解一元一次不等式组及应用

四川省资中县第二中学初2013级数学备课组集体备课

解一元一次不等式组及应用

（四川省资中县第二中学 罗浩）

课题：解一元一次不等式组

课型：新授课

课时：5课时

三维教学目标

知识与能力

1．通过对不等式的复习和具体实例总结一元一次不等式组以及一元一次不等式组的解集的概念。

2．通过例题教会学生解一元一次不等式组，并教会学生通过在数轴上表示不等式的解集得到不等式组的解集，让学生感受数形结合的作用。

3．通过对具体实例的分析让学生感受现实生活中错综复杂的数量关系，让学生认识到现在学习的不等式和方程知识是认识客观世界的基础。

4．通过对例题的学习掌握解一元一次不等式组的方法及其应用。 过程与方法

1．创设情境，通过实例引导学生考虑多个不等式联合的解法。

2．通过例题总结解一元一次不等式组的方法，并总结一元一次不等式组的解与一元一次不等式的解之间的关系。

3．通过对典型例题的分析加深对结一元一次不等式组的认识。 情感、态度与价值观

1．通过数轴的表示不等式组的解，让学生加深对数形结合的作用的理解，使他们逐步熟悉和掌握这一重要的思想方法。

2．在对例题的讲解中，使学生认识一元一次不等式组的解集即每个不等式解集的公共部分，从而渗透“交集”的思想。

3．在解不等式组的过程中让学生体会数学解题的直观性和简洁性的数学美。 教学重、难点及教学突破

重点

1．理解一元一次不等式组的概念，会用数轴表示一元一次不等式组解集的情况。

2．掌握一元一次不等式组的解法。

难点

1．弄清一元一次不等式的解集与一元一次不等式组的解集之间的关系。

2.解含有字母的不等式组并求字母的取值范围。

3．灵活运用一元一次不等式组的知识解决实际问题。

教学突破

本节知识与前一节的知识联系比较紧密，建议教师在教学中要特别注意本节内容与一元一次不等式的知识的联系，让学生经历知识的拓展过程，并能通过数轴让学生直观地认识一元一次不等式组的解集，使其了解数形结合的作用。

教学过程

（一）回顾旧知，导入新课

1．解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来： x53x21＜ 22

2．根据下面数轴读出解集：

（最好四个数轴，两个方向，一个实心，一个实心）

3．总结得出：不等式的解集可以在数轴上表示出来，也可以在数轴上读出不等式的解集，这就是数学里的重要思想方法：数形结合。

4.现在有这样一个问题：如果用X代表某人的身高，如果此人的身高比1.65米高，用不等式如何表示，表示在数轴上如何？而且此人的身高比1.80米低，用不等式如何表示，表示在数轴上又如何？

现在两个条件同时成立，那此人的身高应该在那个范围？在数轴上是那个区域？这就是我们今天要研究的内容：解一元一次不等式组

（二）探究新课

不等式组的概念：含有相同字母的两个一元一次不等式合在一起，叫做一元一次不等式组。

不等式组中几个不等式的解集的公共部分，叫做不等式组的解集。

（1）将下列不等式组的解集表示在数轴上

x1  x2

总结规律： x1 x2x1 x2x1 x2

同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了

（2）分别用不等式表示下列四个数轴的公共解集

xa(xa)（3）将下列不等式组转化成的形式 xb(xb)

3(x2)＜x8, xx1 ≤.32

3(x2)＜x8,（4）提问：xx1这个不等式组的解集是什么？ ≤.32

例1：

总结步骤：1、分别解两个不等式并求出其解集；2、将它们的解集分别表示在数轴上；3、在数轴上读出它们的公共部分（也就是不等式组的解集）

x20　　　　　　(1)练习： 　2(x1)33x　　　(2)

2x752x例2：不等式组3x的整数解是什么？ x12

例3：解不等式组：

32x59

总结两种方法：1、转化为两个不等式，建立成不等式组；2、直接利用不等式的基本性质求解。

（三）小结

⑴ 一元一次不等式组的定义，解法，步骤

⑵数形结合的思想

（四）作业

练习册及课本第53页2.3

课时：2课时

解一元一次不等式（组）的应用（含字母的形式）

类型一：利用不等式的基本性质及绝对值性质求取值范围

2例1：已知关于x的不等式(1a)x2的解集为x，则a的取值范围是1a

_______________。

练习：1、如果关于x的不等式(a1)xa1的解集为x1，那么a的取值范围是_______________。

2、若xx1，则x的取值范围_______________。

类型二：不等式组的解集有解

x3例2：如果一元一次不等式组的解集为x3．则a的取值范围是( )

xa

A．a3 B．a≥3 C．a≤3 D．a3

分析：1、选择题，用特殊值法

2、首先比较3与a的大小，然后利用数轴比较（注意等号的取舍，单独讨论）

练习：1、若不等式组有解，则实数的取值范围是（ ）

A

B． C． D．

2、若不等式组xa≥0,有解，则a的取值范围是（ ） 12xx2

A．a1 B．a≥1 C．a≤1 D．a1

3、若不等式组的解集为，则a的取值范围为（ ）

A． a＞0 B． a＝0 C． a＞4 D． a＝4

类型三：已知不等式组的整数解，求字母的取值范围

xa≥0，例3：已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围52x1

是 。

分析：首先对不等式组进行化简，再将其解集表示在数轴上，注意等号的点单独讨论。

xa0练习：1、知关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围1x0

是 。

xa＞0的整数解共有2个，则a的取值范围2、已知关于x的不等式组32x＞0

是 。

类型四：利用不等式组的解集求值

xa≥2例4：如果不等式组2的解集是0≤x1，那么ab的值为 。

2xb3

xm1练习：1、关于x的不等式组的解集是x1，则m = 。 xm2

xa22、若不等式组的解集是1x1，则(ab)2009b2x0

类型五:方程与不等式（组）的联系

例1：关于x的方程2x1k的解为正数，则k的取值范围是 。

2x31练习：若不等式组的整数解是关于x

的方程2xx3

值。

的根，求a的

课时：1课时

用一元一次不等式组解应用题

教学过程：

（一）回顾旧知，导入新课

1、什么叫一元一次不等式组？

2、什么叫一元一次不等式组的解集？

3、怎样解一元一次不等式组？

x1.5思考1：求不等式组的整数解？

x0

思考2：列不等式表示下列关系：

（1）小明的年龄的2倍不大于31（设小明的年龄为x）

（2）小明的年龄超过14（设小明的年龄为x）

（3）小明的年龄的2倍不大于31且小明的年龄超过14（设小明的年龄为x） 问：要解决这个问题，我们可以用什么办法？

对，今天我们就研究利用一元一次不等式组来处理实际中的问题。

（二）探究新课

例1、3个小组计划在10天内生产500件产品（每天产量相同），按原先的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原先多生产1件产品，就能提前完成任务；问：每个小组原先每天生产多少件产品？

分析：不等关系：

“不能完成任务”的意思是：

按原先的生产速度，10天的产品数量

“提前完成任务”的意思是：

提高生产速度后，10天的产品数量>500

请根据不等关系，列出不等式，组成不等式组。

（学生到黑板上板演过程）

归纳：1、在实际问题中找出不等关系，并用不等式表示出来；

2、在实际问题中，数据是取整，四舍五入等要根据实际情况而定。

例2：一本英语书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完。李永平均每天比张力多读3页，张力平均每天读多少页？（答案取整数） 分析：不等关系：

张力7天读书的页数

李永7天读书的页数 > 98

例3：在一次绿色环保知识竞赛中，共有20道题，对于每一道题，答对了得10分，答错或不答扣5分。已知小明得分在60到80分之间，那么小明答对了几道题？

分析：不等关系：

小明得分60

小明得分80

练习：课本第50页问题3及第53页问题4

（三）小结

这节课我们主要学习了构建不等式组解决实际问题的数学方法，我们利用不等式组解决实际问题的关键是找出题中的不等关系。注意点是未知数的取值要结合实际因素。

（四）作业

练习册及课本第53页4.第54页3

课时：1课时

不等式组应用题

一、分书、分水果、安排房间类问题：

分析：此类问题一般设人数或房间数为x，然后用x把书的数量或水果的数量或住宿人数表示出来；此类问题一般含有一个显现的不等关系，一个隐含的不等关系，根据题意，利用这两个不等关系列出不等式组。

例1、把一批铅笔分给几个小朋友，每人5支还余2支，每人6支，那么最后一个小朋友分得的铅笔少于2支，求小朋友的人数和铅笔的支数。

练习1、某旅馆来了一个旅游团，若安排4人一个房间，则有8人安排不下；若安排5人一个房间，则最后一个房间少于3人。求旅馆有多少个房间？旅游团共有多少人？

2、将一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个，则剩下9个橘子；如果每人分6个，则最后一个儿童分得的橘子数将多于1个且少于5个，问共有个儿童，多少个橘子？

二、明确上、下限问题：

分析：此类问题有两种，一是给出上、下限（如1题）；二是需要用未知数表示上、下限（如2题）。解决此类问题的方法是画出数轴，在数轴上分别标出上、下限和中间值，依据数轴上的不等关系列出不等式组。

例2、某连队在一次执行任务中，将战士编成8个组，如果分配每组人数比预定人数多1名，那么战士总数将超过100人；如果分配每组人数比预定人数少1名，那么战士总数将不到90人。如果你是连长，预定每组分配战士的人数应该为多少？

练习1、个体服装商贩出售时装，老板们常以高出进价的50%～100%标价，假设准备购买一件标价150元的时装，进价在什么范围？

2、一个长方形足球场的长为xm，宽为70m，如果它的周长大于350m，面积小于7560㎡，求x的取值范围，并判断这个球场是否可以用于国际足球比赛。（注：用于国际比赛的足球场的长在100m到110m之间，宽在64m到75m之间。）

三、综合问题：

综合问题一般结合方程或方程组来解答。

例3、某公司要将本公司的100吨货物运出销售，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，可一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨。已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元，租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同。

（1）求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？

（2）求该公司计划此次租车费用不超过5000元，通过计算求出该公司有几种租车方案？请你设计出来，并求出最低的租车费用。

四川省资中县第二中学初2013级数学备课组集体备课

解一元一次不等式组及应用

（四川省资中县第二中学 罗浩）

课题：解一元一次不等式组

课型：新授课

课时：5课时

三维教学目标

知识与能力

1．通过对不等式的复习和具体实例总结一元一次不等式组以及一元一次不等式组的解集的概念。

2．通过例题教会学生解一元一次不等式组，并教会学生通过在数轴上表示不等式的解集得到不等式组的解集，让学生感受数形结合的作用。

3．通过对具体实例的分析让学生感受现实生活中错综复杂的数量关系，让学生认识到现在学习的不等式和方程知识是认识客观世界的基础。

4．通过对例题的学习掌握解一元一次不等式组的方法及其应用。 过程与方法

1．创设情境，通过实例引导学生考虑多个不等式联合的解法。

2．通过例题总结解一元一次不等式组的方法，并总结一元一次不等式组的解与一元一次不等式的解之间的关系。

3．通过对典型例题的分析加深对结一元一次不等式组的认识。 情感、态度与价值观

1．通过数轴的表示不等式组的解，让学生加深对数形结合的作用的理解，使他们逐步熟悉和掌握这一重要的思想方法。

2．在对例题的讲解中，使学生认识一元一次不等式组的解集即每个不等式解集的公共部分，从而渗透“交集”的思想。

3．在解不等式组的过程中让学生体会数学解题的直观性和简洁性的数学美。 教学重、难点及教学突破

重点

1．理解一元一次不等式组的概念，会用数轴表示一元一次不等式组解集的情况。

2．掌握一元一次不等式组的解法。

难点

1．弄清一元一次不等式的解集与一元一次不等式组的解集之间的关系。

2.解含有字母的不等式组并求字母的取值范围。

3．灵活运用一元一次不等式组的知识解决实际问题。

教学突破

本节知识与前一节的知识联系比较紧密，建议教师在教学中要特别注意本节内容与一元一次不等式的知识的联系，让学生经历知识的拓展过程，并能通过数轴让学生直观地认识一元一次不等式组的解集，使其了解数形结合的作用。

教学过程

（一）回顾旧知，导入新课

1．解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来： x53x21＜ 22

2．根据下面数轴读出解集：

（最好四个数轴，两个方向，一个实心，一个实心）

3．总结得出：不等式的解集可以在数轴上表示出来，也可以在数轴上读出不等式的解集，这就是数学里的重要思想方法：数形结合。

4.现在有这样一个问题：如果用X代表某人的身高，如果此人的身高比1.65米高，用不等式如何表示，表示在数轴上如何？而且此人的身高比1.80米低，用不等式如何表示，表示在数轴上又如何？

现在两个条件同时成立，那此人的身高应该在那个范围？在数轴上是那个区域？这就是我们今天要研究的内容：解一元一次不等式组

（二）探究新课

不等式组的概念：含有相同字母的两个一元一次不等式合在一起，叫做一元一次不等式组。

不等式组中几个不等式的解集的公共部分，叫做不等式组的解集。

（1）将下列不等式组的解集表示在数轴上

x1  x2

总结规律： x1 x2x1 x2x1 x2

同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了

（2）分别用不等式表示下列四个数轴的公共解集

xa(xa)（3）将下列不等式组转化成的形式 xb(xb)

3(x2)＜x8, xx1 ≤.32

3(x2)＜x8,（4）提问：xx1这个不等式组的解集是什么？ ≤.32

例1：

总结步骤：1、分别解两个不等式并求出其解集；2、将它们的解集分别表示在数轴上；3、在数轴上读出它们的公共部分（也就是不等式组的解集）

x20　　　　　　(1)练习： 　2(x1)33x　　　(2)

2x752x例2：不等式组3x的整数解是什么？ x12

例3：解不等式组：

32x59

总结两种方法：1、转化为两个不等式，建立成不等式组；2、直接利用不等式的基本性质求解。

（三）小结

⑴ 一元一次不等式组的定义，解法，步骤

⑵数形结合的思想

（四）作业

练习册及课本第53页2.3

课时：2课时

解一元一次不等式（组）的应用（含字母的形式）

类型一：利用不等式的基本性质及绝对值性质求取值范围

2例1：已知关于x的不等式(1a)x2的解集为x，则a的取值范围是1a

_______________。

练习：1、如果关于x的不等式(a1)xa1的解集为x1，那么a的取值范围是_______________。

2、若xx1，则x的取值范围_______________。

类型二：不等式组的解集有解

x3例2：如果一元一次不等式组的解集为x3．则a的取值范围是( )

xa

A．a3 B．a≥3 C．a≤3 D．a3

分析：1、选择题，用特殊值法

2、首先比较3与a的大小，然后利用数轴比较（注意等号的取舍，单独讨论）

练习：1、若不等式组有解，则实数的取值范围是（ ）

A

B． C． D．

2、若不等式组xa≥0,有解，则a的取值范围是（ ） 12xx2

A．a1 B．a≥1 C．a≤1 D．a1

3、若不等式组的解集为，则a的取值范围为（ ）

A． a＞0 B． a＝0 C． a＞4 D． a＝4

类型三：已知不等式组的整数解，求字母的取值范围

xa≥0，例3：已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围52x1

是 。

分析：首先对不等式组进行化简，再将其解集表示在数轴上，注意等号的点单独讨论。

xa0练习：1、知关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围1x0

是 。

xa＞0的整数解共有2个，则a的取值范围2、已知关于x的不等式组32x＞0

是 。

类型四：利用不等式组的解集求值

xa≥2例4：如果不等式组2的解集是0≤x1，那么ab的值为 。

2xb3

xm1练习：1、关于x的不等式组的解集是x1，则m = 。 xm2

xa22、若不等式组的解集是1x1，则(ab)2009b2x0

类型五:方程与不等式（组）的联系

例1：关于x的方程2x1k的解为正数，则k的取值范围是 。

2x31练习：若不等式组的整数解是关于x

的方程2xx3

值。

的根，求a的

课时：1课时

用一元一次不等式组解应用题

教学过程：

（一）回顾旧知，导入新课

1、什么叫一元一次不等式组？

2、什么叫一元一次不等式组的解集？

3、怎样解一元一次不等式组？

x1.5思考1：求不等式组的整数解？

x0

思考2：列不等式表示下列关系：

（1）小明的年龄的2倍不大于31（设小明的年龄为x）

（2）小明的年龄超过14（设小明的年龄为x）

（3）小明的年龄的2倍不大于31且小明的年龄超过14（设小明的年龄为x） 问：要解决这个问题，我们可以用什么办法？

对，今天我们就研究利用一元一次不等式组来处理实际中的问题。

（二）探究新课

例1、3个小组计划在10天内生产500件产品（每天产量相同），按原先的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原先多生产1件产品，就能提前完成任务；问：每个小组原先每天生产多少件产品？

分析：不等关系：

“不能完成任务”的意思是：

按原先的生产速度，10天的产品数量

“提前完成任务”的意思是：

提高生产速度后，10天的产品数量>500

请根据不等关系，列出不等式，组成不等式组。

（学生到黑板上板演过程）

归纳：1、在实际问题中找出不等关系，并用不等式表示出来；

2、在实际问题中，数据是取整，四舍五入等要根据实际情况而定。

例2：一本英语书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完。李永平均每天比张力多读3页，张力平均每天读多少页？（答案取整数） 分析：不等关系：

张力7天读书的页数

李永7天读书的页数 > 98

例3：在一次绿色环保知识竞赛中，共有20道题，对于每一道题，答对了得10分，答错或不答扣5分。已知小明得分在60到80分之间，那么小明答对了几道题？

分析：不等关系：

小明得分60

小明得分80

练习：课本第50页问题3及第53页问题4

（三）小结

这节课我们主要学习了构建不等式组解决实际问题的数学方法，我们利用不等式组解决实际问题的关键是找出题中的不等关系。注意点是未知数的取值要结合实际因素。

（四）作业

练习册及课本第53页4.第54页3

课时：1课时

不等式组应用题

一、分书、分水果、安排房间类问题：

分析：此类问题一般设人数或房间数为x，然后用x把书的数量或水果的数量或住宿人数表示出来；此类问题一般含有一个显现的不等关系，一个隐含的不等关系，根据题意，利用这两个不等关系列出不等式组。

例1、把一批铅笔分给几个小朋友，每人5支还余2支，每人6支，那么最后一个小朋友分得的铅笔少于2支，求小朋友的人数和铅笔的支数。

练习1、某旅馆来了一个旅游团，若安排4人一个房间，则有8人安排不下；若安排5人一个房间，则最后一个房间少于3人。求旅馆有多少个房间？旅游团共有多少人？

2、将一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个，则剩下9个橘子；如果每人分6个，则最后一个儿童分得的橘子数将多于1个且少于5个，问共有个儿童，多少个橘子？

二、明确上、下限问题：

分析：此类问题有两种，一是给出上、下限（如1题）；二是需要用未知数表示上、下限（如2题）。解决此类问题的方法是画出数轴，在数轴上分别标出上、下限和中间值，依据数轴上的不等关系列出不等式组。

例2、某连队在一次执行任务中，将战士编成8个组，如果分配每组人数比预定人数多1名，那么战士总数将超过100人；如果分配每组人数比预定人数少1名，那么战士总数将不到90人。如果你是连长，预定每组分配战士的人数应该为多少？

练习1、个体服装商贩出售时装，老板们常以高出进价的50%～100%标价，假设准备购买一件标价150元的时装，进价在什么范围？

2、一个长方形足球场的长为xm，宽为70m，如果它的周长大于350m，面积小于7560㎡，求x的取值范围，并判断这个球场是否可以用于国际足球比赛。（注：用于国际比赛的足球场的长在100m到110m之间，宽在64m到75m之间。）

三、综合问题：

综合问题一般结合方程或方程组来解答。

例3、某公司要将本公司的100吨货物运出销售，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，可一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨。已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元，租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同。

（1）求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？

（2）求该公司计划此次租车费用不超过5000元，通过计算求出该公司有几种租车方案？请你设计出来，并求出最低的租车费用。