第47卷第1期2014年1月
土木工程学报
CHINACIVILENGINEEＲINGJOUＲNAL
Vol．47Jan．No．12014
复杂断面地下结构地震反应分析的
整体式反应位移法
刘晶波
王文晖
赵冬冬
张小波
（清华大学，北京100084）
摘要：介绍地下结构抗震分析中常用的反应位移法存在的局限性，在借鉴反应位移法基本原理的基础上，提出一种适用于复杂断面地下结构地震反应分析的整体式反应位移法。从理论上论证该方法与反应位移法基本原理的一致性，详细介绍该方法的实施步骤与特点，给出地震作用的求解方法。该方法采用土-结构相互作用模型来直接反映土体与结构间的相互作用，避免了引入地基弹簧带来的计算量和计算误差。采用连续自由场土层模型来计算等效输入地震动荷载，概念明确、操作简单，能较好地适用于复杂断面地下结构的地震反应分析。结合实际工程与动力时程方法进行对比研究，结果表明，文中提出的整体式反应位移法是一个精度较高、计算简便、适用性很强的拟静力计算方法，可以用于地下结构的抗震分析与设计中。
关键词：地震工程；地下结构；抗震分析；整体式反应位移法；复杂断面中图分类号：TU311
P315．9
文献标识码：A
131X（2014）01-0134-09文章编号：1000-
Integralresponsedeformationmethodinseismicanalysisof
complexsectionundergroundstructures
LiuJingbo
WangWenhui
ZhaoDongdong
ZhangXiaobo
（TsinghuaUniversity，Beijing100084，China）
Abstract：Mainproblemsoftheresponsedeformationmethodcurrentlyusedforseismicresponeanalysisiofundergroundstructuresarediscussed．Thenbasedontheresponsedeformationmethod，anintegralresponsedeformationmethodforcomplexsectionundergroundstructuresisproposed．Theimplementationprocedureandfeaturesofthemethodareintroducedinsomedetails．Alsoincludedinthepaperisasolutionmethodoftheearthquakeloadswhichcanreflectthesoil-structureinteractionsunderdynamicloading．Thenewmethodtakesthesoil-structuremodeltorealizetheinteractionbetweensoilandstructure，andittakestheconsecutivefree-fieldsoilmodeltocalculatetheequivalentearthquakeload．Theproposedmethodisofclearconceptandeasyforapplication．Themethodcanbewellappliedinseismicanalysisofthecomplexsectionundergroundstructures．Inordertoverifytheefficiencyofthemethod，theintegralresponsedeformationandfiniteelementdynamicanalysisareconductedtocalculatetwoactualsubwaystationstructures．Theanalysisresultsshowthattheintegralresponsedeformationmethodismorepracticalandsuitableforseismicresponseanalysisanddesignofundergroundstructures．
Keywords：earthquakeengineering；undergroundstructure；seismicanalysis；integralresponsedeformationmethod；complexsection
E-mail：liujb@tsinghua．edu．cn
在结构埋深、展。目前，地质条件及施工方法等条
件的影响下，地下结构出现了矩形、圆形等规则断面
［2］
形式，也发展了拱形、马蹄形等复杂断面形式。特
位于地铁隧道渡线段和地铁换乘车站的结构断别地，
［3］
面形式则更为复杂。
国内外研究学者针对地自20世纪50年代以来，下结构抗震分析开展了大量研究，取得了丰富的研究
［4-12］
。近年来，成果为了方便工程设计人员进行地下结构设计，众多学者提出了一系列实用的简化设计分
析方法，并在实际工程中得到了应用，包括地震系数
［1］
引言
随着城市化的进程，城市地下空间正在被迅速的
开发和利用，地下结构工程技术也得到了大力发
北京市自然科学基金重点基金项目：国家973项目（2011CB013602）、
项目（8111001）和国家自然科学基金重大研究计划项目（90715035）
作者简介：刘晶波，博士，教授02-28收稿日期：2013-
法
［6］［11］
、自由场变形法、反应位移法、反应加速度［8，10］［13］
、Pushover分析方法［9］、整体式反应位移法法
［2］
解，计算形式简单、精度高，而结构周围剪力及结构惯
性力仍通过一维土层地震反应分析求解。1．2
反应位移法的局限性
上述两种反应位移法一般仅应用于矩形或圆形等规则断面地下结构。究其原因，对于传统反应位移法而言，复杂断面地下结构地基弹簧的求解十分困难；除此之外，对于上述两种方法，结构周围剪力的求解也将因为结构断面形状的复杂而变得困难。反应位移法中，结构周围剪力是当土层达到自由场变形状态时，在交界面位置处产生的应力场。对于矩形断面地下结构，此应力场为纯剪力场；而对其他形状的地下结构，如圆形断面地下结构，剪应力和正应力均存在。
这部分应力场的计算，一般情况下均按连续土层进行自由场地震反应分析，采用连续介质力学的方法获得。因此，当结构的形状复杂时，需要考虑应力场在结构边界面上的分解与合成，计算工作相对复杂，因此传统反应位移法及整体式反应位移法一仅限于矩形断面或圆形断面地下结构。
随着地下空间技术的发展，地下结构横断面形式也呈现出多样化，以地铁车站为例，除了常见的矩形断面、圆形断面外，还有拱形断面、马蹄形断面以及各种复合断面等，如图1所示。对于此类形式地下结构，采用传统反应位移法或整体式反应位移法一已不能有效的进行地震反应分析
。
（下文称为“整体式反应位移法一”）等。其中，反应位移法由于具有较为严密的理论基础和明确的物理概［14］
被国内外一些地下结构抗震设计规范所采念，
，整体式反应位移法一就是基于反应位移法发展而来的。用
纵观现有研究成果可以发现，目前关于地下结构地震反应分析的简化方法大多局限于断面形状规则的地下结构，如矩形、圆形断面的地铁车站以及由其。对于简单断面组合而成的大空间地下结构等复杂断面地下结构的抗震分析，现有方法将变得十分繁琐，甚至无法直接应用。
本文结合反应位移法，提出了一种适用于复杂断面地下结构地震反应分析的整体式反应位移法（下文“整体式反应位移法二”），称为给出了地震作用的确定方法。以日本大开地铁车站及北京崇文门地铁车站为背景进行计算分析，将整体式反应位移法二计算结果与动力有限元计算结果进行对比分析，结果表明该方法确定的地震作用准确合理，采用该方法计算得到的地下结构地震反应具有较好的精度与可靠性，对于复杂断面地下结构，该方法更具简便性及可操作性。
［2，5，16］
［11，15］
1
1．1
反应位移法的局限性
反应位移法
［14］
进行地下结构横断反应位移法基本理论表明，
施加在结构上的地震作用包括：面地震反应计算时，
土层变形、结构周围剪力和结构惯性力。
传统反应位移法通过引入地基弹簧来模拟地下
结构周围土层对结构的约束作用，将土层在地震时产生的变形通过地基弹簧以静荷载的形式作用在结构上，以此计算结构反应。14］文献［对传统反应位移法分析发现，由于引入地基弹簧，一方面无法准确模拟周围土层对结构的约束作用，另一方面难于准确确定其弹簧系数，同时将造成较大的计算工作量。
作者针对反应位移法中由于引入地基弹簧而带
［13］
来的问题，提出了整体式反应位移法。整体式反应位移法一直接采用土-结构相互作用模型，避免了地基弹簧参数计算的复杂性，同时更真实地反映了土-结构间的协调作用。
采用整体式反应位移法一计算时，施加在结构上
［13］
土层变形的地震作用仍由上述三部分组成。其中，引起的等效荷载通过除去结构的土层有限元模型求
Fig．1
图1
复杂断面地下结构示意图
Complexsectionsofundergroundstructures
2适用于复杂结构断面的整体式反应位移法
结构相互作用模型，整体式反应位移法一采用土-
研究结果表明，该方法具有很强的实用性。因此，整
体式反应位移法二借鉴上述方法，仍然采用土-结构相互作用模型，如图2所示。
要对土-结构界面上每个位置处的剪切荷载进行多次
的分解与合成，过程繁琐且计算精度无法保证。由于结构周围剪力实际上是自由场在地震作用下的土层剪力，为了较为准确有效地计算结构周围剪力，可对自由场中对应于结构位置处的土体进行分
S表示土-析，如图4所示。图中，结构相互作用界面，u为界面σS和τS分别为界面S上的正应力和剪应力，S内的土体位移。地震作用过程中，界面S包围土体
图2
Fig．2
整体式反应位移法二计算模型
的平衡方程为
：
ModeloftheintegralresponsedeformationmethodⅡ
［14］
根据反应位移法基本原理，地震作用由3部分组成：土层变形、结构周围剪力和结构惯性力。
通过对地下结构进行地震反应分析时发现，在结构地震反应中，土层变形和结构周围剪力引起的结构反应分别占40%和50%左右，因此，本文在发展整体式反应位移法二时，对土层变形和结构周围剪力进行了深入的研究。需要说明的是，对于复杂断面地下结构，结构周围将存在正应力与剪应力，此处“结构周围剪力”的提法是为了与上述两种方法保持一致。2．1土层变形引起的等效荷载
土层变形引起的等效荷载的求解方法与整体式反应位移法一一致。直接在除去结构的土层有限元模型中将土-结构界面强制拉到自由场变形位置处，此
时结构位置处节点反力，即为土层变形引起的等效地震作用，如图3所示
。
图4
Fig．4
结构位置处对应土体受力示意图
Forcediagramofthecorrespondingsoiltothestructure
···（t）+ku（t）=0mu（t）+cu
（1）
c、k分别为土体质量、式中：m、阻尼、刚度。
当已知自由场对应于界面S处的土层应力场（正边界条件如下：应力σS和剪应力τS）时，
τS（t）=τ（t）
即可得到界面S上的位联合式（1）和式（2）求解，
移场uS。
以上问题可以等效为已知界面S上的位移场uS，0
{
σS（t）=σS（t）
0S
（2）
其中uS为界面S上的位移场。此时边界如图5所示，
条件如下
：
图3
Fig．3
等效荷载的求解
Fig．5
图5结构位置处对应土体位移示意图soiltothestructure
CalculationoftheequivalentloadDisplacementdiagramofthecorresponding
2．2结构周围荷载
uS（t）=u0S（t）
（3）
即可获得界面S处的土联合式（1）和式（3）求解，00
层应力场（正应力σS和剪应力τS），即结构周围荷载。由于该方法旨在计算结构在地震过程中的最大反应，因此取自由场对应于结构位置处发生最大相对位移时刻进行分析，同时忽略阻尼项的影响，此时式（1）和式（3）可化为：
结构周围剪力是自由场中与土-结构界面对应位
置处的土层剪力。对矩形断面地下结构分析时，可以通过自由场一维土层地震反应分析方法获得。在完成一维土层地震反应分析后，取对应结构顶、底板位置处的土层剪力作为结构顶、底板剪切荷载，取顶、底板位置处土层剪力的平均值作为结构侧墙剪切荷载。对复杂断面地下结构分析时，采用常规方法分析时需
{u
00···0··ku=－mu－cu≈－muS
=u
0S
（4）
从式（4）可以看出，当对土-结构界面S内土体施
0···mu（·u0为自由场的加速度），加惯性力-并在边界S
上施加给定的自由场位移uS（uS为自由场对应于边界S处的位移）时，方程的解可对应于自由场的解，而此时界面S上的反力也就是自由场反应对应于界面S位置处的应力，即结构周围荷载。
综上所述，结构周围荷载可通过强制结构所占土体位移达到自由场位移进行计算，如图6所示
。
Fig．8
图8
整体式反应位移法二
00
TheintegralresponsedeformationmethodⅡ
整体式反应位移法从上述分析过程中可以发现，
二通过对连续自由场土层模型施加强制位移和惯性
力，在一次模型计算中即可获得土层变形引起的等效荷载和结构周围荷载，在不增加计算工作量的前提下提高了计算效率，使得地震动荷载输入问题的处理更为简单。同时，整个计算过程中，对于地下结构的断面形状没有限制，可以适用于复杂形状的地下结构抗震分析，概念明确、处理方便。2．4实施步骤
综上所述，本文提出的地下结构地震反应分析的整体式反应位移法二具体实施步骤如下：
（1）求解自由场地震反应。建立自由场模型，进行输入地震波作用下的一维土层地震反应分析，求解
［17-18］
。相应位置处的土层变形和土层加速度
（2）求解等效输入地震动荷载。建立连续自由场土层有限元模型，如图7所示。在地下结构对应位置
处施加步骤（1）中求得的土层变形，计算土-结构界面上的节点反力，作为等效输入地震动荷载。
（3）求解结构惯性力。取步骤（1）中求得的对应于结构位置处的反应加速度，施加于结构上作为结构惯性力。
（4）建立计算模型进行分析。建立土-结构相互作用模型，模型边界固定，施加步骤（2）和步骤（3）计算得到的地震作用，如图8所示，进行静力计算。
图7
Fig．7
等效输入地震动荷载的求解
图6
Fig．6
结构周围荷载的求解
Calculationoftheearthquakeloadaroundthestructure
土层变形引起的等效荷载对比图3和图6发现，
由图3模型在界面S处施加uS进行计算，结构周围荷载由图6模型同样在界面S处施加uS进行计算，二者计算模型中界面S处的位移条件一致，可进行合并。相当于建立连续自由场土层模型（不挖去结构所占土体），在界面S位置处施加自由场位移，在界面S内施加自由场惯性力，如图7所示。此时界面S位置处的反力即为由变形引起的等效荷载与结构周围荷载之和，可称之为等效输入地震动荷载
。
需要说明的是，采用本文提出的拟静力方法进行地震反应分析时，对于对称结构，只需要进行单向地震动作用下的计算；对于非对称结构，则应该考虑分别进行正反两个方向地震动作用下的计算，取两者中较大值作为分析结果。
Calculationoftheequivalentearthquakeload
2．3整体式反应位移法二
采用上述方法计算等效输入地震动荷载后，即可
结构相互作用模型中施加等效输入在图2所示的土-地震动荷载，同时模型中结构部分也按照所在土层深度位置作用水平惯性力，如图8所示。然后根据计算要求，进行静力分析
。
3
3．1
方法验证
地震作用验证
为了验证整体式反应位移法二中地震作用确定
本文选择日本阪神大开地铁车站进行方法的有效性，［5，8］
。该车站为矩形框架结构，数值分析其断面如图95］取值。所示。结构及周围土体的材料参数按文献［
本文计算均采用通用有限元程序Marc进行，结构采用
［17-18］
，线弹性模型，周围土体采用等效线性化模型输
入地震波采用峰值加速度为0．2g的Kobe波，如图10
结构惯性力（FI）；对于整体式反应结构周围剪力（FS）、
位移法二，地震作用包括等效输入地震动荷载（FΔ+FS）和结构惯性力（FI）。其中，由于结构惯性力均通过一维自由场土层地震反应分析获得，结果相同，表中不再赘述。
由表1可以看出，整体式反应位移法二采用图7计算得到的等效输入地震动荷载与整体式反应位移法一基本一致，说明通过该方法可简便有效地确定包括结构周围剪力在内的等效输入地震动荷载。
表2给出了两种整体式反应位移法计算结果与动力时程方法的对比。结果表明，整体式反应位移法二在计算矩形断面地下结构地震反应时与整体式反应位移法一计算结果基本一致，并与动力有限元方法拟合精
所示
。
图9大开地铁车站标准断面示意图（单位：m）
度高
。
Fig．9TypicalcrosssectionofDaikaisubwaystation（unit：m）
分别采用整体式反应位移法一和整体式反应位
移法二对大开地铁车站进行地震反应分析。采用动力时程方法作为精确方法，动力分析时施加二维黏弹
［19］
性人工边界，采用辅助程序VSBC进行计算。表1给出了整体式反应位移法一与整体式反应位移法二计算过程中的地震作用。对于整体式反应位移法一，地震作用包括土层变形引起的等效荷载（FΔ）、
表1
Table1
两种方法的等效输入地震动荷载比较
（kN/m）
底面平均剪力
5．11732．03437．15135．813
图10
Fig．10
Kobe波
Kobeearthquakewave
Comparisonoftheequivalentearthquakeloadsfromdifferentmethods
侧面平均压力
侧面平均剪力－20．72225．0504．3285．219
顶面平均压力
0000
顶面平均剪力
8．07418．06726．14125．363
底面平均压力
0000
FΔ
整体式反应位移法一
FSFΔ+FS
整体式反应位移法二
FΔ+FS
22．817022．81721．687
表2
Table2
侧墙顶部弯矩（kN·m）
动力时程方法整体式反应位移法一整体式反应位移法二
396．193406．754409．502
两种方法的计算结果比较
Comparisonofreslutsfromdifferentmethods
侧墙底部弯矩（kN·m）496．488514．417518．090
中柱顶部弯矩（kN·m）58．49461．50461．803
中柱底部弯矩（kN·m）58．93661．45761．728
侧墙变形（mm）7．007．377．38
中柱变形（mm）7．067．437．44
3．2复杂断面地下结构适用性验证
为了验证整体式反应位移法二对复杂断面地下结构的适用性，本文选择北京市地铁5号线崇文门地铁车其断站进行数值分析。该车站为拱形断面地下结构，
B、C、D位置示于图中。结面如图11所示，控制截面A、
［9］
9］构及周围土体的材料参数按文献［取值。计算过程
中，结构采用线弹性模型，周围土体采用等效线性化模型
［17-18］
。
并改变地面峰值加速本文采用多条输入地震波，度、土-结构刚度比等参数进行数值模拟，分析中以动力
时程方法作为精确方法进行比较
。程方法吻合良好，误差均不超过5%
。
图11
Fig．11
崇文门站标准断面（单位：m）
（unit：m）
TypicalcrosssectionofChongwenmenstation
不同地震波作用
选择峰值加速度为0．2g的4条不同地震波，如图10和图12所示：汶川地震的Bajiao波、阪神地震的Kobe波、Centro波以及北京人因皮里尔河谷地震的El-工波作为输入地震波，计算结果如表3所示。由表3可以看出，虽然输入地震波的峰值加速度一样，选取输入的地震波持时也相同，但由于不同地震波的频谱差别较大，因此计算得到的地下结构地震反应也存在较大区别。
通过比较可以发现，在本文选取的四条不同地震波作用下，采用本文提出的整体式反应位移法二都可以较好的模拟地震中地下结构与周围土体的相互作用。采用该方法计算得到的结构内力和结构变形均与动力时
表3
Table3
地震波
计算方法动力时程方法
Bajiao波
整体式反应位移法二
动力时程方法
Kobe波
整体式反应位移法二
动力时程方法
El-Centro波
整体式反应位移法二
动力时程方法
Beijing人工波
整体式反应位移法二
144．257
422．133
179．358
180．075
5．36
5．53
209．144141．177
520．305412．505
246．248171．636
244．929174．206
7．585．33
7．735．44
218．786201．642
588．378512．885
272．257236．006
269．808237．128
8．187．28
8．507．44
154．944222．409
410．230594．317
186．755264．021
184．101267．200
5．648．17
5．788．31
3．2．1
图12Fig．12
输入地震波
Earthquakewaveinput
不同地震波作用下的计算结果
Calculationresultsofdifferentseismicwaveinputed
侧墙B处弯矩（kN·m）401．471
中柱C处弯矩（kN·m）177．494
中柱D处弯矩（kN·m）178．284
侧墙变形（mm）5．35
中柱变形（mm）5．49
侧墙A处弯矩（kN·m）148．239
3．2．2
不同峰值加速度
采用Kobe波作为输入地震波，分别取其峰值加速
应随着增强。
通过比较可以发现，在常见的地震动强度范围内，整体式反应位移法二计算结果均能较好的与动力时程
方法吻合。3．2．3
不同结构刚度
采用峰值加速度为0．2g的Kobe波作为输入地震
0．2g、0．4g和0．8g，度为0．1g、计算结果如表4所示。由表4可以看出，随着输入地震波峰值加速度的增大，一方面地震作用逐渐增强，另一方面结构周围土体刚度变小，对地下结构约束作用减弱，因此结构地震反
22GPa、30GPa、38GPa波，其中结构刚度分别为10GPa、
和90GPa，计算结果如表5所示。由表5可以看出，随着结构刚度的提高，结构变形逐渐减小，而结构内力却逐渐增大。
表4
Table4
峰值加速度
（g）0．1
整体式反应位移法二
动力时程方法
0．2
整体式反应位移法二
动力时程方法
0．4
整体式反应位移法二
动力时程方法
0．8
整体式反应位移法二
982．396
1926．557
527．928970．112
1201．9301904．213
218．786525．954
588．3781196．721
94．707222．403
278．206594．311
计算方法动力时程方法
通过比较可以发现，在地下结构弹性模量可能存在
的范围内，混凝土弹性模量从C15强度等级（22GPa）到C80强度等级（38GPa）时，整体式反应位移法二与动力时程方法计算结果均符合较好。
不同地震动强度作用下的计算结果
Calculationresultsofdifferentearthquakeintensities
侧墙B处弯矩（kN·m）282．117
中柱C处弯矩（kN·m）115．718118．941264．086272．257612．353641．3511133．8361204．552
中柱D处弯矩（kN·m）117．141122．595267．211269．808619．229637．2421143．6351201．781
侧墙变形（mm）3．523．548．178．1819．3219．6435．8836．37
中柱变形（mm）3．613．768．318．5019．4720．3836．1737．36
侧墙A处弯矩（kN·m）96．251
表5
Table5
结构刚度（GPa）10
整体式反应位移法二
动力时程方法
22
整体式反应位移法二
动力时程方法
30
整体式反应位移法二
动力时程方法
38
整体式反应位移法二
动力时程方法
90
整体式反应位移法二
473．776266．933460．213218．786265．695170．503222．41488．109174．107
计算方法动力时程方法
不同结构刚度时的计算结果
Calculationresultsofdifferentstructurestiffness
侧墙B处弯矩（kN·m）354．209349．421515．801506．031594．343588．378659．912661．652931．143942．392
中柱C处弯矩（kN·m）112．217115．661208．831212．928264．216272．257313．562328．177541．675572．009
中柱D处弯矩（kN·m）112．323113．365210．710217．991267．244269．808318．153326．513554．323570．715
侧墙变形（mm）9．579．288．658．578．178．187．757．845．916．11
中柱变形（mm）10．4110．458．929．158．318．507．828．165．886．21
侧墙A处弯矩（kN·m）90．231
3．3综合比较
通过上文计算分析可以发现，采用本文提出的整体
4结论
在借鉴反应位移法基本思想的基础上，本文提出了
式反应位移法二对复杂断面地下结构进行地震反应分
析时，在不同计算条件下结果均与动力时程方法吻合较好，误差最大不超过5%。同时，与传统反应位移法相比，本文方法避免了地基弹簧系数的计算；与整体式反应位移法一相比，本文方法避免了结构周围剪力的单独计算、分解与合成，大大提高了计算效率。
一种适用于复杂断面地下结构地震反应分析的整体式
反应位移法，由前述理论分析和算例计算可以看出本文提出的方法具有以下特点：
（1）与动力有限元方法相比，该方法仅需进行一维自由场土层地震反应分析，避免了对土-结构系统进行
第47卷第1期刘晶波等·复杂断面地下结构地震反应分析的整体式反应位移法
（inChinese））
·141·
在保证计算精度的同时，大复杂的动力相互作用分析，
大降低了问题的复杂性，方便工程设计人员采用。
（2）与传统反应位移法相比，该方法概念明确，采用土-结构有限元模型来直接反映土-结构间相互作用，避免了地基弹簧系数计算的复杂性，增加计算精度的同时大大减小了计算工作量。
（3）与整体式反应位移法一相比，该方法中等效输入地震动荷载求解方法简单，可以考虑复杂断面结构形式的地下结构地震反应，扩大了方法的适用范围。通过整体式反应位移法二与动力有限元方法的数值对比研究，验证了整体式反应位移法二的合理性、简便性与良好的计算精度，可以应用于地铁等地下结构的抗震分析与设计中。
参考文献
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［19］李彬．地铁地下结构抗震理论分析与应用研究［D］．北
刘晶波（1956-），男，博士，教授。主要从事结构抗震与防灾减灾工程研究。王文晖（1986-），男，博士研究生。主要从事地下结构抗震研究。赵冬冬（1985-），男，博士研究生。主要从事地下结构抗震研究。张小波（1987-），男，博士研究生。主要从事地下结构抗震研究。
第47卷第1期2014年1月
土木工程学报
CHINACIVILENGINEEＲINGJOUＲNAL
Vol．47Jan．No．12014
复杂断面地下结构地震反应分析的
整体式反应位移法
刘晶波
王文晖
赵冬冬
张小波
（清华大学，北京100084）
摘要：介绍地下结构抗震分析中常用的反应位移法存在的局限性，在借鉴反应位移法基本原理的基础上，提出一种适用于复杂断面地下结构地震反应分析的整体式反应位移法。从理论上论证该方法与反应位移法基本原理的一致性，详细介绍该方法的实施步骤与特点，给出地震作用的求解方法。该方法采用土-结构相互作用模型来直接反映土体与结构间的相互作用，避免了引入地基弹簧带来的计算量和计算误差。采用连续自由场土层模型来计算等效输入地震动荷载，概念明确、操作简单，能较好地适用于复杂断面地下结构的地震反应分析。结合实际工程与动力时程方法进行对比研究，结果表明，文中提出的整体式反应位移法是一个精度较高、计算简便、适用性很强的拟静力计算方法，可以用于地下结构的抗震分析与设计中。
关键词：地震工程；地下结构；抗震分析；整体式反应位移法；复杂断面中图分类号：TU311
P315．9
文献标识码：A
131X（2014）01-0134-09文章编号：1000-
Integralresponsedeformationmethodinseismicanalysisof
complexsectionundergroundstructures
LiuJingbo
WangWenhui
ZhaoDongdong
ZhangXiaobo
（TsinghuaUniversity，Beijing100084，China）
Abstract：Mainproblemsoftheresponsedeformationmethodcurrentlyusedforseismicresponeanalysisiofundergroundstructuresarediscussed．Thenbasedontheresponsedeformationmethod，anintegralresponsedeformationmethodforcomplexsectionundergroundstructuresisproposed．Theimplementationprocedureandfeaturesofthemethodareintroducedinsomedetails．Alsoincludedinthepaperisasolutionmethodoftheearthquakeloadswhichcanreflectthesoil-structureinteractionsunderdynamicloading．Thenewmethodtakesthesoil-structuremodeltorealizetheinteractionbetweensoilandstructure，andittakestheconsecutivefree-fieldsoilmodeltocalculatetheequivalentearthquakeload．Theproposedmethodisofclearconceptandeasyforapplication．Themethodcanbewellappliedinseismicanalysisofthecomplexsectionundergroundstructures．Inordertoverifytheefficiencyofthemethod，theintegralresponsedeformationandfiniteelementdynamicanalysisareconductedtocalculatetwoactualsubwaystationstructures．Theanalysisresultsshowthattheintegralresponsedeformationmethodismorepracticalandsuitableforseismicresponseanalysisanddesignofundergroundstructures．
Keywords：earthquakeengineering；undergroundstructure；seismicanalysis；integralresponsedeformationmethod；complexsection
E-mail：liujb@tsinghua．edu．cn
在结构埋深、展。目前，地质条件及施工方法等条
件的影响下，地下结构出现了矩形、圆形等规则断面
［2］
形式，也发展了拱形、马蹄形等复杂断面形式。特
位于地铁隧道渡线段和地铁换乘车站的结构断别地，
［3］
面形式则更为复杂。
国内外研究学者针对地自20世纪50年代以来，下结构抗震分析开展了大量研究，取得了丰富的研究
［4-12］
。近年来，成果为了方便工程设计人员进行地下结构设计，众多学者提出了一系列实用的简化设计分
析方法，并在实际工程中得到了应用，包括地震系数
［1］
引言
随着城市化的进程，城市地下空间正在被迅速的
开发和利用，地下结构工程技术也得到了大力发
北京市自然科学基金重点基金项目：国家973项目（2011CB013602）、
项目（8111001）和国家自然科学基金重大研究计划项目（90715035）
作者简介：刘晶波，博士，教授02-28收稿日期：2013-
法
［6］［11］
、自由场变形法、反应位移法、反应加速度［8，10］［13］
、Pushover分析方法［9］、整体式反应位移法法
［2］
解，计算形式简单、精度高，而结构周围剪力及结构惯
性力仍通过一维土层地震反应分析求解。1．2
反应位移法的局限性
上述两种反应位移法一般仅应用于矩形或圆形等规则断面地下结构。究其原因，对于传统反应位移法而言，复杂断面地下结构地基弹簧的求解十分困难；除此之外，对于上述两种方法，结构周围剪力的求解也将因为结构断面形状的复杂而变得困难。反应位移法中，结构周围剪力是当土层达到自由场变形状态时，在交界面位置处产生的应力场。对于矩形断面地下结构，此应力场为纯剪力场；而对其他形状的地下结构，如圆形断面地下结构，剪应力和正应力均存在。
这部分应力场的计算，一般情况下均按连续土层进行自由场地震反应分析，采用连续介质力学的方法获得。因此，当结构的形状复杂时，需要考虑应力场在结构边界面上的分解与合成，计算工作相对复杂，因此传统反应位移法及整体式反应位移法一仅限于矩形断面或圆形断面地下结构。
随着地下空间技术的发展，地下结构横断面形式也呈现出多样化，以地铁车站为例，除了常见的矩形断面、圆形断面外，还有拱形断面、马蹄形断面以及各种复合断面等，如图1所示。对于此类形式地下结构，采用传统反应位移法或整体式反应位移法一已不能有效的进行地震反应分析
。
（下文称为“整体式反应位移法一”）等。其中，反应位移法由于具有较为严密的理论基础和明确的物理概［14］
被国内外一些地下结构抗震设计规范所采念，
，整体式反应位移法一就是基于反应位移法发展而来的。用
纵观现有研究成果可以发现，目前关于地下结构地震反应分析的简化方法大多局限于断面形状规则的地下结构，如矩形、圆形断面的地铁车站以及由其。对于简单断面组合而成的大空间地下结构等复杂断面地下结构的抗震分析，现有方法将变得十分繁琐，甚至无法直接应用。
本文结合反应位移法，提出了一种适用于复杂断面地下结构地震反应分析的整体式反应位移法（下文“整体式反应位移法二”），称为给出了地震作用的确定方法。以日本大开地铁车站及北京崇文门地铁车站为背景进行计算分析，将整体式反应位移法二计算结果与动力有限元计算结果进行对比分析，结果表明该方法确定的地震作用准确合理，采用该方法计算得到的地下结构地震反应具有较好的精度与可靠性，对于复杂断面地下结构，该方法更具简便性及可操作性。
［2，5，16］
［11，15］
1
1．1
反应位移法的局限性
反应位移法
［14］
进行地下结构横断反应位移法基本理论表明，
施加在结构上的地震作用包括：面地震反应计算时，
土层变形、结构周围剪力和结构惯性力。
传统反应位移法通过引入地基弹簧来模拟地下
结构周围土层对结构的约束作用，将土层在地震时产生的变形通过地基弹簧以静荷载的形式作用在结构上，以此计算结构反应。14］文献［对传统反应位移法分析发现，由于引入地基弹簧，一方面无法准确模拟周围土层对结构的约束作用，另一方面难于准确确定其弹簧系数，同时将造成较大的计算工作量。
作者针对反应位移法中由于引入地基弹簧而带
［13］
来的问题，提出了整体式反应位移法。整体式反应位移法一直接采用土-结构相互作用模型，避免了地基弹簧参数计算的复杂性，同时更真实地反映了土-结构间的协调作用。
采用整体式反应位移法一计算时，施加在结构上
［13］
土层变形的地震作用仍由上述三部分组成。其中，引起的等效荷载通过除去结构的土层有限元模型求
Fig．1
图1
复杂断面地下结构示意图
Complexsectionsofundergroundstructures
2适用于复杂结构断面的整体式反应位移法
结构相互作用模型，整体式反应位移法一采用土-
研究结果表明，该方法具有很强的实用性。因此，整
体式反应位移法二借鉴上述方法，仍然采用土-结构相互作用模型，如图2所示。
要对土-结构界面上每个位置处的剪切荷载进行多次
的分解与合成，过程繁琐且计算精度无法保证。由于结构周围剪力实际上是自由场在地震作用下的土层剪力，为了较为准确有效地计算结构周围剪力，可对自由场中对应于结构位置处的土体进行分
S表示土-析，如图4所示。图中，结构相互作用界面，u为界面σS和τS分别为界面S上的正应力和剪应力，S内的土体位移。地震作用过程中，界面S包围土体
图2
Fig．2
整体式反应位移法二计算模型
的平衡方程为
：
ModeloftheintegralresponsedeformationmethodⅡ
［14］
根据反应位移法基本原理，地震作用由3部分组成：土层变形、结构周围剪力和结构惯性力。
通过对地下结构进行地震反应分析时发现，在结构地震反应中，土层变形和结构周围剪力引起的结构反应分别占40%和50%左右，因此，本文在发展整体式反应位移法二时，对土层变形和结构周围剪力进行了深入的研究。需要说明的是，对于复杂断面地下结构，结构周围将存在正应力与剪应力，此处“结构周围剪力”的提法是为了与上述两种方法保持一致。2．1土层变形引起的等效荷载
土层变形引起的等效荷载的求解方法与整体式反应位移法一一致。直接在除去结构的土层有限元模型中将土-结构界面强制拉到自由场变形位置处，此
时结构位置处节点反力，即为土层变形引起的等效地震作用，如图3所示
。
图4
Fig．4
结构位置处对应土体受力示意图
Forcediagramofthecorrespondingsoiltothestructure
···（t）+ku（t）=0mu（t）+cu
（1）
c、k分别为土体质量、式中：m、阻尼、刚度。
当已知自由场对应于界面S处的土层应力场（正边界条件如下：应力σS和剪应力τS）时，
τS（t）=τ（t）
即可得到界面S上的位联合式（1）和式（2）求解，
移场uS。
以上问题可以等效为已知界面S上的位移场uS，0
{
σS（t）=σS（t）
0S
（2）
其中uS为界面S上的位移场。此时边界如图5所示，
条件如下
：
图3
Fig．3
等效荷载的求解
Fig．5
图5结构位置处对应土体位移示意图soiltothestructure
CalculationoftheequivalentloadDisplacementdiagramofthecorresponding
2．2结构周围荷载
uS（t）=u0S（t）
（3）
即可获得界面S处的土联合式（1）和式（3）求解，00
层应力场（正应力σS和剪应力τS），即结构周围荷载。由于该方法旨在计算结构在地震过程中的最大反应，因此取自由场对应于结构位置处发生最大相对位移时刻进行分析，同时忽略阻尼项的影响，此时式（1）和式（3）可化为：
结构周围剪力是自由场中与土-结构界面对应位
置处的土层剪力。对矩形断面地下结构分析时，可以通过自由场一维土层地震反应分析方法获得。在完成一维土层地震反应分析后，取对应结构顶、底板位置处的土层剪力作为结构顶、底板剪切荷载，取顶、底板位置处土层剪力的平均值作为结构侧墙剪切荷载。对复杂断面地下结构分析时，采用常规方法分析时需
{u
00···0··ku=－mu－cu≈－muS
=u
0S
（4）
从式（4）可以看出，当对土-结构界面S内土体施
0···mu（·u0为自由场的加速度），加惯性力-并在边界S
上施加给定的自由场位移uS（uS为自由场对应于边界S处的位移）时，方程的解可对应于自由场的解，而此时界面S上的反力也就是自由场反应对应于界面S位置处的应力，即结构周围荷载。
综上所述，结构周围荷载可通过强制结构所占土体位移达到自由场位移进行计算，如图6所示
。
Fig．8
图8
整体式反应位移法二
00
TheintegralresponsedeformationmethodⅡ
整体式反应位移法从上述分析过程中可以发现，
二通过对连续自由场土层模型施加强制位移和惯性
力，在一次模型计算中即可获得土层变形引起的等效荷载和结构周围荷载，在不增加计算工作量的前提下提高了计算效率，使得地震动荷载输入问题的处理更为简单。同时，整个计算过程中，对于地下结构的断面形状没有限制，可以适用于复杂形状的地下结构抗震分析，概念明确、处理方便。2．4实施步骤
综上所述，本文提出的地下结构地震反应分析的整体式反应位移法二具体实施步骤如下：
（1）求解自由场地震反应。建立自由场模型，进行输入地震波作用下的一维土层地震反应分析，求解
［17-18］
。相应位置处的土层变形和土层加速度
（2）求解等效输入地震动荷载。建立连续自由场土层有限元模型，如图7所示。在地下结构对应位置
处施加步骤（1）中求得的土层变形，计算土-结构界面上的节点反力，作为等效输入地震动荷载。
（3）求解结构惯性力。取步骤（1）中求得的对应于结构位置处的反应加速度，施加于结构上作为结构惯性力。
（4）建立计算模型进行分析。建立土-结构相互作用模型，模型边界固定，施加步骤（2）和步骤（3）计算得到的地震作用，如图8所示，进行静力计算。
图7
Fig．7
等效输入地震动荷载的求解
图6
Fig．6
结构周围荷载的求解
Calculationoftheearthquakeloadaroundthestructure
土层变形引起的等效荷载对比图3和图6发现，
由图3模型在界面S处施加uS进行计算，结构周围荷载由图6模型同样在界面S处施加uS进行计算，二者计算模型中界面S处的位移条件一致，可进行合并。相当于建立连续自由场土层模型（不挖去结构所占土体），在界面S位置处施加自由场位移，在界面S内施加自由场惯性力，如图7所示。此时界面S位置处的反力即为由变形引起的等效荷载与结构周围荷载之和，可称之为等效输入地震动荷载
。
需要说明的是，采用本文提出的拟静力方法进行地震反应分析时，对于对称结构，只需要进行单向地震动作用下的计算；对于非对称结构，则应该考虑分别进行正反两个方向地震动作用下的计算，取两者中较大值作为分析结果。
Calculationoftheequivalentearthquakeload
2．3整体式反应位移法二
采用上述方法计算等效输入地震动荷载后，即可
结构相互作用模型中施加等效输入在图2所示的土-地震动荷载，同时模型中结构部分也按照所在土层深度位置作用水平惯性力，如图8所示。然后根据计算要求，进行静力分析
。
3
3．1
方法验证
地震作用验证
为了验证整体式反应位移法二中地震作用确定
本文选择日本阪神大开地铁车站进行方法的有效性，［5，8］
。该车站为矩形框架结构，数值分析其断面如图95］取值。所示。结构及周围土体的材料参数按文献［
本文计算均采用通用有限元程序Marc进行，结构采用
［17-18］
，线弹性模型，周围土体采用等效线性化模型输
入地震波采用峰值加速度为0．2g的Kobe波，如图10
结构惯性力（FI）；对于整体式反应结构周围剪力（FS）、
位移法二，地震作用包括等效输入地震动荷载（FΔ+FS）和结构惯性力（FI）。其中，由于结构惯性力均通过一维自由场土层地震反应分析获得，结果相同，表中不再赘述。
由表1可以看出，整体式反应位移法二采用图7计算得到的等效输入地震动荷载与整体式反应位移法一基本一致，说明通过该方法可简便有效地确定包括结构周围剪力在内的等效输入地震动荷载。
表2给出了两种整体式反应位移法计算结果与动力时程方法的对比。结果表明，整体式反应位移法二在计算矩形断面地下结构地震反应时与整体式反应位移法一计算结果基本一致，并与动力有限元方法拟合精
所示
。
图9大开地铁车站标准断面示意图（单位：m）
度高
。
Fig．9TypicalcrosssectionofDaikaisubwaystation（unit：m）
分别采用整体式反应位移法一和整体式反应位
移法二对大开地铁车站进行地震反应分析。采用动力时程方法作为精确方法，动力分析时施加二维黏弹
［19］
性人工边界，采用辅助程序VSBC进行计算。表1给出了整体式反应位移法一与整体式反应位移法二计算过程中的地震作用。对于整体式反应位移法一，地震作用包括土层变形引起的等效荷载（FΔ）、
表1
Table1
两种方法的等效输入地震动荷载比较
（kN/m）
底面平均剪力
5．11732．03437．15135．813
图10
Fig．10
Kobe波
Kobeearthquakewave
Comparisonoftheequivalentearthquakeloadsfromdifferentmethods
侧面平均压力
侧面平均剪力－20．72225．0504．3285．219
顶面平均压力
0000
顶面平均剪力
8．07418．06726．14125．363
底面平均压力
0000
FΔ
整体式反应位移法一
FSFΔ+FS
整体式反应位移法二
FΔ+FS
22．817022．81721．687
表2
Table2
侧墙顶部弯矩（kN·m）
动力时程方法整体式反应位移法一整体式反应位移法二
396．193406．754409．502
两种方法的计算结果比较
Comparisonofreslutsfromdifferentmethods
侧墙底部弯矩（kN·m）496．488514．417518．090
中柱顶部弯矩（kN·m）58．49461．50461．803
中柱底部弯矩（kN·m）58．93661．45761．728
侧墙变形（mm）7．007．377．38
中柱变形（mm）7．067．437．44
3．2复杂断面地下结构适用性验证
为了验证整体式反应位移法二对复杂断面地下结构的适用性，本文选择北京市地铁5号线崇文门地铁车其断站进行数值分析。该车站为拱形断面地下结构，
B、C、D位置示于图中。结面如图11所示，控制截面A、
［9］
9］构及周围土体的材料参数按文献［取值。计算过程
中，结构采用线弹性模型，周围土体采用等效线性化模型
［17-18］
。
并改变地面峰值加速本文采用多条输入地震波，度、土-结构刚度比等参数进行数值模拟，分析中以动力
时程方法作为精确方法进行比较
。程方法吻合良好，误差均不超过5%
。
图11
Fig．11
崇文门站标准断面（单位：m）
（unit：m）
TypicalcrosssectionofChongwenmenstation
不同地震波作用
选择峰值加速度为0．2g的4条不同地震波，如图10和图12所示：汶川地震的Bajiao波、阪神地震的Kobe波、Centro波以及北京人因皮里尔河谷地震的El-工波作为输入地震波，计算结果如表3所示。由表3可以看出，虽然输入地震波的峰值加速度一样，选取输入的地震波持时也相同，但由于不同地震波的频谱差别较大，因此计算得到的地下结构地震反应也存在较大区别。
通过比较可以发现，在本文选取的四条不同地震波作用下，采用本文提出的整体式反应位移法二都可以较好的模拟地震中地下结构与周围土体的相互作用。采用该方法计算得到的结构内力和结构变形均与动力时
表3
Table3
地震波
计算方法动力时程方法
Bajiao波
整体式反应位移法二
动力时程方法
Kobe波
整体式反应位移法二
动力时程方法
El-Centro波
整体式反应位移法二
动力时程方法
Beijing人工波
整体式反应位移法二
144．257
422．133
179．358
180．075
5．36
5．53
209．144141．177
520．305412．505
246．248171．636
244．929174．206
7．585．33
7．735．44
218．786201．642
588．378512．885
272．257236．006
269．808237．128
8．187．28
8．507．44
154．944222．409
410．230594．317
186．755264．021
184．101267．200
5．648．17
5．788．31
3．2．1
图12Fig．12
输入地震波
Earthquakewaveinput
不同地震波作用下的计算结果
Calculationresultsofdifferentseismicwaveinputed
侧墙B处弯矩（kN·m）401．471
中柱C处弯矩（kN·m）177．494
中柱D处弯矩（kN·m）178．284
侧墙变形（mm）5．35
中柱变形（mm）5．49
侧墙A处弯矩（kN·m）148．239
3．2．2
不同峰值加速度
采用Kobe波作为输入地震波，分别取其峰值加速
应随着增强。
通过比较可以发现，在常见的地震动强度范围内，整体式反应位移法二计算结果均能较好的与动力时程
方法吻合。3．2．3
不同结构刚度
采用峰值加速度为0．2g的Kobe波作为输入地震
0．2g、0．4g和0．8g，度为0．1g、计算结果如表4所示。由表4可以看出，随着输入地震波峰值加速度的增大，一方面地震作用逐渐增强，另一方面结构周围土体刚度变小，对地下结构约束作用减弱，因此结构地震反
22GPa、30GPa、38GPa波，其中结构刚度分别为10GPa、
和90GPa，计算结果如表5所示。由表5可以看出，随着结构刚度的提高，结构变形逐渐减小，而结构内力却逐渐增大。
表4
Table4
峰值加速度
（g）0．1
整体式反应位移法二
动力时程方法
0．2
整体式反应位移法二
动力时程方法
0．4
整体式反应位移法二
动力时程方法
0．8
整体式反应位移法二
982．396
1926．557
527．928970．112
1201．9301904．213
218．786525．954
588．3781196．721
94．707222．403
278．206594．311
计算方法动力时程方法
通过比较可以发现，在地下结构弹性模量可能存在
的范围内，混凝土弹性模量从C15强度等级（22GPa）到C80强度等级（38GPa）时，整体式反应位移法二与动力时程方法计算结果均符合较好。
不同地震动强度作用下的计算结果
Calculationresultsofdifferentearthquakeintensities
侧墙B处弯矩（kN·m）282．117
中柱C处弯矩（kN·m）115．718118．941264．086272．257612．353641．3511133．8361204．552
中柱D处弯矩（kN·m）117．141122．595267．211269．808619．229637．2421143．6351201．781
侧墙变形（mm）3．523．548．178．1819．3219．6435．8836．37
中柱变形（mm）3．613．768．318．5019．4720．3836．1737．36
侧墙A处弯矩（kN·m）96．251
表5
Table5
结构刚度（GPa）10
整体式反应位移法二
动力时程方法
22
整体式反应位移法二
动力时程方法
30
整体式反应位移法二
动力时程方法
38
整体式反应位移法二
动力时程方法
90
整体式反应位移法二
473．776266．933460．213218．786265．695170．503222．41488．109174．107
计算方法动力时程方法
不同结构刚度时的计算结果
Calculationresultsofdifferentstructurestiffness
侧墙B处弯矩（kN·m）354．209349．421515．801506．031594．343588．378659．912661．652931．143942．392
中柱C处弯矩（kN·m）112．217115．661208．831212．928264．216272．257313．562328．177541．675572．009
中柱D处弯矩（kN·m）112．323113．365210．710217．991267．244269．808318．153326．513554．323570．715
侧墙变形（mm）9．579．288．658．578．178．187．757．845．916．11
中柱变形（mm）10．4110．458．929．158．318．507．828．165．886．21
侧墙A处弯矩（kN·m）90．231
3．3综合比较
通过上文计算分析可以发现，采用本文提出的整体
4结论
在借鉴反应位移法基本思想的基础上，本文提出了
式反应位移法二对复杂断面地下结构进行地震反应分
析时，在不同计算条件下结果均与动力时程方法吻合较好，误差最大不超过5%。同时，与传统反应位移法相比，本文方法避免了地基弹簧系数的计算；与整体式反应位移法一相比，本文方法避免了结构周围剪力的单独计算、分解与合成，大大提高了计算效率。
一种适用于复杂断面地下结构地震反应分析的整体式
反应位移法，由前述理论分析和算例计算可以看出本文提出的方法具有以下特点：
（1）与动力有限元方法相比，该方法仅需进行一维自由场土层地震反应分析，避免了对土-结构系统进行
第47卷第1期刘晶波等·复杂断面地下结构地震反应分析的整体式反应位移法
（inChinese））
·141·
在保证计算精度的同时，大复杂的动力相互作用分析，
大降低了问题的复杂性，方便工程设计人员采用。
（2）与传统反应位移法相比，该方法概念明确，采用土-结构有限元模型来直接反映土-结构间相互作用，避免了地基弹簧系数计算的复杂性，增加计算精度的同时大大减小了计算工作量。
（3）与整体式反应位移法一相比，该方法中等效输入地震动荷载求解方法简单，可以考虑复杂断面结构形式的地下结构地震反应，扩大了方法的适用范围。通过整体式反应位移法二与动力有限元方法的数值对比研究，验证了整体式反应位移法二的合理性、简便性与良好的计算精度，可以应用于地铁等地下结构的抗震分析与设计中。
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