学科：数学
教学内容：平行四边形的识别
【学习目标】
1．利用图形的旋转和简单的推理掌握平行四边形的简单识别方法． 2．能综合运用平行四边形的特征与识别方法来解决实际问题．
【基础知识概述】
1．平行四边形的识别方法：
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (3)方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． (4)方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． (5)方法4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
注意：①识别四边形为平行四边形有五种方法选择，应根据具体条件而定；②“平行且相等”用符号
表示．
2．平行四边形识别方法的选择：
3．平行四边形知识的运用：
(1)直接运用平行四边形特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．
(2)识别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行．
(3)先识别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题． 4．平行四边形作图：
(1)常见的平行四边形的作图：
①已知两邻边和夹角作平行四边形．
②已知一边、一条对角线及它们夹角作平行四边形． ③已知一边和两条对角线作平行四边形． ④已知两邻边和一条对角线作平行四边形．
⑤已知一边和一个内角以及过这个角顶点的一条对角线作平行四边形． (2)完成图形的关键步骤：
①先由条件作出它们能确定的三角形．
②然后再将三角形补成平行四边形．
注意：①作图前要先画草图，然后根据草图决定先画什么，再画什么． ②四边形的作图基本上都是先画三角形，再补成平行四边形，这也体现了将四边形知识化归成三角形问题的思想方法．
【例题精讲】
例1 如图12-1-14所示，已知中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与EB交于G，CE与DF交于H，试说明四边形EGFH为平行四边形．
分析：本题考查平行四边形的识别，那么多的识别方法中，选择哪一种呢？考虑到及中点，易知四边形AFCE和EBFD都是平行四边形，从而GE∥FH，GF∥EH，如
若采取先确定识别方法，再找条件将会使解题复杂化．
解：在
中，AD ，已知E，F分别为AD，BC的中点，所以AE FC，
ED BF，所以四边形AFCE、EBFD都是平行四边形．所以AF∥EC，BE∥FD．即GF∥
EH，GE∥FH．所以四边形EGFH为平行四边形．
说明：本题是由定义判定平行四边形，在判定四边形为平行四边形时，要充分利用已知条件选择判定方法．
例2 如图12-1-15，，以AC为边长在其两侧各作一个正△ACP和△ACQ，试说明四边形BPDQ是平行四边形．
解：∵，
∴AB∥CD，∠1＝∠2．
∵△ACP和△ACQ是正三角形， ∴PA＝QC，∠PAC＝∠QCA＝60°， ∴PA∥QC，
∴四边形PCQA是平行四边形，
∴PQ与AC平分．
∵AC与PQ互相平分，BD与PQ互相平分， ∴四边形BPDQ是平行四边形．
思考：能否通过两组对边分别相等得到结论． 提示：能．
易证△PAB与△QCD重合， ∴PB＝QD，同理PD＝QB． ∴四边形BPDQ是平行四边形．
注意：合理选择平行四边形的识别方法．
例3 已知四边形ABCD中，AC交BD于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：
①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形． ②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形． ③如果再加上条件“AO＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形． ④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么平行四边形ABCD一定是平行四边形． 其中正确的说法是( )． A．①和② B．①、③和④ C．②和③ D．②、③和④ 解：用逐个筛选法．
关于①，由于AB∥CD，知∠ABD＝∠CDB，如果AD＝BC及DB＝BD，一般不能得到△ABD与△CDB重合，或者△ABD与△CAD重合，这样证对边相等缺少充足理由．
关于②，由AB∥CD，知∠ABD＝∠CDB，如果∠BAD＝∠BCD，再用BD＝DB，可得△ABD与△CDB重合，于是AB＝DC，AB DC，故得
．
关于③，由AB∥CD知，∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，若AO＝OC，则△AOB与△COD重合，于是AB＝DC，即AB ，故得
．
关于④，由∠DBA＝∠CAB，知OA＝OB，又AB∥CD知∠DBA＝∠BDC，同理也会有OC＝OD，但OA不一定等于OC，如12-1-16就是一个反例．
综上所述，知②③正确，应选C．
例4 如图12-1-17，在中，点E、F在AC上，且AF＝CE，点G、H分别在AB、CD上，且AC＝CH，AC与GH相交于点O，试说明(1)EG∥FH；(2)GH、EF互相平分．
分析：(1)要证EG∥FH，需证∠GEO＝∠HFO， 要证∠GEO＝∠HFO，需证∠AEG＝∠CFH， 故先证△AGE与△CHF完全重合．
(2)要证GH、CF互相平分，需证四边形GFHE是平行四边形． 解：
(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA． ∵AF＝CE， ∴AE＝CF． ∵AG＝GH，
∴△AGE与△CHF重合． (2)连结GF、EH，
∵GE平行且等于FH，
∴四边形GFHE是平行四边形， GH、EF互相平分．
注意：用平行四边形的识别方法和特征可解决有关的相等或互补，线段相等或倍分，两直线平行等问题，一般是先判定一个四边形是平行四边形，然后用平行四边形的性质解决有关问题．
【中考考点】
本节要求大家会用平行四边形的识别方法解决有关问题，并能和特征结合证题．
【命题方向】
本节多以填空题、证明题、综合题形式出现．
【常见错误分析】
错误：对角线平分的四边形是平行四边形．
误区分析：错误在“对角线平分”不够准确，词意含糊，不知两条对角线是怎么平分，应该改为“对角线互相平分”．
正解：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【学习方法指导】
平行四边形的特征与识别表，对应记忆更有利于理解和区分．
【同步达纲练习】 一、填空题
1．四边形任意相邻两个内角都互补，那么这个四边形是_________． 2．中，AB＝2，BC＝3，∠B、∠C的平分线分别交AD于E、F，则EF＝_________． 3．一个四边形的边长依次是a、b、c、d，且a2b2c2d22ac2bd，则这个四边形是_________． 4．把边长为4cm、5cm、6cm，两个完全重合的三角形拼成四边形，一共能拼成_________种不同的四边形，其中有_________个平行四边形．
5．在中，如果∠A的余角比∠B的补角大10°，那么∠A＝_________，∠B＝_________．
6．分别过△ABC的顶点作它的对边的平行线，围成△A′B′C′，已知△A′B′C′的周长为4 cm，则△ABC的周长为_________．
二、选择题
7．能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是( )． A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．AB＝CD，AD＝BC D．AB＝AD，CB＝CD 8．下列条件中能判断四边形是平行四边形的是( )． A．一组对角相等 B．两条对角线互相垂直 C．两条对角线互相平分 D．一对邻角和为180°
三、解答题 9．在中，点E、F在AC上，且AF＝CE，点G、H分别在AB、CD上，且AG＝CH，AC与GH交于O，试说明GH、EF互相平分．
10．画平行四边形，使两条对角线长分别为10 cm，8 cm，一边长为7cm． 11．如图12-1-19，在中，E是AB上一点，F是CD上一点，且∠ADE＝∠CBF，四边形BFDE也是平行四边形吗？试说明理由．
12．在等腰△ABC中，AB＝AC，D为底边BC上一点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，试说明AB＝DE＋DF．
13．如图12-1-20，在中，∠BAD和∠BCD的平分线分别交BC、AD于E、F，且分别交DC、BA的延长线于G、H，除外，指出图中其余的平行四边形．并说明理由．
14．如图12-1-21，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角处种有一棵大核桃树，田村准备开挖池塘养鱼池，想池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想？若能请你设计并画出图形；若不能，请说明理由．
15．如图12-1-22，已知四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD，EF⊥AB于点F，E、D、A在一条直线上，那么有DF
1
AE．请你说明理由． 2
参考答案
【同步达纲练习】 一、
1．平行四边形 2．1
3．平行四边形 4．6，3
5．40°；140° 6．2 cm 二、
7．C 8．C 三、
9．略．10．略．
11．提示：证△ADE与△CFB重合， 可得DE＝BF，AE＝CF． ∵ABCD为平行四边形， ∴AB＝DC， ∴BE＝DF，
∴四边形BFDE也是平行四边形． 12．由已知四边形AEDF为平行四边形，△EBD为等腰三角形，则DF＝AE，DE＝BE，所以AB＝AE＋BE＝DE＋DF．
13．四边形AHCG，解答略．
14．提示：分别过A、B、C、D作BD、AC的平行线，得即为所求．如图12-1-23．
15．提示：由于四边形ABCD是平行四边形，所以AD BC．又因为BD∥CE，所以四边形EDBC是平行四边形，可得BC＝DE，根据等量代换有AD＝DE．因为EF⊥AB于点F，E、D、A在同一直线上，所以在直角三角形AFE中有DF
1
AE． 2
学科：数学
教学内容：平行四边形的识别
【学习目标】
1．利用图形的旋转和简单的推理掌握平行四边形的简单识别方法． 2．能综合运用平行四边形的特征与识别方法来解决实际问题．
【基础知识概述】
1．平行四边形的识别方法：
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (3)方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． (4)方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． (5)方法4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
注意：①识别四边形为平行四边形有五种方法选择，应根据具体条件而定；②“平行且相等”用符号
表示．
2．平行四边形识别方法的选择：
3．平行四边形知识的运用：
(1)直接运用平行四边形特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．
(2)识别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行．
(3)先识别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题． 4．平行四边形作图：
(1)常见的平行四边形的作图：
①已知两邻边和夹角作平行四边形．
②已知一边、一条对角线及它们夹角作平行四边形． ③已知一边和两条对角线作平行四边形． ④已知两邻边和一条对角线作平行四边形．
⑤已知一边和一个内角以及过这个角顶点的一条对角线作平行四边形． (2)完成图形的关键步骤：
①先由条件作出它们能确定的三角形．
②然后再将三角形补成平行四边形．
注意：①作图前要先画草图，然后根据草图决定先画什么，再画什么． ②四边形的作图基本上都是先画三角形，再补成平行四边形，这也体现了将四边形知识化归成三角形问题的思想方法．
【例题精讲】
例1 如图12-1-14所示，已知中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与EB交于G，CE与DF交于H，试说明四边形EGFH为平行四边形．
分析：本题考查平行四边形的识别，那么多的识别方法中，选择哪一种呢？考虑到及中点，易知四边形AFCE和EBFD都是平行四边形，从而GE∥FH，GF∥EH，如
若采取先确定识别方法，再找条件将会使解题复杂化．
解：在
中，AD ，已知E，F分别为AD，BC的中点，所以AE FC，
ED BF，所以四边形AFCE、EBFD都是平行四边形．所以AF∥EC，BE∥FD．即GF∥
EH，GE∥FH．所以四边形EGFH为平行四边形．
说明：本题是由定义判定平行四边形，在判定四边形为平行四边形时，要充分利用已知条件选择判定方法．
例2 如图12-1-15，，以AC为边长在其两侧各作一个正△ACP和△ACQ，试说明四边形BPDQ是平行四边形．
解：∵，
∴AB∥CD，∠1＝∠2．
∵△ACP和△ACQ是正三角形， ∴PA＝QC，∠PAC＝∠QCA＝60°， ∴PA∥QC，
∴四边形PCQA是平行四边形，
∴PQ与AC平分．
∵AC与PQ互相平分，BD与PQ互相平分， ∴四边形BPDQ是平行四边形．
思考：能否通过两组对边分别相等得到结论． 提示：能．
易证△PAB与△QCD重合， ∴PB＝QD，同理PD＝QB． ∴四边形BPDQ是平行四边形．
注意：合理选择平行四边形的识别方法．
例3 已知四边形ABCD中，AC交BD于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：
①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形． ②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形． ③如果再加上条件“AO＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形． ④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么平行四边形ABCD一定是平行四边形． 其中正确的说法是( )． A．①和② B．①、③和④ C．②和③ D．②、③和④ 解：用逐个筛选法．
关于①，由于AB∥CD，知∠ABD＝∠CDB，如果AD＝BC及DB＝BD，一般不能得到△ABD与△CDB重合，或者△ABD与△CAD重合，这样证对边相等缺少充足理由．
关于②，由AB∥CD，知∠ABD＝∠CDB，如果∠BAD＝∠BCD，再用BD＝DB，可得△ABD与△CDB重合，于是AB＝DC，AB DC，故得
．
关于③，由AB∥CD知，∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，若AO＝OC，则△AOB与△COD重合，于是AB＝DC，即AB ，故得
．
关于④，由∠DBA＝∠CAB，知OA＝OB，又AB∥CD知∠DBA＝∠BDC，同理也会有OC＝OD，但OA不一定等于OC，如12-1-16就是一个反例．
综上所述，知②③正确，应选C．
例4 如图12-1-17，在中，点E、F在AC上，且AF＝CE，点G、H分别在AB、CD上，且AC＝CH，AC与GH相交于点O，试说明(1)EG∥FH；(2)GH、EF互相平分．
分析：(1)要证EG∥FH，需证∠GEO＝∠HFO， 要证∠GEO＝∠HFO，需证∠AEG＝∠CFH， 故先证△AGE与△CHF完全重合．
(2)要证GH、CF互相平分，需证四边形GFHE是平行四边形． 解：
(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA． ∵AF＝CE， ∴AE＝CF． ∵AG＝GH，
∴△AGE与△CHF重合． (2)连结GF、EH，
∵GE平行且等于FH，
∴四边形GFHE是平行四边形， GH、EF互相平分．
注意：用平行四边形的识别方法和特征可解决有关的相等或互补，线段相等或倍分，两直线平行等问题，一般是先判定一个四边形是平行四边形，然后用平行四边形的性质解决有关问题．
【中考考点】
本节要求大家会用平行四边形的识别方法解决有关问题，并能和特征结合证题．
【命题方向】
本节多以填空题、证明题、综合题形式出现．
【常见错误分析】
错误：对角线平分的四边形是平行四边形．
误区分析：错误在“对角线平分”不够准确，词意含糊，不知两条对角线是怎么平分，应该改为“对角线互相平分”．
正解：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【学习方法指导】
平行四边形的特征与识别表，对应记忆更有利于理解和区分．
【同步达纲练习】 一、填空题
1．四边形任意相邻两个内角都互补，那么这个四边形是_________． 2．中，AB＝2，BC＝3，∠B、∠C的平分线分别交AD于E、F，则EF＝_________． 3．一个四边形的边长依次是a、b、c、d，且a2b2c2d22ac2bd，则这个四边形是_________． 4．把边长为4cm、5cm、6cm，两个完全重合的三角形拼成四边形，一共能拼成_________种不同的四边形，其中有_________个平行四边形．
5．在中，如果∠A的余角比∠B的补角大10°，那么∠A＝_________，∠B＝_________．
6．分别过△ABC的顶点作它的对边的平行线，围成△A′B′C′，已知△A′B′C′的周长为4 cm，则△ABC的周长为_________．
二、选择题
7．能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是( )． A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．AB＝CD，AD＝BC D．AB＝AD，CB＝CD 8．下列条件中能判断四边形是平行四边形的是( )． A．一组对角相等 B．两条对角线互相垂直 C．两条对角线互相平分 D．一对邻角和为180°
三、解答题 9．在中，点E、F在AC上，且AF＝CE，点G、H分别在AB、CD上，且AG＝CH，AC与GH交于O，试说明GH、EF互相平分．
10．画平行四边形，使两条对角线长分别为10 cm，8 cm，一边长为7cm． 11．如图12-1-19，在中，E是AB上一点，F是CD上一点，且∠ADE＝∠CBF，四边形BFDE也是平行四边形吗？试说明理由．
12．在等腰△ABC中，AB＝AC，D为底边BC上一点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，试说明AB＝DE＋DF．
13．如图12-1-20，在中，∠BAD和∠BCD的平分线分别交BC、AD于E、F，且分别交DC、BA的延长线于G、H，除外，指出图中其余的平行四边形．并说明理由．
14．如图12-1-21，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角处种有一棵大核桃树，田村准备开挖池塘养鱼池，想池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想？若能请你设计并画出图形；若不能，请说明理由．
15．如图12-1-22，已知四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD，EF⊥AB于点F，E、D、A在一条直线上，那么有DF
1
AE．请你说明理由． 2
参考答案
【同步达纲练习】 一、
1．平行四边形 2．1
3．平行四边形 4．6，3
5．40°；140° 6．2 cm 二、
7．C 8．C 三、
9．略．10．略．
11．提示：证△ADE与△CFB重合， 可得DE＝BF，AE＝CF． ∵ABCD为平行四边形， ∴AB＝DC， ∴BE＝DF，
∴四边形BFDE也是平行四边形． 12．由已知四边形AEDF为平行四边形，△EBD为等腰三角形，则DF＝AE，DE＝BE，所以AB＝AE＋BE＝DE＋DF．
13．四边形AHCG，解答略．
14．提示：分别过A、B、C、D作BD、AC的平行线，得即为所求．如图12-1-23．
15．提示：由于四边形ABCD是平行四边形，所以AD BC．又因为BD∥CE，所以四边形EDBC是平行四边形，可得BC＝DE，根据等量代换有AD＝DE．因为EF⊥AB于点F，E、D、A在同一直线上，所以在直角三角形AFE中有DF
1
AE． 2