报童模型的研究进展综述
李雪敏，缪立新，徐青青
（清华大学深圳研究生院现代物流研究中心，广东深圳５１８０５５）
摘要：文章从诸如约束条件、目标函数等不同的研究侧面，对近几年来对报童问题有关文献进
行了详细的分析及总结，挖掘出了文献中的新的研究视角及解决方法，并在此基础上提出未来的报童模型研究方向。
关键词：报童模型；库存管理；生产与运作管理中图分类号：Ｆ２５３．４
文献标识码：Ａ
文章编号：１００２－６４８７（２００８）１７－００１１－０４
在随机型储存问题中，常见的随机性因素是需求和拖后时间。报童问题就是典型的单阶段、随机需求模型，主旨是寻找产品最佳订货量，来最大化期望收益或最小化期望损失。报童模型反映了许多现实情况，已被应用于诸多领域，例如时尚健身行业、制造及零售业的辅助决策；航空和旅馆的管理容量和评估预订等。
报童模型自从１９５６首次被提出，就成为学术界的关注焦点，有着大量的研究文献及综述。本文主要分析２０００年以来报童模型的研究进展，从诸如约束条件、目标函数等不同的研究侧面，对近几年来对报童问题有关文献进行分析总结，挖掘文献中所提出的新的研究视角及解决方法，以此提出未来报童模型的研究方向。
对于目标函数的扩展，近年来的研究主要集中在：决策者风险偏好、系统动态性及投资回报。文献［６］、［７］、［８］分别从这三个方面进行相应研究，并分析上述三个方面对最优订购量的影响关系。
Ｊａｍｍｅｒｎｅｇｇ［６］提出一个库存管理者能够控制内部且以顾客
为导向的绩效指标的报童模型，目标函数是低收益和高收益的条件期望值的凸组合，得出处理最优订购量的定性特征及由此产生的依赖模型参数的工作指标。建立了依赖于模型参数的最优订购量的定性表达式，得出了在分别考虑产品可得性水平和损失概率下，决策者风险偏好与产品利润值之间的函数关系。
连续时间单周期报童Ｋｏｎｓｔａｎｔｉｎ等［７］分析了生产多阶段、
模型，在计划期内，需求未知，而计划结束时的累计需求量为已知，整个系统处于一个动态的变化过程之中，与传统报童模型不同之处在于：决策者在每个时间点，均可以进行决策。
赵树基［８］认为传统报童模型的缺陷之一是忽视了投资效—将有限的资金益，不能有效地解决商场面临的实际问题——
分配到多种商品上，为了纠正这种缺陷，利用对管理过程模拟的思路改造了用数学方式建模的思路，通过边际效益来达到利润最大化，并建立的新算法。
１１．１
研究进展
对模型参数及决策变量的扩展
２０００年以来的报童模型研究，对模型参数及决策变量的
扩展主要集中在：增加决策变量及模型中常数的确定方法。
Ｐｅａｒｓｏｎ等［１］提出了使用绩效度量指标和目标收益函数
约束性最优化来对供应水平进行优化的模型和算法。该方法以需求分布均值为已知条件，降低了对需求分布的要求。
１．３考虑时间的因素
对于考虑时间因素的扩展，则主要集在：将时间因素引
Ｄａｎａ等［２］考虑了消费者的购买决策，建立对价格和库存
水平进行决策使期望效用最大的报童模型。模型中，价格是可以进行合理设置的内生变量。但该模型仍为静态模型，且把价格单纯地作为内生变量也与现实不太符合。
入到对需求分布的函数中。文章［９］、［１０］、［１１］分别从需求函数为均匀分布及正态分布研究了时间因素对报童问题的影响。
蔡清波等［１１］考虑了需求函数为均匀分布、零售商对市场需求的预测精度随时间变化，按照经典报童模型的一般假设，构造了一个带时间决策的推广的报童模型。时间的变化体现在：需求函数的方差是时间的一个线性函数。这种考虑时间的方式，给以后的研究带来了很大的启示。
李明琨等［１０］分别从能够采购到的货物量为时间函数、采购成功的概率为时间函数、进货价格为时间函数三种情况下，主要通过在模型中加入与时间有关的费用函数，考虑了基于时间的报童模型问题，而文章的还是局限于需求函数为均匀分布的情形。
宋明华等［１２］将需求的分布函数扩展到更为普遍的正态分布，考虑批发价和预测精度两个参数随时间变化，综合缺
Ｄｅｋｋｅｒ等［３］分析了简单报童模型环境下终止交易数量对
平均库存成本的影响，在具有离散性订购数量的复合泊松分布需求下，证明了如何确定平均成本和最优终止交易数量。在此基础上，ＨＳｈｏｒｅ取消所有的分布假设，假定订购量为任意值，顾客到达率和订购数量的一次三阶矩已知，使用Ｓｈｏｒｅ的分段线性近似理论，得出了更为通用的最优订购量。
马长伟等［５］考虑需求预测偏差的情况下，加入对缺货水平控制的约束条件，以订货日期和订货数量作为决策变量的报童模型，并进行敏感性分析。
［４］
１．２对目标函数的扩展
基金项目：新加坡ＮＯＬ研究基金会资助项目
统计与决策２００８年第１７期（总第２６９期）
１１
货损失及过剩损失，并建立了决策变量为订货点及订货量的正态分布下时变参数的报童问题的数学模型，结论认为考虑时间因素的可以使零售商获得更高的利益。模型中，需求的方差是关于时间的线性函数。但时间的变化，应该是不仅影响需求函数的方差，也可能同时影响期望。
黄有亮等［２３］研究状态变量递增量较大情况下的离散变量的报童模型及并采用解析方法进行求解。
１．６需求的不同分布
报童模型中对需求的研究主要集中在：不同的需求分布
刻画。文献［２６］、模糊需求［２７］、［２８］分别从需求服从三角分布、模式及采用可能性刻画需求进行相关的研究。同时，文献［９］、
１．４约束条件的变化
根据文献，报童模型中对于约束条件扩展主要集在：多
［１０］、［１１］分别从需求函数为均匀分布及正态分布研究了时间
因素对报童问题的影响。
宋海涛等［２８］认为经典报童模型中，订货的一次性容易导致服务水平与贮存成本之间的矛盾，研究可追加订购并限制追加订购量的报童模型，并在假设需求满足三角分布下，讨论了最优解求解方法。
于春云等［２７］研究了模糊随机需求模式下建立模糊随机收益期望值最大的报童模型，并根据遗传算法理论＆计算机模糊随机变量模拟技术设计求解模型的算法。
分别从多点间需求的重地点及预算约束领域。文献［１３］、［１４］、新分配、各点需求的相关性等方面进行相应的研究；而文献
［９］、［１５］进行了带有预算约束方面的研究，其中［１４］同时考虑
了多地点情况下带有预算约束的情况。
单周期、单品种的报童Ｃｈｅｒｉｋｈ等［１４］考虑了一个多地点、
模型。研究了是否允许过剩需求在各地点之间重新分配两种情况下，分析集中控制及分散控制对期望收益影响，证明了在某些条件下，集中控制比分散控制能产生更高的期望利润。同时文中还采用数值算例进行了验证。
单品种的Ｌｉｎ等［１３］考虑到了需求相关的多地点，单周期、报童模型，以期望收益为目标函数，构建了分散控制及集中控制下的报童模型。其中：缺货成本、批发价及残值费用函数，及各点零售价格均相同。并得出一些关于集中控制与分散空下期望收益大小的关系。
苏欣等［９］讨论了带有预算约束的报童模型，建立带有一般费用约束、缺货预算费用约束、商品处理预算费用约束的
Ｇｕｏ等［２６］使用可能性分布来刻画短生命周期新产品市场
的不确定性，提出了报童问题的可能性模型，通过在需求的可行性和收益的满意中进行平衡，来求得最优订购量。
１．７可追加补货
对于可追加补货的扩展，则主要集中在：对追加订购量或
资金的约束。文献［１８］、［２８］研究了可追加订购量有限的情况，
３种模型，分别求出了最优解，并进行了灵敏度分析。
苏欣等［１５］研究了带有预算费用约束的多地点报童模型，假设各地需求均服从正态分布，利用最优化方法求解模型，并进行了灵敏度分析。
［３８］研究了模糊环境及资金限制情况下的可追加订货问题。
Ｃｈｕｎｇ等［２９］提出带有反馈的生产（两次订购）模型，即考虑追加订购量小于等于容量Ｍ条件下，把最小成本作为目标
函数的两次订购模型。
宋海涛［３０］在Ｃｈｕｎｇ等［２９］的基础上，证明了追加最大订购量Ｍ情况下，是存在最优解的，给出了设订的方法，并对经典报童与两次订购模型的收益关系、服务水平、最大订购量及最大追加订购量与各因子的灵敏度分析。
刘丽华等［３１］研究了在模糊环境下的可追加订购的报童产品的残值模型，假设需求量为随机变量，追加订购的价格、
及缺货成本均为模糊变量，在本金有限制的条件下，以极大化收益为目标，研究了一个随机－模糊混合的规划模型，并以一个混合智能算法来求解模型，从而得出了最优订购量及追加的订购量。
１．５求解方法
报童模型求解方法的扩展，主要集中在跟优化方法及技
术的结合：如采用遗传算法、等方法。文献［１７］￣［２５］均采用了不同的方法对报童模型进行了相应的研究。
任永昌等［２４］研究了报童模型的计算机模拟方法，采用离散反变换法产生每天的卖报随机变量；
李灏［２５］研究了采用随机模拟与梯度下降法结合的计算方法，数值计算结果证明了该方法的有效性。
Ｅｒｌｅｂａｃｈｅｒ提出了对多产品带能力约束的报童模型的
［１７］１．８两次销售机会
对于两级销售机会研究主要集中在：不同的需求对模型
优化启发式算法。
Ａｂｄｅｌ－Ｍａｌｅｋ等［１８］提出了一种二次规划求解模型来求解
多产品单边约束的报童模型。
近似的及迭代的模型来Ａｂｄｅｌ－Ｍａｌｅｋ等［１９］提出严格的、
解决能力约束的了多产品的报童模型，该模型在本质上通用的，能够处理各种需求随机密度函数。
的影响。文献［３２］、［１６］、［３３］分别从考虑第一次销售需求分布、二次销售的需求分布、第二次销售需求与价格相关进行相关方面的研究；而文献［３４］则重点讨论了第二次销售价格对最优订购量的影响。
宋海涛等［３２］考虑了带有两次订购＆两次销售的报童模型，求解订购量，使新模型的收益达到最大，但是只考虑了第一次销售时的需求量。在此基础上，他在［１６］中考虑了两次销售的需求分布，假设两次需求是独立的且服从不同的分布，建立的订购数量与收益之间的函数关系，并以需求服从均匀分布情况进行了具体的分析。
高秀明等［３３］研究了服装产品采购与销售中，一次订货、销售季节分两周期进行的决策问题，假定第二周期的需求定义为出清价格与第一周期销售量的函数，通过合理确定第一周期前的订购量及第二周期的产品的出清价格（折扣价格）使期望收益最大，并探究的模型的启发式分析方法。
Ｎｉｅｄｅｒｈｏｆｆ［２０］提供了一种近似的规划技术来解决多产品
多约束的报童问题，根据问题的可分性，利用凸规划理论得到了一个近似的最优解。
且有预算约束的Ｓｈａｏ等［２１］考虑了多产品带有模糊需求、
报童模型，并根据决策标准的不同，从最大化期望收益、机会约束规划、机会规划这三个方面建立了新模型，并用基于遗传算法和模糊模拟的混合职能算法求解新模型。
Ｍｏｏｎ等［２２］研究对补货数量的总价值有预算约束的多产
品的报童问题，使用动态规划方法进行求解，另外还提出了简单有效的启发式算法。
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Ｇéｒａｒｄ等［３４］研究了清货价格（第二次销售价格）对报童模
型决策的影响，讨论了如何确定清货价格能够得出合理或近似的最优订购数量，结果显示，了解模型的输入与模型本身关系的重要性。
２２．１
研究存在的问题及展望考虑时间因素
１．９考虑供应商的两级报童模型
对于两级及多级供应商的研究主要集中在：契约及协调哈佛商业评论》上发表了一篇名为“时Ｓｔａｌｋ（１９８８）在《
间—新一代竞争优势的源泉”的文章。文章中，Ｓｔａｌｋ提出并特别强调了时间作为竞争优势主要源泉的重要性。随后的近
领域。文献［３５］、［３６］、［３７］分别从各级之间的不同关系及一定的约束条件下进行了相关方面的研究。
２０年来，明显地看到随着产品生命周期的缩短，产品对时间
变得越来越敏感，时间确实成为企业提高竞争的主要考虑因素之一，由此考虑时间因素的报童模型已经成为研究的热点之一。但上述考虑时间因素研究并没有摆脱对需求对具体分布函数的依赖，并且对如何缩短时间的研究不足。
同时，需求的不确定性给企业决策带来的很大的困难。从经济学理论中可以知道，价格是影响需求的一个非常重要的因素。如果将需求、价格、时间结合起来进行研究，了解三者之间的关系，将非有利于企业进行更科学的决策。
随着供应链理论的发展，报童模型已经被大量应用于供应链管理的框架中，从供应链协调的角度来研究时变参数报童模型，以及结合服务要求，将成为进一步研究的方向。
Ｌｉ等研究两次订货机会，且第二次的订购量限制的二
［３６］
级报童模型，分析得出制造商提供二次订货的条件，并提出可以利用收益分配因子来分配由于合作带来的更多收益。但该文章假设第二次订货没有提前期，及交易双方地位平等，这与实际存在很大的偏差，同时未明确收益分配因子的制定方法。
侯阔林等［３７］研究把合约订购量、合约价格等作为决策变量的扩展的报童模型。建立了基于二层规划模型的思想、具有合约决策的二层报童模型。文章假设了制造商与零售商从属的关系，从契约的角度来保证双方合作的顺利进行及利益的保障，创造性地考虑了现货市场对决策双方的影响，但是文章没有考虑时间对双方利益的影响，属于静态上的分析。
Ｄａｓ等［３５］研究了一定资金成本约束下，两个可替
代且易逝产品的双层（制造商－零售商－顾客）报童问题，在考
虑随机需求和任意的订购数量情况下，采用多目标的遗传算法求出使得制造商与零售商均能获益的决策变量的最优解。
Ｂａｒｕｎ２．２多级以及网络式的报童模型
由于竞争的日益激烈，有单个企业之间的竞争逐渐变成
整条供应链或供应链网络之间的竞争，对整条供应链或供应链网络的研究就是在这个强大的信息时代大背景下而产生。因此研究多级或网络式的报童模型，将无疑对于实践或理论来讲，都将意义重大，也必将成为一个更加引人注意的研究热点。
１．１０其他
其他对报童模型的研究主要有：多个零售商、采用电子
商务模式、产品回收、价格影响等方面，文献［３８］￣［４２］分别就这几方面进行了相关研究。
常广庶等［３８］以一个供应商对多个零售商的报童模型为依据，研究在零售商占据主导地位的供应链的电子采购策略，比较分析了销售商和供应商在电子采购策略和传统采购策略中的利益机制，并得出结论：当供应商向销售商提供退货政策，同时零售商向供应商提供信息技术支持，将可以供应商和零售商实现双赢，从而电子采购模式优于传统采购模式。同时，文章也指出，当制造商占据主导地位的供应链，销售商之间的激烈竞争将使供应商的批发价格高于传统交易方式，但对这种情况没有进行相应的研究。
吴鹏［３９］从最基本的报童模型出发，考虑存在回收再制造活动情形下的最优生产量的决策问题，求解最优生产量，并将其与传统的报童模型做了比较。结果表明回收再制造带来的成本降低将有可能带来总产量的增加和利润的提高。同时，文章也指出了进一步的研究方向，如多周期，多个报童进行博弈，信息不完全，考虑定价及销售努力，多级报童模型等方面来研究回收报童模型。
许明辉等
［４０］
２．３回收报童模型
进入２１世纪以来，随着资源危机、环境污染的加剧，可
持续发展成为世界各国的主导趋势，随着全球化的进一步发展和企业间竞争的加剧，产品的生命周期更加缩短，退货的条款变得越来越宽松。同时，环保、法律要求越来越高，致使逆向供应链变得越来越重要，甚至影响到整个供应链系统。因此对闭环供应链的研究将具有重大的价值，它不仅可能带来环保和节约的好处，还有可能给企业带来更多的经济利益。考虑回收的报童模型，将会成为研究该类问题重要手段。
２．４电子市场环境下的报童模型研究
在电子商务时代，市场需求变化的速度不断加快，采购
管理的复杂性和多变性都大大增加。利用Ｉｎｔｅｒｎｅｔ进行采购管理是大型企业电子商务战略中最重要的部分，近年来发展非常迅速。电子采购（Ｅ－Ｐｒｏｃｕｒｅｍｅｎｔ）已成为美国供应管理协会（ＩＳＭ）优先支持的研究领域之一。
但目前关于电子采购等电子商务环境下的研究仍比较少，Ｉｎｔｅｒｎｅｔ对供应链采购管理的影响也还有许多有待研究的问题。例如Ｉｎｔｅｒｎｅｔ怎样应用于采购过程、对采购战略有何影响等。因此，采用报童模型，对电子商务下交易进行定量研究将会有很大的研究空间。
考虑了使用缺货惩罚及风险准则对经典的
报童模型进行研究，在一个决策者为风险厌恶的报童模型种，讨论了缺货惩罚及风险厌恶程度对最优订货数量的影响。
Ｋｈｏｕｊ等［４１］研究了广告的影响的报童模型，探讨需求为线性函数，贩报商在需求与价格相关和价格折扣的最优订购
决策。
３总结
随着全球化进程、科技进步，对报童模型从更加贴近实
Ｌｉｎ等［４２］研究了单品种有价格折扣的报童模型，目标是
实现目标利润的概率不小于预先确定的风险水平条件，考虑两种数量折扣政策作为协调方法。
际的角度进行研究是基本研究方向。相关研究进程也见证了报童模型研究随时代变化而发展的过程。未来的研究中，报童模型将继续旨在实现理论更好地指导实践。
统计与决策２００８年第１７期（总第２６９期）
１３
２００７，１７６（２）．
参考文献：
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［１８］Ａｂｄｅｌ－Ｍａｌｅｋ．．Ｌ，Ｍｏｎｔａｎａｒｉ．Ｒ．，Ｍｏｒａｌｅｓ．．Ｌ．Ｃ．．Ｅｘａｃｔ，Ａｐｐｒｏｘｉ－
ｍａｔｅ，ａｎｄＧｅｎｅｒｉｃＩｔｅｒａｔｉｖｅＭｏｄｅｌｓｆｏｒｔｈｅＭｕｌｔｉ－ＰｒｏｄｕｃｔＮｅｗｓ－ｂｏｙｗｉｔｈＢｕｄｇｅｔＣｏｎｓｔｒａｉｎｔ［Ｊ］．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｏｆＰｒｏｄｕｃ－ｔｉｏｎＥｃｏｎｏｍｉｃｓ，２００３，９１．［１９］ＬａｙｅｋＬ．Ａｂｄｅｌ－Ｍａｌｅｋ，
ＮａｔｈａｐｏｌＡｒｅｅｒａｔｃｈａｋｕｌ，ＡＱｕａｄｒａｔｉｃ：
ＰｒｏｇｒａｍｍｉｎｇＡｐｐｒｏａｃｈｔｏｔｈｅＭｕｌｔｉ－ＰｒｏｄｕｃｔＮｅｗｓｖｅｎｄｏｒＰｒｏｂ－ｌｅｍｗｉｔｈＳｉｄｅＣｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ［Ｊ］．ＥｕｒｏｐｅａｎＪｏｕｒｎａｌｏｆＯｐｅｒａｔｉｏｎａｌＲｅｓｅａｒｃｈ１７６，２００７，１７６．
［２０］Ｎｉｅｄｅｒｈｏｆｆ．ＪｕｌｉｅＡ，ＵｓｉｎｇＳｅｐａｒａｂｌｅＰｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｔｏＳｏｌｖｅｔｈｅ
Ｍｕｌｔｉ－ＰｒｏｄｕｃｔＭｕｌｔｉｐｌｅＥｘ－ＡｎｔｅＣｏｎｓｔｒａｉｎｔＮｅｗｓｖｅｎｄｏｒＰｒｏｂｌｅｍａｎｄＥｘｔｅｎｓｉｏｎｓ［Ｊ］．ＥｕｒｏｐｅａｎＪｏｕｒｎａｌｏｆＯｐｅｒａｔｉｏｎａｌＲｅｓｅａｒｃｈ，
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ＤｕａｌＰｅｒｆｏｒｍａｎｃｅＭｅａｓｕｒｅｓａｎｄＱｕａｎｔｉｔｙＤｉｓｃｏｕｎｔｓ［Ｊ］．ＥｕｒｏｐｅａｎＪｏｕｒｎａｌｏｆＯｐｅｒａｔｉｏｎａｌＲｅｓｅａｒｃｈ，１９９７，１００．
（责任编辑／亦民）
１４
统计与决策２００８年第１７期（总第２６９期）
报童模型的研究进展综述
李雪敏，缪立新，徐青青
（清华大学深圳研究生院现代物流研究中心，广东深圳５１８０５５）
摘要：文章从诸如约束条件、目标函数等不同的研究侧面，对近几年来对报童问题有关文献进
行了详细的分析及总结，挖掘出了文献中的新的研究视角及解决方法，并在此基础上提出未来的报童模型研究方向。
关键词：报童模型；库存管理；生产与运作管理中图分类号：Ｆ２５３．４
文献标识码：Ａ
文章编号：１００２－６４８７（２００８）１７－００１１－０４
在随机型储存问题中，常见的随机性因素是需求和拖后时间。报童问题就是典型的单阶段、随机需求模型，主旨是寻找产品最佳订货量，来最大化期望收益或最小化期望损失。报童模型反映了许多现实情况，已被应用于诸多领域，例如时尚健身行业、制造及零售业的辅助决策；航空和旅馆的管理容量和评估预订等。
报童模型自从１９５６首次被提出，就成为学术界的关注焦点，有着大量的研究文献及综述。本文主要分析２０００年以来报童模型的研究进展，从诸如约束条件、目标函数等不同的研究侧面，对近几年来对报童问题有关文献进行分析总结，挖掘文献中所提出的新的研究视角及解决方法，以此提出未来报童模型的研究方向。
对于目标函数的扩展，近年来的研究主要集中在：决策者风险偏好、系统动态性及投资回报。文献［６］、［７］、［８］分别从这三个方面进行相应研究，并分析上述三个方面对最优订购量的影响关系。
Ｊａｍｍｅｒｎｅｇｇ［６］提出一个库存管理者能够控制内部且以顾客
为导向的绩效指标的报童模型，目标函数是低收益和高收益的条件期望值的凸组合，得出处理最优订购量的定性特征及由此产生的依赖模型参数的工作指标。建立了依赖于模型参数的最优订购量的定性表达式，得出了在分别考虑产品可得性水平和损失概率下，决策者风险偏好与产品利润值之间的函数关系。
连续时间单周期报童Ｋｏｎｓｔａｎｔｉｎ等［７］分析了生产多阶段、
模型，在计划期内，需求未知，而计划结束时的累计需求量为已知，整个系统处于一个动态的变化过程之中，与传统报童模型不同之处在于：决策者在每个时间点，均可以进行决策。
赵树基［８］认为传统报童模型的缺陷之一是忽视了投资效—将有限的资金益，不能有效地解决商场面临的实际问题——
分配到多种商品上，为了纠正这种缺陷，利用对管理过程模拟的思路改造了用数学方式建模的思路，通过边际效益来达到利润最大化，并建立的新算法。
１１．１
研究进展
对模型参数及决策变量的扩展
２０００年以来的报童模型研究，对模型参数及决策变量的
扩展主要集中在：增加决策变量及模型中常数的确定方法。
Ｐｅａｒｓｏｎ等［１］提出了使用绩效度量指标和目标收益函数
约束性最优化来对供应水平进行优化的模型和算法。该方法以需求分布均值为已知条件，降低了对需求分布的要求。
１．３考虑时间的因素
对于考虑时间因素的扩展，则主要集在：将时间因素引
Ｄａｎａ等［２］考虑了消费者的购买决策，建立对价格和库存
水平进行决策使期望效用最大的报童模型。模型中，价格是可以进行合理设置的内生变量。但该模型仍为静态模型，且把价格单纯地作为内生变量也与现实不太符合。
入到对需求分布的函数中。文章［９］、［１０］、［１１］分别从需求函数为均匀分布及正态分布研究了时间因素对报童问题的影响。
蔡清波等［１１］考虑了需求函数为均匀分布、零售商对市场需求的预测精度随时间变化，按照经典报童模型的一般假设，构造了一个带时间决策的推广的报童模型。时间的变化体现在：需求函数的方差是时间的一个线性函数。这种考虑时间的方式，给以后的研究带来了很大的启示。
李明琨等［１０］分别从能够采购到的货物量为时间函数、采购成功的概率为时间函数、进货价格为时间函数三种情况下，主要通过在模型中加入与时间有关的费用函数，考虑了基于时间的报童模型问题，而文章的还是局限于需求函数为均匀分布的情形。
宋明华等［１２］将需求的分布函数扩展到更为普遍的正态分布，考虑批发价和预测精度两个参数随时间变化，综合缺
Ｄｅｋｋｅｒ等［３］分析了简单报童模型环境下终止交易数量对
平均库存成本的影响，在具有离散性订购数量的复合泊松分布需求下，证明了如何确定平均成本和最优终止交易数量。在此基础上，ＨＳｈｏｒｅ取消所有的分布假设，假定订购量为任意值，顾客到达率和订购数量的一次三阶矩已知，使用Ｓｈｏｒｅ的分段线性近似理论，得出了更为通用的最优订购量。
马长伟等［５］考虑需求预测偏差的情况下，加入对缺货水平控制的约束条件，以订货日期和订货数量作为决策变量的报童模型，并进行敏感性分析。
［４］
１．２对目标函数的扩展
基金项目：新加坡ＮＯＬ研究基金会资助项目
统计与决策２００８年第１７期（总第２６９期）
１１
货损失及过剩损失，并建立了决策变量为订货点及订货量的正态分布下时变参数的报童问题的数学模型，结论认为考虑时间因素的可以使零售商获得更高的利益。模型中，需求的方差是关于时间的线性函数。但时间的变化，应该是不仅影响需求函数的方差，也可能同时影响期望。
黄有亮等［２３］研究状态变量递增量较大情况下的离散变量的报童模型及并采用解析方法进行求解。
１．６需求的不同分布
报童模型中对需求的研究主要集中在：不同的需求分布
刻画。文献［２６］、模糊需求［２７］、［２８］分别从需求服从三角分布、模式及采用可能性刻画需求进行相关的研究。同时，文献［９］、
１．４约束条件的变化
根据文献，报童模型中对于约束条件扩展主要集在：多
［１０］、［１１］分别从需求函数为均匀分布及正态分布研究了时间
因素对报童问题的影响。
宋海涛等［２８］认为经典报童模型中，订货的一次性容易导致服务水平与贮存成本之间的矛盾，研究可追加订购并限制追加订购量的报童模型，并在假设需求满足三角分布下，讨论了最优解求解方法。
于春云等［２７］研究了模糊随机需求模式下建立模糊随机收益期望值最大的报童模型，并根据遗传算法理论＆计算机模糊随机变量模拟技术设计求解模型的算法。
分别从多点间需求的重地点及预算约束领域。文献［１３］、［１４］、新分配、各点需求的相关性等方面进行相应的研究；而文献
［９］、［１５］进行了带有预算约束方面的研究，其中［１４］同时考虑
了多地点情况下带有预算约束的情况。
单周期、单品种的报童Ｃｈｅｒｉｋｈ等［１４］考虑了一个多地点、
模型。研究了是否允许过剩需求在各地点之间重新分配两种情况下，分析集中控制及分散控制对期望收益影响，证明了在某些条件下，集中控制比分散控制能产生更高的期望利润。同时文中还采用数值算例进行了验证。
单品种的Ｌｉｎ等［１３］考虑到了需求相关的多地点，单周期、报童模型，以期望收益为目标函数，构建了分散控制及集中控制下的报童模型。其中：缺货成本、批发价及残值费用函数，及各点零售价格均相同。并得出一些关于集中控制与分散空下期望收益大小的关系。
苏欣等［９］讨论了带有预算约束的报童模型，建立带有一般费用约束、缺货预算费用约束、商品处理预算费用约束的
Ｇｕｏ等［２６］使用可能性分布来刻画短生命周期新产品市场
的不确定性，提出了报童问题的可能性模型，通过在需求的可行性和收益的满意中进行平衡，来求得最优订购量。
１．７可追加补货
对于可追加补货的扩展，则主要集中在：对追加订购量或
资金的约束。文献［１８］、［２８］研究了可追加订购量有限的情况，
３种模型，分别求出了最优解，并进行了灵敏度分析。
苏欣等［１５］研究了带有预算费用约束的多地点报童模型，假设各地需求均服从正态分布，利用最优化方法求解模型，并进行了灵敏度分析。
［３８］研究了模糊环境及资金限制情况下的可追加订货问题。
Ｃｈｕｎｇ等［２９］提出带有反馈的生产（两次订购）模型，即考虑追加订购量小于等于容量Ｍ条件下，把最小成本作为目标
函数的两次订购模型。
宋海涛［３０］在Ｃｈｕｎｇ等［２９］的基础上，证明了追加最大订购量Ｍ情况下，是存在最优解的，给出了设订的方法，并对经典报童与两次订购模型的收益关系、服务水平、最大订购量及最大追加订购量与各因子的灵敏度分析。
刘丽华等［３１］研究了在模糊环境下的可追加订购的报童产品的残值模型，假设需求量为随机变量，追加订购的价格、
及缺货成本均为模糊变量，在本金有限制的条件下，以极大化收益为目标，研究了一个随机－模糊混合的规划模型，并以一个混合智能算法来求解模型，从而得出了最优订购量及追加的订购量。
１．５求解方法
报童模型求解方法的扩展，主要集中在跟优化方法及技
术的结合：如采用遗传算法、等方法。文献［１７］￣［２５］均采用了不同的方法对报童模型进行了相应的研究。
任永昌等［２４］研究了报童模型的计算机模拟方法，采用离散反变换法产生每天的卖报随机变量；
李灏［２５］研究了采用随机模拟与梯度下降法结合的计算方法，数值计算结果证明了该方法的有效性。
Ｅｒｌｅｂａｃｈｅｒ提出了对多产品带能力约束的报童模型的
［１７］１．８两次销售机会
对于两级销售机会研究主要集中在：不同的需求对模型
优化启发式算法。
Ａｂｄｅｌ－Ｍａｌｅｋ等［１８］提出了一种二次规划求解模型来求解
多产品单边约束的报童模型。
近似的及迭代的模型来Ａｂｄｅｌ－Ｍａｌｅｋ等［１９］提出严格的、
解决能力约束的了多产品的报童模型，该模型在本质上通用的，能够处理各种需求随机密度函数。
的影响。文献［３２］、［１６］、［３３］分别从考虑第一次销售需求分布、二次销售的需求分布、第二次销售需求与价格相关进行相关方面的研究；而文献［３４］则重点讨论了第二次销售价格对最优订购量的影响。
宋海涛等［３２］考虑了带有两次订购＆两次销售的报童模型，求解订购量，使新模型的收益达到最大，但是只考虑了第一次销售时的需求量。在此基础上，他在［１６］中考虑了两次销售的需求分布，假设两次需求是独立的且服从不同的分布，建立的订购数量与收益之间的函数关系，并以需求服从均匀分布情况进行了具体的分析。
高秀明等［３３］研究了服装产品采购与销售中，一次订货、销售季节分两周期进行的决策问题，假定第二周期的需求定义为出清价格与第一周期销售量的函数，通过合理确定第一周期前的订购量及第二周期的产品的出清价格（折扣价格）使期望收益最大，并探究的模型的启发式分析方法。
Ｎｉｅｄｅｒｈｏｆｆ［２０］提供了一种近似的规划技术来解决多产品
多约束的报童问题，根据问题的可分性，利用凸规划理论得到了一个近似的最优解。
且有预算约束的Ｓｈａｏ等［２１］考虑了多产品带有模糊需求、
报童模型，并根据决策标准的不同，从最大化期望收益、机会约束规划、机会规划这三个方面建立了新模型，并用基于遗传算法和模糊模拟的混合职能算法求解新模型。
Ｍｏｏｎ等［２２］研究对补货数量的总价值有预算约束的多产
品的报童问题，使用动态规划方法进行求解，另外还提出了简单有效的启发式算法。
１２
统计与决策２００８年第１７期（总第２６９期）
Ｇéｒａｒｄ等［３４］研究了清货价格（第二次销售价格）对报童模
型决策的影响，讨论了如何确定清货价格能够得出合理或近似的最优订购数量，结果显示，了解模型的输入与模型本身关系的重要性。
２２．１
研究存在的问题及展望考虑时间因素
１．９考虑供应商的两级报童模型
对于两级及多级供应商的研究主要集中在：契约及协调哈佛商业评论》上发表了一篇名为“时Ｓｔａｌｋ（１９８８）在《
间—新一代竞争优势的源泉”的文章。文章中，Ｓｔａｌｋ提出并特别强调了时间作为竞争优势主要源泉的重要性。随后的近
领域。文献［３５］、［３６］、［３７］分别从各级之间的不同关系及一定的约束条件下进行了相关方面的研究。
２０年来，明显地看到随着产品生命周期的缩短，产品对时间
变得越来越敏感，时间确实成为企业提高竞争的主要考虑因素之一，由此考虑时间因素的报童模型已经成为研究的热点之一。但上述考虑时间因素研究并没有摆脱对需求对具体分布函数的依赖，并且对如何缩短时间的研究不足。
同时，需求的不确定性给企业决策带来的很大的困难。从经济学理论中可以知道，价格是影响需求的一个非常重要的因素。如果将需求、价格、时间结合起来进行研究，了解三者之间的关系，将非有利于企业进行更科学的决策。
随着供应链理论的发展，报童模型已经被大量应用于供应链管理的框架中，从供应链协调的角度来研究时变参数报童模型，以及结合服务要求，将成为进一步研究的方向。
Ｌｉ等研究两次订货机会，且第二次的订购量限制的二
［３６］
级报童模型，分析得出制造商提供二次订货的条件，并提出可以利用收益分配因子来分配由于合作带来的更多收益。但该文章假设第二次订货没有提前期，及交易双方地位平等，这与实际存在很大的偏差，同时未明确收益分配因子的制定方法。
侯阔林等［３７］研究把合约订购量、合约价格等作为决策变量的扩展的报童模型。建立了基于二层规划模型的思想、具有合约决策的二层报童模型。文章假设了制造商与零售商从属的关系，从契约的角度来保证双方合作的顺利进行及利益的保障，创造性地考虑了现货市场对决策双方的影响，但是文章没有考虑时间对双方利益的影响，属于静态上的分析。
Ｄａｓ等［３５］研究了一定资金成本约束下，两个可替
代且易逝产品的双层（制造商－零售商－顾客）报童问题，在考
虑随机需求和任意的订购数量情况下，采用多目标的遗传算法求出使得制造商与零售商均能获益的决策变量的最优解。
Ｂａｒｕｎ２．２多级以及网络式的报童模型
由于竞争的日益激烈，有单个企业之间的竞争逐渐变成
整条供应链或供应链网络之间的竞争，对整条供应链或供应链网络的研究就是在这个强大的信息时代大背景下而产生。因此研究多级或网络式的报童模型，将无疑对于实践或理论来讲，都将意义重大，也必将成为一个更加引人注意的研究热点。
１．１０其他
其他对报童模型的研究主要有：多个零售商、采用电子
商务模式、产品回收、价格影响等方面，文献［３８］￣［４２］分别就这几方面进行了相关研究。
常广庶等［３８］以一个供应商对多个零售商的报童模型为依据，研究在零售商占据主导地位的供应链的电子采购策略，比较分析了销售商和供应商在电子采购策略和传统采购策略中的利益机制，并得出结论：当供应商向销售商提供退货政策，同时零售商向供应商提供信息技术支持，将可以供应商和零售商实现双赢，从而电子采购模式优于传统采购模式。同时，文章也指出，当制造商占据主导地位的供应链，销售商之间的激烈竞争将使供应商的批发价格高于传统交易方式，但对这种情况没有进行相应的研究。
吴鹏［３９］从最基本的报童模型出发，考虑存在回收再制造活动情形下的最优生产量的决策问题，求解最优生产量，并将其与传统的报童模型做了比较。结果表明回收再制造带来的成本降低将有可能带来总产量的增加和利润的提高。同时，文章也指出了进一步的研究方向，如多周期，多个报童进行博弈，信息不完全，考虑定价及销售努力，多级报童模型等方面来研究回收报童模型。
许明辉等
［４０］
２．３回收报童模型
进入２１世纪以来，随着资源危机、环境污染的加剧，可
持续发展成为世界各国的主导趋势，随着全球化的进一步发展和企业间竞争的加剧，产品的生命周期更加缩短，退货的条款变得越来越宽松。同时，环保、法律要求越来越高，致使逆向供应链变得越来越重要，甚至影响到整个供应链系统。因此对闭环供应链的研究将具有重大的价值，它不仅可能带来环保和节约的好处，还有可能给企业带来更多的经济利益。考虑回收的报童模型，将会成为研究该类问题重要手段。
２．４电子市场环境下的报童模型研究
在电子商务时代，市场需求变化的速度不断加快，采购
管理的复杂性和多变性都大大增加。利用Ｉｎｔｅｒｎｅｔ进行采购管理是大型企业电子商务战略中最重要的部分，近年来发展非常迅速。电子采购（Ｅ－Ｐｒｏｃｕｒｅｍｅｎｔ）已成为美国供应管理协会（ＩＳＭ）优先支持的研究领域之一。
但目前关于电子采购等电子商务环境下的研究仍比较少，Ｉｎｔｅｒｎｅｔ对供应链采购管理的影响也还有许多有待研究的问题。例如Ｉｎｔｅｒｎｅｔ怎样应用于采购过程、对采购战略有何影响等。因此，采用报童模型，对电子商务下交易进行定量研究将会有很大的研究空间。
考虑了使用缺货惩罚及风险准则对经典的
报童模型进行研究，在一个决策者为风险厌恶的报童模型种，讨论了缺货惩罚及风险厌恶程度对最优订货数量的影响。
Ｋｈｏｕｊ等［４１］研究了广告的影响的报童模型，探讨需求为线性函数，贩报商在需求与价格相关和价格折扣的最优订购
决策。
３总结
随着全球化进程、科技进步，对报童模型从更加贴近实
Ｌｉｎ等［４２］研究了单品种有价格折扣的报童模型，目标是
实现目标利润的概率不小于预先确定的风险水平条件，考虑两种数量折扣政策作为协调方法。
际的角度进行研究是基本研究方向。相关研究进程也见证了报童模型研究随时代变化而发展的过程。未来的研究中，报童模型将继续旨在实现理论更好地指导实践。
统计与决策２００８年第１７期（总第２６９期）
１３
２００７，１７６（２）．
参考文献：
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（责任编辑／亦民）
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统计与决策２００８年第１７期（总第２６９期）