尔伯特百年前的梦想仍有差距。

希尔伯特第十六问题希尔伯特第十六问题，是希尔伯特的 23 个问题之一。它分成两个部份：实代数曲线与曲面的拓扑结构Harnack 在 1876 年证明了一个平面上 次实代数曲线最多有个分支。 希尔伯特提议研究这些分支之间的拓扑性质，并将 Harnack 的估计推广到空 间里的实代数曲面。极限环的拓扑结构 ，考虑下述平面上的动力系统给定二元 次实多项式希尔伯特提议研究其极限环的最大数目及其拓扑。 总而言之，此问题意在研究由实多项式定义出的拓扑结构。在第一部份，我们考 虑实多项式的零点； 在第二部份， 我们考虑实多项式定义的向量场及其积分曲线。 希尔伯特第十六问题在 20 世纪 50 年代末由苏联科学院院士彼得洛夫斯基 （I.G.Petrovsky）与兰迪斯（E.M.Landies）解决。但随后，他们的证明被证明 存在漏洞。1980 年，中国科学技术大学研究生史松龄举出一反例，彻底推翻了 二人的证明。因此，第十六问题至今仍未解决。

希尔伯特第十七问题维基百科，自由的百科全书 跳转到： 导航, 搜索陈述希尔伯特第十七问题，是希尔伯特的 23 个问题之一。假设 实系数多项式，且对每个 伯特提出下述问题：是否可能将 和？ 此问题首先由埃米尔· 阿廷于 1927 年给出肯定回答，并开展了实封闭域的理论； 此后也有就模型论观点的相关研究，请参见下列文献。 都有 为 ，希尔表成实系数有理函数的平方文献  E. Artin, Über die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate, Abh. Math. Sem. Hansischen Univ. 5 (1927), pp. 100-115 E. Artin and E. Schreier, Algebraische Konstruktion reeller Körper, Abh. Math. Sem. Hansischen Univ. 5 (1927), pp.85-99 G. L. Cherlin, Model Theoretic Algebra - Selected Topics (1976), Lecture Notes in Mathematics No. 521, Springer ISBN 0-387-07696-4

希尔伯特第十八问题希尔伯特第十八问题，是一些关于 n 维欧氏几何空间的问题，主要有三个部份：n 维欧氏几何空间是否只允许有限多种两两不等价的空间群？─已由路 德维希·比勃巴赫解决 是否存在一个能填满整个空间的多面体，但其本身并非某个群的基本域 （即不规则多面体能否填满空间）？─已解决 在 n 维欧氏几何空间中最佳的装球模式（使空隙最小）？─未解决，开普 勒猜想与此相关虽然装球问题至今未解决，但是在 24 维空间中，存在一种叫 Leech lattice 的 格子， 可使在其中的球的排列方法近似于最佳方法，而虽然三维空间装球的问题 至今未解决， 但是已有所斩获， 理论上的最佳效率已经和已知的最佳效率较为接 近了─虽然还有一段距离。 另外还有一个相关的问题： n 维欧氏几何空间中，一个球最多可以和几个一样 在 的球邻接？这个数称之为 Kissing number，在一维至四维、八维以及 24 维的情 况下，这个数为已知数。

希尔伯特第十九问题希尔伯特第十九问题， 是一个有关于变分法的问题， 尤其是有关于位势方程正则 性的问题位势方程： 希尔伯特注意到了这个偏微分方程具有某种正则性，除此之外，还有一些偏微分 方程也有这类的特性， 他称这些具有此特性的方程式为拉格朗日方程，他认为这 些方程式的解是可解析的。这个问题在 1904 年由谢尔盖·伯恩施坦在巴黎大学 上交的博士论文中得以解决， 他证明了椭圆偏微分方程 （位势方程等拉格朗日方 程为椭圆偏微分方程），只要符合某些条件，则它的解必是可解析的，并且在证 明出现后，希尔伯特第十九问题、第二十问题及第二十三问题被整合，并且有了 相当程度的推广。

希尔伯特第二十问题希尔伯特第二十问题，是数学家大卫·希尔伯特在 1900 年国际数学家大会上提 出的 23 个问题中的第 20 题。 问题是问，是否所有的边值问题都有解（即，是否有确定边界条件的变分问题都 有解）。对于这一问题的研究在 20 世纪取得了迅速地进展，也推动了椭圆型微 分方程理论的发展。[1]

希尔伯特第二十一问题希尔伯特第二十一问题是希尔伯特的 23 个问题之一：给定 及一个线性表示 （给定 方程，使得其单值群由 给出？ ），是否存在一组 上的 Fuchs现况此问题的答案决定于其表述：如果我们容许明显的奇异点（即：其单值群是平凡 的），并在复流形上的向量丛及其联络的意义下理解 Fuchs 方程，则答案是肯定 的；否则存在反例。这是 L. Plemelj、G. Birkhoff、I. Lappo-Danilevskij、 P. Deligne 与 A. Bolibrukh 等数学家的工作。 此问题有时亦称为黎曼-希尔伯特问题。数学家柏原正树与 Zoghman Mebkhout 已借助 D-模的抽象语言将此结果推广到高维情形，称作黎曼-希尔伯特对应。文献   A. Beauville, Equations différentielles à points singuliers réguliers d'apres Bolybrukh, Sem. Bourbaki , 1992/3 (1993) pp. 103–120 A. Borel Algebraic D-modules ISBN 0-12-117740-8 P. Deligne, Equations differentials a points singuliers reguliers, Springer Lecture notes in mathematics 163 (1970). M. Kashiwara, Faiseaux constructibles et systems holonomes d'equations aux derivees partielles lineaires a points singuliers reguliers, Se. Goulaouic-Schwartz, 1979-80, Exp. 19. Z. Mebkhout, Sur le probleme de Hilbert-Riemann, Lecture notes in physics 129 (1980) 99-110.

希尔伯特第二十二问题希尔伯特第二十二问题是关于以自守函数一致化可解析关系。这问题已在 1907 年由德国数学家克伯解决。黎曼曲面理论和这问题有一定关系。参见   大卫·希尔伯特 克伯 曲面理论 自守函数

希尔伯特第二十三问题希尔伯特第二十三问题是希尔伯特的 23 个问题中的最后一个，是有关变分法的 长远发展。 此问题中没有出现待解或待证明的问题，与其他问题中有明确问题的 情形不同。此问题尚未解决。参考来源Hilbert, David, "Mathematische Probleme" Göttinger Nachrichten, (1900), pp. 253-297, and in Archiv der Mathematik und Physik, (3) 1 (1901), 44-63 and 213-237. Published in English translation by Dr. Maby Winton Newson, Bulletin of the American Mathematical Society 8 (1902), 437-479 [1] [2] DOI:10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 .