基于LINGO的曲线拟合

2007年1月 焦作大学学报 N. 1 第1期 JOURNAL OF JIAOZUO UNIVERSITY JaD. 2007

基于LINGO 的曲线拟合

张小勇1 徐香勤2

（1. 解放军信息工程大学电子技术学院，河南郑州 450004；2. 郑州牧业工程高等专科学校人文系，河南郑州 450011）

摘要：曲线拟合在众多领域中得到了广泛应用，但是设计三种拟合准则下曲线拟合的高效算法存在一定困难。文章提出了将曲线拟合问题转化为数学规划模型，并使用LINGO 软件来求解。实验结果表明，该方法简便快捷，是实现曲线拟合的一个有效方法。关键词：拟合准则；数学规划模型；LINGO 中图分类号：O141. 4 文献标识码：A 文章编号：1008-7257（2007）01-0080-02

的曲线拟合方法。

1. 引言

在科学实验或者统计研究中，经常遇到曲线拟合的问题。曲线拟合是指给定一组观测数据（x i ，y i ），i =用一条光滑的曲线y =（1，2A ，I ，f x ）来近似表示变量x 与y 之间的关系，此时称（f x ）为拟合函数。一般情况下，通过散点图或者其他数学方法可以确定（f x ）的具体形式。设拟合函数y =（f x ）中含有若干待定参数，用向量表示为A =（a 1，则拟合函数可a 2，A ，a p ），记作y =（称e i 作残差。f A ，x ）。令e i =y i -（f A ，x t ），构造拟合曲线的准则主要有［1］［2］：

（I ）残差绝对值的最大值取得最小：max I e i I =m i I

i =1I

2. 曲线拟合转化为数学规划模型

对于残差的最大值为最小和残差的绝对值之和为最小两个拟合准则，求解的困难在于绝对值的存在，应设法化去绝对值。令

U i

11

I e i I +e i ），1i =I e i I -e i ），22

i =1，2，A ，I 此时，u t E 0，v i E 0，且

I e i I =U i +1i ，e i =U i -1i ，i =1，2A ，I y i =（f A ，x i ）+e i =（f A ，x i ）+U i -1i

从而将前两个准则下的曲线拟合问题转化为数学

（1）

规划问题：

（II ）残差绝对值之和取得最小：

Z I

i =1

I

e i I =m i I

（2）

（III ）残差平方和取得最小：

{

miI max （U i +1i ）

i =1

I

y i =（f A ，x i ）+U i -1i U i ，1i E 0，i =1，2A ，I miI Z （U i +1i ）

i =1I

（5）

Z I

i =1

I

e 2i I =m i I

（3）

、（II ）提法自然，但是由于含有绝对显然，准则（I ）值而不便于实现；而准则（III ）即最为常用的最小二乘准则。在最小二乘准则下曲线拟合问题显然是多元函数的最小值问题。令M =

I

I

{

y i =（f A ，x i ）+U i -1i U i ，1i E 0，i =1，2A ，I

（6）

而最小二乘准则显然也可以看作是一个没有约束的数学规划问题：

2m i I Z ［y i -（f A ，x i ）］

i =1I

Z e =

2

i

i =1

2

［y i -（f A ，x i ）］Z i =1

，对M 关于待定参数a 1，得a 2，A ，a p 求偏导令其为0，到D 个未知数为a 1，a 2，A ，a p 的方程组：

O M O M

=0，i =1，2，A ，I 或者=0O a O A

该方程组可能为线性方程组或者非线性方程组，特别当（f A ，x ）为非线性函数时候，往往需要非常复杂的数值算法来求解，甚至难以求解，这就需要寻求更有效

收稿日期：2006-10-25

作者简介：张小勇（1978-），男，陕西岐山人，解放军信息工程大学讲师。

（7）

从而我们将三个准则下曲线拟合均转化为三个数学规划模型，而目前有许多数学软件都集成了求解数学规划问题的功能，美国LINDO 公司生产的LINGO 软件是一款专门求解数学规划问题的软件包。该软件语法简单，可以用简练、直观的方式表示LP 、IP 、NLP 、OP 等多种优化模型。执行速度快，求解和分析模型快捷方

第1期 张小勇等：基于LINGO 的曲线拟合便。

31。

3. 2残差的绝对值之和最小准则

81

3. 实验结果

考虑如下的问题：塑胶轮胎的扯断力y 的测定值与测定时的室温X 的对应数据如下：

表1

室温x i

17

18

19

20

21

23

27

30

31

34

此时，只需要在程序-1中把目标函数改为min =@sum （variabie （i ）：u （i ）+v （i ）），保持其它部分不动，求解后，得到：a =238. 4286，b =-2. 142857，目标函数值为70. 71429。这就是说，我们得到了拟合的一次多项式为：y =238. 4286-2. 142857X ，残差绝对值之和为70. 71429。3. 3最小二乘准则

在最小二乘准则下，曲线拟合问题变为一个无约束的非线性规划问题。在程序-1中，把目标函数改为min =@sum （variabie （i ）：（y （i ）-a -b *X （i ））^2），并且去掉程序-1中的约束条件，同样保持其它部分不动，重新求解，得到：a =267. 5537，b =-3. 127239，目标函数值为70. 71429。这就是说，我们得到了拟合的一次多项式为：y =267. 5537-3. 127239X ，残差平方之和为3019. 155。

如果待拟合的曲线是其它形式，那么只需要在程序中修改相应的约束条件或目标函数，保持其它部分不变，重新求解即可。

扯断力y i [***********][1**********]7

用室温X 估计扯断力y 的值。

在（x ，可以看出除了野点y ）平面上画出点对，（18，260）外，其他点近似于一条直线，设定待拟合的曲线为y =a +J x 。以下分别在三种准则下求出未知参数a ，J 。

3. 1残差的最大值最小准则

编写如下的LINGO 程序：modei ：Sets ：

variabie /1. . 10/：X ，y ，u ，v ；endsets data ：

X =17，18，19，20，21，23，27，30，31，34；

y =202，260，194，195，191，190，181，173，172，167；

enddata ！目标函数

min =@maX （variabie （i ）：u （i ）+v （i ））；！约束条件

@for （variabie （i ）：y （i ）=a +b *X （i ）+u （i ）-v （i ））；

@free （a ）；@free （b ）；end

记作程序-1。

求解后，得到：a =301. 0000，b =-2. 000000，目标函数值为31. 00000。这就是说，我们得到了拟合的一次多项式为y =301-2X ，残差的绝对值最大值为

4. 结束语

由以上算例可以看到，将曲线拟合问题转化为数学规划模型求解，思路简单，方便可行。利用LINGO 求解该问题时对于拟合函数的形式没有任何限制，能够准确地得到拟合函数的未知参数，计算速度快，精度高，结果可靠。此外，利用LINGO 求解程序简洁，易于修改和扩展，是实现曲线拟合的一个有效方法。参考文献：

［1］王能超. 数值分析简明教程［M ］. 北京：高等教育出版社

（第二版），2003. 37-40.

［2］徐萃薇. 计算方法引论［M ］. 北京：高等教育出版社，

1985.

［3］肖健华，林健，孙德山. 基于最小一乘准则的最优回归模

型研究［J ］. 辽宁师范大学学报（自然科学版），2005，28（02）：129-131.

（责任编辑 陈永康）

The Reaiization of Curve Fitting Based on LINGO

ZHANG Xiaoyong 1XU Xianggin 2

（1. PLA Information Engineering Uniuersity ，Zhengzhou 450004；

2. Zhengzhou Engineering College of Animal HusJandry ，Zhengzhou 450011，China ）

Abstract ：The curve fitting is wideiy used in many fieids ，but how to design efficient aigorithm under the three criteria is difficuit in some degree. The paper advances that we can transform the curve fitting into mathematiciai programming modei and it can be reaiized by LIN-GO. The eXperiment shows the method is an effective one to reaiize curve fitting. Key words ：curve fitting criteria ；mathematics programming modei ；LINGO.

基于LINGO的曲线拟合

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：

张小勇， 徐香勤， ZHANG Xiaoyong， XU Xiangqin

张小勇,ZHANG Xiaoyong(解放军信息工程大学电子技术学院,河南,郑州,450004)， 徐香勤,XU Xiangqin(郑州牧业工程高等专科学校人文系,河南,郑州,450011)焦作大学学报

JOURNAL OF JIAOZUO UNIVERSITY2007,21(1)

参考文献(3条)

1. 肖健华;林健;孙德山 基于最小一乘准则的最优回归模型研究[期刊论文]-辽宁师范大学学报（自然科学版）2005(02)

2. 徐萃薇 计算方法引论 19853. 王能超 数值分析简明教程 2003

本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_jiaozdxxb200701030.aspx

2007年1月 焦作大学学报 N. 1 第1期 JOURNAL OF JIAOZUO UNIVERSITY JaD. 2007

基于LINGO 的曲线拟合

张小勇1 徐香勤2

（1. 解放军信息工程大学电子技术学院，河南郑州 450004；2. 郑州牧业工程高等专科学校人文系，河南郑州 450011）

摘要：曲线拟合在众多领域中得到了广泛应用，但是设计三种拟合准则下曲线拟合的高效算法存在一定困难。文章提出了将曲线拟合问题转化为数学规划模型，并使用LINGO 软件来求解。实验结果表明，该方法简便快捷，是实现曲线拟合的一个有效方法。关键词：拟合准则；数学规划模型；LINGO 中图分类号：O141. 4 文献标识码：A 文章编号：1008-7257（2007）01-0080-02

的曲线拟合方法。

1. 引言

在科学实验或者统计研究中，经常遇到曲线拟合的问题。曲线拟合是指给定一组观测数据（x i ，y i ），i =用一条光滑的曲线y =（1，2A ，I ，f x ）来近似表示变量x 与y 之间的关系，此时称（f x ）为拟合函数。一般情况下，通过散点图或者其他数学方法可以确定（f x ）的具体形式。设拟合函数y =（f x ）中含有若干待定参数，用向量表示为A =（a 1，则拟合函数可a 2，A ，a p ），记作y =（称e i 作残差。f A ，x ）。令e i =y i -（f A ，x t ），构造拟合曲线的准则主要有［1］［2］：

（I ）残差绝对值的最大值取得最小：max I e i I =m i I

i =1I

2. 曲线拟合转化为数学规划模型

对于残差的最大值为最小和残差的绝对值之和为最小两个拟合准则，求解的困难在于绝对值的存在，应设法化去绝对值。令

U i

11

I e i I +e i ），1i =I e i I -e i ），22

i =1，2，A ，I 此时，u t E 0，v i E 0，且

I e i I =U i +1i ，e i =U i -1i ，i =1，2A ，I y i =（f A ，x i ）+e i =（f A ，x i ）+U i -1i

从而将前两个准则下的曲线拟合问题转化为数学

（1）

规划问题：

（II ）残差绝对值之和取得最小：

Z I

i =1

I

e i I =m i I

（2）

（III ）残差平方和取得最小：

{

miI max （U i +1i ）

i =1

I

y i =（f A ，x i ）+U i -1i U i ，1i E 0，i =1，2A ，I miI Z （U i +1i ）

i =1I

（5）

Z I

i =1

I

e 2i I =m i I

（3）

、（II ）提法自然，但是由于含有绝对显然，准则（I ）值而不便于实现；而准则（III ）即最为常用的最小二乘准则。在最小二乘准则下曲线拟合问题显然是多元函数的最小值问题。令M =

I

I

{

y i =（f A ，x i ）+U i -1i U i ，1i E 0，i =1，2A ，I

（6）

而最小二乘准则显然也可以看作是一个没有约束的数学规划问题：

2m i I Z ［y i -（f A ，x i ）］

i =1I

Z e =

2

i

i =1

2

［y i -（f A ，x i ）］Z i =1

，对M 关于待定参数a 1，得a 2，A ，a p 求偏导令其为0，到D 个未知数为a 1，a 2，A ，a p 的方程组：

O M O M

=0，i =1，2，A ，I 或者=0O a O A

该方程组可能为线性方程组或者非线性方程组，特别当（f A ，x ）为非线性函数时候，往往需要非常复杂的数值算法来求解，甚至难以求解，这就需要寻求更有效

收稿日期：2006-10-25

作者简介：张小勇（1978-），男，陕西岐山人，解放军信息工程大学讲师。

（7）

从而我们将三个准则下曲线拟合均转化为三个数学规划模型，而目前有许多数学软件都集成了求解数学规划问题的功能，美国LINDO 公司生产的LINGO 软件是一款专门求解数学规划问题的软件包。该软件语法简单，可以用简练、直观的方式表示LP 、IP 、NLP 、OP 等多种优化模型。执行速度快，求解和分析模型快捷方

第1期 张小勇等：基于LINGO 的曲线拟合便。

31。

3. 2残差的绝对值之和最小准则

81

3. 实验结果

考虑如下的问题：塑胶轮胎的扯断力y 的测定值与测定时的室温X 的对应数据如下：

表1

室温x i

17

18

19

20

21

23

27

30

31

34

此时，只需要在程序-1中把目标函数改为min =@sum （variabie （i ）：u （i ）+v （i ）），保持其它部分不动，求解后，得到：a =238. 4286，b =-2. 142857，目标函数值为70. 71429。这就是说，我们得到了拟合的一次多项式为：y =238. 4286-2. 142857X ，残差绝对值之和为70. 71429。3. 3最小二乘准则

在最小二乘准则下，曲线拟合问题变为一个无约束的非线性规划问题。在程序-1中，把目标函数改为min =@sum （variabie （i ）：（y （i ）-a -b *X （i ））^2），并且去掉程序-1中的约束条件，同样保持其它部分不动，重新求解，得到：a =267. 5537，b =-3. 127239，目标函数值为70. 71429。这就是说，我们得到了拟合的一次多项式为：y =267. 5537-3. 127239X ，残差平方之和为3019. 155。

如果待拟合的曲线是其它形式，那么只需要在程序中修改相应的约束条件或目标函数，保持其它部分不变，重新求解即可。

扯断力y i [***********][1**********]7

用室温X 估计扯断力y 的值。

在（x ，可以看出除了野点y ）平面上画出点对，（18，260）外，其他点近似于一条直线，设定待拟合的曲线为y =a +J x 。以下分别在三种准则下求出未知参数a ，J 。

3. 1残差的最大值最小准则

编写如下的LINGO 程序：modei ：Sets ：

variabie /1. . 10/：X ，y ，u ，v ；endsets data ：

X =17，18，19，20，21，23，27，30，31，34；

y =202，260，194，195，191，190，181，173，172，167；

enddata ！目标函数

min =@maX （variabie （i ）：u （i ）+v （i ））；！约束条件

@for （variabie （i ）：y （i ）=a +b *X （i ）+u （i ）-v （i ））；

@free （a ）；@free （b ）；end

记作程序-1。

求解后，得到：a =301. 0000，b =-2. 000000，目标函数值为31. 00000。这就是说，我们得到了拟合的一次多项式为y =301-2X ，残差的绝对值最大值为

4. 结束语

由以上算例可以看到，将曲线拟合问题转化为数学规划模型求解，思路简单，方便可行。利用LINGO 求解该问题时对于拟合函数的形式没有任何限制，能够准确地得到拟合函数的未知参数，计算速度快，精度高，结果可靠。此外，利用LINGO 求解程序简洁，易于修改和扩展，是实现曲线拟合的一个有效方法。参考文献：

［1］王能超. 数值分析简明教程［M ］. 北京：高等教育出版社

（第二版），2003. 37-40.

［2］徐萃薇. 计算方法引论［M ］. 北京：高等教育出版社，

1985.

［3］肖健华，林健，孙德山. 基于最小一乘准则的最优回归模

型研究［J ］. 辽宁师范大学学报（自然科学版），2005，28（02）：129-131.

（责任编辑 陈永康）

The Reaiization of Curve Fitting Based on LINGO

ZHANG Xiaoyong 1XU Xianggin 2

（1. PLA Information Engineering Uniuersity ，Zhengzhou 450004；

2. Zhengzhou Engineering College of Animal HusJandry ，Zhengzhou 450011，China ）

Abstract ：The curve fitting is wideiy used in many fieids ，but how to design efficient aigorithm under the three criteria is difficuit in some degree. The paper advances that we can transform the curve fitting into mathematiciai programming modei and it can be reaiized by LIN-GO. The eXperiment shows the method is an effective one to reaiize curve fitting. Key words ：curve fitting criteria ；mathematics programming modei ；LINGO.

基于LINGO的曲线拟合

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：

张小勇， 徐香勤， ZHANG Xiaoyong， XU Xiangqin

张小勇,ZHANG Xiaoyong(解放军信息工程大学电子技术学院,河南,郑州,450004)， 徐香勤,XU Xiangqin(郑州牧业工程高等专科学校人文系,河南,郑州,450011)焦作大学学报

JOURNAL OF JIAOZUO UNIVERSITY2007,21(1)

参考文献(3条)

1. 肖健华;林健;孙德山 基于最小一乘准则的最优回归模型研究[期刊论文]-辽宁师范大学学报（自然科学版）2005(02)

2. 徐萃薇 计算方法引论 19853. 王能超 数值分析简明教程 2003

本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_jiaozdxxb200701030.aspx