8.2 直线的交点坐标与距离公式

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课时提升作业(四十九)

直线的交点坐标与距离公式

(25分钟 50分)

一、选择题(每小题5分, 共35分) 1.(2015·泰安模拟) 点P(m-n,-m)到直线

【解析】选A. 把直线方程化为nx+my-mn=0,根据点到直线的距离公式得

=22=

x y

+=1的距离等于( )

m n

【方法技巧】利用点到直线距离公式的方法

在利用点到直线距离公式时, 一定要将直线方程化为一般形式, 且尽量不要出现系数为分数(或小数) 的情况,

然后利用公式求解.

2.(2015·太原模拟) 过两直线

的交点, 并与原点的距离等于1的直线有( )

A.0条 B.1条 C.2条 D.3

条【解析】选B. 由题意得两直线的交点坐标为(符合题意的直线只有1条.

3. 不论m 为何值时, 直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过定点( )

1故该点与原点的距离为1, 则2

A.(1,-) B.(-2,0) C.(2,3) D.(9,-4)

【解题提示】先化成关于参数m 的方程, 再令其系数及常数均为0求解. 【解析】选D. 由(m-1)x+(2m-1)y=m-5,得 (x+2y-1)m-(x+y-5)=0,所以⎨得定点坐标为(9,-4).

【加固训练】已知a,b 满足a+2b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点( )

1211C.(,-)

⎧x +2y -1=0,

⎩x +y -5=0

A.(-, ) B.(, )

112611D.(,-)

【解析】选C. 由a+2b=1,知ax+3y+b=0等价于(1-2b)x+3y+b=0,即(x+3y)+(1-2x)b=0.

1⎧

x =,

⎧x +3y =0, ⎪⎪2由⎨得⎨

11-2x =0⎩⎪y =-, ⎪6⎩

即定点坐标为(,-) .

4. 已知平面内两点A(1,2),B(3,1)到直线l

则满足条件的直线l 的条数为( )

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】选C. 由题知满足题意的直线l 在线段AB 两侧各有1条, 又因为

所以还有1条为过线段AB 上的一点且与AB 垂直的直线, 故共3条.

5.(2015·兰州模拟) 一只虫子从点(0,0)出发, 先爬行到直线l :x-y+1=0上的P 点, 再从P 点出发爬行到点A(1,1),则虫子爬行的最短路程是( )

B.2 C.3 D.4

【解题提示】两点之间, 线段最短, 故可求出点(0,0)关于直线l 的对称点, 然后转

1216

化为两点间的距离求解.

【解析】选B. 点(0,0)关于直线l :x-y+1=0的对称点为(-1,1),则最短路程为

【加固训练】(2015·成都模拟) 直线3x-4y+5=0关于x 轴对称的直线方程为

( )

A.3x+4y+5=0 B.3x+4y-5=0 C.-3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0

【解析】选A. 直线3x-4y+5=0关于x 轴对称的直线方程是3x-4(-y)+5=0,即3x+4y+5=0.

6. 已知直线y=2x是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线, 若点A,B 的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C 的坐标为( ) A.(-2,4) B.(-2,-4) C.(2,4) D.(2,-4)

【解析】选C. 点A 关于直线y=2x对称的点为(4,-2),且点A 关于y=2x对称的点在BC 上, 于是BC 所在的直线方程为3x+y-10=0,由⎨(2,4).

7. 若点(s,t)在直线4x+3y-10=0上, 则s 2+t2的最小值是( )

A.2

C.4 【解析】选C. 因为点(s,t)在直线4x+3y-10=0上, 所以4s+3t-10=0,而s 2+t2表示原点与直线4x+3y-10=0上的点的距离的平方, 此最小值等于原点到直线4x+3y-10=0的距离的平方. 其值等于4.

【误区警示】本题易出现选A 的错误, 错误原因是将s 2+t2误认为点(s,t)到原点

⎧y =2x,

得点C 的坐标为

3x +y -10=0, ⎩

的距离.

二、填空题(每小题5分, 共15分)

8.(2015·淄博模拟) 点P 为x 轴上的一点,A(1,1),B(3,4),则|PA|+|PB|的最小值是 .

【解析】点A(1,1)关于x 轴的对称点A ′(1,-1), 则|PA|+|PB|的最小值是线段A ′B

答案

9.(2015·银川模拟) 若直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行, 则它们之间的距离为 .

【解析】由两直线平行的条件得3m=4×6, 解得m=8, 此时直线6x+my+14=0的方程可化为3x+4y+7=0, 所以两直线3x+4y-3=0和3x+4y+7=0间的距离为

答案:2

【误区警示】本题求解时易不将6x+8y+14=0化简, 直接求两平行线间的距离, 得到d=

1717

或的错误, 根本原因是没能掌握好两平行线间距离公式的应用条件. 105

=2.

10. 若直线m 被两平行线l 1:x-y+1=0

与l 2:x-y+3=0所截得的线段的长为则m 的倾斜角可以是:

①15°; ②30°; ③45°; ④60°; ⑤75°. 其中正确答案的序号是 .

【解析】很明显直线l 1∥l 2, 直线l 1, l

2间的距离为

=设直线m 与直线l 1,

l 2

分别相交于点B,A, 则|AB|=过点A 作直线l 垂直于直线l 1, 垂足为C, 则

则在Rt △ABC 中,sin ∠

ABC=

AC 1

==, 所以∠ABC=30°, 又直线AB 2

l 1的倾斜角为45°, 所以直线m 的倾斜角为45°+30°=75°或45°-30°=15°. 答案:①⑤

(20分钟 40分)

1.(5分) 已知A,B 两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=0和x+ay=0上, 且线段AB 的中点为P(0,

), 则线段AB 的长为( ) a

A.8 B.9 C.10 D.11

【解析】选C. 由已知两直线互相垂直得a=2,所以线段AB 中点为P(0,5),且AB 为直角三角形AOB 的斜边(O为两直线的交点), 由直角三角形的性质得|AB|=2|PO|=10.

2.(5分) 若m>0,n>0,点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点在直线x-y+2=0上, 那么

+的最小值等于m n

【解题提示】由对称关系求出对称点的坐标, 代入直线方程x-y+2=0,然后利用基本不等式求

+的最小值. m n

【解析】由题意知(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点为(1-n,1+m). 则1-n-(1+m)+2=0,即m+n=2. 于是

141141n 4m 19+=(m+n)(+)=×(5++) ≥×(5+2×2)=, 当且仅当n=2mm n 2m n 2m n 22

时, 等号成立. 答案:

【加固训练】(2015·太原模拟) 设A,B 是x 轴上的两点, 点P 的横坐标为3, 且|PA|=|PB|,若直线PA 的方程为x-y+1=0,则直线PB 的方程是( ) A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0

C.x-2y+4=0 D. x+y-7=0

【解析】选D. 由|PA|=|PB|知点P 在AB 的垂直平分线上. 由点P 的横坐标为3, 且PA 的方程为x-y+1=0,得P(3,4).直线PA,PB 关于直线x=3对称, 直线PA 上的点(0,1)关于直线x=3的对称点(6,1)在直线PB 上, 所以直线PB 的方程为x+y-7=0.

3.(5分)(2015·杭州模拟) 已知A(-2,0),B(2,0),C(0,2),E(-1,0),F(1,0),一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点经BC 反射后, 再经AC 反射, 落到线段AE 上(不含端点), 则直线FD 斜率的取值范围为

【解析】从特殊位置考虑

因为点A(-2,0)关于直线BC:x+y=2的对称点为 A 1(2,4),所以

=4.

因为点E(-1,0)关于直线AC:y=x+2的对称点为

E 1(-2,1),点E 1(-2,1)关于直线BC:x+y=2的对称点为E 2(1,4),此时直线E 2F 的斜率不存在, 所以

答案:(4,+∞)

4.(12分)(2015·厦门模拟) 已知△ABC 中,A(2,-1),B(4,3),C(3,-2),求

(1)BC边上的高所在直线方程的一般式. (2)求△ABC 的面积.

【解析】(1)因为k BC =5,所以BC 边上的高AD 所在直线斜率k=-. 所以AD 所在直线方程为y+1=-(x-2). 即x+5y+3=0.

(2)求得BC 直线方程为:5x-y-17=0. 点A 到直线BC

△ABC =3.

【加固训练】将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次, 使点A(0,2)与点B(4,0)重合, 若此时点C(7,3)与点D(m,n)重合, 求m+n的值. 【解析】直线AB 的斜率为k=

2-01

=-, 0-4215

则线段AB 的垂直平分线的斜率为k ′=2. 又线段AB 的中点坐标为(2,1),

故线段AB 的垂直平分线方程为y-1=2(x-2), 即2x-y-3=0.

由已知得点C,D 关于线段AB 的垂直平分线对称,

⎧7+m 3+n 2--3=0, ⎪⎪22所以⎨

⎪n -3 2=-1, ⎪⎩m -7

3⎧

m =, ⎪34⎪5解得⎨所以m +n =.

5⎪n =31,

⎪5⎩

5.(13分)(能力挑战题) 在直线l :3x-y-1=0上求一点P, 使得: (1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大. (2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.

【解析】(1)设B 关于l 的对称点为B ′,AB ′的延长线交l 于P 0, 在l 上任取一点P(与P 0不重合), 则|PA|-|PB|=|PA|-|PB′|

x+3y-12=0,

设B ′(a,b),则a+3b-12=0, ① 又线段BB ′的中点(,

a b +4

) 在l 上, 22

故3a-b-6=0. ② 由①②解得a=3,b=3,所以B ′(3,3). 所以AB ′所在直线的方程为2x+y-9=0. 由⎨

⎧2x +y -9=0,

可得P 0(2,5).

⎩3x -y -1=0

324

). 55

(2)设C 关于l 的对称点为C ′, 与(1)同理可得C ′(,

连接AC ′交l 于P 1, 在l 上任取一点P(异于P 1), 有|PA|+|PC|=|PA|+|PC′|>

|AC′|=|P1C ′|+|P1A|=|P1C|+|P1A|,故P 1即为所求. 又AC ′:19x+17y-93=0, 联立⎨

⎧19x +17y -93=0,

得P 1(11, 26).

77⎩3x -y -1=0

【加固训练】在△ABC 中,A(0,1),AB边上的高CD 所在直线的方程为x+2y-4=0,AC边上的中线BE 所在直线的方程为2x+y-3=0. (1)求直线AB 的方程. (2)求直线BC 的方程. (3)求△BDE 的面积.

【解析】(1)由已知得直线AB 的斜率为2, 所以AB 边所在的直线方程为y-1=2(x-0), 即2x-y+1=0.

1⎧

⎧2x -y +1=0, ⎪x =,

得⎨(2)由⎨2

⎩2x +y -3=0⎪y =2.

⎩

即直线AB 与直线BE 的交点为B(,2). 设C(m,n),

⎧m +2n -4=0,

则由已知条件得⎪ ⎨m n +1

2+-3=0, ⎪⎩22

⎧m =2, 解得⎨所以C(2,1).

n =1, ⎩

所以BC 边所在直线的方程为

y -1x -2

=, 即2x+3y-7=0. 2-11-2

(3)因为E 是线段AC 的中点, 所以E(1,1). 所以

⎧由⎧⎨2x -y +1=0, x =2,

x +2y -4=0得⎪⎪⎨5⎩ ⎪⎪⎩

y =95,

所以D (2, 9

2所以D 到BE 的距离为

|2⨯+9

-3|

= 所以S △BDE =1·d ·|BE|=

1210

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