八年级数学上《2.5逆命题和逆定理》同步集训含答案
2．5 逆命题和逆定理
1. 已知命题“如果a ＋b ＝0，那么a ，b 互为相反数”，写出它的逆命题：如果a ，b 互为相反数，那么a ＋b ＝0．
2．“等边三角形有两个角都等于60°”的逆命题为命题是真命题(填“真”或“假”) ．
3．给出下列命题：①若a >0，b >0，则a ＋b >0；②若a ≠b ，则a 2≠b 2；③角平分线上的点到角的两边距离相等；④不是对顶角的角不相等．其中原命题与逆命题均为真命题的有(A )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
4. 给出下列结论：①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形的角平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题．其中正确的有(B )
A ．1个 B ．2个
C ．3个 D ．4个
5. 下列四个命题中，逆命题正确的是(D )
A ．两个数的差为正数，则这两个数都为正数
B ．如果a 2＋b 2＝0，那么a ＝0
C ．如果一个三角形为锐角三角形，那么这个三角形三个角中必存在大于60°的角
D ．如果两个角有一条公共边，并且这两个角的和是180°，那么这两个角互为邻补角
6．下列命题中，逆命题正确的是(B)
A ．若a ＝b ，则|a |＝|b |
B ．两直线平行，同位角相等
C ．全等三角形的对应角相等
D. 直角都相等
7．下列定理中，无逆定理的是(B)
A ．两直线平行，内错角相等
B ．对顶角相等
C ．全等三角形的三条边对应相等
D ．在同一个三角形中，等边对等角
8．写出下列命题的逆命题，并判断真假．
(1)如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等；
(2)如果a ＝5，那么a (a －5) ＝0.
(3)如果ab ＝0，那么a ＝0，b ＝0.
【解】 (1)如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形．是真命题．
(2)如果a (a －5) ＝0，那么a ＝5. 是假命题．
(3)如果a ＝0，b ＝0，那么ab ＝0. 是真命题．
9．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出它的逆定理．
(1)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；
(2)三角形的外角和等于360°；
(3)等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线互相重合．
【解】 (1)有逆定理．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的两边及其夹角对应相等．
(2)无逆定理．
(3)有逆定理．若一个三角形的一个角的平分线与这个角所对边上的高线互相重合，则这个三角形是等腰三角形．
10．对于以下说法：①如果一个命题是真命题，那么它的逆命题不一定是真命题；②每个定理都有逆定理；③基本事实是通过推理判断为正确的命题；④“同位角相等”是定理．其中正确的说法有
(A )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
【解】 命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角．从这个例子可看出①对②错．定理是通过推理判断为正确的命题，故③错．“同位角相等”是假命题，定理都是真命题，故④错．
11. 材料：如果两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则称这两个命题互为否命题．逆命题的否命题称为逆否命题．有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则1－q 有平方根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号有(C )
A ．①②③ B ．③④
C ．①③ D ．①④
【解】 ①逆命题是：若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0. 它是真命题．
②否命题是：若两个三角形不是全等三角形，则这两个三角形的面积不相等．它是假命题． ③逆命题是：若1－q 有平方根，则q ≤1. 它是真命题．
④逆否命题是：三个内角不相等的三角形是等边三角形．它是假命题．
12．举反例说明定理“全等三角形的面积相等”没有逆定理．
(第12题解)
【解】 逆命题：如果两个三角形面积相等，那么这两个三角形全等．
反例：如解图所示，l 1∥l 2，△ABC 和△BCD 同底等高，
∴△ABC 的面积等于△BCD 的面积，但△ABC 和△BCD 不全等．
故此定理没有逆定理．
13．已知下列命题：①若a ≤0，则|a|＝－a ；②若ma 2>na2，则m>n；③对顶角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(B )
A. 0 B. 1C. 2 D. 3
【解】 ①命题“若a ≤0，则|a |＝－a ”是真命题，逆命题为“若|a |＝－a ，则a ≤0”，是真命题； ②命题“若ma 2>na 2，则m >n ”是真命题，逆命题为“若m >n ，则ma 2>na 2”，是假命题； ③命题“对顶角相等”是真命题，逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题．
所以原命题与逆命题均为真命题的个数是1.
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2．5 逆命题和逆定理
1. 已知命题“如果a ＋b ＝0，那么a ，b 互为相反数”，写出它的逆命题：如果a ，b 互为相反数，那么a ＋b ＝0．
2．“等边三角形有两个角都等于60°”的逆命题为命题是真命题(填“真”或“假”) ．
3．给出下列命题：①若a >0，b >0，则a ＋b >0；②若a ≠b ，则a 2≠b 2；③角平分线上的点到角的两边距离相等；④不是对顶角的角不相等．其中原命题与逆命题均为真命题的有(A )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
4. 给出下列结论：①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形的角平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题．其中正确的有(B )
A ．1个 B ．2个
C ．3个 D ．4个
5. 下列四个命题中，逆命题正确的是(D )
A ．两个数的差为正数，则这两个数都为正数
B ．如果a 2＋b 2＝0，那么a ＝0
C ．如果一个三角形为锐角三角形，那么这个三角形三个角中必存在大于60°的角
D ．如果两个角有一条公共边，并且这两个角的和是180°，那么这两个角互为邻补角
6．下列命题中，逆命题正确的是(B)
A ．若a ＝b ，则|a |＝|b |
B ．两直线平行，同位角相等
C ．全等三角形的对应角相等
D. 直角都相等
7．下列定理中，无逆定理的是(B)
A ．两直线平行，内错角相等
B ．对顶角相等
C ．全等三角形的三条边对应相等
D ．在同一个三角形中，等边对等角
8．写出下列命题的逆命题，并判断真假．
(1)如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等；
(2)如果a ＝5，那么a (a －5) ＝0.
(3)如果ab ＝0，那么a ＝0，b ＝0.
【解】 (1)如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形．是真命题．
(2)如果a (a －5) ＝0，那么a ＝5. 是假命题．
(3)如果a ＝0，b ＝0，那么ab ＝0. 是真命题．
9．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出它的逆定理．
(1)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；
(2)三角形的外角和等于360°；
(3)等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线互相重合．
【解】 (1)有逆定理．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的两边及其夹角对应相等．
(2)无逆定理．
(3)有逆定理．若一个三角形的一个角的平分线与这个角所对边上的高线互相重合，则这个三角形是等腰三角形．
10．对于以下说法：①如果一个命题是真命题，那么它的逆命题不一定是真命题；②每个定理都有逆定理；③基本事实是通过推理判断为正确的命题；④“同位角相等”是定理．其中正确的说法有
(A )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
【解】 命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角．从这个例子可看出①对②错．定理是通过推理判断为正确的命题，故③错．“同位角相等”是假命题，定理都是真命题，故④错．
11. 材料：如果两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则称这两个命题互为否命题．逆命题的否命题称为逆否命题．有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则1－q 有平方根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号有(C )
A ．①②③ B ．③④
C ．①③ D ．①④
【解】 ①逆命题是：若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0. 它是真命题．
②否命题是：若两个三角形不是全等三角形，则这两个三角形的面积不相等．它是假命题． ③逆命题是：若1－q 有平方根，则q ≤1. 它是真命题．
④逆否命题是：三个内角不相等的三角形是等边三角形．它是假命题．
12．举反例说明定理“全等三角形的面积相等”没有逆定理．
(第12题解)
【解】 逆命题：如果两个三角形面积相等，那么这两个三角形全等．
反例：如解图所示，l 1∥l 2，△ABC 和△BCD 同底等高，
∴△ABC 的面积等于△BCD 的面积，但△ABC 和△BCD 不全等．
故此定理没有逆定理．
13．已知下列命题：①若a ≤0，则|a|＝－a ；②若ma 2>na2，则m>n；③对顶角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(B )
A. 0 B. 1C. 2 D. 3
【解】 ①命题“若a ≤0，则|a |＝－a ”是真命题，逆命题为“若|a |＝－a ，则a ≤0”，是真命题； ②命题“若ma 2>na 2，则m >n ”是真命题，逆命题为“若m >n ，则ma 2>na 2”，是假命题； ③命题“对顶角相等”是真命题，逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题．
所以原命题与逆命题均为真命题的个数是1.