2016年山西省朔州市高考数学模拟试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={1，2，3，4}，B={x∈Z||x|≤1}，则A ∩（∁Z B ）=（ ） A ．∅
B ．{4} C ．{3，4}
D ．{2，3，4}
【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题；对应思想；定义法；集合． 【分析】根据交集与补集的定义，进行化简运算即可． 【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}， B={x∈Z||x|≤1}={﹣1，0，1}， ∴A ∩（∁Z B ）={2，3，4}． 故选：D ．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．
2．已知椭圆C 2过椭圆C 1：为（ ） A ． B．
C ． D．
的两个焦点和短轴的两个端点，则椭圆C 2的离心率
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求得椭圆C 1的焦点和短轴的两个端点，可得椭圆C 2的a=3，b=心率公式可得． 【解答】解：椭圆C 1：短轴的两个端点为（0，±3）， 由题意可得椭圆C 2的a=3，b=可得c=
=2，
，
的焦点为（±
，0），
，求得c ，由离
即有离心率e==． 故选：A ．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的性质，求得a ，b ，c 是解题的关键，属于基础题．
3．若点（sin A ．
，cos B ．
）在角α的终边上，则sin α的值为（ ）
C． D．
【考点】任意角的三角函数的定义． 【专题】计算题；规律型；三角函数的求值．
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sin α的值． 【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin 则由任意角的三角函数的定义，可得sin α=故选：A ．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，根据三角函数的值求角，属于基础题．
4．若p ：θ=
+2kπ，k ∈Z ，q ：y=cos（ωx+θ）（ω≠0）是奇函数，则p 是q 的（ ）
，cos ，
）即（，
），
A ．充要条件 B．充分不必要条件 C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要的条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】函数思想；定义法；三角函数的图像与性质；简易逻辑．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的性质进行判断即可． 【解答】解：若θ=充分性成立，
若y=cos（ωx+θ）（ω≠0）是奇函数，则θ=即p 是q 的充分不必要条件， 故选：
B
+kπ，k ∈Z ，则θ=
+2kπ，k ∈Z 不一定成立，
+2kπ，则y=cos（ωx+θ）=cos（ωx+
+2kπ）=﹣sin ωx 为奇函数，即
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数的奇偶性的性质是解决本题的关键．
5．某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票，小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票3张，五元餐票1张，若从他口袋中随意摸出2张，则其面值之和不少于4元的概率为（ ） A ．
B ．
C ． D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【专题】计算题；转化思想；概率与统计． 【分析】从他口袋中随意摸出2张，基本事件总数n=
，再求出其面值之和不少于4元包
含的基本事件个数，由此能示出从他口袋中随意摸出2张，其面值之和不少于4元的概率．【解答】解：小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票3张，五元餐票1张， 从他口袋中随意摸出2张，基本事件总数n=其面值之和不少于4元包含的基本事件个数m=
∴从他口袋中随意摸出2张，其面值之和不少于4元的概率： p==
．
=15，
=8，
故选：B ．
【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
6．点O 为△ABC 内一点，且满足S 2，则
=（ ）
，设△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1、
A ． B． C． D．
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】延长OC 到D ，使OD=4OC，延长CO 交AB 与E ，由已知得O 为△DABC 重心，E 为AB 中点，推导出S △AEC =S△BEC ，S △BOE =2S△BOC ，由此能求出结果． 【解答】解：延长OC 到D ，使OD=4OC，
延长CO 交AB 与E ， ∵O 为△ABC 内一点，且满足∴
=，
，
∴O 为△DABC 重心，E 为AB 中点，
∴OD ：OE=2：1，∴OC ：OE=1：2，∴CE ：OE=3：2， ∴S △AEC =S△BEC ，S △BOE =2S△BOC ， ∵△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1、S 2， ∴
=．
故选：B ．
【点评】本题考查两个三角形面积比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量、三角形重心等知识的合理运用．
7．四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB=2，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，且该球的表面积为A ． B． C．2
D ．
，则该棱锥的高为（ ）
【考点】球内接多面体．
【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．
【分析】利用条件确定球的直径，利用勾股定理，即可求棱锥的高．
【解答】解：可以将四棱锥P ﹣ABCD 补成球的内接长方体，其对角线PC 即为球的直径． ∵球的表面积为∴球的半径为，
设PA=x，则PC 的长等于故选：A ．
【点评】本题主要考查球的表面积公式，构造长方体是解决本题的关键．
=
，即x=．
，
8．若实数x 、y 满足
，则z=x+y的最大值是（ ）
A ． B． C ． D ．1
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；综合法；不等式．
【分析】画出满足条件的平面区域，求出B 点坐标，从而求出z 的最大值即可． 【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由z=x+y得：y=﹣x+z，
显然直线y=﹣x+z和圆相切时z 最大， 自O 向y=﹣x+z做垂线，垂足是B ， ∵OB=1，∠BOX=∴B （
，
），
， ，
将B 代入z=x+y得：z=故选：C ．
【点评】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，考察切线问题，是一道中档题．
9．执行如图所示的程序框图（其中[x]表示不超过实数x 的最大整数），则运行后输出的结果是（ ）
A ．31 B ．33 C ．35 D ．37
【考点】程序框图．
【专题】计算题；对应思想；试验法；算法和程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，得出终止循环时输出的i 值是什么． 【解答】解：模拟程序框图运行，如下； S=0，i=1，S ≤30成立，S 是整数，S=； i=3，S ≤30成立，S 不是整数，S=[]=0，S=； i=5，S ≤30成立，S 不是整数，S=[]=1，S=3； i=7，S ≤30成立，S 是整数，S=5； i=9，S ≤30成立，S 是整数，S=7； …
i=31，S ≤30成立，S 是整数，S=29； i=33，S ≤30成立，S 是整数，S=31； i=35，S ≤30不成立，终止循环，输出i=35． 故选：C ．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序语言的运行过程，以便得出准确的结论．
10．函数f （x ）=Asin（ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜
）的部分图象如图所示，则（ ）
A ．函数f （x ）在区间[0，B ．函数f （x ）在区间[0，C ．函数f （x ）在区间[0，D ．函数f （x ）在区间[0，【考点】正弦函数的图象．
]上单调递增 ]上单调递减 ]上的最小值为﹣2 ]上的最小值为﹣1
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数f （x ）在区间[0，【解答】解：由函数f （x ）=Asin（ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜可得 A=2， =再根据图象经过点（故f （x ）=2sin（2x ﹣在区间[0，
]上，2x ﹣
=
﹣
，求得ω=2．
+φ=kπ，k ∈Z ，求得φ=﹣
，
]上的最值．
）的部分图象，
，0），可得2•）． ∈[﹣
，
]，f （x ）∈[﹣1，2]，
故f （x ）在区间[0，故选：D ．
]上没有单调性，当f （x ）有最小值为﹣1，故排除A 、B 、C ，
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
11．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ﹣1）=f（x+1），且当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）=x（1﹣A ．f （﹣3）
），则（ ）
B ．f （）＜f （﹣3）＜f （2）
D ．f （2）
C ．f （2）
【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．
【专题】函数思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】根据条件判断函数的周期性，奇偶性以及单调性，利用函数奇偶性和周期性和单调性之间的关系进行转化求解即可． 【解答】解：∵f （x ﹣1）=f（x+1）， ∴f （x ）=f（x+2）， 即函数的周期是2，
当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）=x（1﹣
）=x•
，
则f （﹣x ）=﹣x •则函数f （x ）为增函数，
=﹣x •=x•=f（x ），
当0≤x ＜1时，函数y=x为增函数，y=1﹣也为增函数，
则函数f （x ）=x（1﹣则f （）=f（﹣2）=f（），
）=x•在0≤x ＜1为增函数，
f （﹣3）=f（﹣3+2）=f（﹣1）=f（1）， f （2）=f（0），
则f （0）＜f （）＜f （1）， 即f （2）故选：D ．
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据条件判断函数的周期性，奇偶性以及单调性是解决本题的关键．
12．某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（ ）
，
A ．1 B ． C ． D ．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．
【分析】作出几何体的直观图，根据几何体的结构特征计算各个面的面积．
【解答】解：由三视图可知该几何体为底面为正方形的四棱锥P ﹣ABCD ，P 在底面的投影E 在DA 的延长线上，且PE=AE=AD=CD=1， ∴S △PAD ==，S 底面ABCD =1×1=1，PA==
，PD=
=
，
PF==
， ∴S △PCD =
=
，S △PAB =
=
．S △PBC =
=
．
∴在四棱锥的五个面中，△PCD 的面积最大． 故选C ．
【点评】本题考查了棱锥的结构特征和三视图，作出棱锥的直观图是解题关键．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．是复数z 的共轭复数，若复数z 满足=1+i，则z=
．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】计算题；转化思想；定义法；数系的扩充和复数．
【分析】直接利用复数的代数形式的混合运算，以及共轭复数的概念，即可求出． 【解答】解：∵ =1+i， ∴==，
∴z=
，
故答案为：．
【点评】本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力．
14．已知函数f （x ）=【考点】定积分．
【专题】计算题；对应思想；导数的概念及应用．
【分析】将被积函数利用可加性分段表示，再分别求出各段上的定积分． 【解答】解：f （x ）=
，则，则
=π+6．
=
故答案为：π+6．
=+（+2x）|=π+6；
【点评】本题考查了分段函数的定积分；利用定积分的可加性和定积分的运算公式解答；属于基础题．
15．设F 1、F 2分别为双曲线C 1：
的左、右焦点，以F 1为圆
|F1F 2|为半径的圆C 2与双曲线的右支交于P 、Q 两点，∠F 1PF 2=75°，心，若△PF 1F 2的面积为4，则C 2的方程为 （x+2）2+y2=16． 【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意可得△PF 1F 2为等腰三角形，且腰长为2c ，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵|F1F 2|为半径的圆C 2与双曲线的右支交于P 、Q 两点，∠F 1PF 2=75°， ∴∠PF 1F 2=30°， ∵△PF 1F 2的面积为4， ∴×2c •2c •sin30°=4， ∴c=2，
∴C 2的方程为（x+2）2+y2=16， 故答案为：（x+2）2+y2=16．
【点评】本题考查了双曲线的定义和方程，以及圆的定义和方程以及三角形的面积公式，属于基础题．
16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若大值为 8 ．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；不等式的解法及应用． 【分析】由已知式子和正弦定理可得B=大值．
【解答】解：∵在△ABC 中∴（2a ﹣c ）cosB=bcosC，
∴（2sinA ﹣sinC ）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA， 约掉sinA 可得cosB=，即B=
， =
，
，再由余弦定理可得ac ≤16，即可求得a+c的最
=
，b=4，则a+c的最
由余弦定理可得16=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac ≥2ac ﹣ac ， ∴ac ≤16，当且仅当a=c时取等号，
∴16=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac ，可得：（a+c）2=16+3ac≤64，解得a+c≤8，当且仅当a=c时取等号． 故答案为：8．
【点评】本题考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知数列{an }为等差数列，数列{bn }满足b n =an +n，若b 2，b 5，b 11成等比数列，且b 3=a6． （1）求a n ，b n ； （2）求数列{
}的前n 项和S n ．
【考点】数列的概念及简单表示法；等比数列的通项公式． 【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出； （2）
=
=
，利用“裂项求和”即可得出．
【解答】解：（1）设数列{an }的公差为d ，则a n =a1+（n ﹣1）d ，b n =a1+（n ﹣1）d+n， ∵b 2，b 5，b 11成等比数列，且b 3=a6． ∴
，
解得．
于是a n =n+2，b n =2n+2． （2）∴S n ===
．
=
+
=+…+
．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．M 为CC 1的中点，∠ABC=90°，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，AC=A1A ，∠A 1AC=60°，AB=BC=2． （1）求证：BA 1=BM；
（2）求二面角B ﹣A 1M ﹣C 的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；棱柱的结构特征．
【专题】数形结合；整体思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（1）根据条件证明Rt △A 1DB ≌Rt △MDB 即可得到结论． （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可． 【解答】（Ⅰ）证明：取AC 的中点D ，连接BD ，DM ，AC 1，A 1D ，A 1C ，
∵AB=BC，∴BD ⊥AC ．
∵侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，且交于AC ， ∴BD ⊥平面A 1ACC 1，∴BD ⊥A 1D ，
∴BD ⊥DM ．又DM=AC1，△A 1AC 为等边三角形，四边形A 1ACC 1为菱形． ∴A 1D=AC1=DM， ∴Rt △A 1DB ≌Rt △MDB ． ∴BA 1=BM…
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系D ﹣xyz ，
则C （0，所以
，0），A 1（0，0，
，0，
），
），M （0，=（﹣
，
，
，），B （）；
，0，0）．
=（﹣
设=（x ，y ，z ）为平面BA 1的法向量，则
，
即，
令z=又
，则=（3，1，
）为平面BA 1M 的一个法向量．
=（
，0，0）为平面CA 1M 的一个法向量，
＞=
=
；
所以cos ＜，
所以二面角B ﹣A 1M ﹣C 的余弦值为
．…
【点评】本题主要考查空间直线相等的证明以及二面角的求解决，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．
19．为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（p 表示相应事件的频率）：①p （μ﹣ς＜X ≤μ+ς）≥0.6826．②P （μ﹣ς＜X ≤μ+2ς）≥0.9544③P （μ﹣3ς＜X ≤μ+3ς）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M 的性能等级． （2）将直径小于等于μ﹣2ς或直径大于μ+2ς的零件认为是次品
（i ）从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望EY ； （ii ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望EZ ． 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【专题】综合题；方程思想；综合法；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）利用条件，可得设备
M
的数据仅满足一个不等式，即可得出结论；
（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M 生产零件的次品率为0.06． （ⅰ）由题意可知Y ～B （2，
），于是EY=2×
=
；
（ⅱ）确定Z 的取值，求出相应的概率，即可求出其中次品个数Z 的数学期望EZ ． 【解答】解：（Ⅰ）P （μ﹣ς＜X ≤μ+ς）=P（62.8＜X ≤67.2）=0.8≥0.6826，P （μ﹣2ς＜X ≤μ+2ς）=P（60.6＜X ≤69.4）=0.94≥0.9544，P （μ﹣3ς＜X ≤μ+3ς）=P（58.4＜X ≤71.6）=0.98≥0.9974， 因为设备M 的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；…
（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M 生产零件的次品率为0.06． （ⅰ）由题意可知Y ～B （2，（ⅱ）由题意可知Z 的分布列为 ），于是EY=2×
=
；…
故EZ=0×+1×+2×=．…
【点评】本题考查概率的计算，考查正态分布曲线的特点，考查数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．
20．已知抛物线C ：y 2=4x
（1）抛物线C 上有一动点P ，当P 到C 的准线与到点Q （7，8）的距离之和最小时，求点P 的坐标；
B 两个不同的点，使OA 与OB （2）是否存在直线l ：y=kx+b与C 交于A 、（O 为坐标原点）所在直线的倾斜角互补，如果存在，试确定k 与b 的关系，如果不存在，请说明理由． 【考点】抛物线的简单性质．
【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由抛物线的定义可知，只要在抛物线上找P 到点Q 与到焦点F （1，0）的距 离之和最小，由直线段最短原理，可知只要求QF ：y=（x ﹣1）与抛物线y 2=4x的交点即可；（2）由直线l ：y=kx+b与抛物线y 2=4x得k 2x 2+（2kb ﹣4）x+b2=0，利用韦达定理判断k OA +kOB ≠0．
【解答】解：（1）由抛物线的定义可知，只要在抛物线上找P 到点Q 与到焦点F （1，0）的距离之和最小，
由直线段最短原理，可知只要求QF ：y=（x ﹣1）与抛物线y 2=4x的交点即可． 由QF ：y=（x ﹣1）与抛物线y 2=4x可得4x 2﹣17x+4=0，∴x 1=4或x 2=（舍）． ∴P （4，4）．…
（2）由直线l ：y=kx+b与抛物线y 2=4x得k 2x 2+（2kb ﹣4）x+b2=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x2=
，x 1x 2=
，
k OA +kOB =
+=2k+=≠0
故不存在符合条件的直线l ．…
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，正确转化是关键．
21．已知函数f （x ）=lnx﹣ax+a﹣2，a ∈R ．
（1）求函数f （x ）的单调区间；
（2）当a ＜0时，试判断g （x ）=xf（x ）+2的零点个数． 【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性． 【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．
【分析】（I ）求出导函数，根据a 的取值范围讨论导函数的符号，判断函数的单调性及单调区间；
（II ）求出g （x ），利用导数判断g （x ）的单调性，根据g （x ）的值域判断g （x ）的零点个数．
【解答】解：（Ⅰ）f ′（x ）=﹣=
（x ＞0）．
若a ≤0，则f ′（x ）＞0，∴函数f （x ）的单调递增区间为（0，+∞）； 若a ＞0，当0＜x ＜时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增， 当x ＞时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减，
综上，若a ≤0时，函数f （x ）的单调递增区间为（0，+∞）；
若a ＞0时，函数f （x ）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）． （Ⅱ）g （x ）=xlnx﹣
+ax﹣2x+2，g ′（x ）=﹣ax+lnx+a﹣1．
又a ＜0，易知g ′（x ）在（0，+∞）上单调递增，g ′（1）=﹣1＜0，g ′（e ）=﹣ae+a=a（1﹣e ）＞0，
故而g ′（x ）在（1，e ）上存在唯一的零点x 0，使得g ′（x 0）=0．
当0＜x ＜x 0时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减；当x ＞x 0时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增．取x 1=ea ，又a ＜0，∴0＜x 1＜1， ∴g （x 1）=x1（lnx 1﹣设h （a ）=a﹣ae a +a﹣2+
+a﹣2+
）=ea （a ﹣ae a +a﹣2+
），
+2，（a ＜0），h ′（0）=﹣，
，（a ＜0），h ′（a ）=﹣ae a ﹣e a ﹣
h ″（a ）=e﹣a ﹣e a +e﹣a ﹣ae a ＞0，
∴h ′（a ）在（﹣∞，0）上单调递增，h ′（a ）＜h ′（0）＜0， ∴h （a ）在（﹣∞，0）上单调递减，∴h （a ）＞h （0）=0， ∴g （x 1）＞0，即当a ＜0时，g （e a ）＞0．
当x 趋于+∞时，g （x ）趋于+∞，且g （2）=2ln2﹣2＜0． ∴函数g （x ）在（0，+∞）上始终有两个零点．
【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数零点个数与单调性的关系，属于中档题．
【选修4-1：几何证明选讲】
22．如图⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，E 、F 是AB ，BC 上的点，且A ，E ，F ，C 四点共圆，延长BC 至D ，使得AC •BF=AD•BE ． （1）证明：DA 是⊙O 的切线； （2）若AF •AB=1：
，试求过点A 、E 、F 、C 的圆的面积与⊙O 的面积之比．
【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定． 【专题】选作题；转化思想；综合法；推理和证明．
【分析】（1）证明：∠ACD=∠BEF ，∠DAC=∠FBE ，进而证明∠DAB=90°，即可证明DA 是⊙O 的切线；
（2）由（1）知AF 为过A ，E ，F ，C 四点的圆的直径，利用AF ：AB=1：点A 、E 、F 、C 的圆的面积与⊙O 的面积之比． 【解答】（1）证明：由题意知∠ACD=90°，
∵A ，E ，F ，C 四点共圆，∴∠BEF=90°，即∠ACD=∠BEF ． 又∵AC •BF=AD•BE ，∴△ADC ∽△BFE ． ∴∠DAC=∠FBE ．
∵∠FBE+∠BAC=90°，∴∠DAC+∠BAC=90°， 即∠DAB=90°，∴DA 是⊙O 的切线．…
（2）解：由（1）知AF 为过A ，E ，F ，C 四点的圆的直径， ∵AF ：AB=1：
．∴AF 2：AB 2=1：2．
，即可求过
即过点A ，E ，F ，C 的圆的面积与⊙O 的面积之比为1：2．…
【点评】本题考查圆的切线的证明，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】
23．在极坐标系Ox 中，曲线C 的极坐标方程为p 2=点、极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线C 的直角坐标方程；
，以极点O 为直角坐标原
（2）设曲线C 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点A 、B ，P 是曲线C 上一点，求△ABP 面积的最大值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【专题】计算题；整体思想；综合法；坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）由ρ2=x2+y2，y=ρsin θ，能求出曲线C 的直角坐标方程．
（Ⅱ）先求出直线AB 的方程，设P （4cos θ，3sin θ），求出P 到直线AB 的距离，由此能求出△ABP 面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C 的极坐标方程为ρ2=∴9ρ2+7ρ2sin 2θ=144， 由ρ2=x2+y2，y=ρsin θ，
可得曲线C 的直角坐标方程为9x 2+9y2+7y2=144． 即曲线C 的直角坐标方程为
．…
，
（Ⅱ）∵曲线C 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点A 、B ， ∴A （4，0），B （0，3），∴直线AB 的方程为3x+4y﹣12=0， 设P （4cos θ，3sin θ），则P 到直线AB 的距离为： d=
=
，
当θ=
时，d max =
，
=6（
+1）．…
∴△ABP 面积的最大值为×|AB|×
【点评】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
【选修4-5：不等式选讲】
24．已知函数f （x ）=|x﹣1|﹣|2x﹣
a|
（1）当a=5时，求不等式f （x ）≥0的解集；
（2）设不等式f （x ）≥3的解集为A ，若5∈A ，6∉A ，求整数a 的值． 【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法． 【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．
【分析】（1）当a=5时，不等式即|x﹣1|﹣|2x﹣5|≥0，移项平方，可得它的解集． （2）根据条件可得
，由此求得a 的范围，从而求得a 的值．
【解答】解：（1）当a=5时，不等式f （x ）≥0可化为：|x﹣1|﹣|2x﹣5|≥0， 等价于（x ﹣1）2≥（2x ﹣5）2，解得2≤x ≤4， ∴不等式f （x ）≥0的解集为[2，4]．
（2）据题意，由不等式f （x ）≥3的解集为A ，若5∈A ，6∉A ， 可得：
又∵a ∈Z ，∴a=9．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．
，解得
，∴9≤a ＜10．
2016年山西省朔州市高考数学模拟试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={1，2，3，4}，B={x∈Z||x|≤1}，则A ∩（∁Z B ）=（ ） A ．∅
B ．{4} C ．{3，4}
D ．{2，3，4}
【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题；对应思想；定义法；集合． 【分析】根据交集与补集的定义，进行化简运算即可． 【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}， B={x∈Z||x|≤1}={﹣1，0，1}， ∴A ∩（∁Z B ）={2，3，4}． 故选：D ．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．
2．已知椭圆C 2过椭圆C 1：为（ ） A ． B．
C ． D．
的两个焦点和短轴的两个端点，则椭圆C 2的离心率
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求得椭圆C 1的焦点和短轴的两个端点，可得椭圆C 2的a=3，b=心率公式可得． 【解答】解：椭圆C 1：短轴的两个端点为（0，±3）， 由题意可得椭圆C 2的a=3，b=可得c=
=2，
，
的焦点为（±
，0），
，求得c ，由离
即有离心率e==． 故选：A ．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的性质，求得a ，b ，c 是解题的关键，属于基础题．
3．若点（sin A ．
，cos B ．
）在角α的终边上，则sin α的值为（ ）
C． D．
【考点】任意角的三角函数的定义． 【专题】计算题；规律型；三角函数的求值．
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sin α的值． 【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin 则由任意角的三角函数的定义，可得sin α=故选：A ．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，根据三角函数的值求角，属于基础题．
4．若p ：θ=
+2kπ，k ∈Z ，q ：y=cos（ωx+θ）（ω≠0）是奇函数，则p 是q 的（ ）
，cos ，
）即（，
），
A ．充要条件 B．充分不必要条件 C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要的条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】函数思想；定义法；三角函数的图像与性质；简易逻辑．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的性质进行判断即可． 【解答】解：若θ=充分性成立，
若y=cos（ωx+θ）（ω≠0）是奇函数，则θ=即p 是q 的充分不必要条件， 故选：
B
+kπ，k ∈Z ，则θ=
+2kπ，k ∈Z 不一定成立，
+2kπ，则y=cos（ωx+θ）=cos（ωx+
+2kπ）=﹣sin ωx 为奇函数，即
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数的奇偶性的性质是解决本题的关键．
5．某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票，小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票3张，五元餐票1张，若从他口袋中随意摸出2张，则其面值之和不少于4元的概率为（ ） A ．
B ．
C ． D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【专题】计算题；转化思想；概率与统计． 【分析】从他口袋中随意摸出2张，基本事件总数n=
，再求出其面值之和不少于4元包
含的基本事件个数，由此能示出从他口袋中随意摸出2张，其面值之和不少于4元的概率．【解答】解：小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票3张，五元餐票1张， 从他口袋中随意摸出2张，基本事件总数n=其面值之和不少于4元包含的基本事件个数m=
∴从他口袋中随意摸出2张，其面值之和不少于4元的概率： p==
．
=15，
=8，
故选：B ．
【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
6．点O 为△ABC 内一点，且满足S 2，则
=（ ）
，设△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1、
A ． B． C． D．
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】延长OC 到D ，使OD=4OC，延长CO 交AB 与E ，由已知得O 为△DABC 重心，E 为AB 中点，推导出S △AEC =S△BEC ，S △BOE =2S△BOC ，由此能求出结果． 【解答】解：延长OC 到D ，使OD=4OC，
延长CO 交AB 与E ， ∵O 为△ABC 内一点，且满足∴
=，
，
∴O 为△DABC 重心，E 为AB 中点，
∴OD ：OE=2：1，∴OC ：OE=1：2，∴CE ：OE=3：2， ∴S △AEC =S△BEC ，S △BOE =2S△BOC ， ∵△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1、S 2， ∴
=．
故选：B ．
【点评】本题考查两个三角形面积比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量、三角形重心等知识的合理运用．
7．四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB=2，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，且该球的表面积为A ． B． C．2
D ．
，则该棱锥的高为（ ）
【考点】球内接多面体．
【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．
【分析】利用条件确定球的直径，利用勾股定理，即可求棱锥的高．
【解答】解：可以将四棱锥P ﹣ABCD 补成球的内接长方体，其对角线PC 即为球的直径． ∵球的表面积为∴球的半径为，
设PA=x，则PC 的长等于故选：A ．
【点评】本题主要考查球的表面积公式，构造长方体是解决本题的关键．
=
，即x=．
，
8．若实数x 、y 满足
，则z=x+y的最大值是（ ）
A ． B． C ． D ．1
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；综合法；不等式．
【分析】画出满足条件的平面区域，求出B 点坐标，从而求出z 的最大值即可． 【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由z=x+y得：y=﹣x+z，
显然直线y=﹣x+z和圆相切时z 最大， 自O 向y=﹣x+z做垂线，垂足是B ， ∵OB=1，∠BOX=∴B （
，
），
， ，
将B 代入z=x+y得：z=故选：C ．
【点评】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，考察切线问题，是一道中档题．
9．执行如图所示的程序框图（其中[x]表示不超过实数x 的最大整数），则运行后输出的结果是（ ）
A ．31 B ．33 C ．35 D ．37
【考点】程序框图．
【专题】计算题；对应思想；试验法；算法和程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，得出终止循环时输出的i 值是什么． 【解答】解：模拟程序框图运行，如下； S=0，i=1，S ≤30成立，S 是整数，S=； i=3，S ≤30成立，S 不是整数，S=[]=0，S=； i=5，S ≤30成立，S 不是整数，S=[]=1，S=3； i=7，S ≤30成立，S 是整数，S=5； i=9，S ≤30成立，S 是整数，S=7； …
i=31，S ≤30成立，S 是整数，S=29； i=33，S ≤30成立，S 是整数，S=31； i=35，S ≤30不成立，终止循环，输出i=35． 故选：C ．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序语言的运行过程，以便得出准确的结论．
10．函数f （x ）=Asin（ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜
）的部分图象如图所示，则（ ）
A ．函数f （x ）在区间[0，B ．函数f （x ）在区间[0，C ．函数f （x ）在区间[0，D ．函数f （x ）在区间[0，【考点】正弦函数的图象．
]上单调递增 ]上单调递减 ]上的最小值为﹣2 ]上的最小值为﹣1
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数f （x ）在区间[0，【解答】解：由函数f （x ）=Asin（ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜可得 A=2， =再根据图象经过点（故f （x ）=2sin（2x ﹣在区间[0，
]上，2x ﹣
=
﹣
，求得ω=2．
+φ=kπ，k ∈Z ，求得φ=﹣
，
]上的最值．
）的部分图象，
，0），可得2•）． ∈[﹣
，
]，f （x ）∈[﹣1，2]，
故f （x ）在区间[0，故选：D ．
]上没有单调性，当f （x ）有最小值为﹣1，故排除A 、B 、C ，
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
11．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ﹣1）=f（x+1），且当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）=x（1﹣A ．f （﹣3）
），则（ ）
B ．f （）＜f （﹣3）＜f （2）
D ．f （2）
C ．f （2）
【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．
【专题】函数思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】根据条件判断函数的周期性，奇偶性以及单调性，利用函数奇偶性和周期性和单调性之间的关系进行转化求解即可． 【解答】解：∵f （x ﹣1）=f（x+1）， ∴f （x ）=f（x+2）， 即函数的周期是2，
当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）=x（1﹣
）=x•
，
则f （﹣x ）=﹣x •则函数f （x ）为增函数，
=﹣x •=x•=f（x ），
当0≤x ＜1时，函数y=x为增函数，y=1﹣也为增函数，
则函数f （x ）=x（1﹣则f （）=f（﹣2）=f（），
）=x•在0≤x ＜1为增函数，
f （﹣3）=f（﹣3+2）=f（﹣1）=f（1）， f （2）=f（0），
则f （0）＜f （）＜f （1）， 即f （2）故选：D ．
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据条件判断函数的周期性，奇偶性以及单调性是解决本题的关键．
12．某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（ ）
，
A ．1 B ． C ． D ．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．
【分析】作出几何体的直观图，根据几何体的结构特征计算各个面的面积．
【解答】解：由三视图可知该几何体为底面为正方形的四棱锥P ﹣ABCD ，P 在底面的投影E 在DA 的延长线上，且PE=AE=AD=CD=1， ∴S △PAD ==，S 底面ABCD =1×1=1，PA==
，PD=
=
，
PF==
， ∴S △PCD =
=
，S △PAB =
=
．S △PBC =
=
．
∴在四棱锥的五个面中，△PCD 的面积最大． 故选C ．
【点评】本题考查了棱锥的结构特征和三视图，作出棱锥的直观图是解题关键．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．是复数z 的共轭复数，若复数z 满足=1+i，则z=
．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】计算题；转化思想；定义法；数系的扩充和复数．
【分析】直接利用复数的代数形式的混合运算，以及共轭复数的概念，即可求出． 【解答】解：∵ =1+i， ∴==，
∴z=
，
故答案为：．
【点评】本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力．
14．已知函数f （x ）=【考点】定积分．
【专题】计算题；对应思想；导数的概念及应用．
【分析】将被积函数利用可加性分段表示，再分别求出各段上的定积分． 【解答】解：f （x ）=
，则，则
=π+6．
=
故答案为：π+6．
=+（+2x）|=π+6；
【点评】本题考查了分段函数的定积分；利用定积分的可加性和定积分的运算公式解答；属于基础题．
15．设F 1、F 2分别为双曲线C 1：
的左、右焦点，以F 1为圆
|F1F 2|为半径的圆C 2与双曲线的右支交于P 、Q 两点，∠F 1PF 2=75°，心，若△PF 1F 2的面积为4，则C 2的方程为 （x+2）2+y2=16． 【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意可得△PF 1F 2为等腰三角形，且腰长为2c ，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵|F1F 2|为半径的圆C 2与双曲线的右支交于P 、Q 两点，∠F 1PF 2=75°， ∴∠PF 1F 2=30°， ∵△PF 1F 2的面积为4， ∴×2c •2c •sin30°=4， ∴c=2，
∴C 2的方程为（x+2）2+y2=16， 故答案为：（x+2）2+y2=16．
【点评】本题考查了双曲线的定义和方程，以及圆的定义和方程以及三角形的面积公式，属于基础题．
16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若大值为 8 ．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；不等式的解法及应用． 【分析】由已知式子和正弦定理可得B=大值．
【解答】解：∵在△ABC 中∴（2a ﹣c ）cosB=bcosC，
∴（2sinA ﹣sinC ）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA， 约掉sinA 可得cosB=，即B=
， =
，
，再由余弦定理可得ac ≤16，即可求得a+c的最
=
，b=4，则a+c的最
由余弦定理可得16=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac ≥2ac ﹣ac ， ∴ac ≤16，当且仅当a=c时取等号，
∴16=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac ，可得：（a+c）2=16+3ac≤64，解得a+c≤8，当且仅当a=c时取等号． 故答案为：8．
【点评】本题考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知数列{an }为等差数列，数列{bn }满足b n =an +n，若b 2，b 5，b 11成等比数列，且b 3=a6． （1）求a n ，b n ； （2）求数列{
}的前n 项和S n ．
【考点】数列的概念及简单表示法；等比数列的通项公式． 【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出； （2）
=
=
，利用“裂项求和”即可得出．
【解答】解：（1）设数列{an }的公差为d ，则a n =a1+（n ﹣1）d ，b n =a1+（n ﹣1）d+n， ∵b 2，b 5，b 11成等比数列，且b 3=a6． ∴
，
解得．
于是a n =n+2，b n =2n+2． （2）∴S n ===
．
=
+
=+…+
．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．M 为CC 1的中点，∠ABC=90°，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，AC=A1A ，∠A 1AC=60°，AB=BC=2． （1）求证：BA 1=BM；
（2）求二面角B ﹣A 1M ﹣C 的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；棱柱的结构特征．
【专题】数形结合；整体思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（1）根据条件证明Rt △A 1DB ≌Rt △MDB 即可得到结论． （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可． 【解答】（Ⅰ）证明：取AC 的中点D ，连接BD ，DM ，AC 1，A 1D ，A 1C ，
∵AB=BC，∴BD ⊥AC ．
∵侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，且交于AC ， ∴BD ⊥平面A 1ACC 1，∴BD ⊥A 1D ，
∴BD ⊥DM ．又DM=AC1，△A 1AC 为等边三角形，四边形A 1ACC 1为菱形． ∴A 1D=AC1=DM， ∴Rt △A 1DB ≌Rt △MDB ． ∴BA 1=BM…
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系D ﹣xyz ，
则C （0，所以
，0），A 1（0，0，
，0，
），
），M （0，=（﹣
，
，
，），B （）；
，0，0）．
=（﹣
设=（x ，y ，z ）为平面BA 1的法向量，则
，
即，
令z=又
，则=（3，1，
）为平面BA 1M 的一个法向量．
=（
，0，0）为平面CA 1M 的一个法向量，
＞=
=
；
所以cos ＜，
所以二面角B ﹣A 1M ﹣C 的余弦值为
．…
【点评】本题主要考查空间直线相等的证明以及二面角的求解决，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．
19．为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（p 表示相应事件的频率）：①p （μ﹣ς＜X ≤μ+ς）≥0.6826．②P （μ﹣ς＜X ≤μ+2ς）≥0.9544③P （μ﹣3ς＜X ≤μ+3ς）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M 的性能等级． （2）将直径小于等于μ﹣2ς或直径大于μ+2ς的零件认为是次品
（i ）从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望EY ； （ii ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望EZ ． 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【专题】综合题；方程思想；综合法；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）利用条件，可得设备
M
的数据仅满足一个不等式，即可得出结论；
（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M 生产零件的次品率为0.06． （ⅰ）由题意可知Y ～B （2，
），于是EY=2×
=
；
（ⅱ）确定Z 的取值，求出相应的概率，即可求出其中次品个数Z 的数学期望EZ ． 【解答】解：（Ⅰ）P （μ﹣ς＜X ≤μ+ς）=P（62.8＜X ≤67.2）=0.8≥0.6826，P （μ﹣2ς＜X ≤μ+2ς）=P（60.6＜X ≤69.4）=0.94≥0.9544，P （μ﹣3ς＜X ≤μ+3ς）=P（58.4＜X ≤71.6）=0.98≥0.9974， 因为设备M 的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；…
（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M 生产零件的次品率为0.06． （ⅰ）由题意可知Y ～B （2，（ⅱ）由题意可知Z 的分布列为 ），于是EY=2×
=
；…
故EZ=0×+1×+2×=．…
【点评】本题考查概率的计算，考查正态分布曲线的特点，考查数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．
20．已知抛物线C ：y 2=4x
（1）抛物线C 上有一动点P ，当P 到C 的准线与到点Q （7，8）的距离之和最小时，求点P 的坐标；
B 两个不同的点，使OA 与OB （2）是否存在直线l ：y=kx+b与C 交于A 、（O 为坐标原点）所在直线的倾斜角互补，如果存在，试确定k 与b 的关系，如果不存在，请说明理由． 【考点】抛物线的简单性质．
【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由抛物线的定义可知，只要在抛物线上找P 到点Q 与到焦点F （1，0）的距 离之和最小，由直线段最短原理，可知只要求QF ：y=（x ﹣1）与抛物线y 2=4x的交点即可；（2）由直线l ：y=kx+b与抛物线y 2=4x得k 2x 2+（2kb ﹣4）x+b2=0，利用韦达定理判断k OA +kOB ≠0．
【解答】解：（1）由抛物线的定义可知，只要在抛物线上找P 到点Q 与到焦点F （1，0）的距离之和最小，
由直线段最短原理，可知只要求QF ：y=（x ﹣1）与抛物线y 2=4x的交点即可． 由QF ：y=（x ﹣1）与抛物线y 2=4x可得4x 2﹣17x+4=0，∴x 1=4或x 2=（舍）． ∴P （4，4）．…
（2）由直线l ：y=kx+b与抛物线y 2=4x得k 2x 2+（2kb ﹣4）x+b2=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x2=
，x 1x 2=
，
k OA +kOB =
+=2k+=≠0
故不存在符合条件的直线l ．…
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，正确转化是关键．
21．已知函数f （x ）=lnx﹣ax+a﹣2，a ∈R ．
（1）求函数f （x ）的单调区间；
（2）当a ＜0时，试判断g （x ）=xf（x ）+2的零点个数． 【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性． 【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．
【分析】（I ）求出导函数，根据a 的取值范围讨论导函数的符号，判断函数的单调性及单调区间；
（II ）求出g （x ），利用导数判断g （x ）的单调性，根据g （x ）的值域判断g （x ）的零点个数．
【解答】解：（Ⅰ）f ′（x ）=﹣=
（x ＞0）．
若a ≤0，则f ′（x ）＞0，∴函数f （x ）的单调递增区间为（0，+∞）； 若a ＞0，当0＜x ＜时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增， 当x ＞时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减，
综上，若a ≤0时，函数f （x ）的单调递增区间为（0，+∞）；
若a ＞0时，函数f （x ）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）． （Ⅱ）g （x ）=xlnx﹣
+ax﹣2x+2，g ′（x ）=﹣ax+lnx+a﹣1．
又a ＜0，易知g ′（x ）在（0，+∞）上单调递增，g ′（1）=﹣1＜0，g ′（e ）=﹣ae+a=a（1﹣e ）＞0，
故而g ′（x ）在（1，e ）上存在唯一的零点x 0，使得g ′（x 0）=0．
当0＜x ＜x 0时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减；当x ＞x 0时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增．取x 1=ea ，又a ＜0，∴0＜x 1＜1， ∴g （x 1）=x1（lnx 1﹣设h （a ）=a﹣ae a +a﹣2+
+a﹣2+
）=ea （a ﹣ae a +a﹣2+
），
+2，（a ＜0），h ′（0）=﹣，
，（a ＜0），h ′（a ）=﹣ae a ﹣e a ﹣
h ″（a ）=e﹣a ﹣e a +e﹣a ﹣ae a ＞0，
∴h ′（a ）在（﹣∞，0）上单调递增，h ′（a ）＜h ′（0）＜0， ∴h （a ）在（﹣∞，0）上单调递减，∴h （a ）＞h （0）=0， ∴g （x 1）＞0，即当a ＜0时，g （e a ）＞0．
当x 趋于+∞时，g （x ）趋于+∞，且g （2）=2ln2﹣2＜0． ∴函数g （x ）在（0，+∞）上始终有两个零点．
【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数零点个数与单调性的关系，属于中档题．
【选修4-1：几何证明选讲】
22．如图⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，E 、F 是AB ，BC 上的点，且A ，E ，F ，C 四点共圆，延长BC 至D ，使得AC •BF=AD•BE ． （1）证明：DA 是⊙O 的切线； （2）若AF •AB=1：
，试求过点A 、E 、F 、C 的圆的面积与⊙O 的面积之比．
【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定． 【专题】选作题；转化思想；综合法；推理和证明．
【分析】（1）证明：∠ACD=∠BEF ，∠DAC=∠FBE ，进而证明∠DAB=90°，即可证明DA 是⊙O 的切线；
（2）由（1）知AF 为过A ，E ，F ，C 四点的圆的直径，利用AF ：AB=1：点A 、E 、F 、C 的圆的面积与⊙O 的面积之比． 【解答】（1）证明：由题意知∠ACD=90°，
∵A ，E ，F ，C 四点共圆，∴∠BEF=90°，即∠ACD=∠BEF ． 又∵AC •BF=AD•BE ，∴△ADC ∽△BFE ． ∴∠DAC=∠FBE ．
∵∠FBE+∠BAC=90°，∴∠DAC+∠BAC=90°， 即∠DAB=90°，∴DA 是⊙O 的切线．…
（2）解：由（1）知AF 为过A ，E ，F ，C 四点的圆的直径， ∵AF ：AB=1：
．∴AF 2：AB 2=1：2．
，即可求过
即过点A ，E ，F ，C 的圆的面积与⊙O 的面积之比为1：2．…
【点评】本题考查圆的切线的证明，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】
23．在极坐标系Ox 中，曲线C 的极坐标方程为p 2=点、极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线C 的直角坐标方程；
，以极点O 为直角坐标原
（2）设曲线C 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点A 、B ，P 是曲线C 上一点，求△ABP 面积的最大值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【专题】计算题；整体思想；综合法；坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）由ρ2=x2+y2，y=ρsin θ，能求出曲线C 的直角坐标方程．
（Ⅱ）先求出直线AB 的方程，设P （4cos θ，3sin θ），求出P 到直线AB 的距离，由此能求出△ABP 面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C 的极坐标方程为ρ2=∴9ρ2+7ρ2sin 2θ=144， 由ρ2=x2+y2，y=ρsin θ，
可得曲线C 的直角坐标方程为9x 2+9y2+7y2=144． 即曲线C 的直角坐标方程为
．…
，
（Ⅱ）∵曲线C 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点A 、B ， ∴A （4，0），B （0，3），∴直线AB 的方程为3x+4y﹣12=0， 设P （4cos θ，3sin θ），则P 到直线AB 的距离为： d=
=
，
当θ=
时，d max =
，
=6（
+1）．…
∴△ABP 面积的最大值为×|AB|×
【点评】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
【选修4-5：不等式选讲】
24．已知函数f （x ）=|x﹣1|﹣|2x﹣
a|
（1）当a=5时，求不等式f （x ）≥0的解集；
（2）设不等式f （x ）≥3的解集为A ，若5∈A ，6∉A ，求整数a 的值． 【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法． 【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．
【分析】（1）当a=5时，不等式即|x﹣1|﹣|2x﹣5|≥0，移项平方，可得它的解集． （2）根据条件可得
，由此求得a 的范围，从而求得a 的值．
【解答】解：（1）当a=5时，不等式f （x ）≥0可化为：|x﹣1|﹣|2x﹣5|≥0， 等价于（x ﹣1）2≥（2x ﹣5）2，解得2≤x ≤4， ∴不等式f （x ）≥0的解集为[2，4]．
（2）据题意，由不等式f （x ）≥3的解集为A ，若5∈A ，6∉A ， 可得：
又∵a ∈Z ，∴a=9．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．
，解得
，∴9≤a ＜10．