简谐振动.单摆

学 科 年 级

物理 高一

版 本 编稿老师

人教版 刘敏

期 数 审稿教师

42

【同步教育信息】

一. 本周教学内容： 简谐振动、单摆

二. 重点、难点： （一）问题讨论

1. 打篮球、作运球动作、手的高度一定，球在手与地面之间往复运动，以球为研究对象，球的运动是否可称为机械振动，是否是简谐振动？ 答：球的运动是机械振动，但不是简谐振动。 简谐振动的受力特征：Fkx

2. 一般质点的位移与简谐振动的质点位移x有什么不同？

答：一般质点位移为初位置指向末位置的有向线段，所有的简谐振动取了一个共同的参考点——平衡位置。

位移均为相对于平衡位置的位移，质点某时刻的“位置”确定，位移确定，与运动速度方向无关。

3. 质点作简谐振动，每次经过同一位置时，具有相同的：

（1）位移x，（2）回复力F，（3）加速度a，（4）速度v，（5）动量P，（6）动能Ek，（7）势能EP（包括弹性势能），（8）机械能E（＝Ek+Ep）。 答：如图所示：

弹簧振子在竖直方向，绕平衡位置作简谐振动，某时刻t，位于P点 位移x：从O→P，x>0，大小、方向确定 回复力Fkx，由PO

（证明：在某点P，弹簧形变（x0+x），其中x0为物体位置在O点时，弹簧形变量。在O点，有∑F＝0。 kx0mg

mg

x0

k

在P点：Fkx0xmg（指向O点）

O v

kx0kxmg

kx

方向与x反向，x为质点关于平衡位置的位移 FF回kx）

kx

，PO，大小、方向确定 m

速度v有可能，由O→P或由P→O，方向不同。 动量：P=mv，可能，O→P或P→O，方向不同。

1

动能：Ekmv2，与方向无关。由于势能仅与形变及位置有关，在确定的位置，势

2

能相同，且系统机械能守恒。所以，Ek确定。

结论：简谐振动，在同一位置上，具有相同的位移、回复力、加速度、动能、势能（弹性势能）、机械能。

以上各量均由位置决定。

注意正确理解振幅、周期和频率概念。

这节课，我们研究另一个典型的振动系统——摆。 （二）单摆及其简谐振动 1. 单摆——理想振动模型

如图所示，如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置就叫做单摆。单摆是实际摆的理想化的物理模型。 摆长：为悬点到摆球质心的距离。 2. 单摆作简谐振动的条件 （1）不计阻力（无阻尼） （2）小摆幅（5） 加速度：a

3. 单摆的回复力：

在研究摆球沿圆弧的运动情况时，可以不考虑与摆球运动方向垂直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力。当摆球运动到任一点P时，如图所示，重力G沿圆弧切线方向的分力G1＝mgsin是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力F＝G1＝mgsin。

在偏角很小时，sin F

x

，所以单摆的回复力为： l

mg

x l

其中l为摆长，x为摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F与位移x的方向相反。

由于m、g、l都有确定的数值，

mg

可以用一个常数表示，上式可以写成： l

Fkx

可见，在偏角很小的情况下，单摆所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，单摆做简谐运动。

其位移x、回复力F、加速度、速度等均随时间周期性变化。 4. 单摆的周期（频率） 实验研究

（1）取摆长l相同，质量不同的两摆，如图所示：

记录完成一次周期性变化的时间——周期T 结论：a. 具有等时性；b. 与摆球质量无关。 （2）改变两球振幅（

结论：c. 单摆的周期与振幅无关。 （3）改变摆长，如图所示：

结论：d. 摆长短，周期短；摆长不同，周期不同。

B

荷兰物理学家惠更斯（1629—1695）研究了单摆的振动，跟摆长l的二次方根成正比，跟重力加速度g的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关，并且确定了如下的单摆周期的公式： T2

l g

仅由l——摆长及当地g——重力加速度决定 5. 应用

摆在实际中有很多应用。惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，摆的周期可以通过改变摆长来调节，计时很方便（如图所示）

单摆的周期和摆长容易用实验准确地测定出来，所以可利用单摆准确地测定各地的重力加速度。

直接测量量：l、T，则

42l

g2

T

【典型例题】

例1. 如图所示，两单摆，摆长l1=l2，质量m1>m2，使两球分别从A、B位置由静止释放，1

A

B 12

解答：

因为l1=l2=l，1

Tl

周期相同。两球将经过，在O点碰撞，并且分离后各自仍作简谐振动，以后每经

42g

T

过，在O点碰撞。2 例2.

l

如图所示，单摆摆长为l，从B点由静止释放，

2

定钉子，小球达到O’处，摆线被钉挡住，小球绕A点上摆，最大摆角

B

分析：

小球从B→O'简谐振动，T2最大，Ek=Ekm。

l

，球重力势能转化为动能，达到O'，速率为vm， g

l

1

绳被钉挡住过程，球绕A转动，

g 由于钉的作用力不做功，系统机械能守恒，C与B等高。（vCvB0）

球在O’，由于具有惯性，速率不会突变，振动加速度为零。

v

但角速度O'm2，角速度在钉阻挡前、后突变。

l2

（注意：研究单摆振动时，我们只关注切向，切向回复力及运动特点。实际上，质点

v2v2

绕悬点在转动，具有向心加速度an，本题与钉作用瞬间前后，an变成了an'

Rl

v2

2an，发生突变。）l2

例3. 以下哪些方法可以使单摆振动频率变高（ ） A. 增加摆球质量 B. 减小振幅 C. 增加摆长 D. 将单摆从地面移到高山上 E. 将单摆从赤道移到两极 答：T2

l

与m、A无关 g

l，T，f

高山上，g，T，f g赤道g极地，g，T，f E正确

例：周期为2s的单摆常叫做秒摆，取g=9.8m/s2，计算秒摆的摆长有多少？ 解： T2

l

，T2s g

49.8.2314

2

l=T2g(2)2

0.99m10m.m

即长约为1m的轻绳，拴一体积很小的球，这样的单摆周期约为2秒——秒摆。 研究课题：

自制一单摆，使其作简谐振动，如何测重力加速度，你还需要什么测量工具，如何使测量结果更准确？ 总结要点：

（1）单摆的概念：细线一端固定在悬点，另一端拴一个小球，忽略线的伸缩和质量、球的直径比线短得多的装置。

（2量mgsin。

mg

*5时，Fx。

l

（3）单摆的等时性：在振幅很小的条件下，单摆的振动周期跟振幅没有关系（伽利略发现）。

（4）单摆周期：T2l/g（惠更斯发现）。

注意：

（1）周期T与振幅、摆球质量无关，只与摆长l和所处地点重力加速度g有关。 （2

42l

5.单摆的应用：（1）计时器；（2）测定重力加速度：由T2l/g得：g2。

T

【模拟试题】

1. 弹簧振子或单摆的振幅增大为原来的2倍时，下列说法中正确的是（ ） A. 周期增大为原来的2倍 B. 周期减小为原来的1/2 C. 周期不变 D. 无法确定

2. 摆球每次通过平衡位置时（ ） A. 位移为零，动能为零 B. 动能最大，势能最小 C. 速度最大，振动加速度为零 D. 速度最大，振动加速度不一定为零 3. 单摆的周期在发生下述何种情况时会增大：（ ） A. 增大摆球的质量 B. 减小摆长 C. 把单摆从赤道移到北极 D. 把单摆从海平面移到高山

4. 甲乙两个单摆，摆线长度相等，甲球质量是乙球的2倍，现在把两球分别向两边拉开角度3°和5°，如图所示，此后同时释放，则两球相遇在（ ） A. O点左侧 B. O点右侧 C. O点 D. 无法确定

乙

【试题答案】

1. C

2. BC（提示：在平衡位置振动（切向）加速度为零，法向an不为零。） 3. D 4. C

学 科 年 级

物理 高一

版 本 编稿老师

人教版 刘敏

期 数 审稿教师

42

【同步教育信息】

一. 本周教学内容： 简谐振动、单摆

二. 重点、难点： （一）问题讨论

1. 打篮球、作运球动作、手的高度一定，球在手与地面之间往复运动，以球为研究对象，球的运动是否可称为机械振动，是否是简谐振动？ 答：球的运动是机械振动，但不是简谐振动。 简谐振动的受力特征：Fkx

2. 一般质点的位移与简谐振动的质点位移x有什么不同？

答：一般质点位移为初位置指向末位置的有向线段，所有的简谐振动取了一个共同的参考点——平衡位置。

位移均为相对于平衡位置的位移，质点某时刻的“位置”确定，位移确定，与运动速度方向无关。

3. 质点作简谐振动，每次经过同一位置时，具有相同的：

（1）位移x，（2）回复力F，（3）加速度a，（4）速度v，（5）动量P，（6）动能Ek，（7）势能EP（包括弹性势能），（8）机械能E（＝Ek+Ep）。 答：如图所示：

弹簧振子在竖直方向，绕平衡位置作简谐振动，某时刻t，位于P点 位移x：从O→P，x>0，大小、方向确定 回复力Fkx，由PO

（证明：在某点P，弹簧形变（x0+x），其中x0为物体位置在O点时，弹簧形变量。在O点，有∑F＝0。 kx0mg

mg

x0

k

在P点：Fkx0xmg（指向O点）

O v

kx0kxmg

kx

方向与x反向，x为质点关于平衡位置的位移 FF回kx）

kx

，PO，大小、方向确定 m

速度v有可能，由O→P或由P→O，方向不同。 动量：P=mv，可能，O→P或P→O，方向不同。

1

动能：Ekmv2，与方向无关。由于势能仅与形变及位置有关，在确定的位置，势

2

能相同，且系统机械能守恒。所以，Ek确定。

结论：简谐振动，在同一位置上，具有相同的位移、回复力、加速度、动能、势能（弹性势能）、机械能。

以上各量均由位置决定。

注意正确理解振幅、周期和频率概念。

这节课，我们研究另一个典型的振动系统——摆。 （二）单摆及其简谐振动 1. 单摆——理想振动模型

如图所示，如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置就叫做单摆。单摆是实际摆的理想化的物理模型。 摆长：为悬点到摆球质心的距离。 2. 单摆作简谐振动的条件 （1）不计阻力（无阻尼） （2）小摆幅（5） 加速度：a

3. 单摆的回复力：

在研究摆球沿圆弧的运动情况时，可以不考虑与摆球运动方向垂直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力。当摆球运动到任一点P时，如图所示，重力G沿圆弧切线方向的分力G1＝mgsin是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力F＝G1＝mgsin。

在偏角很小时，sin F

x

，所以单摆的回复力为： l

mg

x l

其中l为摆长，x为摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F与位移x的方向相反。

由于m、g、l都有确定的数值，

mg

可以用一个常数表示，上式可以写成： l

Fkx

可见，在偏角很小的情况下，单摆所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，单摆做简谐运动。

其位移x、回复力F、加速度、速度等均随时间周期性变化。 4. 单摆的周期（频率） 实验研究

（1）取摆长l相同，质量不同的两摆，如图所示：

记录完成一次周期性变化的时间——周期T 结论：a. 具有等时性；b. 与摆球质量无关。 （2）改变两球振幅（

结论：c. 单摆的周期与振幅无关。 （3）改变摆长，如图所示：

结论：d. 摆长短，周期短；摆长不同，周期不同。

B

荷兰物理学家惠更斯（1629—1695）研究了单摆的振动，跟摆长l的二次方根成正比，跟重力加速度g的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关，并且确定了如下的单摆周期的公式： T2

l g

仅由l——摆长及当地g——重力加速度决定 5. 应用

摆在实际中有很多应用。惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，摆的周期可以通过改变摆长来调节，计时很方便（如图所示）

单摆的周期和摆长容易用实验准确地测定出来，所以可利用单摆准确地测定各地的重力加速度。

直接测量量：l、T，则

42l

g2

T

【典型例题】

例1. 如图所示，两单摆，摆长l1=l2，质量m1>m2，使两球分别从A、B位置由静止释放，1

A

B 12

解答：

因为l1=l2=l，1

Tl

周期相同。两球将经过，在O点碰撞，并且分离后各自仍作简谐振动，以后每经

42g

T

过，在O点碰撞。2 例2.

l

如图所示，单摆摆长为l，从B点由静止释放，

2

定钉子，小球达到O’处，摆线被钉挡住，小球绕A点上摆，最大摆角

B

分析：

小球从B→O'简谐振动，T2最大，Ek=Ekm。

l

，球重力势能转化为动能，达到O'，速率为vm， g

l

1

绳被钉挡住过程，球绕A转动，

g 由于钉的作用力不做功，系统机械能守恒，C与B等高。（vCvB0）

球在O’，由于具有惯性，速率不会突变，振动加速度为零。

v

但角速度O'm2，角速度在钉阻挡前、后突变。

l2

（注意：研究单摆振动时，我们只关注切向，切向回复力及运动特点。实际上，质点

v2v2

绕悬点在转动，具有向心加速度an，本题与钉作用瞬间前后，an变成了an'

Rl

v2

2an，发生突变。）l2

例3. 以下哪些方法可以使单摆振动频率变高（ ） A. 增加摆球质量 B. 减小振幅 C. 增加摆长 D. 将单摆从地面移到高山上 E. 将单摆从赤道移到两极 答：T2

l

与m、A无关 g

l，T，f

高山上，g，T，f g赤道g极地，g，T，f E正确

例：周期为2s的单摆常叫做秒摆，取g=9.8m/s2，计算秒摆的摆长有多少？ 解： T2

l

，T2s g

49.8.2314

2

l=T2g(2)2

0.99m10m.m

即长约为1m的轻绳，拴一体积很小的球，这样的单摆周期约为2秒——秒摆。 研究课题：

自制一单摆，使其作简谐振动，如何测重力加速度，你还需要什么测量工具，如何使测量结果更准确？ 总结要点：

（1）单摆的概念：细线一端固定在悬点，另一端拴一个小球，忽略线的伸缩和质量、球的直径比线短得多的装置。

（2量mgsin。

mg

*5时，Fx。

l

（3）单摆的等时性：在振幅很小的条件下，单摆的振动周期跟振幅没有关系（伽利略发现）。

（4）单摆周期：T2l/g（惠更斯发现）。

注意：

（1）周期T与振幅、摆球质量无关，只与摆长l和所处地点重力加速度g有关。 （2

42l

5.单摆的应用：（1）计时器；（2）测定重力加速度：由T2l/g得：g2。

T

【模拟试题】

1. 弹簧振子或单摆的振幅增大为原来的2倍时，下列说法中正确的是（ ） A. 周期增大为原来的2倍 B. 周期减小为原来的1/2 C. 周期不变 D. 无法确定

2. 摆球每次通过平衡位置时（ ） A. 位移为零，动能为零 B. 动能最大，势能最小 C. 速度最大，振动加速度为零 D. 速度最大，振动加速度不一定为零 3. 单摆的周期在发生下述何种情况时会增大：（ ） A. 增大摆球的质量 B. 减小摆长 C. 把单摆从赤道移到北极 D. 把单摆从海平面移到高山

4. 甲乙两个单摆，摆线长度相等，甲球质量是乙球的2倍，现在把两球分别向两边拉开角度3°和5°，如图所示，此后同时释放，则两球相遇在（ ） A. O点左侧 B. O点右侧 C. O点 D. 无法确定

乙

【试题答案】

1. C

2. BC（提示：在平衡位置振动（切向）加速度为零，法向an不为零。） 3. D 4. C