2015年嘉兴市高三教学测试（一）
数学试卷（文科）
本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。考试时间为120分钟，试卷总分为150分。请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。 1、已知集合A ={1，3
，B ={1，m }，A ∪B =A ，则m =
A.0
B.0或3
C.1
（ ）
D.1或3
（ ）
2、已知角θ的终边过点(4，－3) ，则cos (π－θ)=
A.
B. －
C.
D. －
3、两条不重合的直线m ，n 及两个不重合的平面α，β，下列命题正确的是 （ ）
A. 若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥α B. 若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β C. 若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α⊥β D. 若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥β，则m ⊥α
－
4、命题①“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充要条件；②y =2x －2x 是奇函数；③若“p ∨q ”为真，则“p ∧q ”为真；
④若集合A ∩B =A ，则A ⊆B 。其中真命题的个数有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5、已知直线a 2x +y －2=0与直线bx －(a 2+1)y －1=0互相垂直，则|ab |的最小值为 （ ）
A.5 B.4 C.2 D.1
6、已知直线Ax +By +C =0(A +B =C ) 与圆x +y =4交于M ，N 两点，O 为坐标原点，则OM ⋅ON
2
2
2
2
2
等于 A. －2 B. －1 C.0 D.1
（ ）
7、已知函数f (x )=
A.[－2，2)
{
x +1, x ≤0
，若函数y =f [f (x )+a ]有四个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
2x -4, x >0
B.[1，5)
C.[1，2)
D.[－2，5)
2y 28、如图，已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 上有一点A ，它关于原点a b
的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足AF ⊥BF ，设∠ABF =α，且α∈[, ]，则该双曲线离心率e 的取值范围为 （ ）
A. +
B. 1]
C.
D. 1]
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分。 9、已知函数f (x )=
{
log 2(-x ), x
，则f (1)= ；
2x -1, x ≥0
若f (a )=2，则a = .
10、如图是一个几何体的三视图，若它的体积是
a ，
该几何体的表面积为
11、已知等差数列{a n }的公差d ≠0，首项a 1=4，且a 1，a 5，a 13依次成等比数列，则该数列的通项
公式a n ，数列{2n }的前6项和为a
⎧⎪x -y ≥0
12、若实数x ，y 满足不等式组⎨x +y ≤a ，若a =4，则z =2x +y 的最大值为 ；若不等式组
⎪⎩y ≥1
所表示的平面区域面积为4，则a = .
13、已知抛物线方程为y 2=4x ，直线l 的方程为x －y +4=0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为
d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1+d 2的最小值为
14、若△ABC 的重心为G ，AB =3，AC =4，BC =5，动点P 满足GP =xGA +yGB +zGC (0≤x ，y ，
z ≤1) ，则点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于
15、若x ，y ，z 是正实数，且满足lgx +lgy +lgz +lg (x +y +z )=0，则log 2(x +y )+log 2(y +z ) 的最小值为
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. （本题满分15分）已知函数f (x )=1－2sin (x +)[sin (x +) －cos (x +)]
（I ）求函数f (x ) 的最小正周期；
（II ）当x ∈[-, ]，求函数f (x +) 的值域。
17.(本题满分15分) 在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，
△ABC 为正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又P A =AB =4，∠CDA =120°，点N 在线段PB 上，且PN
(Ⅰ) 求证：MN ∥平面PDC ；
(Ⅱ) 求直线PB 与平面P AC 所成角的正弦值.
18. (本题满分15分) 已知直线 l : y =kx +1(k ≠0)，与椭圆3x 2+y 2=a (a >0)相交于A ，B 两个不同的点，记直线 l 与y 轴的交点为C 。
a 的值；
(Ⅱ) 若a =5，AC 2CB ，求k 的值，及△AOB 的面积。
(Ⅰ) 若k =1，且|AB
19.(本题满分15分) 在正项数列{a n }中，a 1=3，a n 2=a n －1+2(n =2，3，…)
(Ⅰ) 求a 2，a 3的值，判断a n 与2的大小关系并证明；
(Ⅱ) 求证：|a n －2|
(III)求证：|a 1－2|+|a 2－2|+…+|a n －2|
20. (本题满分15分) 设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ，b ，c ∈R ) 满足条件：①当x ∈R 时，f (x ) 的最大
值为0，且f (x －1)=f (3－x ) 成立；②二次函数f (x ) 的图象与直线y =－2的交点为A ，B ，且|AB |=4. (Ⅰ) 求f (x ) 的解析式；
(Ⅱ) 求最小的实数n (n
浙江省嘉兴一中2015届高三第一次模拟试卷
文科数学 参考答案
一. 选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）
1.B ； 2.D ； 3.D ； 4.B ； 5.C; 6.A; 7.C; 8.B. 8．【解析】Rt ∆ABF 中，OF =c , ∴AB =2c ，∴AF =2c sin α, BF =2c cos α ∴|BF -AF |=2c |cos α-sin α|=2a ，∴e =
c 1
==a |cos α-sin α|
12|cos(α+
π
4
) |
π
12
≤α≤
π
6
, ∴
π
3
≤α+
π
4
≤
5π, 12
∴cos(α+
π
4
) ∈[
6-21π3-12
, ],2|cos(α+) |∈[, ]∴e ∈[2, 3+1] 42422
二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分）
9. 1，－4或2 10. 3, 23+18 11. n +3，1008 12. 7，6 13.
52
-1 14. 12 15. 1 2
14．【解析】点P 的轨迹所覆盖的区域如图所示，恰好为∆ABC 面积的2倍，
因此面积为12.
15. 【解析】由已知xyz (x +y +z ) =1，因此，
C
E B
(x +y )(y +z ) =xy +xz +y 2+yz =xz +y (x +y +z ) =xz +
∴log 2(x +y ) +log 2(y +z ) ≥1
1
≥2， xz
三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （本题满分14分）
已知函数f (x ) =1-2sin(x +
π
8
)[sin(x +
π
8
) -cos(x +
π
8
)]．
（I ）求函数f (x ) 的最小正周期； （II ）当x ∈[-
ππ
212,
] ，求函数f (x +
π
8
) 的值域．
16. 【解析】（I ）f (x ) =1-2sin(x +
π
8
)[sin(x +
π
8
) -cos(x +
π
8
)]
=1-2sin 2(x +=cos(2x +
π
8
) +2sin(x +
π
8
) ⋅cos(x +
π
8
)
π
4
) +sin(2x +
π
4
)
=2sin(2x +
所以，f (x ) 的最小正周期T =（Ⅱ）由（I ）可知f (x +
π
4
+
π
4
) =2sin(2x +
π
2
) =2cos 2x ……5分
2π
=π. ……7分 2
π
8
) =2cos 2(x +
π
8
) =2cos(2x +
π
4
) . ……9分
x ∈[-
ππ
212,
]，∴2x +
π
4
∈[-
3π5π
, ]，……11分 412
∴cos(2x +
π
4
) ∈[-
2
, 1]， 2
∴f (x +
π
8
) ∈[-1, 2].
所以，f (x +
π
8
) 的值域为[-1, 2]. ……14分
17．（本题满分15分）
在四棱锥P -ABCD 中， PA ⊥平面ABCD ，∆ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又PA =AB =4，∠CDA =120︒，点N 在线段PB 且PN =2．
（I ）求证：MN //平面PDC ；
（Ⅱ）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值． 17．【解析】（Ⅰ）在正三角形ABC 中，BM =23
上，
B
（第17题）
D
C
在∆ACD 中，因为M 为AC 中点，DM ⊥AC ，所以AD =CD ， ∠CDA =120︒，所以DM =
23
，所以BM :MD =3:1 ……4分 3
在等腰直角三角形PAB 中，PA =AB =4, PB =42， 所以BN :NP =3:1，BN :NP =BM :MD ，所以MN //PD
又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，所以MN //平面PDC ……7分 （Ⅱ）在正三角形ABC 中，BM ⊥AC
又因为PA ⊥平面ABCD ，BM ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BM
而PA AC =A ，因此BM ⊥平面PAC
连结PM ，因此∠BPM 就是直线PB 与平面PAC 所成角……10分
在直角三角形PBM 中，BM =23, PB =42， BM 236
==因此，sin ∠BPM =……15分 PB 424
B
（第17题）
D
C
18．（本题满分15分）
已知直线l :y =kx +1(k ≠0) 与椭圆3x 2+y 2=a (a >0) 相交于A , B 两个不同的点，记直线l 与y 轴的交点为C .
（I ）若k =1，且|AB |=
，求实数a 的值； 2
（II ）若a =5, =2，求k 的值，及∆AOB 的面积. 18. 【解析】设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)
⎧y =x +12
4x +2x +1-a =0 （I ）联立⎨2得：2
⎩3x +y =a
11-a
因此，x 1+x 2=-, x 1x 2=
24
3⇒a =2……6分 |AB |=2|x 1-x 2|=2(a -) =
42
（II ）
⎧y =kx +12k 422
⇒(3+k ) x +2kx -4=0⇒x +x =-, x x =-⎨21212222
3x +y =53+k 3+k ⎩
……9分
由AC =2CB 得：x 1=-2x 2，代入上式得： -x 2=- 消去x 2得：k 2=3⇒k =±3……12分
2k 3+k
2
, -2x 2=-
2
43+k
2
S ∆AOB
1114k 21632
=|OC ||x 1-x 2|=(x 1+x 2) -4x 1x 2=+=
222(3+k 2) 23+k 22
……15分
19．（本题满分15分）
在正项数列{a n }中，a 1=3, a n 2=a n -1+2(n =2, 3, ) （I ）求a 2, a 3的值，判断a n 与2的大小关系并证明；
1
|a n -1-2|(n =2, 3, ) ； 4
4
（III ）求证：|a 1-2|+|a 2-2|+ +|a n -2|
3
（II ）求证：|a n -2|
19. 【解析】（1）a 2=1+2=5，a 3=a 2+2=
+2……2分
由题设，a n 2-4=a n -1-2，(a n -2)(a n +2) =a n -1-2 因为a n +2>0，所以a n -2与a n -1-2同号
又a 1-2=1>0，所以a n -2>0(n ≥2) ，即：a n >2……5分 （II ）由题设，|
a n -21
|=
a n -1-2a n +2
a -21111
由（I ）知，a n >2，所以
……9分
1
|a n -1-2|， 4
11
因此|a n -2|
44
111
因此，|a 1-2|+|a 2-2|+ +|a n -2|
444
（III ）由（II ）知，|a n -2|
1-
1
n =4(1-1)
n 13341-
4
=
20．（本题满分15分）
设二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a , b , c ∈R ) 满足条件：①当x ∈R 时，f (x ) 的最大值为0，且f (x -1) =f (3-x ) 成立；②二次函数f (x ) 的图象与直线y =-2的交点为A , B ，且|AB |=4.
（I ）求f (x ) 的解析式；
（II ）求最小的实数n (n
20. 【解析】（Ⅰ）由f (x -1) =f (3-x ) 可知函数f (x ) 的对称轴为x =1，……2分 由f (x ) 的最大值为0，可假设f (x ) =a (x -1) 2(a
-2-21
=4，a =-. ，则易知2
a a 2
1
所以，f (x ) =-(x -1) 2. ……6分
2
（Ⅱ）由f (x +t ) ≥2x 可得，-
1
(x -1+t ) 2≥2x ，即x 2+2(t +1) x +(t -1) 2≤0， 2
解得-t -1-2t ≤x ≤-t -1+2t . ……8分 又f (x +t ) ≥2x 在x ∈[n , -1]时恒成立，可得
⎧⎪-t -1-2t ≤n ⎨⎪⎩-t -1+2t ≥-1
(1) (2)
，
由（2）得0≤t ≤4. ……10分
令g (t ) =-t -1-2t ，易知g (t ) =-t -1-2t 单调递减，所以，g (t ) ≥g (4) =-9， 由于只需存在实数t ，故n ≥-9，则n 能取到的最小实数为-9.
此时，存在实数t =4，只要当x ∈[n , -1]时，就有f (x +t ) ≥2x 成立．……15分
命题人
吴旻玲、刘 舸、沈勤龙、黄海平
吴明华、张启源、徐连根、沈顺良、李富强、吴林华
2015年2月
2015年嘉兴市高三教学测试（一）
数学试卷（文科）
本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。考试时间为120分钟，试卷总分为150分。请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。 1、已知集合A ={1，3
，B ={1，m }，A ∪B =A ，则m =
A.0
B.0或3
C.1
（ ）
D.1或3
（ ）
2、已知角θ的终边过点(4，－3) ，则cos (π－θ)=
A.
B. －
C.
D. －
3、两条不重合的直线m ，n 及两个不重合的平面α，β，下列命题正确的是 （ ）
A. 若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥α B. 若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β C. 若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α⊥β D. 若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥β，则m ⊥α
－
4、命题①“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充要条件；②y =2x －2x 是奇函数；③若“p ∨q ”为真，则“p ∧q ”为真；
④若集合A ∩B =A ，则A ⊆B 。其中真命题的个数有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5、已知直线a 2x +y －2=0与直线bx －(a 2+1)y －1=0互相垂直，则|ab |的最小值为 （ ）
A.5 B.4 C.2 D.1
6、已知直线Ax +By +C =0(A +B =C ) 与圆x +y =4交于M ，N 两点，O 为坐标原点，则OM ⋅ON
2
2
2
2
2
等于 A. －2 B. －1 C.0 D.1
（ ）
7、已知函数f (x )=
A.[－2，2)
{
x +1, x ≤0
，若函数y =f [f (x )+a ]有四个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
2x -4, x >0
B.[1，5)
C.[1，2)
D.[－2，5)
2y 28、如图，已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 上有一点A ，它关于原点a b
的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足AF ⊥BF ，设∠ABF =α，且α∈[, ]，则该双曲线离心率e 的取值范围为 （ ）
A. +
B. 1]
C.
D. 1]
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分。 9、已知函数f (x )=
{
log 2(-x ), x
，则f (1)= ；
2x -1, x ≥0
若f (a )=2，则a = .
10、如图是一个几何体的三视图，若它的体积是
a ，
该几何体的表面积为
11、已知等差数列{a n }的公差d ≠0，首项a 1=4，且a 1，a 5，a 13依次成等比数列，则该数列的通项
公式a n ，数列{2n }的前6项和为a
⎧⎪x -y ≥0
12、若实数x ，y 满足不等式组⎨x +y ≤a ，若a =4，则z =2x +y 的最大值为 ；若不等式组
⎪⎩y ≥1
所表示的平面区域面积为4，则a = .
13、已知抛物线方程为y 2=4x ，直线l 的方程为x －y +4=0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为
d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1+d 2的最小值为
14、若△ABC 的重心为G ，AB =3，AC =4，BC =5，动点P 满足GP =xGA +yGB +zGC (0≤x ，y ，
z ≤1) ，则点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于
15、若x ，y ，z 是正实数，且满足lgx +lgy +lgz +lg (x +y +z )=0，则log 2(x +y )+log 2(y +z ) 的最小值为
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. （本题满分15分）已知函数f (x )=1－2sin (x +)[sin (x +) －cos (x +)]
（I ）求函数f (x ) 的最小正周期；
（II ）当x ∈[-, ]，求函数f (x +) 的值域。
17.(本题满分15分) 在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，
△ABC 为正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又P A =AB =4，∠CDA =120°，点N 在线段PB 上，且PN
(Ⅰ) 求证：MN ∥平面PDC ；
(Ⅱ) 求直线PB 与平面P AC 所成角的正弦值.
18. (本题满分15分) 已知直线 l : y =kx +1(k ≠0)，与椭圆3x 2+y 2=a (a >0)相交于A ，B 两个不同的点，记直线 l 与y 轴的交点为C 。
a 的值；
(Ⅱ) 若a =5，AC 2CB ，求k 的值，及△AOB 的面积。
(Ⅰ) 若k =1，且|AB
19.(本题满分15分) 在正项数列{a n }中，a 1=3，a n 2=a n －1+2(n =2，3，…)
(Ⅰ) 求a 2，a 3的值，判断a n 与2的大小关系并证明；
(Ⅱ) 求证：|a n －2|
(III)求证：|a 1－2|+|a 2－2|+…+|a n －2|
20. (本题满分15分) 设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ，b ，c ∈R ) 满足条件：①当x ∈R 时，f (x ) 的最大
值为0，且f (x －1)=f (3－x ) 成立；②二次函数f (x ) 的图象与直线y =－2的交点为A ，B ，且|AB |=4. (Ⅰ) 求f (x ) 的解析式；
(Ⅱ) 求最小的实数n (n
浙江省嘉兴一中2015届高三第一次模拟试卷
文科数学 参考答案
一. 选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）
1.B ； 2.D ； 3.D ； 4.B ； 5.C; 6.A; 7.C; 8.B. 8．【解析】Rt ∆ABF 中，OF =c , ∴AB =2c ，∴AF =2c sin α, BF =2c cos α ∴|BF -AF |=2c |cos α-sin α|=2a ，∴e =
c 1
==a |cos α-sin α|
12|cos(α+
π
4
) |
π
12
≤α≤
π
6
, ∴
π
3
≤α+
π
4
≤
5π, 12
∴cos(α+
π
4
) ∈[
6-21π3-12
, ],2|cos(α+) |∈[, ]∴e ∈[2, 3+1] 42422
二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分）
9. 1，－4或2 10. 3, 23+18 11. n +3，1008 12. 7，6 13.
52
-1 14. 12 15. 1 2
14．【解析】点P 的轨迹所覆盖的区域如图所示，恰好为∆ABC 面积的2倍，
因此面积为12.
15. 【解析】由已知xyz (x +y +z ) =1，因此，
C
E B
(x +y )(y +z ) =xy +xz +y 2+yz =xz +y (x +y +z ) =xz +
∴log 2(x +y ) +log 2(y +z ) ≥1
1
≥2， xz
三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （本题满分14分）
已知函数f (x ) =1-2sin(x +
π
8
)[sin(x +
π
8
) -cos(x +
π
8
)]．
（I ）求函数f (x ) 的最小正周期； （II ）当x ∈[-
ππ
212,
] ，求函数f (x +
π
8
) 的值域．
16. 【解析】（I ）f (x ) =1-2sin(x +
π
8
)[sin(x +
π
8
) -cos(x +
π
8
)]
=1-2sin 2(x +=cos(2x +
π
8
) +2sin(x +
π
8
) ⋅cos(x +
π
8
)
π
4
) +sin(2x +
π
4
)
=2sin(2x +
所以，f (x ) 的最小正周期T =（Ⅱ）由（I ）可知f (x +
π
4
+
π
4
) =2sin(2x +
π
2
) =2cos 2x ……5分
2π
=π. ……7分 2
π
8
) =2cos 2(x +
π
8
) =2cos(2x +
π
4
) . ……9分
x ∈[-
ππ
212,
]，∴2x +
π
4
∈[-
3π5π
, ]，……11分 412
∴cos(2x +
π
4
) ∈[-
2
, 1]， 2
∴f (x +
π
8
) ∈[-1, 2].
所以，f (x +
π
8
) 的值域为[-1, 2]. ……14分
17．（本题满分15分）
在四棱锥P -ABCD 中， PA ⊥平面ABCD ，∆ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又PA =AB =4，∠CDA =120︒，点N 在线段PB 且PN =2．
（I ）求证：MN //平面PDC ；
（Ⅱ）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值． 17．【解析】（Ⅰ）在正三角形ABC 中，BM =23
上，
B
（第17题）
D
C
在∆ACD 中，因为M 为AC 中点，DM ⊥AC ，所以AD =CD ， ∠CDA =120︒，所以DM =
23
，所以BM :MD =3:1 ……4分 3
在等腰直角三角形PAB 中，PA =AB =4, PB =42， 所以BN :NP =3:1，BN :NP =BM :MD ，所以MN //PD
又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，所以MN //平面PDC ……7分 （Ⅱ）在正三角形ABC 中，BM ⊥AC
又因为PA ⊥平面ABCD ，BM ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BM
而PA AC =A ，因此BM ⊥平面PAC
连结PM ，因此∠BPM 就是直线PB 与平面PAC 所成角……10分
在直角三角形PBM 中，BM =23, PB =42， BM 236
==因此，sin ∠BPM =……15分 PB 424
B
（第17题）
D
C
18．（本题满分15分）
已知直线l :y =kx +1(k ≠0) 与椭圆3x 2+y 2=a (a >0) 相交于A , B 两个不同的点，记直线l 与y 轴的交点为C .
（I ）若k =1，且|AB |=
，求实数a 的值； 2
（II ）若a =5, =2，求k 的值，及∆AOB 的面积. 18. 【解析】设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)
⎧y =x +12
4x +2x +1-a =0 （I ）联立⎨2得：2
⎩3x +y =a
11-a
因此，x 1+x 2=-, x 1x 2=
24
3⇒a =2……6分 |AB |=2|x 1-x 2|=2(a -) =
42
（II ）
⎧y =kx +12k 422
⇒(3+k ) x +2kx -4=0⇒x +x =-, x x =-⎨21212222
3x +y =53+k 3+k ⎩
……9分
由AC =2CB 得：x 1=-2x 2，代入上式得： -x 2=- 消去x 2得：k 2=3⇒k =±3……12分
2k 3+k
2
, -2x 2=-
2
43+k
2
S ∆AOB
1114k 21632
=|OC ||x 1-x 2|=(x 1+x 2) -4x 1x 2=+=
222(3+k 2) 23+k 22
……15分
19．（本题满分15分）
在正项数列{a n }中，a 1=3, a n 2=a n -1+2(n =2, 3, ) （I ）求a 2, a 3的值，判断a n 与2的大小关系并证明；
1
|a n -1-2|(n =2, 3, ) ； 4
4
（III ）求证：|a 1-2|+|a 2-2|+ +|a n -2|
3
（II ）求证：|a n -2|
19. 【解析】（1）a 2=1+2=5，a 3=a 2+2=
+2……2分
由题设，a n 2-4=a n -1-2，(a n -2)(a n +2) =a n -1-2 因为a n +2>0，所以a n -2与a n -1-2同号
又a 1-2=1>0，所以a n -2>0(n ≥2) ，即：a n >2……5分 （II ）由题设，|
a n -21
|=
a n -1-2a n +2
a -21111
由（I ）知，a n >2，所以
……9分
1
|a n -1-2|， 4
11
因此|a n -2|
44
111
因此，|a 1-2|+|a 2-2|+ +|a n -2|
444
（III ）由（II ）知，|a n -2|
1-
1
n =4(1-1)
n 13341-
4
=
20．（本题满分15分）
设二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a , b , c ∈R ) 满足条件：①当x ∈R 时，f (x ) 的最大值为0，且f (x -1) =f (3-x ) 成立；②二次函数f (x ) 的图象与直线y =-2的交点为A , B ，且|AB |=4.
（I ）求f (x ) 的解析式；
（II ）求最小的实数n (n
20. 【解析】（Ⅰ）由f (x -1) =f (3-x ) 可知函数f (x ) 的对称轴为x =1，……2分 由f (x ) 的最大值为0，可假设f (x ) =a (x -1) 2(a
-2-21
=4，a =-. ，则易知2
a a 2
1
所以，f (x ) =-(x -1) 2. ……6分
2
（Ⅱ）由f (x +t ) ≥2x 可得，-
1
(x -1+t ) 2≥2x ，即x 2+2(t +1) x +(t -1) 2≤0， 2
解得-t -1-2t ≤x ≤-t -1+2t . ……8分 又f (x +t ) ≥2x 在x ∈[n , -1]时恒成立，可得
⎧⎪-t -1-2t ≤n ⎨⎪⎩-t -1+2t ≥-1
(1) (2)
，
由（2）得0≤t ≤4. ……10分
令g (t ) =-t -1-2t ，易知g (t ) =-t -1-2t 单调递减，所以，g (t ) ≥g (4) =-9， 由于只需存在实数t ，故n ≥-9，则n 能取到的最小实数为-9.
此时，存在实数t =4，只要当x ∈[n , -1]时，就有f (x +t ) ≥2x 成立．……15分
命题人
吴旻玲、刘 舸、沈勤龙、黄海平
吴明华、张启源、徐连根、沈顺良、李富强、吴林华
2015年2月