循环小数、有限小数、无限小数
[教学内容]《义务教育教科书·数学（五年级上册）》34页。
[教学目标]
1. 创设具体情境，解决实际问题，能通过笔算发现循环小数的特点，掌握循环小数、有限小数、无限小数和循环节的概念。
2.会写循环小数，能区分有限小数和无限小数。
3. 通过选择生活中的数据信息，体现数学的文化价值，使学生感受数学与生活的密切联系，提高学生解决简单实际问题的能力。
4. 培养学生的分析能力、分类能力和概括能力。
[教学重点]理解循环小数、无限小数、有限小数的意义
[教学难点]怎样判断除得的商是循环小数、区分有限小数和无限小数。
[教学准备]多媒体课件、实物投影台。
[教学过程]
一、创设情境，激趣导入
师：同学们，上节课，我们解决了“平均每块腊肉多少钱？”这个问题，同时学会了用“四舍五入”法求商的近似值。这节课咱
们就来继续研究三峡土特产的问题。
课件出示情境图。（见图1）
引导学生发现信息“我买了6盒茶叶，一
共花了350元”并提出问题。
预设：平均每盒茶叶多少钱？
【设计意图】良好的开端是成功的一半，通过上节课的知识点回顾，激发学生学习的积极性以及对知识的连贯性的掌握，在宏观上把握关于小数的知识，形成一个知识网络，同时引出本节课的信息“我买了6盒茶叶，一共花了350元”，激发学生学习的主动性。
二、自主探索，获取新知
（一）借助素材感知概念
1. 解决问题 发现规律。
师：平均每盒茶叶多少钱？ 图1
学生口答算式：350÷6
让学生自己计算（教师巡视，学生出现疑问：这个怎么也算不完，这时候教师不急于解答）小组交流一下你的答案。
学生汇报：350÷6=58.333„„（板书）
引导学生再去发现这种现象是不是在其他的除法算式中也存在：
自主计算：8.05÷3.7 63÷22
生汇报结果：8.05÷3.7=2.1756756„„ 63÷22=2.86363„„（板书）
【设计意图】发现问题是解决问题的第一步，在解决问题的过程中发现规律，发现这个规律和以前学过的小数有不同的地方，引起学生的思考“这类小数是不是普遍存在”“是不是可以归一类”等一系列的问题，同时抛砖引玉，激发学生积极探究的欲望。 同时在探究的过程的自己发现规律。
2.小组讨论 汇报交流。
出示：350÷6=58.333„„
8.05÷3.7=2.1756756„„
63÷22=2.86363„„
师：根据这三个算式的计算结果你能发现什么？和以前的小数有什么不同？（学生先自主思考，然后和小组内的同学说说你的想法）
预设1：怎么除都除不尽。
预设2：都有数字循环出现，教师进一步的引导学生观察每个小数观察是不是有数字循环出现：58.333„„（数字3循环出现）2.86363„„（数字6、3依次循环出现）8.05÷3.7=2.1756756„„（数字7、5、6依次循环出现）还有很多的例子。
师：都有数字依次不断地重复出现。
预设3：重复的数字都是从小数部分开始的，引导学生分析：58.333„„（从小数的第一位开始依次重复的）2.86363„„（从小数的第二位开始依次重复的）
2.1756756„„（从小数的第二位开始依次重复的）教师举个反例：10÷3=3.333„„
师：小数的循环一定是从小数部分的某一位开始的。
预设4：重复的数字的个数不一样，引导学生分析：58.333„„（数字3重复）
2.86363„„（6、3两个数字重复）2.1756756„„（7、5、6三个数字重复）
师：一个或者几个数字重复出现。
预设5：重复的数字都是从小数部分的某一位起开始重复的，58.333„„（从小数
部分的第一位开始依次重复的）2.86363„„（从小数部分的第二位开始依次重复的）
2.1756756„„（从小数部分的第二位开始依次重复的）教师举个反例：10÷3=3.333„„（解释循环是从十分位上的3开始重复的）
师：小数的循环一定是从小数部分的某一位起开始的重复的。
【设计意图】学生在自主探究的基础上，揭示循环小数的的意义。知道了循环小数是小数部分从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断的重复出现，这样的小数就是循环小数。
3. 揭示概念。
师：像58.333„„，2.86363„„，2.1756756„„，小数部分从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做循环小数。
4. 判断：1.332÷4=0.333，是不是循环小数？
5. 循环小数的写法：
师：我们认识了循环小数，那你知道循环小数应该怎么写吗？
第一种写法：强调一定要把循环的数字写完整，并且一定要把循环的部分写至少两遍然后再写省略号。
第二种写法：找出循环出现的数字在第一个和最后一个数字上点上圆点。
解释每一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫这个循环小数的循环节。
【设计意图】学生在探究的过程中体会循环小数的概念，同时在知道的过程中明白循环小数的写法，了解循环节的意义。注意：“5.606060……不能写成：5.606……”“2.1756756……不能写成：2.175675……”知道写循环小数的时候注意写完全一个循环节。
（二）学习判断循环小数的方法
师：在计算小数的除法的时候，怎么能知道它的商是循环小数呢？
预设：因为商出现了两个或者两个以上重复的数字，所以我们就知道循环；或因为当除了很多位之后就能根据循环小数的概念看出是循环小数。
教师引导学生去观察每除完一步之后的余数，学生会恍然大悟：当相同的余数时，商也就循环了。
师：因为在小数的除法中每次除完只要有余数重复出现商也就重复出现，所以得出的商也就循环。
【设计意图】在学习了循环小数之后，要学会判断一个小数是不是循环小数，这一环节既是对循环小数意义知识的巩固，同时又是应用。
（三）认识有限小数、无限小数
1. 观察素材。师：咱们认识了循环小数之后再来观察这两组小数：
（1）5.606060„„ （2）0.333
2.4666„„ 7.875668
2.1756756„„ 3.567
3.146890„„ 658.35
师：谁能发现它们的区别？
预设：第一组小数是写不完的，不知道它的小数部分是几位数字。第二组小数能写完也能读完，能具体的知道它们是几位小数。
2. 揭示概念。
师：在数学上对这样的小数有了一种分类（讲解有限小数和无限小数的概念）： 小数部分的位数是有限的小数，叫有限小数。小数部分的位数是无限的小数，叫无限小数。
【设计意图】这一环节通过学生的观察、比较，让学生经历知识的形成过程，加深了对有限小数和无限小数的理解。
（四）总结提升
师：结合几个例子，再次加深认识。举几个例子大家来试试大家的眼力。
89.67（有限小数） 3.7864„„（无限小数）
0.333„„（循环小数，有的学生说是无限小数）
679.786786„„（循环小数，无限小数）
734.65454„„（循环小数，无限小数）
教师引导学生观察这几个是循环小数的例子会发现：循环小数一定是无限小数 根据学生交流，随机板书： 都有数字依次不断的重复出现
有限小数从小数部分开始的
从小数部分的某一位起
小数一个或者几个数字重复出现
无限小数不循环小数：∏=3.1415926„„（补充）
师：你能用你喜欢的方式把小数分分类吗？
预设：
【设计意图】在认识了有限小数、无限小数的基础上但对他们的认识有一个宏观的把握，同时在学习认识的基础上学会对知识的分类归纳，不仅要会归纳整理，同时要学会举一反三，在学习认识的基础上学会归纳分类，认识规律。
三、巩固练习、提高能力
1. 基础题：判断下列各题哪些是有限小数，哪些是无限小数，哪些是循环小数？
3.333„„ 3.33 0.333„„ 46.567567„„
5.44„„ 0.1234589„„ 56.6768„„
2.综合题。
（1）用计算器计算。（得数保留两位小数）
10.4÷6 2.772÷2.1 3.95÷0.27
10÷7 16.65÷3.3 1.792÷0.14
（独立计算，集体订正，有错误的要说说错误原因）
（2）先用计算器计算，再将得数是有限小数的涂上红色，得数是无限小数的涂上绿色。
10÷3 5÷8 1.1÷7 37.1÷2.9
9.8÷0.6 4÷9 66.1÷0.9 4.16÷1.3
（三）提高题：
1÷9=0.1111„„ 2÷9=0.2222„„
3÷9=0.3333„„ 4÷9=0.4444„„
5÷9= 6÷9=
7÷9= 8÷9=
可以根据规律填数，再用计算器检验。
【设计意图】通过不同层次的练习题，巩固有限小数、无限小数、循环小数知识的练习。练习时，可以借助计算器计算，调动学生计算的兴趣。
四、回顾反思，总结提升
师：通过这节课的学习，你有哪些收获？
学生交流。（利用丰收园作评价）
„„
师：同学们的收获可真不少，希望你们能将今天所学的知识应用到实际生活中，用更简便的方法解决更多的问题。
【设计意图】学生从知识、方法、感受三方面来谈收获，由感性认识上升到理性认识，形成知识网络，培养学生自我反思、全面概括的能力。
[板书设计]
（满海芳 枣庄市立新小学）
枣庄市立新小学 满海芳
循环小数、有限小数、无限小数
[教学内容]《义务教育教科书·数学（五年级上册）》34页。
[教学目标]
1. 创设具体情境，解决实际问题，能通过笔算发现循环小数的特点，掌握循环小数、有限小数、无限小数和循环节的概念。
2.会写循环小数，能区分有限小数和无限小数。
3. 通过选择生活中的数据信息，体现数学的文化价值，使学生感受数学与生活的密切联系，提高学生解决简单实际问题的能力。
4. 培养学生的分析能力、分类能力和概括能力。
[教学重点]理解循环小数、无限小数、有限小数的意义
[教学难点]怎样判断除得的商是循环小数、区分有限小数和无限小数。
[教学准备]多媒体课件、实物投影台。
[教学过程]
一、创设情境，激趣导入
师：同学们，上节课，我们解决了“平均每块腊肉多少钱？”这个问题，同时学会了用“四舍五入”法求商的近似值。这节课咱
们就来继续研究三峡土特产的问题。
课件出示情境图。（见图1）
引导学生发现信息“我买了6盒茶叶，一
共花了350元”并提出问题。
预设：平均每盒茶叶多少钱？
【设计意图】良好的开端是成功的一半，通过上节课的知识点回顾，激发学生学习的积极性以及对知识的连贯性的掌握，在宏观上把握关于小数的知识，形成一个知识网络，同时引出本节课的信息“我买了6盒茶叶，一共花了350元”，激发学生学习的主动性。
二、自主探索，获取新知
（一）借助素材感知概念
1. 解决问题 发现规律。
师：平均每盒茶叶多少钱？ 图1
学生口答算式：350÷6
让学生自己计算（教师巡视，学生出现疑问：这个怎么也算不完，这时候教师不急于解答）小组交流一下你的答案。
学生汇报：350÷6=58.333„„（板书）
引导学生再去发现这种现象是不是在其他的除法算式中也存在：
自主计算：8.05÷3.7 63÷22
生汇报结果：8.05÷3.7=2.1756756„„ 63÷22=2.86363„„（板书）
【设计意图】发现问题是解决问题的第一步，在解决问题的过程中发现规律，发现这个规律和以前学过的小数有不同的地方，引起学生的思考“这类小数是不是普遍存在”“是不是可以归一类”等一系列的问题，同时抛砖引玉，激发学生积极探究的欲望。 同时在探究的过程的自己发现规律。
2.小组讨论 汇报交流。
出示：350÷6=58.333„„
8.05÷3.7=2.1756756„„
63÷22=2.86363„„
师：根据这三个算式的计算结果你能发现什么？和以前的小数有什么不同？（学生先自主思考，然后和小组内的同学说说你的想法）
预设1：怎么除都除不尽。
预设2：都有数字循环出现，教师进一步的引导学生观察每个小数观察是不是有数字循环出现：58.333„„（数字3循环出现）2.86363„„（数字6、3依次循环出现）8.05÷3.7=2.1756756„„（数字7、5、6依次循环出现）还有很多的例子。
师：都有数字依次不断地重复出现。
预设3：重复的数字都是从小数部分开始的，引导学生分析：58.333„„（从小数的第一位开始依次重复的）2.86363„„（从小数的第二位开始依次重复的）
2.1756756„„（从小数的第二位开始依次重复的）教师举个反例：10÷3=3.333„„
师：小数的循环一定是从小数部分的某一位开始的。
预设4：重复的数字的个数不一样，引导学生分析：58.333„„（数字3重复）
2.86363„„（6、3两个数字重复）2.1756756„„（7、5、6三个数字重复）
师：一个或者几个数字重复出现。
预设5：重复的数字都是从小数部分的某一位起开始重复的，58.333„„（从小数
部分的第一位开始依次重复的）2.86363„„（从小数部分的第二位开始依次重复的）
2.1756756„„（从小数部分的第二位开始依次重复的）教师举个反例：10÷3=3.333„„（解释循环是从十分位上的3开始重复的）
师：小数的循环一定是从小数部分的某一位起开始的重复的。
【设计意图】学生在自主探究的基础上，揭示循环小数的的意义。知道了循环小数是小数部分从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断的重复出现，这样的小数就是循环小数。
3. 揭示概念。
师：像58.333„„，2.86363„„，2.1756756„„，小数部分从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做循环小数。
4. 判断：1.332÷4=0.333，是不是循环小数？
5. 循环小数的写法：
师：我们认识了循环小数，那你知道循环小数应该怎么写吗？
第一种写法：强调一定要把循环的数字写完整，并且一定要把循环的部分写至少两遍然后再写省略号。
第二种写法：找出循环出现的数字在第一个和最后一个数字上点上圆点。
解释每一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫这个循环小数的循环节。
【设计意图】学生在探究的过程中体会循环小数的概念，同时在知道的过程中明白循环小数的写法，了解循环节的意义。注意：“5.606060……不能写成：5.606……”“2.1756756……不能写成：2.175675……”知道写循环小数的时候注意写完全一个循环节。
（二）学习判断循环小数的方法
师：在计算小数的除法的时候，怎么能知道它的商是循环小数呢？
预设：因为商出现了两个或者两个以上重复的数字，所以我们就知道循环；或因为当除了很多位之后就能根据循环小数的概念看出是循环小数。
教师引导学生去观察每除完一步之后的余数，学生会恍然大悟：当相同的余数时，商也就循环了。
师：因为在小数的除法中每次除完只要有余数重复出现商也就重复出现，所以得出的商也就循环。
【设计意图】在学习了循环小数之后，要学会判断一个小数是不是循环小数，这一环节既是对循环小数意义知识的巩固，同时又是应用。
（三）认识有限小数、无限小数
1. 观察素材。师：咱们认识了循环小数之后再来观察这两组小数：
（1）5.606060„„ （2）0.333
2.4666„„ 7.875668
2.1756756„„ 3.567
3.146890„„ 658.35
师：谁能发现它们的区别？
预设：第一组小数是写不完的，不知道它的小数部分是几位数字。第二组小数能写完也能读完，能具体的知道它们是几位小数。
2. 揭示概念。
师：在数学上对这样的小数有了一种分类（讲解有限小数和无限小数的概念）： 小数部分的位数是有限的小数，叫有限小数。小数部分的位数是无限的小数，叫无限小数。
【设计意图】这一环节通过学生的观察、比较，让学生经历知识的形成过程，加深了对有限小数和无限小数的理解。
（四）总结提升
师：结合几个例子，再次加深认识。举几个例子大家来试试大家的眼力。
89.67（有限小数） 3.7864„„（无限小数）
0.333„„（循环小数，有的学生说是无限小数）
679.786786„„（循环小数，无限小数）
734.65454„„（循环小数，无限小数）
教师引导学生观察这几个是循环小数的例子会发现：循环小数一定是无限小数 根据学生交流，随机板书： 都有数字依次不断的重复出现
有限小数从小数部分开始的
从小数部分的某一位起
小数一个或者几个数字重复出现
无限小数不循环小数：∏=3.1415926„„（补充）
师：你能用你喜欢的方式把小数分分类吗？
预设：
【设计意图】在认识了有限小数、无限小数的基础上但对他们的认识有一个宏观的把握，同时在学习认识的基础上学会对知识的分类归纳，不仅要会归纳整理，同时要学会举一反三，在学习认识的基础上学会归纳分类，认识规律。
三、巩固练习、提高能力
1. 基础题：判断下列各题哪些是有限小数，哪些是无限小数，哪些是循环小数？
3.333„„ 3.33 0.333„„ 46.567567„„
5.44„„ 0.1234589„„ 56.6768„„
2.综合题。
（1）用计算器计算。（得数保留两位小数）
10.4÷6 2.772÷2.1 3.95÷0.27
10÷7 16.65÷3.3 1.792÷0.14
（独立计算，集体订正，有错误的要说说错误原因）
（2）先用计算器计算，再将得数是有限小数的涂上红色，得数是无限小数的涂上绿色。
10÷3 5÷8 1.1÷7 37.1÷2.9
9.8÷0.6 4÷9 66.1÷0.9 4.16÷1.3
（三）提高题：
1÷9=0.1111„„ 2÷9=0.2222„„
3÷9=0.3333„„ 4÷9=0.4444„„
5÷9= 6÷9=
7÷9= 8÷9=
可以根据规律填数，再用计算器检验。
【设计意图】通过不同层次的练习题，巩固有限小数、无限小数、循环小数知识的练习。练习时，可以借助计算器计算，调动学生计算的兴趣。
四、回顾反思，总结提升
师：通过这节课的学习，你有哪些收获？
学生交流。（利用丰收园作评价）
„„
师：同学们的收获可真不少，希望你们能将今天所学的知识应用到实际生活中，用更简便的方法解决更多的问题。
【设计意图】学生从知识、方法、感受三方面来谈收获，由感性认识上升到理性认识，形成知识网络，培养学生自我反思、全面概括的能力。
[板书设计]
（满海芳 枣庄市立新小学）
枣庄市立新小学 满海芳