三、多元函数微分学
1．求偏导数；求多元复合函数的导数； 例1. z =sin(xy ) +cos 2(xy ) , 求∂z ∂z , ∂x ∂y
例2. z =x +y ∂z ∂z , 求, x -y ∂x ∂y
y ∂z ∂z 例3. z =xy +xf () , 求, x ∂x ∂y
∂z ∂2z 例4. z =f (2x -y , y sin x ) , 其中z =f (u , v ) 有二阶连续偏导数, 求, ∂x ∂x ∂y
2. 求由方程组所确定的函数的导数(p.87,例3) ； 例1. (p.87,例3) 设xu -yv =0, yu +xv =1, 求∂u ∂u ∂v ∂v , , , ∂x ∂y ∂x ∂y
⎧x =e u +u sin v ∂u ∂u ∂v ∂v 例2. 设 ⎨, 求, , , u ∂x ∂y ∂x ∂y ⎩y =e -u cos v
⎧u =f (ux , v +y ) ∂u ∂u ∂v ∂v 例3. 设 ⎨, 求, , , 2∂x ∂y ∂x ∂y ⎩v =g (u -x , v y )
3. 求空间曲线的切线方程；
例1. 求曲线x =t , y =t 2, z =t 3在点M =(1, 1, 1) 处的切线方程.
⎧x 2+y 2+z 2=6例2. 求曲线⎨在点M =(1, -2, 1) 处的切线方程. ⎩x +y +z =0
⎧x 2+y 2+z 2=4例3. 求曲线⎨2在点M =(1, 1, 2) 处的切线方程. 2⎩x +y =2x
4．计算函数f (x , y ) 在点P 处沿方向l 的方向导数； 例1. 求函数z =xe 2y 在点P (1, 0) 处沿从点P (1, 0) 到点Q (2, -1) 的方向的方向导数. 例2. 求f (x , y , z ) =xy +yz +zx 在点(1, 1, 2) 处沿方向l 的方向导数. 其中l 的方向角
45 ，60 . 分别为60 ，
例3. 求u =xyz 在P (5, 1, 2) 处沿从点P (5, 1, 2) 到点Q (9, 4, 14) 的方向的方向导数.
三、多元函数微分学
1．求偏导数；求多元复合函数的导数； 例1. z =sin(xy ) +cos 2(xy ) , 求∂z ∂z , ∂x ∂y
例2. z =x +y ∂z ∂z , 求, x -y ∂x ∂y
y ∂z ∂z 例3. z =xy +xf () , 求, x ∂x ∂y
∂z ∂2z 例4. z =f (2x -y , y sin x ) , 其中z =f (u , v ) 有二阶连续偏导数, 求, ∂x ∂x ∂y
2. 求由方程组所确定的函数的导数(p.87,例3) ； 例1. (p.87,例3) 设xu -yv =0, yu +xv =1, 求∂u ∂u ∂v ∂v , , , ∂x ∂y ∂x ∂y
⎧x =e u +u sin v ∂u ∂u ∂v ∂v 例2. 设 ⎨, 求, , , u ∂x ∂y ∂x ∂y ⎩y =e -u cos v
⎧u =f (ux , v +y ) ∂u ∂u ∂v ∂v 例3. 设 ⎨, 求, , , 2∂x ∂y ∂x ∂y ⎩v =g (u -x , v y )
3. 求空间曲线的切线方程；
例1. 求曲线x =t , y =t 2, z =t 3在点M =(1, 1, 1) 处的切线方程.
⎧x 2+y 2+z 2=6例2. 求曲线⎨在点M =(1, -2, 1) 处的切线方程. ⎩x +y +z =0
⎧x 2+y 2+z 2=4例3. 求曲线⎨2在点M =(1, 1, 2) 处的切线方程. 2⎩x +y =2x
4．计算函数f (x , y ) 在点P 处沿方向l 的方向导数； 例1. 求函数z =xe 2y 在点P (1, 0) 处沿从点P (1, 0) 到点Q (2, -1) 的方向的方向导数. 例2. 求f (x , y , z ) =xy +yz +zx 在点(1, 1, 2) 处沿方向l 的方向导数. 其中l 的方向角
45 ，60 . 分别为60 ，
例3. 求u =xyz 在P (5, 1, 2) 处沿从点P (5, 1, 2) 到点Q (9, 4, 14) 的方向的方向导数.