高等几何试题
一、填空题（每题3分，共27分） 1、 两个三角形面积之比是（ ）。 2、 相交于影消线的二直线必射影成（ ）。
3、 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做（ ）。 4、一点x =(1x , x ) 一直线u =[u 1, u 2, u ]3上的充要条件是2, x 3在
（ ）。
5、 已知(p 1p 2, p 3p 4) =3, 则(p 4p 3, p 2p 1) =（ ），(p p , p 13p 24)
=（ ）。
6、 如果四直线p 1, p 2, p 3, p 4满足(p 1p 2, p 3p 4) =-1，则称线偶p 3, p 4和p 1, p 2
（ ）。
7、两个点列间的一一对应是射线对应的充要条件是
（ ）。
8、 不在二阶曲线上的两个点P (p 1p 2p 3) ，Q (q 1q 2q 3) 关于二阶曲线
。 S ≡∑a ij x i x j =0成共轭点的充要条件是（ ）9、 仿射变换成为相似变换的充要条件是（ ）。 二、计算题（每题8分，共56分）
x 2y 2
1、 计算椭圆的面积（椭圆方程：2+2=1 a , b >0）
a b
2、 求共点四线l 1:y =k 1x ，l 2:y =k 2x ，l 3:y =k 3x ，l 4:y =k 4x 的交比。
⎧ρx '=-x
1
⎪1
3、 求射影变换⎪⎨ρx 2'=x 2的不变元素。
⎪
ρx 3'=x 3⎪⎩
4、 求二阶曲线6x 12-x 22-24x 32+11x 2x 3=0经过点P (1,2,1)的切线方程。
5、 求双曲线x 2+2xy -3y 2+2x -4y =0的渐近线方程。 6、 求抛物线2x 2+4xy +2y 2-4x +1=0的主轴和顶点。
7、 求使三点O (0,∞) ，P (1,-1) 顺次变到点O '(2,3)，P '(3,-7) E (1,1)，E '(2,5)，
的仿射变换。
三、已知A (1,2,3) ，B (5,-1,2) ，C (11,0,7)，D (6,1,5)，验证它们共线并求
（8分） (AB , CD ) 的值。
四、 求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条
二阶曲线。（9分）
答案 一、
1、仿射不变量 2、平行直线 3、透视中心 4、u 1x 1+u 2x 2+u 3x 3=0 5、3 2 6、调和分离 7、任何四个对应点的交比相等 8、S pq =0 9、这个变换使圆点保持不变 二、
x 2y 2
1、解：设在笛氏直角坐标系下椭圆的方程为2+2=1
a b
⎧x '=x
经过仿射变换 ⎪a ① ⎨
'y =y ⎪b ⎩
其对应图形为圆。
x '2+y '2=a 2
在仿射变换①之下，A →A '，B →B '，O →O '，所以 AOB 对应 A 'OB '，其中A ≡A '，根据定理3.6推论2，有
椭圆面积圆面积
=
S AOB S A 'OB '
椭圆面积πa 2
=所以 112ab a 22
因此所给椭圆的面积为πab 。
2、解：化为齐次方程： l 1:x 2-k 1x 1=0 l 2:x 2-k x 2=10
l 3:x 2-k 3x 1=0 l 4:x 2-k 4x 1=0
取a :x 2=0, b :x 1=0为基线，则有
l 1(a -k 1b ), l 2(a -k 2b ), l 3(a -k 3b ), l 4(a -k 4b ) 由定理1.11的推论，得
(l 1l 2, l 3l 4) =
(-k 1+k 3)(-k 2+k 4)
(-k 2+k 3)(-k 1+k 4)
3、解：由方程
-1-μ
00
1-μ0=0 01-μ
得 (1+μ)(1-μ)(1-μ) =0 所以 μ1=-1， μ2=1（重根） 将μ=1代入（3.4.3）得
⎧(-1-1) y 1+0y 2+0y 3=0
⎪
⎨0y 1+(1-1) y 2+0y 3=0
⎪0y +0y +(1-1) y =0
23⎩1
于是得y 1=0为不变点列（即y 轴），y 1=0这条直线上的点都是不变点，
因此这条直线是不变直线。
4、解：将P 点的坐标代入二阶曲线方程中得 S pq =0 所以P 点在二阶曲线上，故切线方程为 S p =0
⎛60⎫0 ⎪⎛x 1⎫⎪x =0 即 (1,2,1) 0-1⎪
⎪ 2⎪
x ⎪ 0⎪-24⎝3⎭
⎝⎭
亦即 12x 1+7x 2-26x 3=0 为所求切线方程。 5、解：设渐近线的方程为
a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3+k (a 12x 1+a 22x 2+a 32x 3) =0 根据（2.9）有 -3k 2+2k +1=0
解之，得k 1=1, k 2=-，所以渐近线方程为
1
x +y +1+(x -3y -2) =0和x +y +1-(x -3y -2) =0
3
13
化简，得所求为2x -2y -1=0和2x +6y +5=0。
2-22-2
6、解：因为A 31==4, A 32=-=-4
2020
代入（4.11），得主轴为 4(x ) 2+2y -2+) 4x (+2y 2=即 2x +2y -1=0
⎧2x 2+4xy +2y 2-4x +1=0
解方程 ⎨
2x +2y -1=0⎩
得顶点之坐标为(, ) 。 7、解：设所求仿射变换为
⎧x '=a 11x +a 12y +a 13
⎨
'⎩y =a 21x +a 22y +a 23
31
88
于是有 2=a 13 3=a 23
2=a 11+a 12+a 13 5=a 21+a 22+a 23 3=a 11-a 12+a 13 -7=a 21-a 22+a 23
解此方程组，得
a 13=2，a 23=3，a 11=
11
，a 12=-，a 21=-4，a 22=6 22
故所求的仿射变换为
1⎧'1x =x -y +2⎪
22⎨
⎪⎩y '=-4x +6y +3
三、解：因为
1520
37
16
21
35
-12=0 且5-12=0
所以A , B , C , D 共线。
设 C =A +λ1B , D =A +λ2B 由 11=1+2⨯5,0=2+2⨯(-1),7=3+2⨯2 得 λ1=2 同理可得 λ2=1 所以 (AB , CD ) =
λ1
=2 λ2
四、证明：射影平面上建立了射影坐标后，设两个线束的方程分别为：
α-λβ=0 （1） α'-λ'β'=0 （2）
由于它们是射影对应，所以λ, λ'满足：
a λλ'+b λ+c λ'+d =0 (ad -bc ≠0)
（3）
从（1），（2），（3）中消去λ, λ'得
αα'αα'
a ()() +b () +c () +d =0 ββ'ββ'
'+c α'+βd β'0=β （1.3）即 a αα'+b αβ
这里α, β, α', β'都是关于x 1, x 2, x 3的一次齐次式，所以（1.3）式表示一条二阶曲线。由于α=0, β=0的交点坐标和α'=0, β'=0的交点坐标都满足（1.3）。所以形成二阶曲线的两个线束的中心也在这条二阶曲线上。
高等几何试题
一、填空题（每题3分，共27分） 1、 两个三角形面积之比是（ ）。 2、 相交于影消线的二直线必射影成（ ）。
3、 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做（ ）。 4、一点x =(1x , x ) 一直线u =[u 1, u 2, u ]3上的充要条件是2, x 3在
（ ）。
5、 已知(p 1p 2, p 3p 4) =3, 则(p 4p 3, p 2p 1) =（ ），(p p , p 13p 24)
=（ ）。
6、 如果四直线p 1, p 2, p 3, p 4满足(p 1p 2, p 3p 4) =-1，则称线偶p 3, p 4和p 1, p 2
（ ）。
7、两个点列间的一一对应是射线对应的充要条件是
（ ）。
8、 不在二阶曲线上的两个点P (p 1p 2p 3) ，Q (q 1q 2q 3) 关于二阶曲线
。 S ≡∑a ij x i x j =0成共轭点的充要条件是（ ）9、 仿射变换成为相似变换的充要条件是（ ）。 二、计算题（每题8分，共56分）
x 2y 2
1、 计算椭圆的面积（椭圆方程：2+2=1 a , b >0）
a b
2、 求共点四线l 1:y =k 1x ，l 2:y =k 2x ，l 3:y =k 3x ，l 4:y =k 4x 的交比。
⎧ρx '=-x
1
⎪1
3、 求射影变换⎪⎨ρx 2'=x 2的不变元素。
⎪
ρx 3'=x 3⎪⎩
4、 求二阶曲线6x 12-x 22-24x 32+11x 2x 3=0经过点P (1,2,1)的切线方程。
5、 求双曲线x 2+2xy -3y 2+2x -4y =0的渐近线方程。 6、 求抛物线2x 2+4xy +2y 2-4x +1=0的主轴和顶点。
7、 求使三点O (0,∞) ，P (1,-1) 顺次变到点O '(2,3)，P '(3,-7) E (1,1)，E '(2,5)，
的仿射变换。
三、已知A (1,2,3) ，B (5,-1,2) ，C (11,0,7)，D (6,1,5)，验证它们共线并求
（8分） (AB , CD ) 的值。
四、 求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条
二阶曲线。（9分）
答案 一、
1、仿射不变量 2、平行直线 3、透视中心 4、u 1x 1+u 2x 2+u 3x 3=0 5、3 2 6、调和分离 7、任何四个对应点的交比相等 8、S pq =0 9、这个变换使圆点保持不变 二、
x 2y 2
1、解：设在笛氏直角坐标系下椭圆的方程为2+2=1
a b
⎧x '=x
经过仿射变换 ⎪a ① ⎨
'y =y ⎪b ⎩
其对应图形为圆。
x '2+y '2=a 2
在仿射变换①之下，A →A '，B →B '，O →O '，所以 AOB 对应 A 'OB '，其中A ≡A '，根据定理3.6推论2，有
椭圆面积圆面积
=
S AOB S A 'OB '
椭圆面积πa 2
=所以 112ab a 22
因此所给椭圆的面积为πab 。
2、解：化为齐次方程： l 1:x 2-k 1x 1=0 l 2:x 2-k x 2=10
l 3:x 2-k 3x 1=0 l 4:x 2-k 4x 1=0
取a :x 2=0, b :x 1=0为基线，则有
l 1(a -k 1b ), l 2(a -k 2b ), l 3(a -k 3b ), l 4(a -k 4b ) 由定理1.11的推论，得
(l 1l 2, l 3l 4) =
(-k 1+k 3)(-k 2+k 4)
(-k 2+k 3)(-k 1+k 4)
3、解：由方程
-1-μ
00
1-μ0=0 01-μ
得 (1+μ)(1-μ)(1-μ) =0 所以 μ1=-1， μ2=1（重根） 将μ=1代入（3.4.3）得
⎧(-1-1) y 1+0y 2+0y 3=0
⎪
⎨0y 1+(1-1) y 2+0y 3=0
⎪0y +0y +(1-1) y =0
23⎩1
于是得y 1=0为不变点列（即y 轴），y 1=0这条直线上的点都是不变点，
因此这条直线是不变直线。
4、解：将P 点的坐标代入二阶曲线方程中得 S pq =0 所以P 点在二阶曲线上，故切线方程为 S p =0
⎛60⎫0 ⎪⎛x 1⎫⎪x =0 即 (1,2,1) 0-1⎪
⎪ 2⎪
x ⎪ 0⎪-24⎝3⎭
⎝⎭
亦即 12x 1+7x 2-26x 3=0 为所求切线方程。 5、解：设渐近线的方程为
a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3+k (a 12x 1+a 22x 2+a 32x 3) =0 根据（2.9）有 -3k 2+2k +1=0
解之，得k 1=1, k 2=-，所以渐近线方程为
1
x +y +1+(x -3y -2) =0和x +y +1-(x -3y -2) =0
3
13
化简，得所求为2x -2y -1=0和2x +6y +5=0。
2-22-2
6、解：因为A 31==4, A 32=-=-4
2020
代入（4.11），得主轴为 4(x ) 2+2y -2+) 4x (+2y 2=即 2x +2y -1=0
⎧2x 2+4xy +2y 2-4x +1=0
解方程 ⎨
2x +2y -1=0⎩
得顶点之坐标为(, ) 。 7、解：设所求仿射变换为
⎧x '=a 11x +a 12y +a 13
⎨
'⎩y =a 21x +a 22y +a 23
31
88
于是有 2=a 13 3=a 23
2=a 11+a 12+a 13 5=a 21+a 22+a 23 3=a 11-a 12+a 13 -7=a 21-a 22+a 23
解此方程组，得
a 13=2，a 23=3，a 11=
11
，a 12=-，a 21=-4，a 22=6 22
故所求的仿射变换为
1⎧'1x =x -y +2⎪
22⎨
⎪⎩y '=-4x +6y +3
三、解：因为
1520
37
16
21
35
-12=0 且5-12=0
所以A , B , C , D 共线。
设 C =A +λ1B , D =A +λ2B 由 11=1+2⨯5,0=2+2⨯(-1),7=3+2⨯2 得 λ1=2 同理可得 λ2=1 所以 (AB , CD ) =
λ1
=2 λ2
四、证明：射影平面上建立了射影坐标后，设两个线束的方程分别为：
α-λβ=0 （1） α'-λ'β'=0 （2）
由于它们是射影对应，所以λ, λ'满足：
a λλ'+b λ+c λ'+d =0 (ad -bc ≠0)
（3）
从（1），（2），（3）中消去λ, λ'得
αα'αα'
a ()() +b () +c () +d =0 ββ'ββ'
'+c α'+βd β'0=β （1.3）即 a αα'+b αβ
这里α, β, α', β'都是关于x 1, x 2, x 3的一次齐次式，所以（1.3）式表示一条二阶曲线。由于α=0, β=0的交点坐标和α'=0, β'=0的交点坐标都满足（1.3）。所以形成二阶曲线的两个线束的中心也在这条二阶曲线上。