孟生旺《金融数学》(第二版)练习题
( 2011. 1. 10 修订)
第1章 利息度量
1.1 现在投资$600,以单利计息,2年后可以获得$150的利息。如果以相同的复利利率投资$2000,试确定在3年后的累积值。
1.2 在第1月末支付314元的现值与第18月末支付271元的现值之和,等于在第T 月末支付1004元的现值。年实际利率为5% 。求T 。
1.3 在零时刻,投资者A 在其账户存入X ,按每半年复利一次的年名义利率 i 计息。同时,投资者B在另一个账户存入2X ,按利率 i (单利)来计息。假设两人在第八年的后六个月中将得到相等的利息,求i 。
1.4
1.5
1.6 如果年名义贴现率为6%,每四年贴现一次,试确定$100在两年末的累积值。 如果i (m ) 一项投资以δ的利息力累积,27.72年后将翻番。金额为1的投资以每两年复利一次的名义利率δ累积n 年,累积值将成为7.04。求n 。 =0.1844144,d (m ) =0.1802608,试确定m 。
1.7 基金A 以每月复利一次的名义利率12 %累积。基金B 以δt = t / 6的利息力累积。在零时刻,分别存入1到两个基金中。请问何时两个基金的金额
1
将相等。
1.8 基金A 以δt =a +bt 的利息力累积。基金B 以δt =g +ht 的利息力累积。基金A 与基金B 在零时刻和n 时刻相等。已知a >g >0,h >b >0。求
n 。
1.9 在零时刻将100存入一个基金。该基金在头两年以每个季度贴现一次的名义贴现率δ支付利息。从t = 2 开始,利息按照δt =11+t 的利息力支付。在t = 5时,存款的累积值为260。求δ。
21.10 在基金A 中,资金1的累积函数为t +1,t >0;在基金B 中,资金1的累积函数为1+t 。请问在何时,两笔资金的利息力相等。
21.11 已知利息力为δt =。 第三年末支付300元的现值与在第六年末支付600元的现值之和,等于第二年末支付200元的现值与在第五年末支付X 1+t
元的现值。求X 。
1.12 已知利息力为δt =t 3100。请求a (3)。 −1
1.13 资金A 以10%的单利累积,资金B 以5%的单贴现率累积。请问在何时,两笔资金的利息力相等。
1.14 某基金的累积函数为二次多项式,如果向该基金投资1年,在上半年的名义利率为5%(每半年复利一次),全年的实际利率为7%,试确定δ0.5。
t 2累积利息,其中t > 0。从时刻3到时刻6得到的全部利息为X ,1.15 某投资者在时刻零向某基金存入100,在时刻3又存入X 。此基金按利息力δ=t 100
求X 。
1.16 一位投资者在时刻零投资1000,按照以下利息力计息:
2
⎧ 0≤t ≤3⎪0.02t ,δt =⎪ ⎨⎪0.045, t >3⎪⎩
求前4年每季度复利一次的年名义利率。
1.17 已知每半年复利一次的年名义利率为7.5%,求下列两项的和:(1)利息力;(2)每季度贴现一次的年名义贴现率。
⎧kt , 0
11.19 已知利息力为δt =,一笔金额为1的投资从t =0开始的前n 年赚取的总利息是8。试求n 。 2+t
21.20 1996年1月1日,某投资者向一个基金存入1000,该基金在t 时刻的利息力为0.1(t −1) ,求1998年1月1日的累积值。
1.21 投资者A 今天在一项基金中存入10,5年后存入30,已知此项基金按单利11%计息;投资者B 将进行同样数额的两笔存款,但是在n 年后存入10,在2n 年后存入30,已知此项基金按复利9.15%计息。在第10年末,两基金的累积值相等。求n 。
2,2 ≤ t ≤10 。请计算在此时间区间的任意一年内,与相应利息力等价的每半年贴现一次的年名义贴现率。 1.22 已知利息力为δt =t −1
第2章 等额年金
2.1 某人想用分期付款的方式购买一辆现价为10万元的汽车,如果他首期支付一笔款项后,在今后的5年内每月末付款2000元即可付清车款。假设每月复利一次的年名义利率为8%,试计算他在首期付款的金额为多少。
3
2.2 某人将在10年后退休。他打算从现在开始每年初向一种基金存入2000元,如果基金的收益率为6%,试计算他在退休时可以积存多少退休金。
2.3 某人从2000年3月1日起,每月末可以领取200元,2010年5月末是最后一次领取。如果每月复利一次的年名义利率为6%,试计算:(1)年金的现值;(2)年金的终值;(3)年金在2005年12月31日的值。
2.4 某人在今后的20年内,每年初向一基金存入10000元。从第30年开始,每年末可以领取一笔退休金。该基金的收益率为6%。(1)如果限期领取20年,每次可以领取多少?(2)如果无限期地领下去(当他死亡后,由其继承人领取),每次可以领取多少?
2.5 某人留下了10万元的遗产,遗嘱规定,该笔遗产前5年的利息收入由其长子领取,第二个5年的利息由其次子领取,从第11年开始,剩余遗产全部归第三个儿子。如果年实际利率为8%,试计算三个儿子在该笔遗产中分别占多大份额?
2.6 如果年实际利率为i ,那么一笔在36年内每年末支付4000元的年金,与另一笔在18年内每年末支付5000元的年金将有相等的现值。试计算1000元的投资在年实际利率为i 时,经过多长时间可以翻番。
2.7 借款人原计划在每月末偿付1000元,用5年的时间还清贷款。每月复利一次的年名义利率为12%。如果他现在希望一次性支付60000元还清贷款,他应该在何时偿还?
2.8 投资者每月初往基金存入一笔款项,5年后可以积存到60000元。如果前2年每次存入1000元,后3年每次存入500元。试计算每月复利一次的名义利率。
2.9 投资者每年末向一基金存入2000元,如果在前2年的投资按6%的年实际利率计算,在后两年的投资按5%的年实际利率计算,投资者在第4年末可以积存多少价值?
2.10 一项10年期的年金,在前5年的每季度末付款1000元,后5年的每季度末付款2000元。如果年实际利率为5%,试计算该项年金的现值。
2.11 一项每3年末支付1元的永续年金,其现值为125/91,试确定年实际利率是多少?
2.12 某人将一笔遗产(每年末可以领取的永续年金)捐赠给了四家慈善机构A ,B ,C 和D 。在前n 年,每次领取的款项由A 、B 、C 三家平均分享,n n 年以后,剩余部分均由D 领取。试确定当(1 + i) 为多少时,A 、B 、C 、D 四家在该遗产中享有的现值相等。假设年实际利率为8%。
2.13 一项永续年金在每月初付款1元,如果每年结转四次利息的年名义利率为4%,试计算该项年金的现值。
4
2.14 一项永续年金在每月初付款1000
2.15 假设一笔10000元的贷款,计划从第5年开始在每年末偿还1000元,直至还清为止。如果年实际利率为5%,并要求将不足1000元的一次非正规付款提前在前一年末支付,试计算最后一次付款的时间和金额。
2.16 一项年金从2000年1月1日开始,每月末支付100元,支付60次;这项年金的价值等价于在第K 月末支付一笔6000元的款项。每月复利一次的名义利率为12%。求k 。
2.17 如果a =x ,a =y , 试将d 表示为x 和y 的函数。 n 2n
2.18 一位受益人获得了一笔人寿保险金,如果用这笔收入去购买一项10年期的期末付年金,每年末的付款为$1538;如果购买20年期的期末付年金,则每年末的付款为$1072。两者的年实际利率均为i ,求i 。
2.19 建立一个基金,在前两年每季度之初存入100,其后两年每季度之初存入200,若基金的名义利率为12%,每月复利一次。请计算第四年末的累积值为多少?
2.20 每半年复利一次的名义利率为i ,每两年末支付1元的永续年金的现值是5.89。试计算利率i 。
2.21 某人以年实际利率4%借款100元,并承诺分30次付清,后二十次的付款是前十次的2倍。在第十年末,他可以选择一次性付清全部剩余款项X ,这会使借款人在十年间获得的年实际利率为4.5%,求X 。
2.22 投资者在t =0和t =10时分别向一项基金投资12,这项基金以年实际利率i 计息。利息在年末支付,并以0.75i 的年实际利率进行再投资。在t =20时,再投资利息的累积值为64,求i 。
1,求的表达式。 2.23 如果利息力为常数δ=1+t
5
2.24 给定利息力δ=1
1+0.5t ,0≤ t ≤5,请计算s 5。
2.25 已知∫8d t =100。请计算
0。
2.26 如果3a (2) (2) (2)
|=2a 2|=45s 1|,试计算i 是多少?
2.27 当t 为多少时,在时刻t 支付1元相当于将这1元在时刻0与1之间连续支付?
2.28 已知=4,=12,求利息力。
2.29 证明下列关系式:
(1)m n =a m +a n v m
(2)s =s +(1+i ) m s
(3)=a (1+i ) n −s 0
(4)s m n =s m −a n (1+i ) m 0
(5)1
1−v 10=1s (s +1
10)
i
15
(6)∑(s ) =s
t =10−s 16−s 10−6
(7)a (m )
| 1。 (8)s 2n
s +s n −s 3n =1
n s 2n s 2n
6
(9)⎜−
⎛⎝d ⎞(1+i )=−1 δ⎟⎠
第3章 变额年金
3.1 某投资者在三十年内,每年年末向银行投资1。银行在每年末以年利率j 支付利息。投资者所得利息立即被再投资,再投资利率为年实际利率j 。这2些利息在三十年之间的积累值为72.88。求j 。
3.2 某人希望购买一项年金,该项年金在第一年末的付款为1000元,以后每年增加100元,总的付款次数为10次。如果年实际利率为5%,这项年金的现价应该是多少?
3.3 一项永续年金在第一年末支付1,第二年末支付2。这样增加下去直至第n 年末支付n ,然后一直维持每年支付n ,试确定此项年金的现值。
3.4 一项永续年金在第四年初支付2,第六年初支付4,第八年初支付6,第十年初支付8,年实际利率为10%,计算其现值X 。
3.5 在年实际利率为i 时下列两项年金的现值均为X :年金A 在每年末支付55,支付20年;
年金B 支付30年期,其中前10年每年末支付30,中间10年每年末支付60,最后10年每年末支付90。求X 。
3.6 一项9年期年金的一系列付款为1,2,3,4,5,4,3,2,1,第一次支付在第二年末,当年实际利率为i 时该年金的现值为22。一项10期年金的一系列付款为1,2,3,4,5,5,4,3,2,1, 第一次支付在第一年末,计算该年金在年实际利率i 下的现值。
3.7 一项年金在第一年末付款1元,以后每年增加1元,直至第n 年。从第n + 1年开始,每年递减1元,直至最后一年付款1元。试计算该项年金的现值是多少?
3.8 一项年金在第一年末的付款为1000元,以后每年增长10%,总的付款次数为10次。如果年实际利率为5%,这项年金的现值是多少?
7
(2)。 3.9 一项期末付年金,每半年的付款为800,750,700,…,350,i =0.16。若a 100.08=A ,试写出此年金的现值表达式(用A 表示)
3.10 一项永续年金,第5年和第6年末的付款为1,第7年和第8年末的付款为2,第9年和第10年末的付款为3,如此下去。计算其现值。
3.11 一项永续年金,从今日开始每6个月付款一次。第1次付款1,以后每次均比前次增加3%。若年实际利率为8%,试确定此项年金的现值。
3.12 一项永续年金,每四年末付款一次。第一次付款在第四年末,付款额为1。接下来的每一次付款都比上一次多5。请计算这项永续年金的现值,已知v 4=0.75。
3.13 小张在第一年的每个季度初存款1,第二年的每季度初存款2,以此类推,第八年的每季度初存款8。假设年实际利率为8%。在最后一笔存款之后的一个季度末,小张取出这项存款用于购买一项每年末均支付X 的永续年金。计算X 。
3.14 小张选择如下方式获得他的20年期退休金:从现在开始一个月后每月领取2000,月度退休金每年增加3%,每月复利一次的年名义利率为6%。计算该项退休金的现值。
3.15 每年初向基金中投入一笔资金,持续10年。前5次投资金额均为1000,从第6次开始以后每年递增5%。若基金的实际利率为8%,试确定第10年末的积累值。
3.16 投资者在时刻1收到400元,时刻2收到450元,时刻3收到500元,依此类推,直到最后一次收到900元,假设每个时期的实际利率为5%,请计算这些付款在时刻零的现值和在时刻12的终值。
3.17 一个现金流的付款如下:现在支付1000元,1年后支付1070元,2年后支付1140元,3年后支付1210元,依此类推,直到最后一次支付1700元。假设年实际利率为8%,试计算这个现金流在时刻零的现值和在第11年末的终值。
3.18 小张在第1年末收到500元,在第2年末收到480元,在第3年末收到460元,依此类推,直到最后一次收到400元,假设年实际利率为6%,试计算这个现金流在第1年初的现值和在第20年末的终值。
3.19 一个现金流如下:现在支付50元,此后每年比上一年减少10元直到第4年末,然后每年的付款又比前一年增加10元,直到第8年末。假设年实际利率为9%,试计算这个现金流在时刻零的现值。
8
3.20 小张需要在第10年末筹集到80000元,因此他现在投资X 元,在1年末投资X -500元,在第2年末投资X -1000元,直到第9年末投资X -4500元,假设年实际利率为6%,试计算X 的值。
3.21 某银行有一项特殊业务,如果现在存入银行X 元,银行将在第5年末返还3000元,在第6年末返还2900元,在第7年末返还2800元,依此类推,最后一次返还在第15年末。假设年实际利率为6%,试计算X 的值。
3.22 假设在第5年末投资200元,在第6年末投资400元,在第7年末投资600元,依此类推,最后一次投资发生在第15年末。年实际利率为5%,试计算这些投资在第20年末的终值。
3.23 一项连续支付的年金,第1年连续支付100元,第2年连续支付110元,第3年连续支付120元,依此类推,直到第10年连续支付190元。假设年实际利率为4%,试计算此年金在第10年的终值。
3.24 有一项连续年金,第1年连续支付100元,此后每一年比前一年减少5元,直到最后一次支付65元,假设年实际利率为7%,试计算此项年金在第10年的终值。
3.25 小张现在25岁,他希望在他65岁到90岁之间每年领取养老金,第一次是在他65岁生日时领取15000元,之后领取的金额每年比前一年增加3%,假设年实际利率为5%,试计算小张现在要投资多少钱才能满足他的养老金领取需求。
3.26 一项10年期连续年金,在时刻t 的支付率为,假设利息力为,试求此项年金在时刻零的现值。 ρt =4t +3δt =0.03+0.04t
3.27 一个现金流从时刻5到时刻10连续付款,在时刻t 的支付率为
的利息力为ρt =1.2t 2+2t ,时刻零到时刻5的利息力为δt =0.004t +0.01,时刻5到时刻10δt =0.0006t 2+0.001t ,试计算此现金流在时刻零的现值。
3.28 小张从第1年到第7年每年末投资Z 元,年实际利率为3%,然后又将每年末的利息进行再投资,再投资利率为5%。在第7年末的终值为X 元。小王从第1年到第14年每年末投资Z 元,年实际利率为2%,然后又将每年末的利息进行再投资,再投资利率为3.5%。他在第14年末的终值为Y 。试计算Y/X。
3.29 一项期末付永续年金,前5年的付款均为20元,从第6年开始,付款每年比上一年增长k %。假设年实际利率为9%,此项永续年金的现值为335 9
元,试计算k 的值。
3.30 一项连续年金,其在时刻t 的支付率为9k +tk ,其中0≤t ≤10,利息力为1,在10年后,此项年金的价值25000元,试计算k 的值。 δt =9+t
3.31 一项15年期的年金,在第1年末给付300元,第2年末给付280元,第3年末给付260元,直到给付金额减少到160元,然后每年的给付金额保持160元不变,直到15年末,假设年实际利率为5%,试计算此项年金在时刻零的现值。
第4章 收益率
4.1 某项目的初始投资为50000元,并将产生如下净现金流入:第1年末15000元,第2 年末40000元,第3年末10000元。求该项目的收益率。
4.2 投资者将10000元存入一家银行,期限为10年,年利率为5%。如果在五年半之内取款,银行将扣除取款额的6%作为罚金。投资者分别在第4、5、6、7年末取款k 。10年末,这笔存款的余额为10000元。求k 。
4.3 一个投资账户的有关信息如下:
2006.1.1 2006.5.1 2006.9.1 2007.1.1 时间 50000 75000 90000 67000 余额(投入或支取之前) 15000 投入
25000 支取
请计算该账户的币值加权收益率和时间加权收益率之差。
4.4 两项基金的有关信息如下:
基金 X
日期 投入 支取 投入/支取之前的基金余额
2003.1.1 50000
10
2003.3.1 55000
2003.5.1 24000 50000
2003.11.1 36000 77310
2003.12.31 43100
基金 Y
日期 投入 支取 投入/支取之前的基金余额
2003.1.1 100,000
2003.7.1 15,000 105,000
2003.12.31 F
基金Y 在2003年的时间加权收益率等于基金X 在2003年的币值加权收益率。求F 。
4.5 某人2006年1月1日在一个账户投资了100元。该年的其他投资信息如下:
2006.4.19 2006.10.30
90 110 投入之前的余额
X X 投入金额
假设该账户在2007年1月1日的余额为120元。该账户在2006年的币值加权收益率是0%,时间加权收益率是y 。计算y 。
4.6 1月1日,一个投资账户的余额为100元。4月1日,余额上升为120元,又存入D 。10月1日,余额为100 ,又取出50元。第2年的1月1日,账户余额为65元。假设该账户的时间加权收益率为0%,请计算币值加权收益率。
4.7 2008年1月1日,某投资者向基金投入1000元,第二笔投资发生在2008
基金在过去一年的时间加权收益率为10%,币值加权收益率为9%
4.8 某账户在1月1日的账面余额为75元,12月31日的账面余额为130元。每月末存入该账户的资金为10元,并分别在2月28日,6月30日,10月15日和10月31日从账户中取走了5元、25元、8元和35元。求该账户在这一年中的币值加权收益率。
4.9 某投资者于1月1日在一个账户中投资50元,下表为该投资账户一年中的余额变化:
日期 投资前的余额 新增投资额
3月15日 40 20 11
6月1日 80 80
10月1日 175 75
6月30日,账面余额为157.50元,12月31日,账面余额为X 。如果把前六个月的时间加权收益率用年实际收益率表示,则其等于全年的时间加权收益率。求X 。
4.10 某投资基金在年初的余额为20000元。在每季度末,收到一笔新增投资1000元。在这些现金流发生之后的基金价值为23000,24800,25000及25100元。请计算该基金的时间加权收益率。
4.11 一个投资者购买了一项5年期的金融产品,该产品满足下述条件:(1) 该投资者在5年内的每年初可以获得1000元;(2) 这些款项将按年利率4%计息,并在每年末,所获利息又以3%的年利率进行再投资。如果该投资者需要获得4%的年收益率,请计算该投资者应该支付的购买价格。
4.12 某投资者在20年内每年初向银行存入500元,银行以i %的年利率在每年末支付利息。这些利息以(i /2)%的年利率进行再投资。整个投资在20年中的年实际收益率为8%。请计算i 。
4.13 投资者A 以年利率10%投资1000元,期限为10年。每年末支付利息,利息以年利率i 进行再投资。10年末,利息的积累值为1500元。投资者B 在20年的每年末投资150元,年利率为12%。每年末支付利息,利息以年利率i 进行再投资。求20年后B 的利息积累值。
4.14 某投资者的初始投资为12,10年末又投资12,这些投资以年实际利率i 计息。利息按年度支付,并以0.75i 的年实际利率进行再投资。在20年末,再投资利息的积累值为64元,求i 。
4.15 某投资人分别在 1999年, 2000年和2001年的年初投资了1000元。请根据下表的数据计算该投资者在2001日历年度所获得的利息。
投资年度利率 投资组合利率 投资组合利率的原始投资的
日历年度y +2日历年度y i 1y i 2y i y +2
1999 9.00% 10.00% 11.00% 2001
2000 7.00% 8.00%
2001 5.00%
4.16 假设市场的无风险利率为5%,债券A 的面值为1000元,期限为一年,违约概率为1%,如果发行人希望按面值发售债券,试计算该债券的息票率至少应为多少?如果投资者要求购买该债券的期望收益等于8%的无风险利率所产生的收益,试计算息票率应为多少?
12
第5章 债务偿还
5.1 一笔贷款在n 年内分期偿还,每年末的偿还金额为X 元,n > 5,且已知:
(1)第一期付款的利息金额为604.00元。
(2)第三期付款的利息金额为593.75元。
(3)第五期付款的利息金额为582.45元。
试计算X 。
5.2 一笔35年期的贷款以等额分期方式偿还,每年末偿还一次。第8次分期付款的利息金额为135元。第22次分期付款的利息金额为108元。请计算第29次分期付款的利息金额。
5.3 一笔10000元的30年期贷款,年实际利率为5%,以等额分期方式偿还,每年末偿还一次。试求分期付款中利息金额最接近于付款金额三分之一的年份。
5.4 一笔10年期的贷款,在每年末偿还R 元。已知:
(1)在头3年中,偿还的本金金额总和为290.35。
(2)在最后3年中,偿还的本金金额总和为408.55。
请计算在整个偿还期内,支付的利息金额为多少。
5.5 按年实际利率i 偿还一笔1000元的贷款。已知:
(1)在第6年末偿还第一笔款项。
(2)然后每年末等额偿还一次,在第15年末可以偿清这笔贷款(即一共偿还10次)。
(3)在第10年末的付款结束后,未偿还本金余额为908.91。
试计算第5年末的未偿还本金余额。
13
5.6 一笔20000元的贷款,期限为4年,年实际利率为8%。借款人必须在每年末偿还1600元的利息,并建立一笔偿债基金用于清偿贷款本金,偿债基金的利率与贷款利率相同。试计算下列各项:
(1)借款人第2年末向偿债基金的储蓄额;
(2)偿债基金在第2年末的余额;
(3)第2年末的贷款净额。
5.7 假设偿债基金的年实际利率为7%,重新计算5.6题的有关结果。
5.8 有两笔贷款的本金均为20000元,期限均为4年,但偿还方式不同。第一笔贷款采用偿债基金方式,贷款利率为8%,偿债基金利率为7%。第二笔贷款采用等额分期偿还方式。试计算当第二笔贷款的利率为多少时,两笔贷款对借款人而言是等价的。
5.9 一笔10年期的贷款在每年末偿还一次,年贷款利率为5%。第一次的付款为200元,后来的每笔付款均比前一年多10 元。请计算第5次付款的利息是多少。
5.10 一笔125000元的30年期贷款在每月末偿还一次,每年的月偿还金额相等。每一年的月偿还额较前一年高出2%。第一年的月偿还额为R 元,年实际利率为5%,求R 。
5.11 银行有一笔10000元的20年期贷款,该笔贷款在每年末偿还1000元。如果银行把每次的偿还额立即按5%的实际利率进行再投资,试确定银行在这20年的实际年收益率。
5.12 一笔金额为A 的n 年期贷款,在每年末偿还1,年利率为i 。若所有分期付款的本金部分的现值之和为P 。求(Ia ) 的表达式。
5.13 某人有一笔55000的抵押贷款,每月末需偿还500.38,共需偿还n 年。每月复利一次的年名义利率为i 。借款人因故没有偿还第一期付款,但其余各笔均按时偿还了。由于没有偿还第一期付款,故在第n 年末还欠3077.94。试计算利率i 。
5.14 某人自2000年1月1日起以年实际利率5%偿还一笔20000元的30年期贷款,每年末偿还一次。该人自2010年1月1日起又以年实际利率7%偿还另一笔10000元的20年期贷款,也在每年末偿还一次。试计算在2010年偿还的两笔贷款的本金之和。
5.15 一笔50000的贷款分10次按年偿还。第一笔付款X 在贷款后6个月末支付,以后每隔一年偿还一次,每次的偿还金额均为2X 。假设前4.5年的年实际利率是5%,随后变为3%。试计算X 。
14
5.16 一笔1000元的贷款将以每月复利一次的名义利率12%计息,在6个月内的每月末分期偿还。前三次每次支付X ,后三次每次支付3X 。试求第三次支付的本金金额与第五次支付的利息金额。
5.17 一笔1000000元的30年期贷款将按月等额偿还,每月末偿还一次,每月复利一次的名义利率为X %。在第69期的还款额中,利息金额占94.473%, 在第70期的还款额中,利息金额占94.418%。 试求X 。
5.18 一笔1000元的30年期贷款按年分期偿还,每年末偿还一次,年实际利率为8%。前10期的偿还金额均等于应付利息,第11至20期的偿还金额等于应付利息的两倍,后10期的偿还金额等于X 。试求X 的值。
5.19 一笔15年期的贷款,年还款额为1000元,年实际利率为5%。在第5次还款之后调整了偿还方式。调整后,第6次偿还800元,第7次偿还(800+K )元,以后每次付款比前一次均增加K ,还款期不变。求调整后的最后一次偿还额。
5.20 两笔金额相等的30年期贷款,均以8%的利率按年分期偿还,每年末偿还一次。贷款L 将等额分期偿还。贷款N 每期偿还的本金金额相等,同时根据未偿还本金余额支付相应的利息。在第t 年末,贷款L 的偿还额首次超过贷款N ,求t 。
5.21 一笔8000元的10年期贷款按年偿还,每年末偿还一次,年利率为7%。偿还4次以后,借款人要求分4次偿还剩余的债务。新的偿还方式使贷款人在整个8年期获得了8%的年收益率。试确定调整偿还方式以后,借款人增加了多少付款。
5.22 一笔100000元的30年期贷款,偿还方式满足下述条件:
(1)第一年末偿还X 元。
(2)后来的19年,每年末的偿还金额要比上一年增加100元。在最后十年,各年的偿还额保持在前一年的水平不变。
(3)年实际利率为5%。
求X 。
5.23 某人从银行获得一笔贷款,期限为4年,年实际利率为8%。借款人用偿债基金方法偿还,每年末支付的总金额(包括当期的利息和向偿债基金的储蓄两部分)依次为2000元,3000元,4000元,5000元,偿债基金的年实际利率为7%。试计算贷款本金为多少?
5.24 一笔10000元的贷款,期限为5年,年实际利率为8%。借款人必须在每年末向贷款人支付当年的利息800元,并每隔半年向偿债基金储蓄一次。该偿债基金每年结转4次利息的年名义利率为6%,试计算下列各项:
15
(1)借款人第2年末向偿债基金的储蓄额;
(2)偿债基金在第2年末的余额;
(3)第2年末的贷款净额。
第6章 债券和股票
6.1 债券的面值为1000元,年息票率为5%,期限为5年,到期按面值偿还。假设现行的市场年利率为6%,试计算下列各项:
(1)债券的价格
(2)第二年末的账面值
(3)第二年的利息收入
债券的面值为1000元,息票率为6%,期限为5年,到期按面值偿还。投资者所要求的收益率为8%,试计算债券在购买9个月后的价格和账面值。 6.2
6.3
6.4
债券的面值为1000元,期限为5年,到期按面值偿还,年息票率为6%。如果发行价格为950元,试计算该债券的收益率。 假设6.3题中的息票收入只能按5%的利率投资,试重新计算该债券的收益率。
6.5 一种面值为100的100年期债券,到期按面值偿还。已知该债券第一个十年的年息票率为10%,第二个十年的息票率为9%,第三个十年的息票率为8%,…,最后一个十年的息票率为1%。如果年收益率为5%时,求该债券的购买价格。
6.6 一种在年末分红的股票,当年的利润为J ,利润在今后的每一年内都会以10%的速度增长,在接下来的五年内没有分红,五年后将每年利润的50%分红,如果实际收益率为21%,请计算投资者的理论购买价格。
16
6.7 一家公司利润的季度增长率为2%,每季度该公司打算拿出利润的30%作为股票的分红。在某个季度初,一个投资者购买了此公司的股票以获得10%的年收益率(每半年复利一次)。该股票的第一次分红是在该季度末,分红金额为3.00。请计算该股票的理论价格。
6.8
6.9 已知下述债券有相同的收益率且面值均为1000:
(1)一种10年期债券,年息票率为8%,每半年支付一次息票,债券的折价为X
(2)一种10年期债券,年息票率为9%,每半年支付一次息票,债券的溢价为Y
(3)一种10年期债券,年息票率为10%,每半年支付一次息票,债券的溢价为2X
请计算Y 的值。
一种n 年期附有8%年度息票率的债券,面值为1000。此债券在第三年末的账面值为1099.84,在第五年末的账面值为1082.27。求此债券的价格。
6.10 一个卖空的投资者以每股10的价钱出售500股股票。一年后,每股的价钱降到7.50,此时该投资者补进500股该股票。假设交易保证金为50%,保证金的利率为5%。该股票在每季度每股分红0.1。请计算该投资者卖空的收益率。
6.11 某投资者在年初购买了两种债券。债券X 是14年期的债券,面值为1000,年息票率为10%,年收益率为8%。债券Y 是14年期的债券,面值为F ,年息票率为6%,购买价格为P ,年收益率也为8%。在第六年,债券X 的账面调整值等于债券Y 的账面调整值(注:这里的账面调整值是指年初账面值和年末账面值之差的绝对值),请计算P 的值。
6.12 在2002年1月1日购买了一支普通股票,它将在2011年12月31日之前每年末分红15,从2012年开始,分红每年增加K %,K
6.13 一项面值为1000元的债券,年息票率为8%,每半年支付一次息票,到期偿还1100元。以价格P 购买此债券将产生6%的年收益率(每半年复利一次)。偿还值的现值为190,求价格P 。
6.14 三种债券有同样到期偿还值和到期时间。第一种债券的年息票为40,以价格P 出售;第二种债券的年息票为30,以价格Q 出售;第三种债券的年息票为80。所有的价格计算都基于相同的收益率,并且所有的息票具有相同的支付频率。求第三种债券的价格。
17
6.15 一项10年期债券的面值为1000元,年息票率为r , 每年末支付一次息票,偿还值为1100。如果以价格P 出售,将产生4%的年实际收益率;如果以价格(P − 81.49)出售,将产生5%的年实际收益率; ;如果以价格X 出售,将产生 r 的年实际收益率。请计算X 。
6.16 债券的面值为10000元,年息票率为6%,每半年末支付一次息票。债券在到期前2年零4个月被出售。售价将使购买者获得4%的年名义收益率(每半年复利一次)。请确定理论方法和半理论方法计算的债券价格差异。
6.17 债券的期限为20年,面值为1000元,在每年末支付息票,到期偿还1050。如果以价格P 出售可以产生8%的年实际收益率。第一次支付的息票为50,以后每次支付的息票比上一次增长3%。求价格P 。
6.18 投资者购买了一个面值为1000元的10年期债券,息票率为8%,每半年末支付一次息票。如果债券在到期时按面值偿还,将产生7%的名义收益率(每半年复利一次)。如果债券在第5年末被赎回,为了保证产生相同的收益率,最小的赎回值为X 。求X 。
第7章 远期、期货和互换
7.1 假定X 公司的股票是60元并且不派发股利,年实际利率是10%。请画出该股票多头的回收图和盈亏图。并请验证如果1年后的股票价格是66元,则盈亏为零。
7.2 应用7.1题的信息,画出该股票空头的回收图和盈亏图。请验证当一年后的价格是66元时,盈亏为零。
7.3 假定A 公司的股票今天是105元,并且预期每季度派发股利1.70元,第一次是在3个月以后,最后一次恰在交割股票前。无风险连续复利利率是
1.5%。如果要求现在支付远期合约的价格,请计算该股票一年期的远期价格(即预付远期的价格)是多少?
7.4 如果股票的价格是105元,每日复利一次的年名义收益率是2%,日股利是多少?如果我们在年初持有一单位股票,假设股利收益全部再投资于该股票,年末将会持有多少单位的股票?如果想在年末持有一单位股票,那么在年初我们应该投资多少?
7.5 股票的价格是70元,连续复利率是6%。(1)如果股利为零,6个月期的远期价格是多少?(2)如果1年期的远期价格是72元,年度的连续股利 18
收益率是多少?
7.6 X 公司股票的现货价格是105元,无风险连续复利利率是6%,该股票在未来一年没有分红。针对下列两种情况,你将如何进行套利?
(1)假定你观察到6个月的远期价格是115元。
(2)假定你观察到6个月的远期价格是107元。
7.7 如果1年期和2年期的远期石油价格分别为23美元/桶和24美元/桶,且1年期和2年期的即期利率分别是5% 和5.5%。则2年期的互换价格是多少?
7.8 如果1年期、2年期和3年期的石油远期价格分别是每桶22美元、23美元和24美元。即期利率分别为:1年期5%,2年期5.5%,3年期6%。请计算:(1)3年期的互换价格是多少?(2)开始于一年后的一个2年期的互换价格是多少?
7.9 考虑7.8中3年期的石油互换。如果一个交易商支付固定价格并收到浮动价格。在这个仓位中,什么样的石油远期合约将对石油价格风险套保?请验证锁定的净现金流的现值为零。
7.10 在7.9题中,如果作为固定价格的支付者,在第一次互换结算后相对于远期价格多支付了多少?第二次互换结算后累积多支付了多少?第三次后呢?
第8章 期权
8.1
8.2
8.3 假定一份1年期的远期合约,价格是60元。1年后当股票价格分别是50元、55元、60元、65元和70元时的回收各是多少? (2)假定买进一份1年期的执行价格是60元的看涨期权,如果1年后标的资产具有和上面同样的价格时,该看涨期权的回收是多少? (1)假定在远期价格是60元时做空一份远期,那么1年后当股票价格分别是50元、55元、60元、65元和70元时的回收各是多少? (2)假定买进一份1年期的执行价格是60元的看跌期权,如果1年后标的资产具有和上面同样的价格,该看跌期权的回收是多少? 假定X 公司的股票不派发股利且现在的价格是60元。1年后交割的远期价格是63元。如果买进股票或远期合约都没有什么好处,那么1年期的实 19
际利率是多少?
8.4 假定股票的当前价格是105元,年实际利率为6%。请计算并画出以下期权的回收图和盈亏图:
(1)期权费为8.57元,执行价格为100元的看涨期权。
(2)期权费为5.67元,执行价格为105元的看涨期权。
(3)期权费为3.53元,执行价格为110元的看涨期权。
8.5 假定股票的当前价格是105元,年实际利率为6%。请计算并画出以下期权的回收图和盈亏图:
(1)期权费为0.98元,执行价格为100元的看跌期权。
(2)期权费为2.71元,执行价格为105元的看跌期权。
(3)期权费为5.20元,执行价格为110元的看跌期权。
8.6 以100元买进A 公司股票,同时买进一个执行价格为105元的1年期的看跌期权,看跌期权的期权费为7.20元,实际年利率是5%。试计算此仓位的回收和盈亏。
8.7 以105元做空A 公司的股票,并卖出一个执行价格为105元的1年期的看跌期权,该期权的期权费为7.20元,实际年利率是5%。试计算此仓位回收和盈亏。
8.8 年实际利率是5%,A公司股票的1年期的远期价格是105元,1年后到期的股票的期权费如下表:
执行价格 看涨期权 看跌期权
95 10.45 0.93
100 8.11 3.35
105 7.20 7.20
110 5.12 9.88
115 3.60 13.12
假定以100元买进A 公司的股票,并买进一个执行价格为95元的看跌期权,构造这个仓位的回收表和盈亏表。请验证:用90.48元购买零息债券,并买进一个执行价格为95元的看涨期权,可以得到与前述仓位相同的回收和盈亏。
8.9 应用8.8题的有关数据。假定以100元做空A 公司的股票,并买进一个执行价格为95元的看涨期权,请构造这个仓位的回收和盈亏表。请验证:借入90.48元,并买进一个执行价格为95元的看跌期权,可以得到与前述仓位相同的回收和盈亏。
20
8.10 应用8.8题的有关数据。假定以100元做空A 公司的股票,并买进一个执行价格为105元的看涨期权,请构造这个仓位的回收表和盈亏表。请验证:借入100元,并买进一个执行价格为105元的看跌期权,可以得到与前述仓位相同的回收和盈亏。
8.11 应用8.8题的有关数据。请验证下面两笔交易具有相同的盈亏和回收:(1)以100元买进A 股票;(2)买进一个执行价格为95元的A 股票的看涨期权,卖出一个执行价格为95元的看跌期权,并贷出90.48元。
8.12 应用8.8题的有关数据。请验证下面两笔交易具有相同的盈亏和回收:(1)以100元做空A 股票;(2)卖出一个执行价格为105元的A 股票的看涨期权,买进一个执行价格为105元的看跌期权,并借入100元。
8.13 应用8.8题的有关数据。假定1年期的看涨期权的期权费是9.31元,在相同执行价格上的看跌期权的期权费是1.69元,试求这个执行价格是多少?
8.14 应用8.8题的有关数据。买进一个执行价格为95元的股票看涨期权,并卖出一个执行价格为100元的股票看涨期权,请构造该投资策略的回收图和盈亏图。请验证:买进一个执行价格为95元的股票看跌期权和卖出一个执行价格为100元的看跌期权可以得到相同的盈亏。看涨期权和看跌期权的差价组合的回收之差是如何产生的?
8.15 应用8.8题的有关数据。买进一个执行价格为105元的股票看涨期权,并卖出一个执行价格为95元的股票看涨期权,请构造该投资策略的回收图和盈亏图。请验证:买进一个执行价格为105元的股票看跌期权和卖出一个执行价格为95元的看跌期权可以得到相同的盈亏。这些仓位的初始成本之差是多少?
8.16 应用8.8题的有关数据。假定买进一个执行价格为95元的看跌期权和卖出一个执行价格为105元的看涨期权。画出这个仓位的盈亏图。净期权费是多少?如果要在保持看跌期权的执行价格为95元时构造一个零成本的衣领,应该如何改变看涨期权的执行价格?
8.17 应用8.8题的有关数据。如果投资100元在A 股票上,买进一个执行价格为95元的看跌期权并卖出一个执行价格为115元的看涨期权。画出这个仓位的盈亏图。如何变化可以实现一个零成本衣领?
8.18 应用8.8题的有关数据。计算并画出下列仓位的盈亏图:
(1) 执行价格为105元的A 股票跨式;
(2) 签出执行价格为95元的A 股票跨式;
(3) 同时执行(1)和(2)交易。
21
8.19 应用8.8题的有关数据。买进一个执行价格为95元的看涨期权和卖出一个执行价格为100元的看涨期权,卖出一个执行价格为95元的看跌期权和买进一个执行价格为100元的看跌期权。
(1) 验证这一系列交易不存在A 股的价格风险;
(2) 这个仓位的初始交易成本是多少?
(3) 1年后该仓位的价值是多少?
8.20 应用8.8题的有关数据。计算下列比率差价组合的盈亏:
(1) 买进一个执行价格为95元的看涨期权,卖出两个执行价格为105元的看涨期权。
(2) 买进两个执行价格为95元的看涨期权,卖出三个执行价格为105元的看涨期权。
(3) 买进n 个执行价格为95元的看涨期权和卖出m 个执行价格为105元的看涨期权,使得该仓位的期权费为零,这时n/m满足什么条件?
8.21 应用8.8题的有关数据。计算并分别画出下列交易的盈亏图:
(1) 买进一个95元的看涨期权,卖出两个100元的看涨期权,买进105元的看涨期权。
(2) 买进一个95元的看跌期权,卖出两个100元的看跌期权,买进105元的看跌期权。
(3) 买进股票,买进95元的看跌期权,卖出两个100元的看涨期权,买进105元的看涨期权,其中股票的价格是90.47元。
从盈亏图中可以看出上述交易组合是哪种衍生产品?
8.22 假设股票没有红利支付,股票的现价为50元,该股票欧式看跌期权的执行价格为50元,有效期为3个月,无风险年收益率为10%,年波动率为30%。请计算该股票欧式看跌期权的价格。
8.23 在8.24题中,如果股票在两个月后预期支付的红利为1.5元,请重新计算该股票欧式看跌期权的价格。
8.24 一个无红利股票的欧式看跌期权,有效期为3个月,目前的股票价格和执行价格均为50美元,无风险年利率为10%,波动率为每年30%,请按时间间隔为一个月来构造二叉树模型,为期权定价。
8.25 一个两个月期基于某股票指数的欧式看涨期权,执行价格为500,目前的指数为495,无风险年利率为10%,指数红利率为每年4%,波动率为每年25%。构造一个四步(每步为半个月)的二叉树树图,为期权定价。
22
第9章 利率风险
9.1 假设n 年期债券的年名义息票率等于年名义收益率,均为y (m ) 。 ,请证明该债券的马考勒久期为MacD =a (m )
9.2 某15年期的零息债券到期支付1000,该债券每月复利一次的年名义收益率为12%。试计算该债券的修正久期。
9.3 假设年实际收益率为10%,试计算5年期零息债券的修正久期。
9.4 已知年息票率为5%的10年期债券的年实际收益率为6%, 试计算该债券的修正久期。
9.5 已知年息票率为6%的四年期债券的实际收益率为3%,试计算该债券的修正久期。
9.6 某20年期的零息债券到期支付1000,该债券的年名义收益率为12%,每年复利2次。试计算该债券的修正久期。
9.7 某2年期债券年息票率为10%,每半年付息一次,债券到期后按面值偿还。该债券的年名义收益率为12%,每年复利2次,试计算该债券的修正久期。
9.8 某30年期债券年息票率为8%,每半年付息一次,债券到期后按面值偿还。该债券的年名义收益率为8%,每年复利2次。试计算该债券的修正久期。
9.9 已知当收益率为8%时,某20年期债券的价格为125.31。当收益率下降为7.75%时,该债券的价格将上升至127.64。当收益率上升至8.25%时,该债券的价格将降为122.95。试计算该债券的有效久期。
9.10 已知某10年期债券的价格为75.98,年息票率为6%,收益率为8%,马考勒久期为8.517。试计算当收益率下降为7.85%时该债券的价格。
9.11 某5年期债券年息票率为8.0%,每半年付息一次。已知现在的收益率为7.0%时,债券的价格为104.876。当收益率上升50个基点时,该债券的价格将下降为100.214. 。当收益率下降50个基点时,该债券的价格将上升为109.573。试计算该债券的有效久期和有效凸度。
23
9.12 利用习题9.11计算得到的有效久期和有效凸度,试估计当收益率上升100个基点时债券的新价格。
9.13 一项永续年金在每年年末支付1,年实际收益率为6%,试计算该永续年金的价格、修正久期和凸度。
9.14 某10年期债券的修正久期为8.67,凸度为43.51。试估计当债券价格上升50个基点时,债券价格变化的百分比。
9.15 某保险公司已确认在10年末将有一笔15000元的债务支出,为了偿还这笔负债,该公司计划将3473.95元投资于5年期的零息债券,将3473.95元投资于15年期的零息债券。所有债券和负债的年实际收益率均为8%。请问该公司的投资策略是否能达到免疫的目的。
9.16 某保险公司已确认在5年末将有一笔20000的债务支出,为了偿还这笔负债,该公司可供选择的投资方案只有购买4年期零息债券和10年期零息债券。所有债券和负债的年实际收益率均为10%。为了达到免疫的目的,该公司应如何分配在这两种债券上的投资?
9.17 公司未来负债的现金流如下表所示:
年度 1 2 3 4 5
1794 6744 144 3144 负债的现金流 824
可供该公司投资的资产如下:
(1)年息票率为5%的1年期债券;
(2)年息票率为10%的2年期债券;
(3)年息票率为4%的4年期债券;
(4)年息票率为3%的5年期债券;
每种债券的面值均为100元,年实际收益率为5%。
如果该公司打算通过现金流匹配策略管理利率风险,请计算应该如何购买这三种债券?
24
第10章 利率的期限结构
10.1 假设各债券的面值均为100元,收益率与息票率如下表所示,请计算各债券的价格。
到期日 年息票率 实际年收益率
1 11.00% 8.00%
2 5.00% 9.00%
3 15.00% 10.00%
10.2 给定以下各年的即期利率。请计算年息票率为10%,面值为100元的3年期债券的价格。
时间实际年即期利率1 5.000%
2 6.000% 3 8.000%
10.3 根据题10.1的收益率曲线,计算1年、2年和3年期的年即期利率。
10.4 根据题10.3计算的即期利率,请计算可应用于第1、2、3年的远期利率f 0、f 1、f 2。
10.5 假设5年期的即期利率为r 5 = 8%,请根据下表的收益率曲线,计算每年支付40元的5年期期初付年金的现值。
到期日年息票率 年实际收益率
1 5.000% 4%
2 7.000% 5%
3 8.000% 5.5%
4 6.000% 6%
5 10.000% 7%
10.6 给定以下远期利率表。求年息票率为10%,面值为100元的3年期债券的价格。
t f t 0 7%
25
1 5% 2 10%
10.7 由下表所示的平价收益率曲线,计算可应用于第1、2、3年的远期利率f 0, f 1, f 2。
到期日年息票率 实际的年收益率
1 4.000% 5.000%
2 6.000% 7.000%
3 8.000% 9.000%
10.8 根据下表给定的远期利率,请计算1年、2年和3年期的即期利率。
t f t 0 6.000%
1 5.000% 2 10.000%
10.9 下表是3个支付年息票债券的收益率,年息票率未知。请计算1年期、2年期和3年期的即期利率。
到期日 年息票率 实际年收益率
1 x 20%
2 y 20%
3 z 20%
10.10 利用题10.9的信息,计算可应用于第1,2,3年的远期利率f 0、f 1、f 2。
10.11 支付年息票债券的价格如下表所示,请计算年息票率为15%,面值为100元的3年期债券的价格。
到期日 年息票率 100元面值债券的价格
1 10.000% 106
2 5.000% 95
3 9.000% 102
10.12 假设5个零息票债券的价格如下表所示,请确定适用于3到4年的实际年远期利率f 3的值。
26
到期日每100元面值债券的价格1 96
2 91
3 82
4 75 5 65
10.13 假设1年期的即期利率为5%。适用于1到2年的远期利率f 1为7%。支付年息票的3年期的平价债券的实际年收益率为8%。求3年期的即期利率。
10.14 年息票率为6%的2年期债券的实际年收益率为10%,其面值为100元。1年期的即期利率为7.0%,2年期的即期利率为9.0%。请确定一个投资策略,使得通过买入或卖出1个该2年期债券获得无风险的套利收益。
10.15 年息票率为12%的1年期债券的实际年收益率为12%。年息票率为10%的2年期债券的实际年收益率为15%。各债券的面值均为100元。
(1)请计算2年期的即期利率r 2。
(2)某投资者希望按(1)中计算的即期利率r 2投资1000元,投资期限为两年。假设投资者无法找到愿意接受该笔投资的机构,请问如何通过买入或卖出上述1年期和2年期的债券实现投资者的目标收益。
10.16 假设题10.15中的投资者找到了愿意接受1000元两年期投资的机构,且该机构愿意为这项两年期投资支付20%的利率。由题10.15计算的2年期即期利率,投资者意识到存在套利机会。投资者找不到一个机构愿意按题10.15计算的2年期即期利率提供贷款,但可以买入或卖出前述的1年期和2年期债券。请确定一个投资策略,使得投资者可以获得35元的套利收益。
27
孟生旺《金融数学》(第二版)练习题
( 2011. 1. 10 修订)
第1章 利息度量
1.1 现在投资$600,以单利计息,2年后可以获得$150的利息。如果以相同的复利利率投资$2000,试确定在3年后的累积值。
1.2 在第1月末支付314元的现值与第18月末支付271元的现值之和,等于在第T 月末支付1004元的现值。年实际利率为5% 。求T 。
1.3 在零时刻,投资者A 在其账户存入X ,按每半年复利一次的年名义利率 i 计息。同时,投资者B在另一个账户存入2X ,按利率 i (单利)来计息。假设两人在第八年的后六个月中将得到相等的利息,求i 。
1.4
1.5
1.6 如果年名义贴现率为6%,每四年贴现一次,试确定$100在两年末的累积值。 如果i (m ) 一项投资以δ的利息力累积,27.72年后将翻番。金额为1的投资以每两年复利一次的名义利率δ累积n 年,累积值将成为7.04。求n 。 =0.1844144,d (m ) =0.1802608,试确定m 。
1.7 基金A 以每月复利一次的名义利率12 %累积。基金B 以δt = t / 6的利息力累积。在零时刻,分别存入1到两个基金中。请问何时两个基金的金额
1
将相等。
1.8 基金A 以δt =a +bt 的利息力累积。基金B 以δt =g +ht 的利息力累积。基金A 与基金B 在零时刻和n 时刻相等。已知a >g >0,h >b >0。求
n 。
1.9 在零时刻将100存入一个基金。该基金在头两年以每个季度贴现一次的名义贴现率δ支付利息。从t = 2 开始,利息按照δt =11+t 的利息力支付。在t = 5时,存款的累积值为260。求δ。
21.10 在基金A 中,资金1的累积函数为t +1,t >0;在基金B 中,资金1的累积函数为1+t 。请问在何时,两笔资金的利息力相等。
21.11 已知利息力为δt =。 第三年末支付300元的现值与在第六年末支付600元的现值之和,等于第二年末支付200元的现值与在第五年末支付X 1+t
元的现值。求X 。
1.12 已知利息力为δt =t 3100。请求a (3)。 −1
1.13 资金A 以10%的单利累积,资金B 以5%的单贴现率累积。请问在何时,两笔资金的利息力相等。
1.14 某基金的累积函数为二次多项式,如果向该基金投资1年,在上半年的名义利率为5%(每半年复利一次),全年的实际利率为7%,试确定δ0.5。
t 2累积利息,其中t > 0。从时刻3到时刻6得到的全部利息为X ,1.15 某投资者在时刻零向某基金存入100,在时刻3又存入X 。此基金按利息力δ=t 100
求X 。
1.16 一位投资者在时刻零投资1000,按照以下利息力计息:
2
⎧ 0≤t ≤3⎪0.02t ,δt =⎪ ⎨⎪0.045, t >3⎪⎩
求前4年每季度复利一次的年名义利率。
1.17 已知每半年复利一次的年名义利率为7.5%,求下列两项的和:(1)利息力;(2)每季度贴现一次的年名义贴现率。
⎧kt , 0
11.19 已知利息力为δt =,一笔金额为1的投资从t =0开始的前n 年赚取的总利息是8。试求n 。 2+t
21.20 1996年1月1日,某投资者向一个基金存入1000,该基金在t 时刻的利息力为0.1(t −1) ,求1998年1月1日的累积值。
1.21 投资者A 今天在一项基金中存入10,5年后存入30,已知此项基金按单利11%计息;投资者B 将进行同样数额的两笔存款,但是在n 年后存入10,在2n 年后存入30,已知此项基金按复利9.15%计息。在第10年末,两基金的累积值相等。求n 。
2,2 ≤ t ≤10 。请计算在此时间区间的任意一年内,与相应利息力等价的每半年贴现一次的年名义贴现率。 1.22 已知利息力为δt =t −1
第2章 等额年金
2.1 某人想用分期付款的方式购买一辆现价为10万元的汽车,如果他首期支付一笔款项后,在今后的5年内每月末付款2000元即可付清车款。假设每月复利一次的年名义利率为8%,试计算他在首期付款的金额为多少。
3
2.2 某人将在10年后退休。他打算从现在开始每年初向一种基金存入2000元,如果基金的收益率为6%,试计算他在退休时可以积存多少退休金。
2.3 某人从2000年3月1日起,每月末可以领取200元,2010年5月末是最后一次领取。如果每月复利一次的年名义利率为6%,试计算:(1)年金的现值;(2)年金的终值;(3)年金在2005年12月31日的值。
2.4 某人在今后的20年内,每年初向一基金存入10000元。从第30年开始,每年末可以领取一笔退休金。该基金的收益率为6%。(1)如果限期领取20年,每次可以领取多少?(2)如果无限期地领下去(当他死亡后,由其继承人领取),每次可以领取多少?
2.5 某人留下了10万元的遗产,遗嘱规定,该笔遗产前5年的利息收入由其长子领取,第二个5年的利息由其次子领取,从第11年开始,剩余遗产全部归第三个儿子。如果年实际利率为8%,试计算三个儿子在该笔遗产中分别占多大份额?
2.6 如果年实际利率为i ,那么一笔在36年内每年末支付4000元的年金,与另一笔在18年内每年末支付5000元的年金将有相等的现值。试计算1000元的投资在年实际利率为i 时,经过多长时间可以翻番。
2.7 借款人原计划在每月末偿付1000元,用5年的时间还清贷款。每月复利一次的年名义利率为12%。如果他现在希望一次性支付60000元还清贷款,他应该在何时偿还?
2.8 投资者每月初往基金存入一笔款项,5年后可以积存到60000元。如果前2年每次存入1000元,后3年每次存入500元。试计算每月复利一次的名义利率。
2.9 投资者每年末向一基金存入2000元,如果在前2年的投资按6%的年实际利率计算,在后两年的投资按5%的年实际利率计算,投资者在第4年末可以积存多少价值?
2.10 一项10年期的年金,在前5年的每季度末付款1000元,后5年的每季度末付款2000元。如果年实际利率为5%,试计算该项年金的现值。
2.11 一项每3年末支付1元的永续年金,其现值为125/91,试确定年实际利率是多少?
2.12 某人将一笔遗产(每年末可以领取的永续年金)捐赠给了四家慈善机构A ,B ,C 和D 。在前n 年,每次领取的款项由A 、B 、C 三家平均分享,n n 年以后,剩余部分均由D 领取。试确定当(1 + i) 为多少时,A 、B 、C 、D 四家在该遗产中享有的现值相等。假设年实际利率为8%。
2.13 一项永续年金在每月初付款1元,如果每年结转四次利息的年名义利率为4%,试计算该项年金的现值。
4
2.14 一项永续年金在每月初付款1000
2.15 假设一笔10000元的贷款,计划从第5年开始在每年末偿还1000元,直至还清为止。如果年实际利率为5%,并要求将不足1000元的一次非正规付款提前在前一年末支付,试计算最后一次付款的时间和金额。
2.16 一项年金从2000年1月1日开始,每月末支付100元,支付60次;这项年金的价值等价于在第K 月末支付一笔6000元的款项。每月复利一次的名义利率为12%。求k 。
2.17 如果a =x ,a =y , 试将d 表示为x 和y 的函数。 n 2n
2.18 一位受益人获得了一笔人寿保险金,如果用这笔收入去购买一项10年期的期末付年金,每年末的付款为$1538;如果购买20年期的期末付年金,则每年末的付款为$1072。两者的年实际利率均为i ,求i 。
2.19 建立一个基金,在前两年每季度之初存入100,其后两年每季度之初存入200,若基金的名义利率为12%,每月复利一次。请计算第四年末的累积值为多少?
2.20 每半年复利一次的名义利率为i ,每两年末支付1元的永续年金的现值是5.89。试计算利率i 。
2.21 某人以年实际利率4%借款100元,并承诺分30次付清,后二十次的付款是前十次的2倍。在第十年末,他可以选择一次性付清全部剩余款项X ,这会使借款人在十年间获得的年实际利率为4.5%,求X 。
2.22 投资者在t =0和t =10时分别向一项基金投资12,这项基金以年实际利率i 计息。利息在年末支付,并以0.75i 的年实际利率进行再投资。在t =20时,再投资利息的累积值为64,求i 。
1,求的表达式。 2.23 如果利息力为常数δ=1+t
5
2.24 给定利息力δ=1
1+0.5t ,0≤ t ≤5,请计算s 5。
2.25 已知∫8d t =100。请计算
0。
2.26 如果3a (2) (2) (2)
|=2a 2|=45s 1|,试计算i 是多少?
2.27 当t 为多少时,在时刻t 支付1元相当于将这1元在时刻0与1之间连续支付?
2.28 已知=4,=12,求利息力。
2.29 证明下列关系式:
(1)m n =a m +a n v m
(2)s =s +(1+i ) m s
(3)=a (1+i ) n −s 0
(4)s m n =s m −a n (1+i ) m 0
(5)1
1−v 10=1s (s +1
10)
i
15
(6)∑(s ) =s
t =10−s 16−s 10−6
(7)a (m )
| 1。 (8)s 2n
s +s n −s 3n =1
n s 2n s 2n
6
(9)⎜−
⎛⎝d ⎞(1+i )=−1 δ⎟⎠
第3章 变额年金
3.1 某投资者在三十年内,每年年末向银行投资1。银行在每年末以年利率j 支付利息。投资者所得利息立即被再投资,再投资利率为年实际利率j 。这2些利息在三十年之间的积累值为72.88。求j 。
3.2 某人希望购买一项年金,该项年金在第一年末的付款为1000元,以后每年增加100元,总的付款次数为10次。如果年实际利率为5%,这项年金的现价应该是多少?
3.3 一项永续年金在第一年末支付1,第二年末支付2。这样增加下去直至第n 年末支付n ,然后一直维持每年支付n ,试确定此项年金的现值。
3.4 一项永续年金在第四年初支付2,第六年初支付4,第八年初支付6,第十年初支付8,年实际利率为10%,计算其现值X 。
3.5 在年实际利率为i 时下列两项年金的现值均为X :年金A 在每年末支付55,支付20年;
年金B 支付30年期,其中前10年每年末支付30,中间10年每年末支付60,最后10年每年末支付90。求X 。
3.6 一项9年期年金的一系列付款为1,2,3,4,5,4,3,2,1,第一次支付在第二年末,当年实际利率为i 时该年金的现值为22。一项10期年金的一系列付款为1,2,3,4,5,5,4,3,2,1, 第一次支付在第一年末,计算该年金在年实际利率i 下的现值。
3.7 一项年金在第一年末付款1元,以后每年增加1元,直至第n 年。从第n + 1年开始,每年递减1元,直至最后一年付款1元。试计算该项年金的现值是多少?
3.8 一项年金在第一年末的付款为1000元,以后每年增长10%,总的付款次数为10次。如果年实际利率为5%,这项年金的现值是多少?
7
(2)。 3.9 一项期末付年金,每半年的付款为800,750,700,…,350,i =0.16。若a 100.08=A ,试写出此年金的现值表达式(用A 表示)
3.10 一项永续年金,第5年和第6年末的付款为1,第7年和第8年末的付款为2,第9年和第10年末的付款为3,如此下去。计算其现值。
3.11 一项永续年金,从今日开始每6个月付款一次。第1次付款1,以后每次均比前次增加3%。若年实际利率为8%,试确定此项年金的现值。
3.12 一项永续年金,每四年末付款一次。第一次付款在第四年末,付款额为1。接下来的每一次付款都比上一次多5。请计算这项永续年金的现值,已知v 4=0.75。
3.13 小张在第一年的每个季度初存款1,第二年的每季度初存款2,以此类推,第八年的每季度初存款8。假设年实际利率为8%。在最后一笔存款之后的一个季度末,小张取出这项存款用于购买一项每年末均支付X 的永续年金。计算X 。
3.14 小张选择如下方式获得他的20年期退休金:从现在开始一个月后每月领取2000,月度退休金每年增加3%,每月复利一次的年名义利率为6%。计算该项退休金的现值。
3.15 每年初向基金中投入一笔资金,持续10年。前5次投资金额均为1000,从第6次开始以后每年递增5%。若基金的实际利率为8%,试确定第10年末的积累值。
3.16 投资者在时刻1收到400元,时刻2收到450元,时刻3收到500元,依此类推,直到最后一次收到900元,假设每个时期的实际利率为5%,请计算这些付款在时刻零的现值和在时刻12的终值。
3.17 一个现金流的付款如下:现在支付1000元,1年后支付1070元,2年后支付1140元,3年后支付1210元,依此类推,直到最后一次支付1700元。假设年实际利率为8%,试计算这个现金流在时刻零的现值和在第11年末的终值。
3.18 小张在第1年末收到500元,在第2年末收到480元,在第3年末收到460元,依此类推,直到最后一次收到400元,假设年实际利率为6%,试计算这个现金流在第1年初的现值和在第20年末的终值。
3.19 一个现金流如下:现在支付50元,此后每年比上一年减少10元直到第4年末,然后每年的付款又比前一年增加10元,直到第8年末。假设年实际利率为9%,试计算这个现金流在时刻零的现值。
8
3.20 小张需要在第10年末筹集到80000元,因此他现在投资X 元,在1年末投资X -500元,在第2年末投资X -1000元,直到第9年末投资X -4500元,假设年实际利率为6%,试计算X 的值。
3.21 某银行有一项特殊业务,如果现在存入银行X 元,银行将在第5年末返还3000元,在第6年末返还2900元,在第7年末返还2800元,依此类推,最后一次返还在第15年末。假设年实际利率为6%,试计算X 的值。
3.22 假设在第5年末投资200元,在第6年末投资400元,在第7年末投资600元,依此类推,最后一次投资发生在第15年末。年实际利率为5%,试计算这些投资在第20年末的终值。
3.23 一项连续支付的年金,第1年连续支付100元,第2年连续支付110元,第3年连续支付120元,依此类推,直到第10年连续支付190元。假设年实际利率为4%,试计算此年金在第10年的终值。
3.24 有一项连续年金,第1年连续支付100元,此后每一年比前一年减少5元,直到最后一次支付65元,假设年实际利率为7%,试计算此项年金在第10年的终值。
3.25 小张现在25岁,他希望在他65岁到90岁之间每年领取养老金,第一次是在他65岁生日时领取15000元,之后领取的金额每年比前一年增加3%,假设年实际利率为5%,试计算小张现在要投资多少钱才能满足他的养老金领取需求。
3.26 一项10年期连续年金,在时刻t 的支付率为,假设利息力为,试求此项年金在时刻零的现值。 ρt =4t +3δt =0.03+0.04t
3.27 一个现金流从时刻5到时刻10连续付款,在时刻t 的支付率为
的利息力为ρt =1.2t 2+2t ,时刻零到时刻5的利息力为δt =0.004t +0.01,时刻5到时刻10δt =0.0006t 2+0.001t ,试计算此现金流在时刻零的现值。
3.28 小张从第1年到第7年每年末投资Z 元,年实际利率为3%,然后又将每年末的利息进行再投资,再投资利率为5%。在第7年末的终值为X 元。小王从第1年到第14年每年末投资Z 元,年实际利率为2%,然后又将每年末的利息进行再投资,再投资利率为3.5%。他在第14年末的终值为Y 。试计算Y/X。
3.29 一项期末付永续年金,前5年的付款均为20元,从第6年开始,付款每年比上一年增长k %。假设年实际利率为9%,此项永续年金的现值为335 9
元,试计算k 的值。
3.30 一项连续年金,其在时刻t 的支付率为9k +tk ,其中0≤t ≤10,利息力为1,在10年后,此项年金的价值25000元,试计算k 的值。 δt =9+t
3.31 一项15年期的年金,在第1年末给付300元,第2年末给付280元,第3年末给付260元,直到给付金额减少到160元,然后每年的给付金额保持160元不变,直到15年末,假设年实际利率为5%,试计算此项年金在时刻零的现值。
第4章 收益率
4.1 某项目的初始投资为50000元,并将产生如下净现金流入:第1年末15000元,第2 年末40000元,第3年末10000元。求该项目的收益率。
4.2 投资者将10000元存入一家银行,期限为10年,年利率为5%。如果在五年半之内取款,银行将扣除取款额的6%作为罚金。投资者分别在第4、5、6、7年末取款k 。10年末,这笔存款的余额为10000元。求k 。
4.3 一个投资账户的有关信息如下:
2006.1.1 2006.5.1 2006.9.1 2007.1.1 时间 50000 75000 90000 67000 余额(投入或支取之前) 15000 投入
25000 支取
请计算该账户的币值加权收益率和时间加权收益率之差。
4.4 两项基金的有关信息如下:
基金 X
日期 投入 支取 投入/支取之前的基金余额
2003.1.1 50000
10
2003.3.1 55000
2003.5.1 24000 50000
2003.11.1 36000 77310
2003.12.31 43100
基金 Y
日期 投入 支取 投入/支取之前的基金余额
2003.1.1 100,000
2003.7.1 15,000 105,000
2003.12.31 F
基金Y 在2003年的时间加权收益率等于基金X 在2003年的币值加权收益率。求F 。
4.5 某人2006年1月1日在一个账户投资了100元。该年的其他投资信息如下:
2006.4.19 2006.10.30
90 110 投入之前的余额
X X 投入金额
假设该账户在2007年1月1日的余额为120元。该账户在2006年的币值加权收益率是0%,时间加权收益率是y 。计算y 。
4.6 1月1日,一个投资账户的余额为100元。4月1日,余额上升为120元,又存入D 。10月1日,余额为100 ,又取出50元。第2年的1月1日,账户余额为65元。假设该账户的时间加权收益率为0%,请计算币值加权收益率。
4.7 2008年1月1日,某投资者向基金投入1000元,第二笔投资发生在2008
基金在过去一年的时间加权收益率为10%,币值加权收益率为9%
4.8 某账户在1月1日的账面余额为75元,12月31日的账面余额为130元。每月末存入该账户的资金为10元,并分别在2月28日,6月30日,10月15日和10月31日从账户中取走了5元、25元、8元和35元。求该账户在这一年中的币值加权收益率。
4.9 某投资者于1月1日在一个账户中投资50元,下表为该投资账户一年中的余额变化:
日期 投资前的余额 新增投资额
3月15日 40 20 11
6月1日 80 80
10月1日 175 75
6月30日,账面余额为157.50元,12月31日,账面余额为X 。如果把前六个月的时间加权收益率用年实际收益率表示,则其等于全年的时间加权收益率。求X 。
4.10 某投资基金在年初的余额为20000元。在每季度末,收到一笔新增投资1000元。在这些现金流发生之后的基金价值为23000,24800,25000及25100元。请计算该基金的时间加权收益率。
4.11 一个投资者购买了一项5年期的金融产品,该产品满足下述条件:(1) 该投资者在5年内的每年初可以获得1000元;(2) 这些款项将按年利率4%计息,并在每年末,所获利息又以3%的年利率进行再投资。如果该投资者需要获得4%的年收益率,请计算该投资者应该支付的购买价格。
4.12 某投资者在20年内每年初向银行存入500元,银行以i %的年利率在每年末支付利息。这些利息以(i /2)%的年利率进行再投资。整个投资在20年中的年实际收益率为8%。请计算i 。
4.13 投资者A 以年利率10%投资1000元,期限为10年。每年末支付利息,利息以年利率i 进行再投资。10年末,利息的积累值为1500元。投资者B 在20年的每年末投资150元,年利率为12%。每年末支付利息,利息以年利率i 进行再投资。求20年后B 的利息积累值。
4.14 某投资者的初始投资为12,10年末又投资12,这些投资以年实际利率i 计息。利息按年度支付,并以0.75i 的年实际利率进行再投资。在20年末,再投资利息的积累值为64元,求i 。
4.15 某投资人分别在 1999年, 2000年和2001年的年初投资了1000元。请根据下表的数据计算该投资者在2001日历年度所获得的利息。
投资年度利率 投资组合利率 投资组合利率的原始投资的
日历年度y +2日历年度y i 1y i 2y i y +2
1999 9.00% 10.00% 11.00% 2001
2000 7.00% 8.00%
2001 5.00%
4.16 假设市场的无风险利率为5%,债券A 的面值为1000元,期限为一年,违约概率为1%,如果发行人希望按面值发售债券,试计算该债券的息票率至少应为多少?如果投资者要求购买该债券的期望收益等于8%的无风险利率所产生的收益,试计算息票率应为多少?
12
第5章 债务偿还
5.1 一笔贷款在n 年内分期偿还,每年末的偿还金额为X 元,n > 5,且已知:
(1)第一期付款的利息金额为604.00元。
(2)第三期付款的利息金额为593.75元。
(3)第五期付款的利息金额为582.45元。
试计算X 。
5.2 一笔35年期的贷款以等额分期方式偿还,每年末偿还一次。第8次分期付款的利息金额为135元。第22次分期付款的利息金额为108元。请计算第29次分期付款的利息金额。
5.3 一笔10000元的30年期贷款,年实际利率为5%,以等额分期方式偿还,每年末偿还一次。试求分期付款中利息金额最接近于付款金额三分之一的年份。
5.4 一笔10年期的贷款,在每年末偿还R 元。已知:
(1)在头3年中,偿还的本金金额总和为290.35。
(2)在最后3年中,偿还的本金金额总和为408.55。
请计算在整个偿还期内,支付的利息金额为多少。
5.5 按年实际利率i 偿还一笔1000元的贷款。已知:
(1)在第6年末偿还第一笔款项。
(2)然后每年末等额偿还一次,在第15年末可以偿清这笔贷款(即一共偿还10次)。
(3)在第10年末的付款结束后,未偿还本金余额为908.91。
试计算第5年末的未偿还本金余额。
13
5.6 一笔20000元的贷款,期限为4年,年实际利率为8%。借款人必须在每年末偿还1600元的利息,并建立一笔偿债基金用于清偿贷款本金,偿债基金的利率与贷款利率相同。试计算下列各项:
(1)借款人第2年末向偿债基金的储蓄额;
(2)偿债基金在第2年末的余额;
(3)第2年末的贷款净额。
5.7 假设偿债基金的年实际利率为7%,重新计算5.6题的有关结果。
5.8 有两笔贷款的本金均为20000元,期限均为4年,但偿还方式不同。第一笔贷款采用偿债基金方式,贷款利率为8%,偿债基金利率为7%。第二笔贷款采用等额分期偿还方式。试计算当第二笔贷款的利率为多少时,两笔贷款对借款人而言是等价的。
5.9 一笔10年期的贷款在每年末偿还一次,年贷款利率为5%。第一次的付款为200元,后来的每笔付款均比前一年多10 元。请计算第5次付款的利息是多少。
5.10 一笔125000元的30年期贷款在每月末偿还一次,每年的月偿还金额相等。每一年的月偿还额较前一年高出2%。第一年的月偿还额为R 元,年实际利率为5%,求R 。
5.11 银行有一笔10000元的20年期贷款,该笔贷款在每年末偿还1000元。如果银行把每次的偿还额立即按5%的实际利率进行再投资,试确定银行在这20年的实际年收益率。
5.12 一笔金额为A 的n 年期贷款,在每年末偿还1,年利率为i 。若所有分期付款的本金部分的现值之和为P 。求(Ia ) 的表达式。
5.13 某人有一笔55000的抵押贷款,每月末需偿还500.38,共需偿还n 年。每月复利一次的年名义利率为i 。借款人因故没有偿还第一期付款,但其余各笔均按时偿还了。由于没有偿还第一期付款,故在第n 年末还欠3077.94。试计算利率i 。
5.14 某人自2000年1月1日起以年实际利率5%偿还一笔20000元的30年期贷款,每年末偿还一次。该人自2010年1月1日起又以年实际利率7%偿还另一笔10000元的20年期贷款,也在每年末偿还一次。试计算在2010年偿还的两笔贷款的本金之和。
5.15 一笔50000的贷款分10次按年偿还。第一笔付款X 在贷款后6个月末支付,以后每隔一年偿还一次,每次的偿还金额均为2X 。假设前4.5年的年实际利率是5%,随后变为3%。试计算X 。
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5.16 一笔1000元的贷款将以每月复利一次的名义利率12%计息,在6个月内的每月末分期偿还。前三次每次支付X ,后三次每次支付3X 。试求第三次支付的本金金额与第五次支付的利息金额。
5.17 一笔1000000元的30年期贷款将按月等额偿还,每月末偿还一次,每月复利一次的名义利率为X %。在第69期的还款额中,利息金额占94.473%, 在第70期的还款额中,利息金额占94.418%。 试求X 。
5.18 一笔1000元的30年期贷款按年分期偿还,每年末偿还一次,年实际利率为8%。前10期的偿还金额均等于应付利息,第11至20期的偿还金额等于应付利息的两倍,后10期的偿还金额等于X 。试求X 的值。
5.19 一笔15年期的贷款,年还款额为1000元,年实际利率为5%。在第5次还款之后调整了偿还方式。调整后,第6次偿还800元,第7次偿还(800+K )元,以后每次付款比前一次均增加K ,还款期不变。求调整后的最后一次偿还额。
5.20 两笔金额相等的30年期贷款,均以8%的利率按年分期偿还,每年末偿还一次。贷款L 将等额分期偿还。贷款N 每期偿还的本金金额相等,同时根据未偿还本金余额支付相应的利息。在第t 年末,贷款L 的偿还额首次超过贷款N ,求t 。
5.21 一笔8000元的10年期贷款按年偿还,每年末偿还一次,年利率为7%。偿还4次以后,借款人要求分4次偿还剩余的债务。新的偿还方式使贷款人在整个8年期获得了8%的年收益率。试确定调整偿还方式以后,借款人增加了多少付款。
5.22 一笔100000元的30年期贷款,偿还方式满足下述条件:
(1)第一年末偿还X 元。
(2)后来的19年,每年末的偿还金额要比上一年增加100元。在最后十年,各年的偿还额保持在前一年的水平不变。
(3)年实际利率为5%。
求X 。
5.23 某人从银行获得一笔贷款,期限为4年,年实际利率为8%。借款人用偿债基金方法偿还,每年末支付的总金额(包括当期的利息和向偿债基金的储蓄两部分)依次为2000元,3000元,4000元,5000元,偿债基金的年实际利率为7%。试计算贷款本金为多少?
5.24 一笔10000元的贷款,期限为5年,年实际利率为8%。借款人必须在每年末向贷款人支付当年的利息800元,并每隔半年向偿债基金储蓄一次。该偿债基金每年结转4次利息的年名义利率为6%,试计算下列各项:
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(1)借款人第2年末向偿债基金的储蓄额;
(2)偿债基金在第2年末的余额;
(3)第2年末的贷款净额。
第6章 债券和股票
6.1 债券的面值为1000元,年息票率为5%,期限为5年,到期按面值偿还。假设现行的市场年利率为6%,试计算下列各项:
(1)债券的价格
(2)第二年末的账面值
(3)第二年的利息收入
债券的面值为1000元,息票率为6%,期限为5年,到期按面值偿还。投资者所要求的收益率为8%,试计算债券在购买9个月后的价格和账面值。 6.2
6.3
6.4
债券的面值为1000元,期限为5年,到期按面值偿还,年息票率为6%。如果发行价格为950元,试计算该债券的收益率。 假设6.3题中的息票收入只能按5%的利率投资,试重新计算该债券的收益率。
6.5 一种面值为100的100年期债券,到期按面值偿还。已知该债券第一个十年的年息票率为10%,第二个十年的息票率为9%,第三个十年的息票率为8%,…,最后一个十年的息票率为1%。如果年收益率为5%时,求该债券的购买价格。
6.6 一种在年末分红的股票,当年的利润为J ,利润在今后的每一年内都会以10%的速度增长,在接下来的五年内没有分红,五年后将每年利润的50%分红,如果实际收益率为21%,请计算投资者的理论购买价格。
16
6.7 一家公司利润的季度增长率为2%,每季度该公司打算拿出利润的30%作为股票的分红。在某个季度初,一个投资者购买了此公司的股票以获得10%的年收益率(每半年复利一次)。该股票的第一次分红是在该季度末,分红金额为3.00。请计算该股票的理论价格。
6.8
6.9 已知下述债券有相同的收益率且面值均为1000:
(1)一种10年期债券,年息票率为8%,每半年支付一次息票,债券的折价为X
(2)一种10年期债券,年息票率为9%,每半年支付一次息票,债券的溢价为Y
(3)一种10年期债券,年息票率为10%,每半年支付一次息票,债券的溢价为2X
请计算Y 的值。
一种n 年期附有8%年度息票率的债券,面值为1000。此债券在第三年末的账面值为1099.84,在第五年末的账面值为1082.27。求此债券的价格。
6.10 一个卖空的投资者以每股10的价钱出售500股股票。一年后,每股的价钱降到7.50,此时该投资者补进500股该股票。假设交易保证金为50%,保证金的利率为5%。该股票在每季度每股分红0.1。请计算该投资者卖空的收益率。
6.11 某投资者在年初购买了两种债券。债券X 是14年期的债券,面值为1000,年息票率为10%,年收益率为8%。债券Y 是14年期的债券,面值为F ,年息票率为6%,购买价格为P ,年收益率也为8%。在第六年,债券X 的账面调整值等于债券Y 的账面调整值(注:这里的账面调整值是指年初账面值和年末账面值之差的绝对值),请计算P 的值。
6.12 在2002年1月1日购买了一支普通股票,它将在2011年12月31日之前每年末分红15,从2012年开始,分红每年增加K %,K
6.13 一项面值为1000元的债券,年息票率为8%,每半年支付一次息票,到期偿还1100元。以价格P 购买此债券将产生6%的年收益率(每半年复利一次)。偿还值的现值为190,求价格P 。
6.14 三种债券有同样到期偿还值和到期时间。第一种债券的年息票为40,以价格P 出售;第二种债券的年息票为30,以价格Q 出售;第三种债券的年息票为80。所有的价格计算都基于相同的收益率,并且所有的息票具有相同的支付频率。求第三种债券的价格。
17
6.15 一项10年期债券的面值为1000元,年息票率为r , 每年末支付一次息票,偿还值为1100。如果以价格P 出售,将产生4%的年实际收益率;如果以价格(P − 81.49)出售,将产生5%的年实际收益率; ;如果以价格X 出售,将产生 r 的年实际收益率。请计算X 。
6.16 债券的面值为10000元,年息票率为6%,每半年末支付一次息票。债券在到期前2年零4个月被出售。售价将使购买者获得4%的年名义收益率(每半年复利一次)。请确定理论方法和半理论方法计算的债券价格差异。
6.17 债券的期限为20年,面值为1000元,在每年末支付息票,到期偿还1050。如果以价格P 出售可以产生8%的年实际收益率。第一次支付的息票为50,以后每次支付的息票比上一次增长3%。求价格P 。
6.18 投资者购买了一个面值为1000元的10年期债券,息票率为8%,每半年末支付一次息票。如果债券在到期时按面值偿还,将产生7%的名义收益率(每半年复利一次)。如果债券在第5年末被赎回,为了保证产生相同的收益率,最小的赎回值为X 。求X 。
第7章 远期、期货和互换
7.1 假定X 公司的股票是60元并且不派发股利,年实际利率是10%。请画出该股票多头的回收图和盈亏图。并请验证如果1年后的股票价格是66元,则盈亏为零。
7.2 应用7.1题的信息,画出该股票空头的回收图和盈亏图。请验证当一年后的价格是66元时,盈亏为零。
7.3 假定A 公司的股票今天是105元,并且预期每季度派发股利1.70元,第一次是在3个月以后,最后一次恰在交割股票前。无风险连续复利利率是
1.5%。如果要求现在支付远期合约的价格,请计算该股票一年期的远期价格(即预付远期的价格)是多少?
7.4 如果股票的价格是105元,每日复利一次的年名义收益率是2%,日股利是多少?如果我们在年初持有一单位股票,假设股利收益全部再投资于该股票,年末将会持有多少单位的股票?如果想在年末持有一单位股票,那么在年初我们应该投资多少?
7.5 股票的价格是70元,连续复利率是6%。(1)如果股利为零,6个月期的远期价格是多少?(2)如果1年期的远期价格是72元,年度的连续股利 18
收益率是多少?
7.6 X 公司股票的现货价格是105元,无风险连续复利利率是6%,该股票在未来一年没有分红。针对下列两种情况,你将如何进行套利?
(1)假定你观察到6个月的远期价格是115元。
(2)假定你观察到6个月的远期价格是107元。
7.7 如果1年期和2年期的远期石油价格分别为23美元/桶和24美元/桶,且1年期和2年期的即期利率分别是5% 和5.5%。则2年期的互换价格是多少?
7.8 如果1年期、2年期和3年期的石油远期价格分别是每桶22美元、23美元和24美元。即期利率分别为:1年期5%,2年期5.5%,3年期6%。请计算:(1)3年期的互换价格是多少?(2)开始于一年后的一个2年期的互换价格是多少?
7.9 考虑7.8中3年期的石油互换。如果一个交易商支付固定价格并收到浮动价格。在这个仓位中,什么样的石油远期合约将对石油价格风险套保?请验证锁定的净现金流的现值为零。
7.10 在7.9题中,如果作为固定价格的支付者,在第一次互换结算后相对于远期价格多支付了多少?第二次互换结算后累积多支付了多少?第三次后呢?
第8章 期权
8.1
8.2
8.3 假定一份1年期的远期合约,价格是60元。1年后当股票价格分别是50元、55元、60元、65元和70元时的回收各是多少? (2)假定买进一份1年期的执行价格是60元的看涨期权,如果1年后标的资产具有和上面同样的价格时,该看涨期权的回收是多少? (1)假定在远期价格是60元时做空一份远期,那么1年后当股票价格分别是50元、55元、60元、65元和70元时的回收各是多少? (2)假定买进一份1年期的执行价格是60元的看跌期权,如果1年后标的资产具有和上面同样的价格,该看跌期权的回收是多少? 假定X 公司的股票不派发股利且现在的价格是60元。1年后交割的远期价格是63元。如果买进股票或远期合约都没有什么好处,那么1年期的实 19
际利率是多少?
8.4 假定股票的当前价格是105元,年实际利率为6%。请计算并画出以下期权的回收图和盈亏图:
(1)期权费为8.57元,执行价格为100元的看涨期权。
(2)期权费为5.67元,执行价格为105元的看涨期权。
(3)期权费为3.53元,执行价格为110元的看涨期权。
8.5 假定股票的当前价格是105元,年实际利率为6%。请计算并画出以下期权的回收图和盈亏图:
(1)期权费为0.98元,执行价格为100元的看跌期权。
(2)期权费为2.71元,执行价格为105元的看跌期权。
(3)期权费为5.20元,执行价格为110元的看跌期权。
8.6 以100元买进A 公司股票,同时买进一个执行价格为105元的1年期的看跌期权,看跌期权的期权费为7.20元,实际年利率是5%。试计算此仓位的回收和盈亏。
8.7 以105元做空A 公司的股票,并卖出一个执行价格为105元的1年期的看跌期权,该期权的期权费为7.20元,实际年利率是5%。试计算此仓位回收和盈亏。
8.8 年实际利率是5%,A公司股票的1年期的远期价格是105元,1年后到期的股票的期权费如下表:
执行价格 看涨期权 看跌期权
95 10.45 0.93
100 8.11 3.35
105 7.20 7.20
110 5.12 9.88
115 3.60 13.12
假定以100元买进A 公司的股票,并买进一个执行价格为95元的看跌期权,构造这个仓位的回收表和盈亏表。请验证:用90.48元购买零息债券,并买进一个执行价格为95元的看涨期权,可以得到与前述仓位相同的回收和盈亏。
8.9 应用8.8题的有关数据。假定以100元做空A 公司的股票,并买进一个执行价格为95元的看涨期权,请构造这个仓位的回收和盈亏表。请验证:借入90.48元,并买进一个执行价格为95元的看跌期权,可以得到与前述仓位相同的回收和盈亏。
20
8.10 应用8.8题的有关数据。假定以100元做空A 公司的股票,并买进一个执行价格为105元的看涨期权,请构造这个仓位的回收表和盈亏表。请验证:借入100元,并买进一个执行价格为105元的看跌期权,可以得到与前述仓位相同的回收和盈亏。
8.11 应用8.8题的有关数据。请验证下面两笔交易具有相同的盈亏和回收:(1)以100元买进A 股票;(2)买进一个执行价格为95元的A 股票的看涨期权,卖出一个执行价格为95元的看跌期权,并贷出90.48元。
8.12 应用8.8题的有关数据。请验证下面两笔交易具有相同的盈亏和回收:(1)以100元做空A 股票;(2)卖出一个执行价格为105元的A 股票的看涨期权,买进一个执行价格为105元的看跌期权,并借入100元。
8.13 应用8.8题的有关数据。假定1年期的看涨期权的期权费是9.31元,在相同执行价格上的看跌期权的期权费是1.69元,试求这个执行价格是多少?
8.14 应用8.8题的有关数据。买进一个执行价格为95元的股票看涨期权,并卖出一个执行价格为100元的股票看涨期权,请构造该投资策略的回收图和盈亏图。请验证:买进一个执行价格为95元的股票看跌期权和卖出一个执行价格为100元的看跌期权可以得到相同的盈亏。看涨期权和看跌期权的差价组合的回收之差是如何产生的?
8.15 应用8.8题的有关数据。买进一个执行价格为105元的股票看涨期权,并卖出一个执行价格为95元的股票看涨期权,请构造该投资策略的回收图和盈亏图。请验证:买进一个执行价格为105元的股票看跌期权和卖出一个执行价格为95元的看跌期权可以得到相同的盈亏。这些仓位的初始成本之差是多少?
8.16 应用8.8题的有关数据。假定买进一个执行价格为95元的看跌期权和卖出一个执行价格为105元的看涨期权。画出这个仓位的盈亏图。净期权费是多少?如果要在保持看跌期权的执行价格为95元时构造一个零成本的衣领,应该如何改变看涨期权的执行价格?
8.17 应用8.8题的有关数据。如果投资100元在A 股票上,买进一个执行价格为95元的看跌期权并卖出一个执行价格为115元的看涨期权。画出这个仓位的盈亏图。如何变化可以实现一个零成本衣领?
8.18 应用8.8题的有关数据。计算并画出下列仓位的盈亏图:
(1) 执行价格为105元的A 股票跨式;
(2) 签出执行价格为95元的A 股票跨式;
(3) 同时执行(1)和(2)交易。
21
8.19 应用8.8题的有关数据。买进一个执行价格为95元的看涨期权和卖出一个执行价格为100元的看涨期权,卖出一个执行价格为95元的看跌期权和买进一个执行价格为100元的看跌期权。
(1) 验证这一系列交易不存在A 股的价格风险;
(2) 这个仓位的初始交易成本是多少?
(3) 1年后该仓位的价值是多少?
8.20 应用8.8题的有关数据。计算下列比率差价组合的盈亏:
(1) 买进一个执行价格为95元的看涨期权,卖出两个执行价格为105元的看涨期权。
(2) 买进两个执行价格为95元的看涨期权,卖出三个执行价格为105元的看涨期权。
(3) 买进n 个执行价格为95元的看涨期权和卖出m 个执行价格为105元的看涨期权,使得该仓位的期权费为零,这时n/m满足什么条件?
8.21 应用8.8题的有关数据。计算并分别画出下列交易的盈亏图:
(1) 买进一个95元的看涨期权,卖出两个100元的看涨期权,买进105元的看涨期权。
(2) 买进一个95元的看跌期权,卖出两个100元的看跌期权,买进105元的看跌期权。
(3) 买进股票,买进95元的看跌期权,卖出两个100元的看涨期权,买进105元的看涨期权,其中股票的价格是90.47元。
从盈亏图中可以看出上述交易组合是哪种衍生产品?
8.22 假设股票没有红利支付,股票的现价为50元,该股票欧式看跌期权的执行价格为50元,有效期为3个月,无风险年收益率为10%,年波动率为30%。请计算该股票欧式看跌期权的价格。
8.23 在8.24题中,如果股票在两个月后预期支付的红利为1.5元,请重新计算该股票欧式看跌期权的价格。
8.24 一个无红利股票的欧式看跌期权,有效期为3个月,目前的股票价格和执行价格均为50美元,无风险年利率为10%,波动率为每年30%,请按时间间隔为一个月来构造二叉树模型,为期权定价。
8.25 一个两个月期基于某股票指数的欧式看涨期权,执行价格为500,目前的指数为495,无风险年利率为10%,指数红利率为每年4%,波动率为每年25%。构造一个四步(每步为半个月)的二叉树树图,为期权定价。
22
第9章 利率风险
9.1 假设n 年期债券的年名义息票率等于年名义收益率,均为y (m ) 。 ,请证明该债券的马考勒久期为MacD =a (m )
9.2 某15年期的零息债券到期支付1000,该债券每月复利一次的年名义收益率为12%。试计算该债券的修正久期。
9.3 假设年实际收益率为10%,试计算5年期零息债券的修正久期。
9.4 已知年息票率为5%的10年期债券的年实际收益率为6%, 试计算该债券的修正久期。
9.5 已知年息票率为6%的四年期债券的实际收益率为3%,试计算该债券的修正久期。
9.6 某20年期的零息债券到期支付1000,该债券的年名义收益率为12%,每年复利2次。试计算该债券的修正久期。
9.7 某2年期债券年息票率为10%,每半年付息一次,债券到期后按面值偿还。该债券的年名义收益率为12%,每年复利2次,试计算该债券的修正久期。
9.8 某30年期债券年息票率为8%,每半年付息一次,债券到期后按面值偿还。该债券的年名义收益率为8%,每年复利2次。试计算该债券的修正久期。
9.9 已知当收益率为8%时,某20年期债券的价格为125.31。当收益率下降为7.75%时,该债券的价格将上升至127.64。当收益率上升至8.25%时,该债券的价格将降为122.95。试计算该债券的有效久期。
9.10 已知某10年期债券的价格为75.98,年息票率为6%,收益率为8%,马考勒久期为8.517。试计算当收益率下降为7.85%时该债券的价格。
9.11 某5年期债券年息票率为8.0%,每半年付息一次。已知现在的收益率为7.0%时,债券的价格为104.876。当收益率上升50个基点时,该债券的价格将下降为100.214. 。当收益率下降50个基点时,该债券的价格将上升为109.573。试计算该债券的有效久期和有效凸度。
23
9.12 利用习题9.11计算得到的有效久期和有效凸度,试估计当收益率上升100个基点时债券的新价格。
9.13 一项永续年金在每年年末支付1,年实际收益率为6%,试计算该永续年金的价格、修正久期和凸度。
9.14 某10年期债券的修正久期为8.67,凸度为43.51。试估计当债券价格上升50个基点时,债券价格变化的百分比。
9.15 某保险公司已确认在10年末将有一笔15000元的债务支出,为了偿还这笔负债,该公司计划将3473.95元投资于5年期的零息债券,将3473.95元投资于15年期的零息债券。所有债券和负债的年实际收益率均为8%。请问该公司的投资策略是否能达到免疫的目的。
9.16 某保险公司已确认在5年末将有一笔20000的债务支出,为了偿还这笔负债,该公司可供选择的投资方案只有购买4年期零息债券和10年期零息债券。所有债券和负债的年实际收益率均为10%。为了达到免疫的目的,该公司应如何分配在这两种债券上的投资?
9.17 公司未来负债的现金流如下表所示:
年度 1 2 3 4 5
1794 6744 144 3144 负债的现金流 824
可供该公司投资的资产如下:
(1)年息票率为5%的1年期债券;
(2)年息票率为10%的2年期债券;
(3)年息票率为4%的4年期债券;
(4)年息票率为3%的5年期债券;
每种债券的面值均为100元,年实际收益率为5%。
如果该公司打算通过现金流匹配策略管理利率风险,请计算应该如何购买这三种债券?
24
第10章 利率的期限结构
10.1 假设各债券的面值均为100元,收益率与息票率如下表所示,请计算各债券的价格。
到期日 年息票率 实际年收益率
1 11.00% 8.00%
2 5.00% 9.00%
3 15.00% 10.00%
10.2 给定以下各年的即期利率。请计算年息票率为10%,面值为100元的3年期债券的价格。
时间实际年即期利率1 5.000%
2 6.000% 3 8.000%
10.3 根据题10.1的收益率曲线,计算1年、2年和3年期的年即期利率。
10.4 根据题10.3计算的即期利率,请计算可应用于第1、2、3年的远期利率f 0、f 1、f 2。
10.5 假设5年期的即期利率为r 5 = 8%,请根据下表的收益率曲线,计算每年支付40元的5年期期初付年金的现值。
到期日年息票率 年实际收益率
1 5.000% 4%
2 7.000% 5%
3 8.000% 5.5%
4 6.000% 6%
5 10.000% 7%
10.6 给定以下远期利率表。求年息票率为10%,面值为100元的3年期债券的价格。
t f t 0 7%
25
1 5% 2 10%
10.7 由下表所示的平价收益率曲线,计算可应用于第1、2、3年的远期利率f 0, f 1, f 2。
到期日年息票率 实际的年收益率
1 4.000% 5.000%
2 6.000% 7.000%
3 8.000% 9.000%
10.8 根据下表给定的远期利率,请计算1年、2年和3年期的即期利率。
t f t 0 6.000%
1 5.000% 2 10.000%
10.9 下表是3个支付年息票债券的收益率,年息票率未知。请计算1年期、2年期和3年期的即期利率。
到期日 年息票率 实际年收益率
1 x 20%
2 y 20%
3 z 20%
10.10 利用题10.9的信息,计算可应用于第1,2,3年的远期利率f 0、f 1、f 2。
10.11 支付年息票债券的价格如下表所示,请计算年息票率为15%,面值为100元的3年期债券的价格。
到期日 年息票率 100元面值债券的价格
1 10.000% 106
2 5.000% 95
3 9.000% 102
10.12 假设5个零息票债券的价格如下表所示,请确定适用于3到4年的实际年远期利率f 3的值。
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到期日每100元面值债券的价格1 96
2 91
3 82
4 75 5 65
10.13 假设1年期的即期利率为5%。适用于1到2年的远期利率f 1为7%。支付年息票的3年期的平价债券的实际年收益率为8%。求3年期的即期利率。
10.14 年息票率为6%的2年期债券的实际年收益率为10%,其面值为100元。1年期的即期利率为7.0%,2年期的即期利率为9.0%。请确定一个投资策略,使得通过买入或卖出1个该2年期债券获得无风险的套利收益。
10.15 年息票率为12%的1年期债券的实际年收益率为12%。年息票率为10%的2年期债券的实际年收益率为15%。各债券的面值均为100元。
(1)请计算2年期的即期利率r 2。
(2)某投资者希望按(1)中计算的即期利率r 2投资1000元,投资期限为两年。假设投资者无法找到愿意接受该笔投资的机构,请问如何通过买入或卖出上述1年期和2年期的债券实现投资者的目标收益。
10.16 假设题10.15中的投资者找到了愿意接受1000元两年期投资的机构,且该机构愿意为这项两年期投资支付20%的利率。由题10.15计算的2年期即期利率,投资者意识到存在套利机会。投资者找不到一个机构愿意按题10.15计算的2年期即期利率提供贷款,但可以买入或卖出前述的1年期和2年期债券。请确定一个投资策略,使得投资者可以获得35元的套利收益。
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