“一叶知秋”的启示
作者：陈卓英
来源：《小学教学参考(数学)》2015年第05期
[摘 要]分数的内容一直是学生学习的难点，也是教师教学的一大困惑。通过对原人教版数学课本第十册第四单元中的一道量率区分的易错题，从问题解决等方面对学生的错因进行分析，寻找重组教材、指导学法、拓展练习的教学改进策略。
[关键词]量率区分 剖因溯源 教学改进
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）14-021
“一叶知秋”是指从一片树叶的凋落知道秋天的到来，比喻通过个别的细微的迹象，可以看到整个形势的发展趋向与结果。同样，在教学上，只要看看学生的作业情况，就可以大致了解到教师的教学是成功的，还是失败的。下面这个案例，也许能给我们一些启示。
一、案例背景
原人教版数学课本第十册第四单元中有这样一道习题：“把一根4米长的木料平均分成5段，每段是这根木料的（ ），每段长（ ）米。”该题反馈时，发现全班有50%的学生将两个括号里的答案互相交换了位置，约有40%的学生在两个括号里均填写为4 / 5，10%的学生在第二个括号里填写5 / 4、1 / 4、1 / 5等分数。
笔者在与学生访谈中，发现他们经常会混淆代表具体量和代表分率的两个分数，还有对用除法解决平均分问题时总爱用“大数÷小数”，而不管谁是总数，谁是份数。后来通过老师的讲评，学生订正了错误，可再过几天，出现类似题目，学生又会频频出错。于是，笔者不禁思考：“学生为什么在讲评和多次练习后，还是重复错误呢？这说明了什么问题？”
二、剖因溯源
“两个分数不小心交换了位置”和“除法总是用大数除以小数”这两个问题看起来微小，却体现了学生的认知心理，反映了学生认知上的某种障碍。笔者认为主要原因不外乎以下三种。
（一）教材编排方面
对于“分数的意义”内容，原人教版数学教材分两个阶段安排：第一阶段安排在三年级上册，主要是把一个物体或一个图形看作一个整体；第二阶段安排在五年级下册，主要是把很多物体或多个图形看作一个整体，概括出单位“1”，并将分数的意义拓展到两种含义（即表示一种关系和表示具体数量）。教材这样编排，一方面我们感到分数意义理解的轻重失衡。翻阅原人教版三年级～五年级的数学课本，教材中没有安排独立的课时来研究用分数表示数量，所以
和学生在第一学段已建立起“部分和整体的一种关系”相比，分数代表一种数的内容过于单薄。另一方面，我们感到不利于学生学习分数意义的正迁移。教材先让学生理解分数表示“部分和整体的一种关系”，再概括分数的意义，然后学习分数与除法的关系，最后认识分数表示一种关系的另一种意义，这样编排于无形中割裂了分数的两种意义，使学生的学习不能发生正迁移，必然造成错误理解所学的概念。
（二）教师方面
如教学“分数的意义”时，教师不能很好地把握分数意义的教学重点，忽视了知识结构的前后连贯，随着知识难度的增加，原本隐藏的问题开始暴露。
（三）学生方面
由于上述题目中的两个问题非常相似，又比较抽象，很多学生面对问题弄不清是求具体的数量，还是求部分与整体的关系。以前在低年段学习求每份数时，总数都大于份数，结果一般能被份数整除，而到了高年段，学生的思维还是原先的水平，当遇到求具体数量且结果不是整数时，就无从下手了。
三、曲径通幽
基于前面的原因分析，在对教材进行深度解读后，笔者改进教学，从而使教学更有效。 策略（一）：重组教学内容，均衡分数的两种意义
针对原教材中分数两种意义的教学失衡，笔者觉得可以对有关分数的内容进行整合处理，有助于学生比较好地理解分数的意义。
阶段1：三年级上册──强化认知基础，拓展分数意义的理解。
由于三年级学生是在整数认识的基础上学习分数意义的，所以笔者尝试让学生在分水果的过程中体会分数产生的必要性，强调“平均分”是分数的本质特征。
（1）通过把4个草莓、2个橘子、1个苹果分给两个同学的操作，引出“平均分”。
（2）每人得到多少个？学生列式计算，师板书：被除数÷除数=商。
（3）理解“一半”的意思，引导学生建构1 / 2的意义。
①把1个苹果平均分成2份，每份是多少？根据除法的意义，想一想，怎么列式？1÷2表示什么意思？1÷2=？
②引出1 / 2，说说1 / 2的意思。
③刚才我们从苹果中找到了1 / 2，那你能从图形中找出1 / 2吗？（活动操作过程略）
（4）类比迁移，认识几分之一（略）。
（5）初步感知整体“1”。
师（小结）：由于整体的个数不同，它们的1 / 2所表示的个数也不一样。
（6）认识分数各部分的名称（略）。
设计思路：从分数的引入开始就把整体“1”的均分和单个“1”的均分结合在一起认识，使学生接纳分数时就较好地建构起比较完整的分数意义。
阶段2：五年级下册──改变编排结构，完善分数认知系统。
“分数的意义”的学习主要是对三年级分数认识系统的完善，教学时笔者除了重点揭示单位“1”和认识分数单位外，还把原本分两个课时教学“分数的意义”与“分数和除法的关系”的新授整合在一节课中尝试教学。
（1）分数与除法关系的认识。
①老师买了6个饼，平均分给3个人，每人得到多少个？
生：6÷3=2（个）。
②1.5个饼平均分给3个人，每人得到多少个？
生：1.5÷3=0.5（个）。
……
师：观察这些算式，你发现分数与除法有什么关系？
师（小结）：看来，两个数相除，商不仅可以用小数来表示，也可以用分数来表示。 ③如果用字母a表示被除数，b表示除数，谁可以用字母来表示这种关系？（板书：a÷b=a / b）
师：a / b是a÷b的商，在这里它表示一个具体的量，有时也表示一种关系。
设计思路：以除法的含义为解决问题的主线，让学生感受到解决问题的方法是一样的，只是商的表达方式不同。这样教学，不仅让学生比较清楚地认识到分数和除法之间的关系，又能让学生理解分数可以表示具体数量，为后续学习分数表示分率做好准备。
（2）单位“1”的认识。
①师：看到a / b，你会想到哪些分数？（生答略）
师：请举例说说1 / 4的含义，也可以画图表示。
②学生反馈交流（略）。
（3）师：在表示1 / 4的过程中，有什么共同点？（都是平均分成4份，取了其中的1份）有什么不同的地方？（分的物体不同）
（4）在分数与除法、具体量与分率的沟通中认识单位“1”。
（5）师（小结）：我们把一个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数表示。这个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。表示其中的一份的数叫分数单位。
设计思路：这里抓住1 / 4这个突破口，强化1 / 4的含义，引导学生理解虽然单位“1”不同，但都是用分数1 / 4表示。通过图的变换，让学生对单位“1”是一个物体的认识，逐步拓展到单位“1”是多个物体的认识，进一步理解单位“1”和分数单位。
策略（二）：指导学习方法，引领分数的两种意义
分数是小学数学学习中的一个重点，尤其是刚开始接触分数时，学生对于正确区分量、率更是个难点。教学中，教师可给学生提供适当的学习方法，让学生在学习新知时收到事半功倍的效果。
1.单位区分。
如上述题目，分析时可以先从题目的字面入手，引导学生仔细审题，观察这两个问题有什么异同。通过比较，学生发现第一个括号后面没有单位，而第二个括号后面是有单位的。如“每份占总量的几分之几”“甲是乙的几分之几”所表示的就是分率，分率是没有单位的；如“每段长几分之几米”“每份是几分之几”所表示的就是具体数量，数量是有单位的。第一个问题“每段是这根木料的几分之几”，求的是分率，以木料的全长为标准；第二个问题“每段长几米”，求的是数量。
2.数形结合。
我们可以借助画线段图或示意图等方法来帮助学生理解题意，从而把抽象的问题变为直观图形。如上述错例分析中，可以引导学生根据题意分别画出两幅线段图。如下图：
师：图1是把谁看做单位“1”？（整根木料）平均分成几段？（5段）其中的一段就是表示“每段是这根木料的几分之几”，用算式表示是1÷5=1 / 5。图2是把谁平均分成5段？（4米长的木料）每段是多少米？用算式表示是4÷5=4 / 5（米）。
策略（三）：拓展题目类型，强化分数两种意义
认识分数与除法的关系后，可以设计一些专门区分分数两种意义的对比练习题，以便学生更好分辨“什么时候是一种关系，什么时候是具体的数量”“什么时候该加单位，什么时候不该加单位”。如下：
（1）基础练习。
①一根5米的钢管平均截成8段，每段是这根钢管的（ ），每段长（ ）米。 ②同学们到植物园参观，用25分钟走了2千米，平均每分钟走（ ）千米。
（2）拓展练习。
①小明做完以下三项作业要2小时，其中做作业用了1 / 2小时，听英语用了1 / 4小时，那剩下的体育锻炼要用几小时？
②小明做完以下三项作业要2小时，其中做作业用了所有时间的1 / 2，听英语用了1 / 4，那剩下的体育锻炼用了全部时间的几分之几？
笔者对于三年级和五年级两次教学分数的内容各有侧重，从教学情况和效果来看，虽然仍有很多不成熟的地方，但能帮助学生比较完整地掌握分数的两种意义，为今后小数乘除法、分数乘除法等计算教学和相关的解决问题的教学做好铺垫。
（责编 杜 华）
“一叶知秋”的启示
作者：陈卓英
来源：《小学教学参考(数学)》2015年第05期
[摘 要]分数的内容一直是学生学习的难点，也是教师教学的一大困惑。通过对原人教版数学课本第十册第四单元中的一道量率区分的易错题，从问题解决等方面对学生的错因进行分析，寻找重组教材、指导学法、拓展练习的教学改进策略。
[关键词]量率区分 剖因溯源 教学改进
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）14-021
“一叶知秋”是指从一片树叶的凋落知道秋天的到来，比喻通过个别的细微的迹象，可以看到整个形势的发展趋向与结果。同样，在教学上，只要看看学生的作业情况，就可以大致了解到教师的教学是成功的，还是失败的。下面这个案例，也许能给我们一些启示。
一、案例背景
原人教版数学课本第十册第四单元中有这样一道习题：“把一根4米长的木料平均分成5段，每段是这根木料的（ ），每段长（ ）米。”该题反馈时，发现全班有50%的学生将两个括号里的答案互相交换了位置，约有40%的学生在两个括号里均填写为4 / 5，10%的学生在第二个括号里填写5 / 4、1 / 4、1 / 5等分数。
笔者在与学生访谈中，发现他们经常会混淆代表具体量和代表分率的两个分数，还有对用除法解决平均分问题时总爱用“大数÷小数”，而不管谁是总数，谁是份数。后来通过老师的讲评，学生订正了错误，可再过几天，出现类似题目，学生又会频频出错。于是，笔者不禁思考：“学生为什么在讲评和多次练习后，还是重复错误呢？这说明了什么问题？”
二、剖因溯源
“两个分数不小心交换了位置”和“除法总是用大数除以小数”这两个问题看起来微小，却体现了学生的认知心理，反映了学生认知上的某种障碍。笔者认为主要原因不外乎以下三种。
（一）教材编排方面
对于“分数的意义”内容，原人教版数学教材分两个阶段安排：第一阶段安排在三年级上册，主要是把一个物体或一个图形看作一个整体；第二阶段安排在五年级下册，主要是把很多物体或多个图形看作一个整体，概括出单位“1”，并将分数的意义拓展到两种含义（即表示一种关系和表示具体数量）。教材这样编排，一方面我们感到分数意义理解的轻重失衡。翻阅原人教版三年级～五年级的数学课本，教材中没有安排独立的课时来研究用分数表示数量，所以
和学生在第一学段已建立起“部分和整体的一种关系”相比，分数代表一种数的内容过于单薄。另一方面，我们感到不利于学生学习分数意义的正迁移。教材先让学生理解分数表示“部分和整体的一种关系”，再概括分数的意义，然后学习分数与除法的关系，最后认识分数表示一种关系的另一种意义，这样编排于无形中割裂了分数的两种意义，使学生的学习不能发生正迁移，必然造成错误理解所学的概念。
（二）教师方面
如教学“分数的意义”时，教师不能很好地把握分数意义的教学重点，忽视了知识结构的前后连贯，随着知识难度的增加，原本隐藏的问题开始暴露。
（三）学生方面
由于上述题目中的两个问题非常相似，又比较抽象，很多学生面对问题弄不清是求具体的数量，还是求部分与整体的关系。以前在低年段学习求每份数时，总数都大于份数，结果一般能被份数整除，而到了高年段，学生的思维还是原先的水平，当遇到求具体数量且结果不是整数时，就无从下手了。
三、曲径通幽
基于前面的原因分析，在对教材进行深度解读后，笔者改进教学，从而使教学更有效。 策略（一）：重组教学内容，均衡分数的两种意义
针对原教材中分数两种意义的教学失衡，笔者觉得可以对有关分数的内容进行整合处理，有助于学生比较好地理解分数的意义。
阶段1：三年级上册──强化认知基础，拓展分数意义的理解。
由于三年级学生是在整数认识的基础上学习分数意义的，所以笔者尝试让学生在分水果的过程中体会分数产生的必要性，强调“平均分”是分数的本质特征。
（1）通过把4个草莓、2个橘子、1个苹果分给两个同学的操作，引出“平均分”。
（2）每人得到多少个？学生列式计算，师板书：被除数÷除数=商。
（3）理解“一半”的意思，引导学生建构1 / 2的意义。
①把1个苹果平均分成2份，每份是多少？根据除法的意义，想一想，怎么列式？1÷2表示什么意思？1÷2=？
②引出1 / 2，说说1 / 2的意思。
③刚才我们从苹果中找到了1 / 2，那你能从图形中找出1 / 2吗？（活动操作过程略）
（4）类比迁移，认识几分之一（略）。
（5）初步感知整体“1”。
师（小结）：由于整体的个数不同，它们的1 / 2所表示的个数也不一样。
（6）认识分数各部分的名称（略）。
设计思路：从分数的引入开始就把整体“1”的均分和单个“1”的均分结合在一起认识，使学生接纳分数时就较好地建构起比较完整的分数意义。
阶段2：五年级下册──改变编排结构，完善分数认知系统。
“分数的意义”的学习主要是对三年级分数认识系统的完善，教学时笔者除了重点揭示单位“1”和认识分数单位外，还把原本分两个课时教学“分数的意义”与“分数和除法的关系”的新授整合在一节课中尝试教学。
（1）分数与除法关系的认识。
①老师买了6个饼，平均分给3个人，每人得到多少个？
生：6÷3=2（个）。
②1.5个饼平均分给3个人，每人得到多少个？
生：1.5÷3=0.5（个）。
……
师：观察这些算式，你发现分数与除法有什么关系？
师（小结）：看来，两个数相除，商不仅可以用小数来表示，也可以用分数来表示。 ③如果用字母a表示被除数，b表示除数，谁可以用字母来表示这种关系？（板书：a÷b=a / b）
师：a / b是a÷b的商，在这里它表示一个具体的量，有时也表示一种关系。
设计思路：以除法的含义为解决问题的主线，让学生感受到解决问题的方法是一样的，只是商的表达方式不同。这样教学，不仅让学生比较清楚地认识到分数和除法之间的关系，又能让学生理解分数可以表示具体数量，为后续学习分数表示分率做好准备。
（2）单位“1”的认识。
①师：看到a / b，你会想到哪些分数？（生答略）
师：请举例说说1 / 4的含义，也可以画图表示。
②学生反馈交流（略）。
（3）师：在表示1 / 4的过程中，有什么共同点？（都是平均分成4份，取了其中的1份）有什么不同的地方？（分的物体不同）
（4）在分数与除法、具体量与分率的沟通中认识单位“1”。
（5）师（小结）：我们把一个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数表示。这个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。表示其中的一份的数叫分数单位。
设计思路：这里抓住1 / 4这个突破口，强化1 / 4的含义，引导学生理解虽然单位“1”不同，但都是用分数1 / 4表示。通过图的变换，让学生对单位“1”是一个物体的认识，逐步拓展到单位“1”是多个物体的认识，进一步理解单位“1”和分数单位。
策略（二）：指导学习方法，引领分数的两种意义
分数是小学数学学习中的一个重点，尤其是刚开始接触分数时，学生对于正确区分量、率更是个难点。教学中，教师可给学生提供适当的学习方法，让学生在学习新知时收到事半功倍的效果。
1.单位区分。
如上述题目，分析时可以先从题目的字面入手，引导学生仔细审题，观察这两个问题有什么异同。通过比较，学生发现第一个括号后面没有单位，而第二个括号后面是有单位的。如“每份占总量的几分之几”“甲是乙的几分之几”所表示的就是分率，分率是没有单位的；如“每段长几分之几米”“每份是几分之几”所表示的就是具体数量，数量是有单位的。第一个问题“每段是这根木料的几分之几”，求的是分率，以木料的全长为标准；第二个问题“每段长几米”，求的是数量。
2.数形结合。
我们可以借助画线段图或示意图等方法来帮助学生理解题意，从而把抽象的问题变为直观图形。如上述错例分析中，可以引导学生根据题意分别画出两幅线段图。如下图：
师：图1是把谁看做单位“1”？（整根木料）平均分成几段？（5段）其中的一段就是表示“每段是这根木料的几分之几”，用算式表示是1÷5=1 / 5。图2是把谁平均分成5段？（4米长的木料）每段是多少米？用算式表示是4÷5=4 / 5（米）。
策略（三）：拓展题目类型，强化分数两种意义
认识分数与除法的关系后，可以设计一些专门区分分数两种意义的对比练习题，以便学生更好分辨“什么时候是一种关系，什么时候是具体的数量”“什么时候该加单位，什么时候不该加单位”。如下：
（1）基础练习。
①一根5米的钢管平均截成8段，每段是这根钢管的（ ），每段长（ ）米。 ②同学们到植物园参观，用25分钟走了2千米，平均每分钟走（ ）千米。
（2）拓展练习。
①小明做完以下三项作业要2小时，其中做作业用了1 / 2小时，听英语用了1 / 4小时，那剩下的体育锻炼要用几小时？
②小明做完以下三项作业要2小时，其中做作业用了所有时间的1 / 2，听英语用了1 / 4，那剩下的体育锻炼用了全部时间的几分之几？
笔者对于三年级和五年级两次教学分数的内容各有侧重，从教学情况和效果来看，虽然仍有很多不成熟的地方，但能帮助学生比较完整地掌握分数的两种意义，为今后小数乘除法、分数乘除法等计算教学和相关的解决问题的教学做好铺垫。
（责编 杜 华）