数学必修一学案（17） 编写教师：
§2.2.1对数与对数运算（二）
一、学习目标：
1、理解对数的运算性质，知道换底公式, 能将一般指数转化为自然对数和常用对数；
2、能熟练运用对数概念及运算性质进行对数计算和对数式的恒等变形。
重点：掌握对数的运算性质及其推导过程，依据对数性质进行对数运算.
难点：对数的运算性质及其推导过程.
二、知识回顾（你已做好知识准备了吗？你一定还记得以下知识吧！）：
1. 对数的概念：：一般地，如果a x =N (a >0, 且a ≠1) ，那么数x 叫做 的对数，记作
2.
3. 对数的基本性质（设，且），则
（1）零和负数 对数
（2）1的对数为零，即
（3）底数的对数等于1，即
三、预习自学（自主学习课本64～67页，了解本节知识体系！）：
（1）指数的运算法则是什么?
（2）对数有哪些运算性质？是怎样证明的？
（3）对数的换底公式是什么？怎样得到的？
四、探究合作（师生互动，合作探究，分组展示，点拨提升！）
1、对数的运算性质（3条），并用自然语言叙述
如果a >0且a ≠1, M >0, N >0，那么
（1）log a (MN ) =；
65
班级_________________ 姓名___________________ 学号___________________
（2）log a M =； N
（3）log a M n =(n ∈________).
2、注意对数运算性质的逆用，把对数运算性质按教材顺序逆向写一遍.(要注意底和真数
的条件) (1) (2) (3)
3、请根据对数的定义推导出对数的换底公式
log a b =
log c b (a >0, 且a ≠1; c >0, 且c ≠1; b >0) log c a
两个常用的推论:
log a m N n （特殊：log a n N n ） log a b ⋅log b a =注意阅读教材P.68对数的发明，要了解对数的发现历史，从中体会数学符号对
数学的发展所起的作用，以及数学家对数学符号体系的发展与完善作出了怎样长
期而艰苦的努力.
用常用对数表示log a b =log a b =注意：（1）对数换底公式的作用在于“换底”，换成统一底的对数，即“化异为同”，这是解决有关对数问题的基本思想方法，是对数恒等变形中常用的工具. 一般常换成以10为底或以e 为底, 有时根据题目需要也化成其它数为底的对数
（2）在遇到有关对数求值或化简的应用中，要不仅能正用换底公式，还要能逆用换底公式，因此针对具体问题，选择好底数；注意换底公式与对数运算法则结合使用. 例1．用log a x , log a y , log a z 表示下列各式：
x 2y xy （1）log a （2）log a z z
66
数学必修一学案（17） 编写教师：
变式1：已知 log 23 = a， log 37 = b, 用 a, b 表示log 4256
例2．求下列各式的值:
（1）log 2(47⨯25) （2）lg 5
变式2：已知lg 2=a , lg 3=b , 则log 512
例3. 见课本66页例5.
例4．见课本67页例6.
变式3：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪一年我国人口总数将超过14亿？
六、检测反馈（分组展示。比一比，看谁做得又对又快！）：
1．给出下列四个式子（已知a >0, 且a ≠1, x >y >0)
①log a x ⋅log a y =log a (x +y ) ②log a x -log a y =log a (xy )
③log a log a x x =log a (x -y ) ④log a x -log a y = log y y a
其中正确的个数是
（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个
2．如果方程lg 2x +(lg 2+lg 3)lg x +lg 2⋅lg 3=0的两根为α, β则α∙β值为
（A ）lg 2∙lg 3 （B ）lg 2+lg 3 （C ）
3．若log 3[log 2(log 5x )]=0, 则x
67 1 （D ）6 6
班级_________________ 姓名___________________ 学号___________________
七、课外作业（30分钟内完成。相信自己：我能独立按时完成！） 1. 111++= log 3x log 4x log 5x
2. 若log 23⋅log 34⋅log 45⋅⋅⋅log 20082009⋅log 2009m =4，则m 的值等于3. 已知log 83=p , log 35=q , 则lg 5等于4. 若2a =5b =10，则11+ a b
5. （1
）计算log 2；
（2）已知log a x =2, log b x =1, log c x =4，求log abc x ；
6．（1）设log 827=a ，用a 表示log 616；（2）设o l g
7. 求log 2．56．25+lg
8．求方程log x -1(3x -2x -1) =2的解．
223=a , o l g 3用a , b 表示log 1520. 5=b ，1+log 231+lne +2的值． 100
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数学必修一学案（17） 编写教师：
§2.2.1对数与对数运算（二）
一、学习目标：
1、理解对数的运算性质，知道换底公式, 能将一般指数转化为自然对数和常用对数；
2、能熟练运用对数概念及运算性质进行对数计算和对数式的恒等变形。
重点：掌握对数的运算性质及其推导过程，依据对数性质进行对数运算.
难点：对数的运算性质及其推导过程.
二、知识回顾（你已做好知识准备了吗？你一定还记得以下知识吧！）：
1. 对数的概念：：一般地，如果a x =N (a >0, 且a ≠1) ，那么数x 叫做 的对数，记作
2.
3. 对数的基本性质（设，且），则
（1）零和负数 对数
（2）1的对数为零，即
（3）底数的对数等于1，即
三、预习自学（自主学习课本64～67页，了解本节知识体系！）：
（1）指数的运算法则是什么?
（2）对数有哪些运算性质？是怎样证明的？
（3）对数的换底公式是什么？怎样得到的？
四、探究合作（师生互动，合作探究，分组展示，点拨提升！）
1、对数的运算性质（3条），并用自然语言叙述
如果a >0且a ≠1, M >0, N >0，那么
（1）log a (MN ) =；
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班级_________________ 姓名___________________ 学号___________________
（2）log a M =； N
（3）log a M n =(n ∈________).
2、注意对数运算性质的逆用，把对数运算性质按教材顺序逆向写一遍.(要注意底和真数
的条件) (1) (2) (3)
3、请根据对数的定义推导出对数的换底公式
log a b =
log c b (a >0, 且a ≠1; c >0, 且c ≠1; b >0) log c a
两个常用的推论:
log a m N n （特殊：log a n N n ） log a b ⋅log b a =注意阅读教材P.68对数的发明，要了解对数的发现历史，从中体会数学符号对
数学的发展所起的作用，以及数学家对数学符号体系的发展与完善作出了怎样长
期而艰苦的努力.
用常用对数表示log a b =log a b =注意：（1）对数换底公式的作用在于“换底”，换成统一底的对数，即“化异为同”，这是解决有关对数问题的基本思想方法，是对数恒等变形中常用的工具. 一般常换成以10为底或以e 为底, 有时根据题目需要也化成其它数为底的对数
（2）在遇到有关对数求值或化简的应用中，要不仅能正用换底公式，还要能逆用换底公式，因此针对具体问题，选择好底数；注意换底公式与对数运算法则结合使用. 例1．用log a x , log a y , log a z 表示下列各式：
x 2y xy （1）log a （2）log a z z
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数学必修一学案（17） 编写教师：
变式1：已知 log 23 = a， log 37 = b, 用 a, b 表示log 4256
例2．求下列各式的值:
（1）log 2(47⨯25) （2）lg 5
变式2：已知lg 2=a , lg 3=b , 则log 512
例3. 见课本66页例5.
例4．见课本67页例6.
变式3：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪一年我国人口总数将超过14亿？
六、检测反馈（分组展示。比一比，看谁做得又对又快！）：
1．给出下列四个式子（已知a >0, 且a ≠1, x >y >0)
①log a x ⋅log a y =log a (x +y ) ②log a x -log a y =log a (xy )
③log a log a x x =log a (x -y ) ④log a x -log a y = log y y a
其中正确的个数是
（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个
2．如果方程lg 2x +(lg 2+lg 3)lg x +lg 2⋅lg 3=0的两根为α, β则α∙β值为
（A ）lg 2∙lg 3 （B ）lg 2+lg 3 （C ）
3．若log 3[log 2(log 5x )]=0, 则x
67 1 （D ）6 6
班级_________________ 姓名___________________ 学号___________________
七、课外作业（30分钟内完成。相信自己：我能独立按时完成！） 1. 111++= log 3x log 4x log 5x
2. 若log 23⋅log 34⋅log 45⋅⋅⋅log 20082009⋅log 2009m =4，则m 的值等于3. 已知log 83=p , log 35=q , 则lg 5等于4. 若2a =5b =10，则11+ a b
5. （1
）计算log 2；
（2）已知log a x =2, log b x =1, log c x =4，求log abc x ；
6．（1）设log 827=a ，用a 表示log 616；（2）设o l g
7. 求log 2．56．25+lg
8．求方程log x -1(3x -2x -1) =2的解．
223=a , o l g 3用a , b 表示log 1520. 5=b ，1+log 231+lne +2的值． 100
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