变动上限的积分表示的函数及其应用
设f (x ) 在(-∞, +∞) 连续，变动上限的积分F (x ) =
⎰
x
a
f (t ) dt ，F 0(x ) =⎰f (t ) dt 都是
x
f (x ) 的原函数。其实F (x ) -F (0) =⎰f (t ) dt 是个常数。所以
a
F (x ) '=f (x ), dF (x ) =f (x ) dx ,
应用复合函数微分法： (1)若F (x ) =
⎰f (x ) dx =F (x ) +c
⎰
ϕ(x )
a
f (t ) dt ，则F '(x ) =f (ϕ(x )) ϕ'(x )
(2) 若F (x ) = (3) 若F (x ) =
⎰ϕ⎰ϕ
a (x )
f (t ) dt =-⎰
ϕ(x )
a
f (t ) dt ，则F '(x ) =-f (ϕ(x )) ϕ'(x )
ψ(x )
(x )
f (t ) dt ，则F '(x ) =f (ψ(x )) ψ'(x -f (ϕ(x )) ϕ'(x )
1. 直接用公式求变动上限的积分表示的函数的导数 例1：求导数
d x
cos(2t ) e t dt =cos(2x ) e x （1）⎰dx a
d 3
cos(2t ) e t dt =-2cos(4x ) e 2x （2）⎰dx 2x
d x 2t 2x 22x
cos(2t ) e dt =2x cos(x ) e -2cos(2x ) e （3） ⎰2x dx
x d x d d x t t t x
x cos(2t ) e dt =[x x cos(2t ) e dt ]=cos(2t ) e dt +x cos(2x ) e （4） dx ⎰a dx ⎰a dx ⎰a
d 1
f (tx ) dt （5）f (x ) 是连续函数，求
dx ⎰0
11x
令y =tx , 则⎰f (tx ) dt =⎰f (y ) dy
0x 0
d 11x 1
f (tx ) dt =-f (y ) dy +f (x ) 所以，2⎰0dx ⎰0x x
2. 变动上限的积分表示的函数在求极限中的应用
有些极限问题中，包含着变动上限的积分表示的函数，常用罗比塔法则求极限。 例2：求极限
lim
x →0
x -⎰cos t dt
2
x 2
2
sin x
10
=lim
x →0
x -⎰cos t 2dt
2
x 2
x 10
2x -2x cos x 4
=lim 9x →010x
8
x 1-cos x 412
=lim = =lim 88x →0x →0105x 5x
3. 变动上限的积分表示的函数在求导数中的应用
变动上限的积分表示的函数常出现参数方程表示的函数、二元函数的复合函数的求导数题目中。这就要求学生具有一定的综合运用知识的能力。
⎧x =1+2t 2,
d 2y ⎪u
1+2ln t e (t >1) 所确定，求2例3：设函数y=y(x)由参数方程⎨y =du dx ⎰1u ⎪⎩
x =9
.
本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可. 注意当x=9 时，
可相应地确定参数t 的取值.
dx dy e 1+2ln t 22et
=4t ， =⋅=解: 由，dt dt 1+2ln t t 1+2ln t
dy 2et
dy dt 1+2ln t e
得 ===,
dx dx 4t 2(1+2ln t ) dt
d 2y d dy 1e -121e
=() 所以 ==⋅⋅⋅-. 2222
dx 2(1+2ln t ) t 4t dx dt dx 4t (1+2ln t ) dt
当x=9时，由x =1+2t 及t>1得t=2, 故
2
d 2y
dx 2
x =9
=-
e
4t 2(1+2ln t ) 2
t =2
=-
e
. 2
16(1+2ln 2)
例4：设函数u (x , y ) =ϕ(x +y ) +ϕ(x -y ) +
⎰
x +y
x -y
ψ 具ψ(t ) dt , 其中函数ϕ具有二阶导数，
∂2u ∂2u 有一阶导数，证明:2=. 2
∂x ∂y
解 因为
∂u
=ϕ'(x +y ) +ϕ'(x -y ) +ψ(x +y ) -ψ(x -y ) ， ∂x
∂u
=ϕ'(x +y ) -ϕ'(x -y ) +ψ(x +y ) +ψ(x -y ) ， ∂y
∂2u
=ϕ''(x +y ) +ϕ''(x -y ) +ψ'(x +y ) -ψ'(x -y ) ， 于是 2
∂x
∂2u
=ϕ''(x +y ) +ϕ''(x -y ) +ψ'(x +y ) -ψ'(x -y ) ， 2
∂y
∂2u ∂2u
可见 =2. 2
∂x ∂y
4. 变动上限的积分表示的函数在微分方程中的应用 例5：设f (x ) 是连续函数且满足f (x ) =sin x -
解: f (x ) =sin x -
x
⎰(x -t ) f (t ) dt ，求f (x ) ．
x
⎰(x -t ) f (t ) dt =sin x -x ⎰
x 0
x
f (t ) dt +⎰tf (t ) dt
0x 0
x
两边求导f '(x ) =cos x -⎰f (t ) dt -xf (x ) +xf (x ) =cos x -⎰f (t ) dt 在求导f ''(x ) =-sin x -f (x )
注意到f (0) =0, f '(0) =1 (这一问题的初始条件经常是隐含的) 这就完全转化成了二阶线性常系数微分方程的问题了. 答案为:f (x ) =
1x
sin x +cos x 22
例6：设y=f(x) 是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点. 若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM
x 31
+，求f(x)的表达式. 的面积之和为
63
分析:梯形OCMA 的面积可直接用梯形面积公式计算得到，曲边三角形CBM 的面积可用定积分计算，再由题设，可得一含有变限积分的等式，两边求导后可转化为一阶线性微分方程，然后用通解公式计算即可.
解: 根据题意，有
1x x 31
+. [1+f (x )]+⎰f (t ) dt =
x 263
两边关于x 求导，得
111
[1+f (x )]+x f '(x ) -f (x ) =x 2. 222
当x ≠0时，得
1x 2-1
. f '(x ) -f (x ) =
x x
此为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为 y
f (x ) =e
1--dx
x
⎰
x 2-1⎰-x dx [⎰dx +C ]
x
1
=e
ln x
x 2-1-ln x [⎰dx +C ] x
x 2-1
+C ) O C B x =x (⎰2x
=x +1+Cx .
当x=0时，f(0)=1.
由于x=1时，f(1)=0 ,故有2+C=0，从而C=-2. 所以 f (x ) =x 2+1-2x =(x -1) 2.
2
变动上限的积分表示的函数及其应用
设f (x ) 在(-∞, +∞) 连续，变动上限的积分F (x ) =
⎰
x
a
f (t ) dt ，F 0(x ) =⎰f (t ) dt 都是
x
f (x ) 的原函数。其实F (x ) -F (0) =⎰f (t ) dt 是个常数。所以
a
F (x ) '=f (x ), dF (x ) =f (x ) dx ,
应用复合函数微分法： (1)若F (x ) =
⎰f (x ) dx =F (x ) +c
⎰
ϕ(x )
a
f (t ) dt ，则F '(x ) =f (ϕ(x )) ϕ'(x )
(2) 若F (x ) = (3) 若F (x ) =
⎰ϕ⎰ϕ
a (x )
f (t ) dt =-⎰
ϕ(x )
a
f (t ) dt ，则F '(x ) =-f (ϕ(x )) ϕ'(x )
ψ(x )
(x )
f (t ) dt ，则F '(x ) =f (ψ(x )) ψ'(x -f (ϕ(x )) ϕ'(x )
1. 直接用公式求变动上限的积分表示的函数的导数 例1：求导数
d x
cos(2t ) e t dt =cos(2x ) e x （1）⎰dx a
d 3
cos(2t ) e t dt =-2cos(4x ) e 2x （2）⎰dx 2x
d x 2t 2x 22x
cos(2t ) e dt =2x cos(x ) e -2cos(2x ) e （3） ⎰2x dx
x d x d d x t t t x
x cos(2t ) e dt =[x x cos(2t ) e dt ]=cos(2t ) e dt +x cos(2x ) e （4） dx ⎰a dx ⎰a dx ⎰a
d 1
f (tx ) dt （5）f (x ) 是连续函数，求
dx ⎰0
11x
令y =tx , 则⎰f (tx ) dt =⎰f (y ) dy
0x 0
d 11x 1
f (tx ) dt =-f (y ) dy +f (x ) 所以，2⎰0dx ⎰0x x
2. 变动上限的积分表示的函数在求极限中的应用
有些极限问题中，包含着变动上限的积分表示的函数，常用罗比塔法则求极限。 例2：求极限
lim
x →0
x -⎰cos t dt
2
x 2
2
sin x
10
=lim
x →0
x -⎰cos t 2dt
2
x 2
x 10
2x -2x cos x 4
=lim 9x →010x
8
x 1-cos x 412
=lim = =lim 88x →0x →0105x 5x
3. 变动上限的积分表示的函数在求导数中的应用
变动上限的积分表示的函数常出现参数方程表示的函数、二元函数的复合函数的求导数题目中。这就要求学生具有一定的综合运用知识的能力。
⎧x =1+2t 2,
d 2y ⎪u
1+2ln t e (t >1) 所确定，求2例3：设函数y=y(x)由参数方程⎨y =du dx ⎰1u ⎪⎩
x =9
.
本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可. 注意当x=9 时，
可相应地确定参数t 的取值.
dx dy e 1+2ln t 22et
=4t ， =⋅=解: 由，dt dt 1+2ln t t 1+2ln t
dy 2et
dy dt 1+2ln t e
得 ===,
dx dx 4t 2(1+2ln t ) dt
d 2y d dy 1e -121e
=() 所以 ==⋅⋅⋅-. 2222
dx 2(1+2ln t ) t 4t dx dt dx 4t (1+2ln t ) dt
当x=9时，由x =1+2t 及t>1得t=2, 故
2
d 2y
dx 2
x =9
=-
e
4t 2(1+2ln t ) 2
t =2
=-
e
. 2
16(1+2ln 2)
例4：设函数u (x , y ) =ϕ(x +y ) +ϕ(x -y ) +
⎰
x +y
x -y
ψ 具ψ(t ) dt , 其中函数ϕ具有二阶导数，
∂2u ∂2u 有一阶导数，证明:2=. 2
∂x ∂y
解 因为
∂u
=ϕ'(x +y ) +ϕ'(x -y ) +ψ(x +y ) -ψ(x -y ) ， ∂x
∂u
=ϕ'(x +y ) -ϕ'(x -y ) +ψ(x +y ) +ψ(x -y ) ， ∂y
∂2u
=ϕ''(x +y ) +ϕ''(x -y ) +ψ'(x +y ) -ψ'(x -y ) ， 于是 2
∂x
∂2u
=ϕ''(x +y ) +ϕ''(x -y ) +ψ'(x +y ) -ψ'(x -y ) ， 2
∂y
∂2u ∂2u
可见 =2. 2
∂x ∂y
4. 变动上限的积分表示的函数在微分方程中的应用 例5：设f (x ) 是连续函数且满足f (x ) =sin x -
解: f (x ) =sin x -
x
⎰(x -t ) f (t ) dt ，求f (x ) ．
x
⎰(x -t ) f (t ) dt =sin x -x ⎰
x 0
x
f (t ) dt +⎰tf (t ) dt
0x 0
x
两边求导f '(x ) =cos x -⎰f (t ) dt -xf (x ) +xf (x ) =cos x -⎰f (t ) dt 在求导f ''(x ) =-sin x -f (x )
注意到f (0) =0, f '(0) =1 (这一问题的初始条件经常是隐含的) 这就完全转化成了二阶线性常系数微分方程的问题了. 答案为:f (x ) =
1x
sin x +cos x 22
例6：设y=f(x) 是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点. 若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM
x 31
+，求f(x)的表达式. 的面积之和为
63
分析:梯形OCMA 的面积可直接用梯形面积公式计算得到，曲边三角形CBM 的面积可用定积分计算，再由题设，可得一含有变限积分的等式，两边求导后可转化为一阶线性微分方程，然后用通解公式计算即可.
解: 根据题意，有
1x x 31
+. [1+f (x )]+⎰f (t ) dt =
x 263
两边关于x 求导，得
111
[1+f (x )]+x f '(x ) -f (x ) =x 2. 222
当x ≠0时，得
1x 2-1
. f '(x ) -f (x ) =
x x
此为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为 y
f (x ) =e
1--dx
x
⎰
x 2-1⎰-x dx [⎰dx +C ]
x
1
=e
ln x
x 2-1-ln x [⎰dx +C ] x
x 2-1
+C ) O C B x =x (⎰2x
=x +1+Cx .
当x=0时，f(0)=1.
由于x=1时，f(1)=0 ,故有2+C=0，从而C=-2. 所以 f (x ) =x 2+1-2x =(x -1) 2.
2