空间向量试题和答案

空间向量及运算

一、选择题：



1．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，设AC1xAB2yBC3zCC1，则x＋y＋z等于

A．1

2B．

3

5C

6

11D．664D．

9

2．设a＝(x，4，3)，b＝(3，2，z)，且a∥b，则xz的值为 A．9

B．－9

C．4



3．已知A（1，2，－1）关于面xoy的对称点为B，而B关于x轴对称的点为C，则BC

A．（0，4，2）

B．（0，－4，－2）

C．（0，4，0）

D．（2，0，－2）

4．如图，在四面体O—ABC中，是M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则MN

211

A．OAOBOC

232

112

C．OAOBOC

322

121

B．OAOBOC

223

212

D．OAOBOC

332

D．－15

5．已知a＝3i＋2j－k，b＝i－j＋2k，则5a与3b的数量积等于

A．－1 B．－3 C．－5



6．设空间四点O，A，B，P，满足OPOAtAB, 其中0

A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的延长线上 C．点P在线段BA的延长线上 D．点P不一定在直线AB上 7．已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k等于 A．1

1

B．

5

3

C

5

7D．

5

8．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足ABAC0,ACAD0,ABAD0,则B、C、D三点构成 A．直角三角形



B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．形状不能确定



9．若向量MA,MB,MC的起点与终点M、A、B、C互不重合且无三点共线，且满足下列关



系（O为空间任一点），则能使向量MA,MB,MC成为空间一组基底的关系是 111 A．OMOAOBOC

33312C．OMOAOBOC

33



B．MAMBMC D．MA2MBMC

10．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，且sinα≠cosα，则向量a＋b与a－b的夹角是

A．0° B．30°

C．60°

D．90°

二、填空题： 11．已知a＝（2，－1，2），b＝（2，2，1），则以a，b为邻边的平行四边形的面积为． 12．与向量a＝（2，－1，2）共线，且满足方程a·x＝ －18的向量x＝



13．若点A、B的坐标为A（3cosα，3sinα，1）、B（2cosθ，2sinθ，1）则 |AB|取值范围 ．

14．已知G是△ABC的重心，O是空间与G不重合的任一点，若OAOBOCOG，

则λ＝ ．

15．已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，且|a|＝5，|b|＝6，a

·b＝30，则



a1a2a3

b1b2b3

 ．

三、解答题：

16．(本题满分l2分)

已知a＝（

1，1，0），b＝（1，1，1），若b＝b1＋b2，且b1∥a，b2⊥a，试求b1，b2． 17．（本题满分12分）

如图，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°．

1

,0)，点D在平面yoz上，2



⑴求向量CD的坐标；

⑵求异面直线AD与BC所成角的余弦值．

18．（本题满分14分）

已知a，b是非零的空间向量，t是实数，设u＝a＋tb． ⑴当|u|取得最小值时，求实数t 的值；

⑵当|u|取得最小值时，求证：b⊥(a＋tb)．

19．（本题满分14分）

1

如图，已知四面体O—ABC中，E、F分别为AB，OC上的点，且AE＝AB，F为中点，

3若AB＝3，BC＝1，BO＝2，且∠ABC＝90°，∠OBA＝∠OBC＝60°，求异面直线OE与BF所成角的余弦值．

20．(本题满分14分)

已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，P，Q分别是BC，CD上的动点，且|PQ|＝2，建立如图所示的直角坐标系．

⑴确定P，Q的位置，使得B1Q⊥D1P；

⑵当B1Q⊥D1P时，求二面角C1—PQ—C的正切值．

21．(本题满分14分)

如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都是2，M是BC的中点，P是侧棱BB1上一点，且A1P⊥B1M．

⑴试求A1P与平面APC所成角的正弦； ⑵求点A1到平面APC的距离．

第十单元 空间向量及运算参考答案

二、填空题

5

1165 12．（－4，2，－4） 13．[1，5] 14．3 15．

6

三、解答题

16．解：∵b1∥a，∴令b1＝(λ，λ，0)，b2＝b－b1＝(1－λ，1－λ，1)，

又∵b2⊥a，∴a·b2＝(1，1，0)

·(1－λ，1－λ，1)＝1－λ＋1－λ＝2－2λ

＝0， ∴λ＝1，即b1＝(1，1

，0)，b2＝

(0，0，1)． 17．解：⑴过D作DE⊥BC于E，则DE＝CD·sin30°＝

1＝， 2

3

1，OE＝OB－BDcos60°＝1－22

313

∴D的坐标为（0，－），又∵C（0，1，0），∴CD(0,

2221

⑵依题设有A点坐标为A,0)，∴AD(BC(0,2,0)

2

ADBC则cosAD,BC．故异面直线AD与BC所成角的余弦值为

5|AD||BC|

10

5

ab2(ab)22

18．解：⑴∵|u||atb||a|2(ab)tt|b||b|(t， )|a|22

|b||b|

2

2

2

2

2

2

∴当t＝

ab

时，|u|＝|a＋tb|最小． 2

|b|

2

2

⑵∵b(atb)abt|b

|ab|b|(

ab

)0b(atb)． |b|2

12

19．解：∵BF(BOBC),OEBABO，

23

212217∴|BF|(|BO||BC|2BOBC)(412|BO||BC|cos60),

444

24224

|BF|OE||BA||BO|BABO4444,|OE|2.

293

122213又BFOE(BABO|BO|BCBABCBO)(241)，

23322

BFOE∴cosBF,OE |BF||OE|故异面直线OE与BF

． 20．解：⑴设BP＝t

，则CQDQ2

∴B1（2，0，2），D1（0，2，2），P（2，t，0），

Q(22,0).QB12,2),PD1(2,2t,2)



又∵BQD1PQB1PD10，

1

∴2(2t)220,t

解得t＝1，即P、Q分别为中点时，B1Q⊥D1P．

⑵由⑴知PQ∥BD，且AC⊥PQ，设AC∩PQ＝E，连C1E，∵CC1⊥底面BD，CE⊥PQ， ∴C1E⊥PQ，即∠CEC1为所求二面角O—PQ—C1的平面角，

易得tanCEC1． 21．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A1（2，0，0），

B

1(1P(1z

)，M(1C(0,0,2),A(2,0,2)

2

由A1P⊥B1M知A

1PB1M0

∴(z)(,1

21312z0,z, 222

即点P的坐标为

P)． ⑴设平面

APC

的法向量为

n＝(x，y，z)，

由

12

2x0,nCA0,

即nz,z). 3

xz0,nCP0,2

取z＝ －1，则有n

＝(0,1)，方向指向平面APC的左下方，

又1PA1(1,)，

2



PA1ncosPA1,n．

|PA1|n设直线A1P与平面APC所成角为α

，则sin



⑵|A1P|，设A1到平面PAC的距离为d，则

2

． d|A1P|sin

空间向量及运算

一、选择题：



1．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，设AC1xAB2yBC3zCC1，则x＋y＋z等于

A．1

2B．

3

5C

6

11D．664D．

9

2．设a＝(x，4，3)，b＝(3，2，z)，且a∥b，则xz的值为 A．9

B．－9

C．4



3．已知A（1，2，－1）关于面xoy的对称点为B，而B关于x轴对称的点为C，则BC

A．（0，4，2）

B．（0，－4，－2）

C．（0，4，0）

D．（2，0，－2）

4．如图，在四面体O—ABC中，是M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则MN

211

A．OAOBOC

232

112

C．OAOBOC

322

121

B．OAOBOC

223

212

D．OAOBOC

332

D．－15

5．已知a＝3i＋2j－k，b＝i－j＋2k，则5a与3b的数量积等于

A．－1 B．－3 C．－5



6．设空间四点O，A，B，P，满足OPOAtAB, 其中0

A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的延长线上 C．点P在线段BA的延长线上 D．点P不一定在直线AB上 7．已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k等于 A．1

1

B．

5

3

C

5

7D．

5

8．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足ABAC0,ACAD0,ABAD0,则B、C、D三点构成 A．直角三角形



B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．形状不能确定



9．若向量MA,MB,MC的起点与终点M、A、B、C互不重合且无三点共线，且满足下列关



系（O为空间任一点），则能使向量MA,MB,MC成为空间一组基底的关系是 111 A．OMOAOBOC

33312C．OMOAOBOC

33



B．MAMBMC D．MA2MBMC

10．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，且sinα≠cosα，则向量a＋b与a－b的夹角是

A．0° B．30°

C．60°

D．90°

二、填空题： 11．已知a＝（2，－1，2），b＝（2，2，1），则以a，b为邻边的平行四边形的面积为． 12．与向量a＝（2，－1，2）共线，且满足方程a·x＝ －18的向量x＝



13．若点A、B的坐标为A（3cosα，3sinα，1）、B（2cosθ，2sinθ，1）则 |AB|取值范围 ．

14．已知G是△ABC的重心，O是空间与G不重合的任一点，若OAOBOCOG，

则λ＝ ．

15．已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，且|a|＝5，|b|＝6，a

·b＝30，则



a1a2a3

b1b2b3

 ．

三、解答题：

16．(本题满分l2分)

已知a＝（

1，1，0），b＝（1，1，1），若b＝b1＋b2，且b1∥a，b2⊥a，试求b1，b2． 17．（本题满分12分）

如图，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°．

1

,0)，点D在平面yoz上，2



⑴求向量CD的坐标；

⑵求异面直线AD与BC所成角的余弦值．

18．（本题满分14分）

已知a，b是非零的空间向量，t是实数，设u＝a＋tb． ⑴当|u|取得最小值时，求实数t 的值；

⑵当|u|取得最小值时，求证：b⊥(a＋tb)．

19．（本题满分14分）

1

如图，已知四面体O—ABC中，E、F分别为AB，OC上的点，且AE＝AB，F为中点，

3若AB＝3，BC＝1，BO＝2，且∠ABC＝90°，∠OBA＝∠OBC＝60°，求异面直线OE与BF所成角的余弦值．

20．(本题满分14分)

已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，P，Q分别是BC，CD上的动点，且|PQ|＝2，建立如图所示的直角坐标系．

⑴确定P，Q的位置，使得B1Q⊥D1P；

⑵当B1Q⊥D1P时，求二面角C1—PQ—C的正切值．

21．(本题满分14分)

如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都是2，M是BC的中点，P是侧棱BB1上一点，且A1P⊥B1M．

⑴试求A1P与平面APC所成角的正弦； ⑵求点A1到平面APC的距离．

第十单元 空间向量及运算参考答案

二、填空题

5

1165 12．（－4，2，－4） 13．[1，5] 14．3 15．

6

三、解答题

16．解：∵b1∥a，∴令b1＝(λ，λ，0)，b2＝b－b1＝(1－λ，1－λ，1)，

又∵b2⊥a，∴a·b2＝(1，1，0)

·(1－λ，1－λ，1)＝1－λ＋1－λ＝2－2λ

＝0， ∴λ＝1，即b1＝(1，1

，0)，b2＝

(0，0，1)． 17．解：⑴过D作DE⊥BC于E，则DE＝CD·sin30°＝

1＝， 2

3

1，OE＝OB－BDcos60°＝1－22

313

∴D的坐标为（0，－），又∵C（0，1，0），∴CD(0,

2221

⑵依题设有A点坐标为A,0)，∴AD(BC(0,2,0)

2

ADBC则cosAD,BC．故异面直线AD与BC所成角的余弦值为

5|AD||BC|

10

5

ab2(ab)22

18．解：⑴∵|u||atb||a|2(ab)tt|b||b|(t， )|a|22

|b||b|

2

2

2

2

2

2

∴当t＝

ab

时，|u|＝|a＋tb|最小． 2

|b|

2

2

⑵∵b(atb)abt|b

|ab|b|(

ab

)0b(atb)． |b|2

12

19．解：∵BF(BOBC),OEBABO，

23

212217∴|BF|(|BO||BC|2BOBC)(412|BO||BC|cos60),

444

24224

|BF|OE||BA||BO|BABO4444,|OE|2.

293

122213又BFOE(BABO|BO|BCBABCBO)(241)，

23322

BFOE∴cosBF,OE |BF||OE|故异面直线OE与BF

． 20．解：⑴设BP＝t

，则CQDQ2

∴B1（2，0，2），D1（0，2，2），P（2，t，0），

Q(22,0).QB12,2),PD1(2,2t,2)



又∵BQD1PQB1PD10，

1

∴2(2t)220,t

解得t＝1，即P、Q分别为中点时，B1Q⊥D1P．

⑵由⑴知PQ∥BD，且AC⊥PQ，设AC∩PQ＝E，连C1E，∵CC1⊥底面BD，CE⊥PQ， ∴C1E⊥PQ，即∠CEC1为所求二面角O—PQ—C1的平面角，

易得tanCEC1． 21．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A1（2，0，0），

B

1(1P(1z

)，M(1C(0,0,2),A(2,0,2)

2

由A1P⊥B1M知A

1PB1M0

∴(z)(,1

21312z0,z, 222

即点P的坐标为

P)． ⑴设平面

APC

的法向量为

n＝(x，y，z)，

由

12

2x0,nCA0,

即nz,z). 3

xz0,nCP0,2

取z＝ －1，则有n

＝(0,1)，方向指向平面APC的左下方，

又1PA1(1,)，

2



PA1ncosPA1,n．

|PA1|n设直线A1P与平面APC所成角为α

，则sin



⑵|A1P|，设A1到平面PAC的距离为d，则

2

． d|A1P|sin