第一章 有理数
1.1正数和负数
⒈正数和负数的概念
⑴像3，2，1.8℅这样大于0的数叫做正数
根据需要有时在正数前面加上正号“+”，例如：+2,+3,+0.3,+1/7'„. 正数前面的正号“+”，一般省略不写。
⑵像-3,-2,-2.7℅这样在正数前面叫上负号“-”的数叫做负数
负数前面的负号不能省略。
⑶一个数前面的“+”“-”叫做它的符号，“-”读作“负”，如“-3”读作“负三”，“+”读作“正”，如“+2008”读作“正二千零八”
注意：①字母a 可以表示任意数，当a 表示正数时，-a 是负数；当a 表示负数时，-a 是正数；当a 表示0时，-a 仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）
②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
2. 具有相反意义的量
⑴若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： ①零上8℃表示为：+8℃
②零下8℃表示为：-8℃
⑵常见的表示具有相反意义的量有：零上和零下、前进和后退、海平面以上和海平面一下、收入和支出、向南和向北、盈利和亏损、升高和下降。
3.0表示的意义
⑴0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；
⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。如：
水位上升5m 时水位变化记作+5m，
水位下降3m 时水位变化记作-3m ，
0m 表示水位不升不降。
1.2有理数
1.2.1有理数
1. 有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。（理解：只有能化成分数的数才是有理数。①Π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。）
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8„也是偶数，-1,-3,-5„也是奇数。
2. 有理数的分类
⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分 正整数
整数正有理数正分数
有理数
有理数（0不能忽视） 负整数
分数负有理数负分数
总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
1.2.2数轴
⒈数轴的概念
规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2. 数轴的画法
步骤：⑴画一条直线；
⑵在直线上任意选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下边标上“0”）；
⑶确定正方向（通常取向右方向为正方向），用箭头表示出来；
⑷选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1,2,3，„；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示-1,-2,-3„
3.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点∏不是有理数）
4. 利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
5. 数轴上特殊的最大（小）数
⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；
⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；
⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数
6.a 可以表示什么数
⑴a>0表示a 是正数；反之，a 是正数，则a>0；
⑵a
⑶a=0表示a 是0；反之，a 是0, ，则a=0
7. 数轴上点的移动规律
根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。
1.2.3相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
2. 相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数，且只有一个；
⑵0的相反数是0；
⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a ，b 互为相反数，则a+b=0
3. 相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。
说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4. 相反数的求法
⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）； ⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b ）；
⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)
练习：
求：⑴-a 的相反数； ⑵x+y-1的相反数； ⑶-(-3)的相反数
5. 相反数的表示方法
⑴一般地，数a 的相反数是-a ，其中a 是任意有理数，可以是正数、负数或0。 例如：①当a=7时，-a=-7，-7是7的相反数；
②当a=-5时，-a=-(-5)=5，-5的相反数是5；
③当a=0时，-a=0，0的相反数是0。
所以，当a>0时，-a
当a0（负数的相反数是正数）
当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）
⑵相反数的表示方法有如下规律：
①a 的相反数是-a ；
②a-b 的相反数是b-a ；
③a+b的相反数是-a-b 。
说明：任何有理数都有唯一的相反数
6. 多重符号的化简
多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：
“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。
1.2.4绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记作|a|。
如：在数轴上表示+5的点与原点距离是5，即+5的绝对值是5, 记作|+5|=5；
在数轴上表示-5的点与原点的距离是5，即-5的绝对值是5，记作|-5|=5；
表示0的点与原点的距离是0, 记作|0|=0 。
说明：绝对值为5的数是+5或-5，即|a|=5，则a=5或a=-5
2. 绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身；
⑵一个负数的绝对值是它的相反数；
⑶0的绝对值是0.
可用字母表示为：
①如果a>0|，那么|a|=a；
②如果a
③如果a=0，那么|a|=0。 （a>0）（a ≥0）（a>0）
即（a=0） 或或（a
可归纳为①：a ≥0， |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）
②a ≤0， |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）
3. 绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a 取任何有理数，都有|a|≥0。即
⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0. 即：a=0 |a|=0；
⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0. 即：|a|≥0；
⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a ；
⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a ； ⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；
⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。 （非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）
4. 有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；
⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。
5. 绝对值的化简
⑴依据绝对值定义
①当a ≥0时， |a|=a ； ②当a ≤0时， |a|=-a
⑵零点法
令绝对值符号内的式子为0，求得字母的值，从而将数轴分为两部分，在每一部分上再进行化简。
例如：化简|x-3|
第一步，取0点，令x-3=0，得x=3；
第二步，取范围，x ≤3和x>3；或x
第三步，在各范围内化简，
解：①当x ≤3时，x-3≤0
∴|x-3|=-(x-3)=-x+3
②当x>3时，x-3>0，
∴|x-3|=x-3。
6. 已知一个数的绝对值，求这个数
一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。
7. 利用绝对值来确定整数
利用绝对值来确定整数时，先由绝对值的意义在数轴上找出数的范围，再确定这个范围内的整数。
1.3有理数的加减法
1.3.1有理数的加法
1. 有理数的加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
⑶互为相反数的两数相加，和为零；
⑷一个数与零相加，仍得这个数。
注意：在进行加法运算时，首先判断两个加数的符号，是同号就用法则一；是异号就用法则二或法则三；是否有0，有0就用法则四。在应用过程中，一定要牢记“先符号，后绝对值”。
2. 有理数加法的运算律
⑴加法交换律：a+b=b+a
⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律： ①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；
④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3. 加法性质
一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即： ⑴当b>0时，a+b>a
⑵当b⑶当b=0时，a+b=a
1.3.2有理数的减法
1. 有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。
注意：①进行减法运算时，首先要弄清减数的符号是“+”还是“-”。
②将有理数减法转化为加法时，要同时改变两个符：一是运算符号由“-”号变成“+”号；另一个是减数的性质符号（即减数变成它的相反数）。如3-(+5)转化成加法后写成3+(-5) ③有理数的减法中被减数和减数不能互换，减法没有交换律和结合律，只有转化为加法以后，才能使用加法的运算律进行计算。
2. 有理数加减法统一成加法的意义
在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。
在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：
(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.
和式的读法：
①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”
②按运算意义读作“负8减7减6加5”
注意：把几个有理数的和或差写成省略加号和括号的和的形式时，第一步要根据减法法则把减法转化成为加法，第二步才能省略加号和括号。
3. 有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：
Ⅰ. 把符号相同的加数相结合（同号结合法）
(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)
原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （将减法转换成加法）
=-33+18-15-1+23 （省略加号和括号）
=(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合）
=-49+41 （运用加法法则一进行运算）
=-8 （运用加法法则二进行运算）
Ⅱ. 把和为整数的加数相结合 （凑整法）
(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)
原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （将减法转换成加法）
=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号）
=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和为整数的加数相结合）
=4-10+3.8 （运用加法法则进行运算）
=7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算） =-2.2 （得出结论）
Ⅲ. 把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）
-313217-+-+- 524528
原式=(-321137-)+(-+)+(+-) 552248
1=-1+0- 8
1=-1 8
Ⅳ. 既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）
312)+(-3)-(-10)-(+1.25) 483
13121原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1) 84834
13121=+3-3+10-1 84834
31112=(3-1)+(-3)+10 44883
12=2-3+10 23
1=-3+13 6
1=10 6(+0.125)-(-3
Ⅴ. 把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）
1617+10-12+4 5112215
1761原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-) 5151122
411=-1++ 1522
815=-1++ 3030
7- 30-3
Ⅵ. 分组结合
2-3-4+5+6-7-8+9„+66-67-68+69
原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+„+(66-67-68+69)
=0
Ⅶ. 先拆项后结合
1.4有理数的乘除法
1.4.1有理数的乘法
1. 有理数的乘法法则
法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）
法则二：任何数同0相乘，都得0；
法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；
法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0, 则积等于0.
2. 倒数
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用狮子表示为a ·≠0），就是说a 和1=1（a a 111互为倒数，即a 是的倒数，是a 的倒数。 a a a
注意：①0没有倒数
②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置。
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质） ④倒数等于它本身的数是1或-1, 不包括0。
3. 有理数的乘法运算律
⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba
⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc).
⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac
说明：①
②
③
第一章 有理数
1.1正数和负数
⒈正数和负数的概念
⑴像3，2，1.8℅这样大于0的数叫做正数
根据需要有时在正数前面加上正号“+”，例如：+2,+3,+0.3,+1/7'„. 正数前面的正号“+”，一般省略不写。
⑵像-3,-2,-2.7℅这样在正数前面叫上负号“-”的数叫做负数
负数前面的负号不能省略。
⑶一个数前面的“+”“-”叫做它的符号，“-”读作“负”，如“-3”读作“负三”，“+”读作“正”，如“+2008”读作“正二千零八”
注意：①字母a 可以表示任意数，当a 表示正数时，-a 是负数；当a 表示负数时，-a 是正数；当a 表示0时，-a 仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）
②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
2. 具有相反意义的量
⑴若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： ①零上8℃表示为：+8℃
②零下8℃表示为：-8℃
⑵常见的表示具有相反意义的量有：零上和零下、前进和后退、海平面以上和海平面一下、收入和支出、向南和向北、盈利和亏损、升高和下降。
3.0表示的意义
⑴0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；
⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。如：
水位上升5m 时水位变化记作+5m，
水位下降3m 时水位变化记作-3m ，
0m 表示水位不升不降。
1.2有理数
1.2.1有理数
1. 有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。（理解：只有能化成分数的数才是有理数。①Π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。）
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8„也是偶数，-1,-3,-5„也是奇数。
2. 有理数的分类
⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分 正整数
整数正有理数正分数
有理数
有理数（0不能忽视） 负整数
分数负有理数负分数
总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
1.2.2数轴
⒈数轴的概念
规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2. 数轴的画法
步骤：⑴画一条直线；
⑵在直线上任意选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下边标上“0”）；
⑶确定正方向（通常取向右方向为正方向），用箭头表示出来；
⑷选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1,2,3，„；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示-1,-2,-3„
3.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点∏不是有理数）
4. 利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
5. 数轴上特殊的最大（小）数
⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；
⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；
⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数
6.a 可以表示什么数
⑴a>0表示a 是正数；反之，a 是正数，则a>0；
⑵a
⑶a=0表示a 是0；反之，a 是0, ，则a=0
7. 数轴上点的移动规律
根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。
1.2.3相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
2. 相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数，且只有一个；
⑵0的相反数是0；
⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a ，b 互为相反数，则a+b=0
3. 相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。
说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4. 相反数的求法
⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）； ⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b ）；
⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)
练习：
求：⑴-a 的相反数； ⑵x+y-1的相反数； ⑶-(-3)的相反数
5. 相反数的表示方法
⑴一般地，数a 的相反数是-a ，其中a 是任意有理数，可以是正数、负数或0。 例如：①当a=7时，-a=-7，-7是7的相反数；
②当a=-5时，-a=-(-5)=5，-5的相反数是5；
③当a=0时，-a=0，0的相反数是0。
所以，当a>0时，-a
当a0（负数的相反数是正数）
当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）
⑵相反数的表示方法有如下规律：
①a 的相反数是-a ；
②a-b 的相反数是b-a ；
③a+b的相反数是-a-b 。
说明：任何有理数都有唯一的相反数
6. 多重符号的化简
多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：
“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。
1.2.4绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记作|a|。
如：在数轴上表示+5的点与原点距离是5，即+5的绝对值是5, 记作|+5|=5；
在数轴上表示-5的点与原点的距离是5，即-5的绝对值是5，记作|-5|=5；
表示0的点与原点的距离是0, 记作|0|=0 。
说明：绝对值为5的数是+5或-5，即|a|=5，则a=5或a=-5
2. 绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身；
⑵一个负数的绝对值是它的相反数；
⑶0的绝对值是0.
可用字母表示为：
①如果a>0|，那么|a|=a；
②如果a
③如果a=0，那么|a|=0。 （a>0）（a ≥0）（a>0）
即（a=0） 或或（a
可归纳为①：a ≥0， |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）
②a ≤0， |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）
3. 绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a 取任何有理数，都有|a|≥0。即
⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0. 即：a=0 |a|=0；
⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0. 即：|a|≥0；
⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a ；
⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a ； ⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；
⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。 （非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）
4. 有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；
⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。
5. 绝对值的化简
⑴依据绝对值定义
①当a ≥0时， |a|=a ； ②当a ≤0时， |a|=-a
⑵零点法
令绝对值符号内的式子为0，求得字母的值，从而将数轴分为两部分，在每一部分上再进行化简。
例如：化简|x-3|
第一步，取0点，令x-3=0，得x=3；
第二步，取范围，x ≤3和x>3；或x
第三步，在各范围内化简，
解：①当x ≤3时，x-3≤0
∴|x-3|=-(x-3)=-x+3
②当x>3时，x-3>0，
∴|x-3|=x-3。
6. 已知一个数的绝对值，求这个数
一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。
7. 利用绝对值来确定整数
利用绝对值来确定整数时，先由绝对值的意义在数轴上找出数的范围，再确定这个范围内的整数。
1.3有理数的加减法
1.3.1有理数的加法
1. 有理数的加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
⑶互为相反数的两数相加，和为零；
⑷一个数与零相加，仍得这个数。
注意：在进行加法运算时，首先判断两个加数的符号，是同号就用法则一；是异号就用法则二或法则三；是否有0，有0就用法则四。在应用过程中，一定要牢记“先符号，后绝对值”。
2. 有理数加法的运算律
⑴加法交换律：a+b=b+a
⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律： ①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；
④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3. 加法性质
一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即： ⑴当b>0时，a+b>a
⑵当b⑶当b=0时，a+b=a
1.3.2有理数的减法
1. 有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。
注意：①进行减法运算时，首先要弄清减数的符号是“+”还是“-”。
②将有理数减法转化为加法时，要同时改变两个符：一是运算符号由“-”号变成“+”号；另一个是减数的性质符号（即减数变成它的相反数）。如3-(+5)转化成加法后写成3+(-5) ③有理数的减法中被减数和减数不能互换，减法没有交换律和结合律，只有转化为加法以后，才能使用加法的运算律进行计算。
2. 有理数加减法统一成加法的意义
在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。
在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：
(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.
和式的读法：
①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”
②按运算意义读作“负8减7减6加5”
注意：把几个有理数的和或差写成省略加号和括号的和的形式时，第一步要根据减法法则把减法转化成为加法，第二步才能省略加号和括号。
3. 有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：
Ⅰ. 把符号相同的加数相结合（同号结合法）
(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)
原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （将减法转换成加法）
=-33+18-15-1+23 （省略加号和括号）
=(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合）
=-49+41 （运用加法法则一进行运算）
=-8 （运用加法法则二进行运算）
Ⅱ. 把和为整数的加数相结合 （凑整法）
(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)
原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （将减法转换成加法）
=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号）
=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和为整数的加数相结合）
=4-10+3.8 （运用加法法则进行运算）
=7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算） =-2.2 （得出结论）
Ⅲ. 把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）
-313217-+-+- 524528
原式=(-321137-)+(-+)+(+-) 552248
1=-1+0- 8
1=-1 8
Ⅳ. 既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）
312)+(-3)-(-10)-(+1.25) 483
13121原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1) 84834
13121=+3-3+10-1 84834
31112=(3-1)+(-3)+10 44883
12=2-3+10 23
1=-3+13 6
1=10 6(+0.125)-(-3
Ⅴ. 把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）
1617+10-12+4 5112215
1761原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-) 5151122
411=-1++ 1522
815=-1++ 3030
7- 30-3
Ⅵ. 分组结合
2-3-4+5+6-7-8+9„+66-67-68+69
原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+„+(66-67-68+69)
=0
Ⅶ. 先拆项后结合
1.4有理数的乘除法
1.4.1有理数的乘法
1. 有理数的乘法法则
法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）
法则二：任何数同0相乘，都得0；
法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；
法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0, 则积等于0.
2. 倒数
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用狮子表示为a ·≠0），就是说a 和1=1（a a 111互为倒数，即a 是的倒数，是a 的倒数。 a a a
注意：①0没有倒数
②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置。
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质） ④倒数等于它本身的数是1或-1, 不包括0。
3. 有理数的乘法运算律
⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba
⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc).
⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac
说明：①
②
③