一元二次方程培优专题讲义

数学培优专题讲义：一元二次方程

一.知识的拓广延伸及相关史料 1． 一元二次方程几种解法之间的关系

解一元二次方程有下列几种常用方法: （1） 配方法:如x26x70，经配方得

(x3)22，再直接用开平方法；

这里,我们不谈杨辉的解法,只用已学过的知识解决上面的问题.

上面的问题选自杨辉所著的《田亩比类乘除算法》。原题另一个提法是:“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”这个问题同样可以类似求解.

3. 掌握数学思想方法，以不变应万变。

本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。

（1）转化思想

我们知道，解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。因此，转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。在本章，转化无所不在，无处不有，可以说这是本章的精髓和特色之一，其表现主要有以下方面：

① 未知转化为已知，这是解方程的基本思路:

② 一元二次方程转化为一元一次方程，这是通过将原方程降次达到的: ③ 特殊转化为一般，一般转化为特殊。 例如，通过用配方法解数字系数的一元二次方程x26x70归纳出用配方法解一般形式的一元二次方程ax2bxc0的方法，进而得出一元二次方程的求根公式，而用公式法又可以解各种具体的一元二次方程，推导出一元二次方程根与系数的关系。又如，通过设未知数，找出等量关系，列方程，把实际问题转化为解方程问题，等等。

1

（2） 公式法； （3） 因式分解法。

这三种方法并不是孤立的，直接开平方法，实际也是因式分解法，解方程x6x70，只

要变形为(x3)220即可，或原方程

x26x70经配方化为(x3)22，再求解时，

2

还是归到用平方差公式的因式分解法，所以配方法归为用因式分解法的手段。公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法，因此，它还是归到因式分解法，所不同的是，公式法用一元二次方程的系数来表示根，因而可以作为公式。由此可见，对因式分解法应予以足够的重视。因式分解法还可推广到高次方程。

2． 我国古代的一元二次方程

提起代数，人们自然就把它和方程联系起来。事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究。我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究有着优良的传统，并取得了重要成果。

下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:”直田积（矩形面积）八百六十四步(平方步),只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）,问阔及长各几步？”答:”阔二十四步,长三十六步.”

掌握转化思想并举一反三，还可以解决很多其他方程问题，如高次方程转化为一元一次或一元二次方程，分式方程转化为整式方程，无理方程转化为有理方程，二元二次方程组转化为二元一次方程组，总之，本章学习的关键之一是学会如何”转化”.

练习:

帮助我们开阔思路，研究解题途径和方法，有利于掌握新知识、巩固旧知识，学习时应特别重视。

掌握了类比和转化这两大数学思想，举一反三，还可解决许多方程的相关问题。我们来看下

面两个例子。

1.a是方程x25x10的一根,求a2

1

a

2的值;

2a是方程x2x10的一根,求a43a2的值.

x2

x10，求x2

3、若x4x2

1

的值。

（2）类比思想

本章多次运用类比找出新旧知识的联系,在新旧知识间进行对比,以利于更快更好地掌握新知识.

如用配方法解一元二次方程时,可类比平方根的概念和意义,列一元二次方程解应用题,可类比列一元一次方程解应用题的思路和一般步骤.

类比思想是联系新旧知识的纽带，有利于

2

例1． 解分式方程

1x24x2x242x

1

例2． 解方程组xy7



xy12

4． 配方法的妙用

所谓配方，就是把一个多项式经过适当变形配成完全平方式。配方法除一元二次方程求根公式推导这一典型应用外，在因式分解、化简二次根式、证明恒等式、解方程、求代数式最值等问题中都有广泛应用，是一种很重要、很基本的数学方法。

5． 怎样巧用韦达定理解“看错数”问题 小红和小明一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明在化简过程中写错了常数项，因而例1．

例2．

例3．例4．

分解因式x2120x3456 解方程x415x210x240

求4x2y22y4x15的最小值 得方程的两个根是8和2；小红在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－9和－1.你知道原来的方程是什么吗?

6． 二次三项式的因式分解

我们把形如ax2

bxc(a0)的多项式叫做x的二次三项式。在了解了形如x2

(pq)xpq的二次三项式分解因式的方法的基础上，现在介绍利用求出一元二次方程的根的方法，将一般的二次三项式分解

因式。

3

bc2

ax2bxca(x2x)ax(x1x2)xx1x2a(xx1)(xx2).aa

2

（3） 若方程3x5x20有一个根是a,则

这就是说，在分解二次三项式ax2bxc(a0)

的因式时，可先求出方程axbxc0的两个根

2

x1,x2，然后再写成axbxca(xx1)(xx2).

例:在实数范围内分解因式:

（1）x22x1 （2）3x2x1

2

6a210a的值是多少?

（3）2x28x3 （4）x2

3xy2y2

二、拓展性问题 1．回答下列问题:

（1）若方程(m22)x210有一个根是1,则m的

的值是多少？

（2）已知2和－1是方程2x2

mxn0的两个根，求m和n的值。

4

4） 已知方程

ax2bxc(a0)的一个根是1，那么abc的值是多少?

2. 解方程

（1）(3y2y)23(3y2y)2

(2)(t2

t1)(t2

t2)4

（

3． 已知m、n是二次方程x21999x70的两

22(m1999m6)(n2000n8)的值。个根，求

5. 在实数范围内分解因式:

（1）2x24x3 （2）4x24x1

6. 对于向上抛的物体,在没有空气阻力的条件下,有这

样的关系 :hvt1gt2,其中h是上升高度,v是初速,

2

g是重力加速度(为方便起见,本题目g取10m/s2),t抛出后所经历的时间,如果将一物体以v25m/s的初速度向上抛,物体何时处在离抛出点20m高的地方?

4． 已知关于x方程(a2)x2(a1)(a1)0，

2

7. 某零售商购进一批单价为16元的玩具,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格.经过试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件;若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件,假定每月销售件数为(y件)是价格y (元/件)的一次函数. (1)试求y与x之间的关系式；

(2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下,问销售价定为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?

5

a为何非负整数时，(1)方程只有一个实数根?（2）

方程有两个相等的实数根？(3)方程有两个不相等的实数根?

3． 已知m、n是二次方程x21999x70的两

22(m1999m6)(n2000n8)的值。个根，求

5. 在实数范围内分解因式:

（1）2x24x3 （2）4x24x1

6. 对于向上抛的物体,在没有空气阻力的条件下,有这

样的关系 :hvt1gt2,其中h是上升高度,v是初速,

2

g是重力加速度(为方便起见,本题目g取10m/s2),t抛出后所经历的时间,如果将一物体以v25m/s的初速度向上抛,物体何时处在离抛出点20m高的地方?

4． 已知关于x方程(a2)x2(a1)(a1)0，

2

7. 某零售商购进一批单价为16元的玩具,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格.经过试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件;若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件,假定每月销售件数为(y件)是价格y (元/件)的一次函数. (1)试求y与x之间的关系式；

(2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下,问销售价定为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?

a为何非负整数时，(1)方程只有一个实数根?（2）

方程有两个相等的实数根？(3)方程有两个不相等的实数根?

8. 根与系数的关系：

①（2012内江市）若方程x2pxq0的两根分

别是x1,x2,那么x1x2p,x1x2q,请根据以上结论,

②(2012

孝感)已知关于x的方程

x2(m3)xm1 0

⑴求证:无论m为何值时,原方程总有两个不相等的实数根.

⑵若x1,x2是原方程的两根,

且x1x2求m的值和此时方程的两根.

三、数学思考

小明有5张人民币，面值合计20元。 (1)小明的5张人民币的面值分别是

解决下列问题:

⑴已知关于x的方程x2mxn6(n0),求出一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数;

⑵已知a,b满足a215a50,b215b50,求ab

的值; ba

⑶已知a,b,c满足abc0,abc16,求正数c的最小值.

_______元、________元、________元、_______元、 _______元。

(2)小明到水果店，称了x千克苹果(x是整数)，

按标价应付y元，正好等于小明那5张人民币中的两张面值之和，这时果筐里还剩下6千克苹果，店主便对小明说:“如果你把剩下的也都买去，那么连同刚才你称的，一共就付款10元吧。”小明一算，这样相当于每千克比标价减少了0.5元,本着互利的原则,小明便答应了,试求

x和y.

数学培优专题讲义：一元二次方程

一.知识的拓广延伸及相关史料 1． 一元二次方程几种解法之间的关系

解一元二次方程有下列几种常用方法: （1） 配方法:如x26x70，经配方得

(x3)22，再直接用开平方法；

这里,我们不谈杨辉的解法,只用已学过的知识解决上面的问题.

上面的问题选自杨辉所著的《田亩比类乘除算法》。原题另一个提法是:“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”这个问题同样可以类似求解.

3. 掌握数学思想方法，以不变应万变。

本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。

（1）转化思想

我们知道，解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。因此，转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。在本章，转化无所不在，无处不有，可以说这是本章的精髓和特色之一，其表现主要有以下方面：

① 未知转化为已知，这是解方程的基本思路:

② 一元二次方程转化为一元一次方程，这是通过将原方程降次达到的: ③ 特殊转化为一般，一般转化为特殊。 例如，通过用配方法解数字系数的一元二次方程x26x70归纳出用配方法解一般形式的一元二次方程ax2bxc0的方法，进而得出一元二次方程的求根公式，而用公式法又可以解各种具体的一元二次方程，推导出一元二次方程根与系数的关系。又如，通过设未知数，找出等量关系，列方程，把实际问题转化为解方程问题，等等。

1

（2） 公式法； （3） 因式分解法。

这三种方法并不是孤立的，直接开平方法，实际也是因式分解法，解方程x6x70，只

要变形为(x3)220即可，或原方程

x26x70经配方化为(x3)22，再求解时，

2

还是归到用平方差公式的因式分解法，所以配方法归为用因式分解法的手段。公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法，因此，它还是归到因式分解法，所不同的是，公式法用一元二次方程的系数来表示根，因而可以作为公式。由此可见，对因式分解法应予以足够的重视。因式分解法还可推广到高次方程。

2． 我国古代的一元二次方程

提起代数，人们自然就把它和方程联系起来。事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究。我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究有着优良的传统，并取得了重要成果。

下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:”直田积（矩形面积）八百六十四步(平方步),只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）,问阔及长各几步？”答:”阔二十四步,长三十六步.”

掌握转化思想并举一反三，还可以解决很多其他方程问题，如高次方程转化为一元一次或一元二次方程，分式方程转化为整式方程，无理方程转化为有理方程，二元二次方程组转化为二元一次方程组，总之，本章学习的关键之一是学会如何”转化”.

练习:

帮助我们开阔思路，研究解题途径和方法，有利于掌握新知识、巩固旧知识，学习时应特别重视。

掌握了类比和转化这两大数学思想，举一反三，还可解决许多方程的相关问题。我们来看下

面两个例子。

1.a是方程x25x10的一根,求a2

1

a

2的值;

2a是方程x2x10的一根,求a43a2的值.

x2

x10，求x2

3、若x4x2

1

的值。

（2）类比思想

本章多次运用类比找出新旧知识的联系,在新旧知识间进行对比,以利于更快更好地掌握新知识.

如用配方法解一元二次方程时,可类比平方根的概念和意义,列一元二次方程解应用题,可类比列一元一次方程解应用题的思路和一般步骤.

类比思想是联系新旧知识的纽带，有利于

2

例1． 解分式方程

1x24x2x242x

1

例2． 解方程组xy7



xy12

4． 配方法的妙用

所谓配方，就是把一个多项式经过适当变形配成完全平方式。配方法除一元二次方程求根公式推导这一典型应用外，在因式分解、化简二次根式、证明恒等式、解方程、求代数式最值等问题中都有广泛应用，是一种很重要、很基本的数学方法。

5． 怎样巧用韦达定理解“看错数”问题 小红和小明一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明在化简过程中写错了常数项，因而例1．

例2．

例3．例4．

分解因式x2120x3456 解方程x415x210x240

求4x2y22y4x15的最小值 得方程的两个根是8和2；小红在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－9和－1.你知道原来的方程是什么吗?

6． 二次三项式的因式分解

我们把形如ax2

bxc(a0)的多项式叫做x的二次三项式。在了解了形如x2

(pq)xpq的二次三项式分解因式的方法的基础上，现在介绍利用求出一元二次方程的根的方法，将一般的二次三项式分解

因式。

3

bc2

ax2bxca(x2x)ax(x1x2)xx1x2a(xx1)(xx2).aa

2

（3） 若方程3x5x20有一个根是a,则

这就是说，在分解二次三项式ax2bxc(a0)

的因式时，可先求出方程axbxc0的两个根

2

x1,x2，然后再写成axbxca(xx1)(xx2).

例:在实数范围内分解因式:

（1）x22x1 （2）3x2x1

2

6a210a的值是多少?

（3）2x28x3 （4）x2

3xy2y2

二、拓展性问题 1．回答下列问题:

（1）若方程(m22)x210有一个根是1,则m的

的值是多少？

（2）已知2和－1是方程2x2

mxn0的两个根，求m和n的值。

4

4） 已知方程

ax2bxc(a0)的一个根是1，那么abc的值是多少?

2. 解方程

（1）(3y2y)23(3y2y)2

(2)(t2

t1)(t2

t2)4

（

3． 已知m、n是二次方程x21999x70的两

22(m1999m6)(n2000n8)的值。个根，求

5. 在实数范围内分解因式:

（1）2x24x3 （2）4x24x1

6. 对于向上抛的物体,在没有空气阻力的条件下,有这

样的关系 :hvt1gt2,其中h是上升高度,v是初速,

2

g是重力加速度(为方便起见,本题目g取10m/s2),t抛出后所经历的时间,如果将一物体以v25m/s的初速度向上抛,物体何时处在离抛出点20m高的地方?

4． 已知关于x方程(a2)x2(a1)(a1)0，

2

7. 某零售商购进一批单价为16元的玩具,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格.经过试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件;若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件,假定每月销售件数为(y件)是价格y (元/件)的一次函数. (1)试求y与x之间的关系式；

(2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下,问销售价定为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?

5

a为何非负整数时，(1)方程只有一个实数根?（2）

方程有两个相等的实数根？(3)方程有两个不相等的实数根?

3． 已知m、n是二次方程x21999x70的两

22(m1999m6)(n2000n8)的值。个根，求

5. 在实数范围内分解因式:

（1）2x24x3 （2）4x24x1

6. 对于向上抛的物体,在没有空气阻力的条件下,有这

样的关系 :hvt1gt2,其中h是上升高度,v是初速,

2

g是重力加速度(为方便起见,本题目g取10m/s2),t抛出后所经历的时间,如果将一物体以v25m/s的初速度向上抛,物体何时处在离抛出点20m高的地方?

4． 已知关于x方程(a2)x2(a1)(a1)0，

2

7. 某零售商购进一批单价为16元的玩具,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格.经过试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件;若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件,假定每月销售件数为(y件)是价格y (元/件)的一次函数. (1)试求y与x之间的关系式；

(2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下,问销售价定为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?

a为何非负整数时，(1)方程只有一个实数根?（2）

方程有两个相等的实数根？(3)方程有两个不相等的实数根?

8. 根与系数的关系：

①（2012内江市）若方程x2pxq0的两根分

别是x1,x2,那么x1x2p,x1x2q,请根据以上结论,

②(2012

孝感)已知关于x的方程

x2(m3)xm1 0

⑴求证:无论m为何值时,原方程总有两个不相等的实数根.

⑵若x1,x2是原方程的两根,

且x1x2求m的值和此时方程的两根.

三、数学思考

小明有5张人民币，面值合计20元。 (1)小明的5张人民币的面值分别是

解决下列问题:

⑴已知关于x的方程x2mxn6(n0),求出一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数;

⑵已知a,b满足a215a50,b215b50,求ab

的值; ba

⑶已知a,b,c满足abc0,abc16,求正数c的最小值.

_______元、________元、________元、_______元、 _______元。

(2)小明到水果店，称了x千克苹果(x是整数)，

按标价应付y元，正好等于小明那5张人民币中的两张面值之和，这时果筐里还剩下6千克苹果，店主便对小明说:“如果你把剩下的也都买去，那么连同刚才你称的，一共就付款10元吧。”小明一算，这样相当于每千克比标价减少了0.5元,本着互利的原则,小明便答应了,试求

x和y.