1.2.2 空间中的平行关系 第1课时 平行直线
课时目标 理解平面的基本性质及等角定理，并能应用它们进行有关的证明．
1．____________________________的两条直线叫做平行直线，过直线外一点有且只有________直线和已知直线平行．
2．基本性质4：__________________________________，用符号表述为____________________________．
3．等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边____________________________，那么这两个角相等．
4．顺次连接不共面的四点A ，B ，C ，D 所构成的图形叫做________________，这四个点中的各个点叫做空间四边形的________，所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的______，连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的__________．
一、选择题
1．经过平面α外的两个点作该平面的平行平面，可以作出( ) A ．0个 B ．1个
C ．0个或1个 D ．1个或2个
2．若∠AOB ＝∠A 1O 1B 1，且OA ∥O 1A 1，OA 与O 1A 1的方向相同，则下列结论中正确的是( )
A ．OB ∥O 1B 1且方向相同 B ．OB ∥O 1B 1
C ．OB 与O 1B 1不平行
D ．OB 与O 1B 1不一定平行
3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定异面 D ．相交或异面 4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 分别为AA 1、CC 1的中点，则四边形D 1PBQ 是( ) A ．正方形 B ．菱形
C ．矩形 D ．空间四边形 5．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行； ②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a ，b ，c 满足a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；
④若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线． 其中假命题的个数是( )
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
6．如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是(
)
1
A ．MN ≥(AC＋BD)
21
B ．MN ≤(AC＋BD)
21
C ．MN ＝(AC＋BD)
21
D ．MN
2
二、填空题
7．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________． 8．如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________； (2)直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是________； (3)直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________； (4)直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________．
9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB ⊥EF ； ②AB ∥CM ；
③EF 与MN 是异面直线； ④MN ∥CD ．
以上结论中正确结论的序号为________． 三、解答题
10．已知棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD 、AD 的中点． 求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1．
11．如图所示，P 是△ABC 所在平面外一点，D 、E 分别是△PAB 、△PBC 的重心．求证：
1
DE ∥AC ，DE ＝AC ．
3
能力提升
12．如图所示，G 、H 、M 、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________(填序号) ．
13．如图所示，在三棱锥A —BCD 中，E ，F ，G 分别是棱AB ，AC ，AD 上的点，且满AE AF AG 足＝＝ AB AC AD
求证：△EFG ∽△BCD ．
1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．
⎪—共面，无公共点
⎪⎪条直线⎪—基本性质4—空间平行线
2．—⎪—平行—的位置⎪ 的传递性
⎪—等角定理关系⎪⎪—异面
空间两
3．注意：等角定理的逆命题不成立．
—相交—共面，有一个公共点
1．2．2 空间中的平行关系
第1课时 平行直线
答案
知识梳理
1．在同一平面内不相交 一条
2．平行于同一条直线的两条直线互相平行 如果a ∥b ，c ∥b ，那么a ∥c 3．分别对应平行，并且方向相同 4．空间四边形 顶点 边 对角线 作业设计 1．C
2．D [等角定理的实质是角的平移，其逆命题不一定成立，OB 与O 1B 1有可能平行，也可能不在同一平面内，位置关系不确定．]
3．D
4．B [设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D 1PBQ 各边均为 5，又D 1PBQ 是平行四边形，所以四边形D 1PBQ 是菱形．]
5．B [①④均为假命题．①可举反例，如a 、b 、c 三线两两垂直．
④如图甲时，c 、d 与异面直线l 1、l 2交于四个点，此时c 、d 异面，一定不会平行； 当点A 在直线a 上运动(其余三点不动) ，会出现点A 与B 重合的情形，如图乙所示，此时c 、d 共面相交．
]
6．
D
[如图所示，取BC 的中点E ，连接ME 、NE ，
11
则ME ＝AC ，NE ＝BD ，
22
所以ME ＋NE 1
＝＋BD) ． 2
在△MNE 中，有ME ＋NE>MN，
1
所以MN
2
7．60°或120°
8．(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面 9．①②③ 解析
把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB ⊥EF ，EF 与MN 是异面直线，AB ∥CM ，MN ⊥CD ，只有①②③正确．
10．证明 (1)如图，连接AC ， 在△ACD 中，
∵M 、N 分别是CD 、AD 的中点， ∴MN 是三角形的中位线，
1
∴MN ∥AC ，MN ＝．
2
由正方体的性质得： AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1．
1
∴MN ∥A 1C 1，且MN 1C 1，即MN ≠A 1C 1，
2
∴四边形MNA 1C 1是梯形．
(2)由(1)可知MN ∥A 1C 1，又因为ND ∥A 1D 1， ∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补．
而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1． 11．
证明 连接PD 并延长交AB 于M ，
连接PE 并延长交BC 于N ，则M 为AB 的中点，N 为BC 的中点，
PD PE 2
∴MN ∥AC ，又，
DM EN 1
∴DE ∥MN ，∴DE ∥AC ．
DE PD 2， MN PM 3
21
∴DE ＝，又因MN ＝AC ，
321
∴DE ＝．
3
12．②④
解析 ①中HG ∥MN ．③中GM ∥HN 且GM ≠HN ，∴HG 、MN 必相交．
AE AF
13．证明 在△ABC 中，∵＝，
AB AC
EF AE
∴EF ∥BC 且．
BC AB
EG AE
同理，EG ∥BD 且．
BD AB
又∵∠FEG 与∠CBD 的对应两边方向相同，
EF EG
∴∠FEG ＝∠CBD ．∵，
BC BD
∴△EFG ∽△BCD ． 又
1.2.2 空间中的平行关系 第1课时 平行直线
课时目标 理解平面的基本性质及等角定理，并能应用它们进行有关的证明．
1．____________________________的两条直线叫做平行直线，过直线外一点有且只有________直线和已知直线平行．
2．基本性质4：__________________________________，用符号表述为____________________________．
3．等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边____________________________，那么这两个角相等．
4．顺次连接不共面的四点A ，B ，C ，D 所构成的图形叫做________________，这四个点中的各个点叫做空间四边形的________，所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的______，连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的__________．
一、选择题
1．经过平面α外的两个点作该平面的平行平面，可以作出( ) A ．0个 B ．1个
C ．0个或1个 D ．1个或2个
2．若∠AOB ＝∠A 1O 1B 1，且OA ∥O 1A 1，OA 与O 1A 1的方向相同，则下列结论中正确的是( )
A ．OB ∥O 1B 1且方向相同 B ．OB ∥O 1B 1
C ．OB 与O 1B 1不平行
D ．OB 与O 1B 1不一定平行
3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定异面 D ．相交或异面 4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 分别为AA 1、CC 1的中点，则四边形D 1PBQ 是( ) A ．正方形 B ．菱形
C ．矩形 D ．空间四边形 5．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行； ②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a ，b ，c 满足a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；
④若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线． 其中假命题的个数是( )
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
6．如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是(
)
1
A ．MN ≥(AC＋BD)
21
B ．MN ≤(AC＋BD)
21
C ．MN ＝(AC＋BD)
21
D ．MN
2
二、填空题
7．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________． 8．如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________； (2)直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是________； (3)直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________； (4)直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________．
9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB ⊥EF ； ②AB ∥CM ；
③EF 与MN 是异面直线； ④MN ∥CD ．
以上结论中正确结论的序号为________． 三、解答题
10．已知棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD 、AD 的中点． 求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1．
11．如图所示，P 是△ABC 所在平面外一点，D 、E 分别是△PAB 、△PBC 的重心．求证：
1
DE ∥AC ，DE ＝AC ．
3
能力提升
12．如图所示，G 、H 、M 、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________(填序号) ．
13．如图所示，在三棱锥A —BCD 中，E ，F ，G 分别是棱AB ，AC ，AD 上的点，且满AE AF AG 足＝＝ AB AC AD
求证：△EFG ∽△BCD ．
1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．
⎪—共面，无公共点
⎪⎪条直线⎪—基本性质4—空间平行线
2．—⎪—平行—的位置⎪ 的传递性
⎪—等角定理关系⎪⎪—异面
空间两
3．注意：等角定理的逆命题不成立．
—相交—共面，有一个公共点
1．2．2 空间中的平行关系
第1课时 平行直线
答案
知识梳理
1．在同一平面内不相交 一条
2．平行于同一条直线的两条直线互相平行 如果a ∥b ，c ∥b ，那么a ∥c 3．分别对应平行，并且方向相同 4．空间四边形 顶点 边 对角线 作业设计 1．C
2．D [等角定理的实质是角的平移，其逆命题不一定成立，OB 与O 1B 1有可能平行，也可能不在同一平面内，位置关系不确定．]
3．D
4．B [设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D 1PBQ 各边均为 5，又D 1PBQ 是平行四边形，所以四边形D 1PBQ 是菱形．]
5．B [①④均为假命题．①可举反例，如a 、b 、c 三线两两垂直．
④如图甲时，c 、d 与异面直线l 1、l 2交于四个点，此时c 、d 异面，一定不会平行； 当点A 在直线a 上运动(其余三点不动) ，会出现点A 与B 重合的情形，如图乙所示，此时c 、d 共面相交．
]
6．
D
[如图所示，取BC 的中点E ，连接ME 、NE ，
11
则ME ＝AC ，NE ＝BD ，
22
所以ME ＋NE 1
＝＋BD) ． 2
在△MNE 中，有ME ＋NE>MN，
1
所以MN
2
7．60°或120°
8．(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面 9．①②③ 解析
把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB ⊥EF ，EF 与MN 是异面直线，AB ∥CM ，MN ⊥CD ，只有①②③正确．
10．证明 (1)如图，连接AC ， 在△ACD 中，
∵M 、N 分别是CD 、AD 的中点， ∴MN 是三角形的中位线，
1
∴MN ∥AC ，MN ＝．
2
由正方体的性质得： AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1．
1
∴MN ∥A 1C 1，且MN 1C 1，即MN ≠A 1C 1，
2
∴四边形MNA 1C 1是梯形．
(2)由(1)可知MN ∥A 1C 1，又因为ND ∥A 1D 1， ∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补．
而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1． 11．
证明 连接PD 并延长交AB 于M ，
连接PE 并延长交BC 于N ，则M 为AB 的中点，N 为BC 的中点，
PD PE 2
∴MN ∥AC ，又，
DM EN 1
∴DE ∥MN ，∴DE ∥AC ．
DE PD 2， MN PM 3
21
∴DE ＝，又因MN ＝AC ，
321
∴DE ＝．
3
12．②④
解析 ①中HG ∥MN ．③中GM ∥HN 且GM ≠HN ，∴HG 、MN 必相交．
AE AF
13．证明 在△ABC 中，∵＝，
AB AC
EF AE
∴EF ∥BC 且．
BC AB
EG AE
同理，EG ∥BD 且．
BD AB
又∵∠FEG 与∠CBD 的对应两边方向相同，
EF EG
∴∠FEG ＝∠CBD ．∵，
BC BD
∴△EFG ∽△BCD ． 又