高考数学应用题归类解析
类型一：函数应用题
1.1 以分式函数为载体的函数应用题
⎧1⎪⎪6-x
例1. 工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x (万件) 间的关系为：p =⎨
⎪2⎪⎩3
数， 且0
次品数
（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝×100%)
产品总数【解】（1）若0
0
（c 为常
x >c
x 3x 9x ) -⋅=3x -， 6-x 26-x 2(6-x )
⎧3(9x -2x 2) 0
232⎪
若x >c ，则y =3(x -x ) -⋅x =0 ， ∴y =⎨2(6-x )
323⎪0x >c ⎩
3(9-4x )(6-x ) -(9x -2x 2)(-1) 3(x -3)(x -9)
) = （2）当0
2(6-x ) 2(6-x ) 2
'
若00，函数在(0, c ]上为增函数，∴x =c , y max
'
3(9c -2c 2)
=
2(6-c )
若3
例2. 近年来，某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元) 与太阳能电池板的面积(单位: 平方米) 成正比, 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费C （单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位:平方米) 之间的函数关系是C (x ) =
k
(x ≥0, k 为常数). 记F 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年
20x +100
共将消耗的电费之和.
（1）试解释C (0)的实际意义, 并建立F 关于x 的函数关系式；
（2）当x 为多少平方米时, F 取得最小值？最小值是多少万元？
【解】（1）C (0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用， 即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费，由C (0)=所以F =15⨯
k
=24, 得k =2400， 100
24001800
+0.5x =+0.5x , x ≥0；
20x +100x +51800
+0.5(x +5) -0.25≥0.25=59.75. （2
）因为F =
x +51800
=0.5(x +5) ，x =55时取等号，所以当x 为55平方米时, F 取得最小值为59.75万元. 当且仅当
x +5
1.2 以分段函数为载体的函数应用题
例3. 在等边∆ABC 中, AB =6cm，长为1cm 的线段DE 两端点D , E 都在边AB 上，且由点A 向点B
FD ⊥AB , 点F 在边AC 或边BC 上；GE ⊥AB , 点G 在边AC 或边BC 运动（运动前点D 与点A 重合），
上，设AD =xcm .
（1）若∆ADF 面积为S 1=f (x ) , 由DE , EG , GF , FD 围成的平面图形面积为S 2=g (x ) ，分别求出函数
f (x ), g (x ) 的表达式；
（2）若四边形DEGF 为矩形时x =x 0，求当x ≥x 0时, 设F (x ) =
f (x )
，求函数F (x ) 的取值范围 . g (x )
2
； 2
解：（1）① 当0
上，FD =x tan60=
，∴f (x ) =
当3
FD =(6-x ) tan600=-
x ) ,
∴f (x ) =(6-
x ) ，∴f (x ) =2
x ,0
② 当0
上，FD =x tan60=，
EG =
x +1) ∴g (x ) =
1=
； 2
当2
, FD =
, EG =
-x ) ∴g (x ) =
当3
, FD =-
x ) , EG =
-x ) ∴g (x ) =+
⎪⎪
+
x 25955
, ∴≤F (x ) ≤ （2）x 0= ① 当≤x ≤3时，F (x ) =
22545x 2-6x x 2-5x +33'
, F (x ) =4>0 ② 当3≤x ≤5时，F (x ) =2
2x -11(2x -11)
⎡5⎤⎡18⎤
∴F (x ) 的取值范围为⎢,5⎥⋃⎢,10⎥
⎣4⎦⎣5⎦
例4. 如图，长方体物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为v （v ＞0）， 雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )，E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行．．．．面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与v -c ×S 成正比，比例系数为1；（2）其他面的淋雨量之和，
133
. 记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d =100，面积S =S=.
222
（1）写出y 的表达式；
其值为
（2）设0＜v ≤10,0＜c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少.
1.3 以二次函数为载体的函数应用题
例5. 轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC 是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E 处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE （抛物线CDE 与抛物线ABC 在同一平面内），D 为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轨
迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x 轴在地面上，助跑道一端点A(0，4) ，另一端点C(3，1) ，点B(2，0) ，单位：米．
（1）求助跑道所在的抛物线方程；
（2）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C 处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4米到6米之间（包括4米和6米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？（注：飞行距离指点C 与点E 的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．）
【解】（1）设助跑道所在的抛物线方程为f (x ) =a 0x 2+b 0x +c 0，
⎧c 0=4,
⎪
依题意： ⎨4a 0+2b 0+c 0=0, 解得，a 0=1，b 0=-4，c 0=4，
⎪9a +3b +c =1,
00⎩0
∴助跑道所在的抛物线方程为f (x ) =x 2-4x +4． （2）设飞行轨迹所在抛物线为g (x ) =ax 2+bx +c （a
⎧f (3)=g (3),⎧9a +3b +c =1, ⎧b =2-6a ,
依题意：⎨得⎨解得⎨
f '(3)=g '(3),6a +b =2, c =9a -5, ⎩⎩⎩
3a -121
) +1-， a a
3a -1213a -112
) =2，∵a
13a -122
当x =时，g (x ) 有最大值为1-，则运动员的飞行距离d =3--3=-，
a a a a 1121
飞行过程中距离平台最大高度h =1--1=-，依题意，4≤-≤6，得2≤-≤3，
a a a a
∴g (x ) =ax +(2-6a ) x +9a -5=a (x -
2
即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2米到3米之间．
例6. 某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产
3x ⎫⎛
业结构，调整出x (x ∈N *) 名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10 a -⎪万元(a
500⎝⎭
＞0) ，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %．
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？
【解】（1）由题意，得10(1000－x )(1＋0.2x %)≥10×1000，即x 2－500x ≤0，又x ＞0，所以0＜x ≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．
3x ⎫⎛
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为10 a -⎪x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为
500⎝⎭3x 21⎫3x ⎫1⎫⎛⎛⎛
10(1000-x ) 1+x ⎪万元，则10 a -x ⎪，所以ax －≤1000＋2x －x －⎪x ≤10(1000-x ) 1+500500⎭⎝500⎭⎝⎝500⎭2x 2122x 1000
＋1000＋x ，即a ≤＋＋1恒成立． x ，所以ax ≤500500500x
因为
2x 10002x 1000
＋≥4，当且仅当＝，即x ＝500时等号成立，所以a ≤5，又 500x
500x
a ＞0，所以0＜a ≤5．所以a 的取值范围为(0，5]．
类型二：三角测量应用题
2.1 以三角函数的定义为载体的三角应用题
例7. 如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮O 1的半径为2r （r 为常数），小飞轮O 2的半径为r ，
O 1O 2=4r . 在大飞轮的边缘上有两个点A ，B ，满足∠BO 1A =
π
3
m ]
，在小飞轮的边缘上有点C ．设大飞
轮逆时针旋转一圈，传动开始时，点B ，C 在水平直线O 1O 2上． （1）求点A 到达最高点时A ，C 间的距离； （2）求点B ，C 在传动过程中高度差的最大值.
【解】（1）以O 1为坐标系的原点，O 1O 2所在直线为x 轴，如图所示建立直角坐标系．当点A 到达最高点时，点A 绕O 1转过
9ππ
) ．
，则点C 绕O 2转过． 此时A （0，2r ），
C (r 263
∴AC =r ．
（2）由题意，设大飞轮转过的角度为θ，则小飞轮转过的角度为2θ，其中θ∈[0,2π]．
此时B （2r cos θ，2r sin θ），C （4r + r cos 2θ，r sin 2θ）． 记点B , C 高度差为d ，则d =|2r sin θ-r sin 2θ|．
即d =2r |sin θ-sin θcos θ|．设f (θ) =sin θ-sin θcos θ，θ∈[0,2π]，则f '(θ) =(1-cos θ)(2cosθ+1) ．
124
令f '(θ) =(1-cos θ)(2cosθ+1) =0，得cos θ=-或1．则θ=π，π，0或2π．
233列表：
． 答：点B ，C 在传动中高度差的最大值d max =
2.2 以三角函数的图象为载体的三角应用题
例8. 如图，摩天轮的半径为40m ，点O 距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速转动，每3min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处.
（1）试确定在时刻t (min)时点P 距离地面的高度；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过70m ？ （3）求证：不论t 为何值，f (t ) +f (t +1) +f (t +2) 是定值.
2.3 以解三角形为载体的三角应用题（例9不含分式结构的解三角形问题；例10和例11含有分式结
构的解三角形问题，方法略有不同）
例9. 在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且
∠ABC =120，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD =60，路宽
，∠ACB =θ（30≤θ≤45）. AD =24米，设灯柱高AB =h （米）（1）求灯柱的高h （用θ表示）；
（2）若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．
C
B
D
π
例10. 如图，将边长为3的正方形ABCD 绕中心O 顺时针旋转α (0＜α＜) 得到正方形A ′B ′C ′D ′．根据
2平面几何知识，有以下两个结论：
①∠A ′FE ＝α；
π②对任意α (0＜α＜，△EAL ，△EA ′F ，△GBF ，
2△GB ′H ，△ICH ，△IC ′J ，△KDJ ，△KD ′L 均是全等三角形．
（1）设A ′E ＝x ，将x 表示为α的函数；
（2）试确定α，使正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 重叠部分面积最小，并求最小面积． 【解】（1）在Rt △EA ′F 中，因为∠A ′FE ＝α，A ′E ＝x ，
x x
所以EF ，A ′F ＝．
sin αtan α由题意AE ＝A ′E ＝x ，BF ＝A ′F ＝
x
tan α
x x
所以AB ＝AE ＋EF ＋BF ＝x ＋＋3．
sin αtan α3sin απ
所以x ＝，α∈(0，)
21＋sin α＋cos α
11x x 23sin αcos α9sin αcos α
（2）S △A ′EF ＝A ′E •A ′F •x •(2•
22tan α2tan α1＋sin α＋cos α2sin α2(1＋sin α＋cos α) t 2－1
令t ＝sin α＋cos α，则sin αcos α＝．
2
πππ3ππ
因为α∈(0，) ，所以α＋∈() ，所以t ＝2sin(α＋) ∈(1，2]．
24444
9(t 2－1) 9292
S △A ′EF ＝)≤(1． (1－4(1＋t ) 4t ＋14＋1
正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 重叠部分面积 S ＝S 正方形A ′B ′C ′D ′－4S △A ′EF ≥9－9 (1－
2
) ＝18(2－1) ． ＋1
π
当t ＝2，即α
4
例11. 如图所示，直立在地面上的两根钢管AB
和CD ，AB
=，CD =，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：
（1）如图（1）设两根钢管相距1m ，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处, 形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？
（2）如图（
2）设两根钢管相距，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处，再将钢丝绳依次固定在D 处、B 处和E 处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？
A
A E
E
B 图1
F
D 图2
【解】（1）设钢丝绳长为y m ，∠CFD =
θ，则
+1
y ==+（其中0
7），y '=
cos cos sin θcos 2θ
当tan θ=BE =43时，y min =8 （2）设钢丝绳长为y m ，∠CFD =
θ，则
y =+(1+cos θ+sin θ)（其中0
θ0，tan θ0==3）„„„
9分
⎝⎭θ+sin θ⎫(
1+sin θ+cos θ)+(cos θ-sin θ) y '=-cos ⎪
sin 2θcos 2θ⎭⎝⎭
令y '=0得sin θ=cos θ，当θ=π时，即BE
=6
3时y min =2„„„12分
)
例12. 海岸线MAN ，∠A =2θ, 现用长为l 的拦网围成一养殖场，其中B ∈MA , C ∈NA ． （1）若BC =l , 求养殖场面积最大值；
（2）若B 、C 为定点，BC
（3）若(2)中B 、C 可选择，求四边形养殖场ACDB 面积的最大值.
【解】（1）设AB =x , AC =y , x >0, y >0. l 2=x 2+y 2-2xy cos 2θ≥2xy -2xy cos 2θ，
l 2l 211l 2l 2cos θ，S =xy sin 2θ≤⋅， xy ≤=⋅2sin θcos θ=22
2-2cos 2θ4sin θ224sin θ4sin θ
l 2cos θ所以，△ABC 面积的最大值为，当且仅当x =y 时取到．
4sin θ
1
（2）设AB =m , AC =n (m ，n 为定值) ． BC =2c (定值) ，由DB +DC =l =2a ，a =l ，知点D 在以B 、
2
1S =mn sin 2θ为定值．C 为焦点的椭圆上，∆ABC 只需∆DBC 面积最大, 需此时点D 到BC 的距离最大, 即
2
1D 必为椭圆短轴顶点．
b ==
S ∆BCD 面积的最大值为⋅2c ⋅b =c
21 因此, 四边形ACDB
面积的最大值为m ⋅n ⋅sin 2θ+c 2（3）先确定点B 、C ，使BC
l 1
. S=2S ∆ACD =2⋅⋅AC ⋅AD ⋅sin θ. 22
⋅⋅
22
l tan
由(1)的同样方法知，AD=AC时，三角形ACD 面积最大，最大值为1l . θ
2
所以，四边形ACDB 面积最大值为
l
2
θ8tan
2
.
2.4 以立体几何为载体的三角应用题
例13. 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
80π
立方米，且l ≥2r ．假设该容器的建造费用仅与其表面3
积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c ＞3) 千元，设该容器的建造费用为y 千元．
（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的r ． 【解】（I ）设容器的容积为V ，
43
V -πr 4380π8044202, 故l =由题意知V =πr l +πr , 又V ==-r =(2-r ) 22
33πr 3r 33r
42022
由于l ≥2r ，因此0
3r
160π2
,0
160π8π(c -2) 320
(r -),0
r r 2c -2
由于c >3, 所以
c -2>0, 当r -
3
20=0时, r =
c -28π(c -2) 22
(r -m )(r +rm +m ). =m , 则m >0，所以y '=2
r 9
时，易得r =m 是函数y 的极小值点，也是最小值点。 29
（2）当m ≥2即3
2
9
所以r=2是函数y 的最小值点，综上所述，当3
2
（1）当0
当c >
例14. 某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O ，半径为R （米）的球形灯泡．该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托EA , EB , EC , ED 所在圆的圆心都是O 、半径都是R （米）、圆弧的圆心角都是θ（弧度）；灯杆EF 垂直于地面，杆顶E 到地面的距离为h （米），且h >R ；灯脚F A 1，FB 1，FC 1，FD 1是正四棱锥F - A 1B 1C 1D 1的四条侧棱，正方形A 1B 1C 1D 1的外接圆半径为R （米）
，
9时，建造费用最小时r = 2
四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为θ（弧度）．已知灯杆、灯脚造价都是每米a （元），灯托造价是每米（元），其中R , h , a 都为常数．设该灯架的总造价为y （元）． （1）求y 关于θ的函数关系式； （2）当θ取何值时，y 取得最小值？
【解】（1）延长EF 与地面交于O 1，由题意：∠A 1FO 1=θ，且
a
3
FO 1=
R R R ， 从而EF =h -，A 1F =， tan θsin θtan θ
a R 4R 4θ4-cos θ
) +ha ，+(h -+) a . y =Ra (+
3sin θ3tan θsin θ4θ4-cos θ
（2）设 f (θ) =， +
3sin θ
(1-2cos θ)(7+2cos θ) π4sin 2θ+3-
12cos θ
令f '(θ)=. .==0∴θ=
3sin 2θ33sin 2θ
πππ
当θ∈(0,) 时，y ' 0， y =4θR
3
32
πR π
设θ∈（θ0, ) ，其中tan θ0=
42h
∴∈（θ0, ) ，∴θ=时，y 最小.
323答：当θ=
πππ
1
π
3
时，灯架造价取得最小值.
例15. 要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面半径相等，都为r 米. 市场上，圆柱侧面用料单价为每平方米a 元，圆锥侧面用料单价分别是圆柱侧面用料单价和圆柱底面用料单价的4倍和2倍. y （元）. （1）写出θ的取值范围；
（2）将y 表示成θ的函数关系式； （3）当θ为何值时，总费用y 最小?
【解】设圆锥的高为h 1米，母线长为l 米, 圆柱的高为h 2米；圆柱的侧面用料单价为每平方米2a 元，圆锥的侧面用料单价为每平方米4a 元.
（1）θ∈(0,).
π
4
（2）圆锥的侧面用料费用为4a πrl , 圆柱的侧面费用为2a πrh 2, 圆柱的地面费用为2a πr 2,
则y =4a πrl +2a πrh 2+2a πr 2 =2a πr (2l +h 2+r ) =2a πr [=2a πr 2[(
2r 2r
+2(r -h 1) +r ], =2a πr [+2(r -r tan θ) +r ] cos θcos θ
2
-tan θ) +3]. cos θ
2π2sin θ-1
（3）设f (θ) =， -tan θ, 其中θ∈(0,). 则f '(θ) =
cos θ4cos 2θ
π2sin θ-1当θ=时，f '(θ) ==0;
6cos 2θπ2sin θ-1ππ2sin θ-1
'当θ∈(0,) 时，f '(θ) =当时，0; 22
6cos θ64cos θ
则当θ=
2.5 以追击问题为载体的三角应用题
例16. 如图，AB 是沿太湖南北方向道路, P 为太湖中观光岛屿, Q 为停车场，PQ =5.2km ．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q , 已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行驶， sin θ=
π
6
时，f (θ) 取得最小值，则当θ=
π
6
时，费用y 最小.
5
．游船13
离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q 与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M 处，然后乘出租汽车到点Q (设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车) ．假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租汽车的速度为66km/h． （1）设sin α=
4
，问小船的速度为多少km/h时，游客甲才能和游船同时到达点Q ； 5
（2）设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q ． 【解】(1) 如图，作PN ⊥AB , N 为垂足．sin θ=在
Rt
54，sin a =，
513
513
(km), 2
△PNQ 中，
PN =PQ s θi n =5⨯. =
QN =PQ cos θ=5.2⨯
12
=4.8(km)． 13
PN 2
==1.5(km) tan a 4
3
在Rt △PNM 中，MN =
设游船从P 到Q 所用时间为t 1h ，游客甲从P 经M 到Q 所用时间为t 2h ，小船的速度为v 1 km/h，则 26
PM MQ 2.53.351PQ 2
+=+=+t 1===(h ), t 2=（h ）．
v 166v 1662v 12013135
由已知得：t 2+∴小船的速度为
5112125
++=，∴v 1=． =t 1，2v 202052031
25
km/h时，游客甲才能和游船同时到达Q ． 3
PN 2PN 2cos a
(km),MN =(km)． ==
sin a sin a tan a sin a
（2）在Rt △PMN 中，PM =∴QM =QN -MN =4.8-
2cos a PM QM 14cos a 133-5cos a 4(km)． ∴t =＝． +=+-⨯+sin a 10665sin a 5533sin a 165sin a 55
15sin 2a -(33-5cos a )cos a 5-33cos a
∵t '=, ⨯=
165sin 2a 165sin 2a
555
∴令t '=0得：cos a =．当cos a 0；当cos a >时，t '
333333
∵cos a 在α∈(0,
π
2
) 上是减函数，
5
时，t 最小，即游客甲能按计划以最短时间到达Q ． 33
∴当方位角a 满足cos a =
例17. 已知岛A 南偏东30方向，距岛A 20海里的B 处有一缉私艇，一艘走私船正从A 处以30海
里每小时的航速沿正东方向匀速行驶. 假设缉私艇沿直线方向以v 海里每小时的航速匀速行驶，经过t 小时截住该走私船.
（1）为保证缉私艇在30分钟内（含30分钟）截住该走私船，试确定缉私艇航行速度的最小值； （2）是否存在v ，使得缉私艇以v 海里每小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向截住该走私船？若存在，试确定v 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【解】（1）最小速度为10海里每小时；（2）v ∈3, 30
2.6 以米勒问题为载体的三角应用题
例18. 如图，有一壁画，最高点A 处离地面4m ，最低点B 处离地面2m . 若从离地高1. 5m 的C 处观赏它，则离墙多远时，视角θ最大？
例19. 某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H （单位：m ）
，如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．
()
（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H 的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？
类型三：数列应用题
例20. 在金融危机中, 某钢材公司积压了部分圆钢, 经清理知共有2009根. 现将它们堆放在一起. （1）若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根) ，并使剩余的圆钢尽可能地少, 则剩余了多少根圆钢？
（2）若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根), 且不少于七层，
（Ⅰ）共有几种不同的方案?
（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm ，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m ，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？
【解】（1）当纵断面为正三角形时，设共堆放n 层, 则从上到下每层圆钢根数是以1为首项、1为公差的等
n (n +1) ⎧
2009-
差数列，且剩余的圆钢一定小于n 根，从而由⎨且n ∈N 得，当n =62时，使剩余的
⎪n (n +1) ≤2009⎪⎩2
圆钢尽可能地少，此时剩余了56根圆钢；
（2）（Ⅰ）当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n 层, 则从上到下每层圆钢根数是以x 为首项、1为公差的等差数列，从而nx +
1
n (n -1) =2009，即n (2x +n -1) =2⨯2009=2⨯7⨯7⨯41，因n -1与n 的奇偶2
性不同，所以2x +n -1与n 的奇偶性也不同，且n
⎧n =7⎧n =14⎧n =41⎧n =49
或或或，共有4种方案可供选择. ⎨⎨⎨⎨
⎩2x +n -1=574⎩2x +n -1=287⎩2x +n -1=98⎩2x +n -1=82
（Ⅱ）因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知：若n =41，则x =29，说
明最上层有
29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时如图所400 cm，上下底之长为280 cm和680cm ，从而梯形之高为而+10+10
示，两腰之长为
cm ，
若n =49，则x =17，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时如图所示，两腰之长为480 cm，上下底之长为160 cm和640cm ，从而梯形之高为 cm ，显然大于4m ，不合条件，舍去； 综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地.
例21. 某啤酒厂为适应市场需要，2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16000吨，葡萄酒生产量1000吨．该厂计划从2012年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，试问： （1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？
（2）从2011年起（包括2011年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的
2
？（生产总量是指各年年产量之和） 3
【解】设从2011年起，该车第n 年啤酒和葡萄酒年生产量分别为a n 吨和b n 吨，经过n 年后啤酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为A n 吨和B n 吨．
（1）设第n 年啤酒和葡萄酒生产的年生产量为D n 吨，根据题意，得
a n =16000(1-50%)n -1=
则D n =a n +b n =当且仅当
32000n *n -1
500⨯2n ∈N ，=，（）， b =1000(1+100%)n n
2
3200064n n
500(+2) 500⨯2+=≥500⨯=8000， n
n 2264n
=2，即n =3时取等号， n 2
故2013年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低，为8000吨． （2）依题意，
B n 2
≥，得B n ≥2A n ，
A n +B n 3
1
16000[1-() n ]
1000[1-2n ]2n -1=1000(2n -1) ， ∵A n ==32000⋅n ，B n =
11-221-2
2n -1n n 6
∴1000(2-1) ≥32000⋅n ⨯2，∵2-1>0，∴2≥64=2，∴n ≥6．
2
n
答：从第6年起，葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年生产总量与葡萄酒各年生产总量之和的
类型四：线性规划应用题
2． 3
例22. 某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做广告总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不
超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
【解】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，
x +y ≤300⎧⎪
由题意得⎨500x +200y ≤90000，
⎪x ≥0, y ≥0⎩
⎧x +y ≤300⎪
即⎨5x +2y ≤900， ⎪x ≥0, y ≥0⎩
目标函数为z =3000x +2000y ，
作出二元一次不等式所表示的平面区域，即可如图，作直线l :3000x +
行域．
200y =0，即
3x +2y =0．平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数z 取得最大值．联立方程
⎧x +y =300，
解得x =100，y =200．∴点M 的坐标为(100，200) ．⎨
⎩5x +2y =900.
． ∴z max =3000x +2000y =700000（元）
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
类型五：解析几何应用题
例23. 某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”其中AC , BD 是过抛物线焦点F 且互相垂直的两条弦，该抛物线的对称轴为EF ，通径长为4．记∠EFA =α，α为锐角．（通径：经过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦） （1）用α表示AF 的长；
（2）试建立“蝴蝶形图案”的面积S 关于α的
D
函数关系式，并设计α的大小，使“蝴蝶形图案” 的面积最小．
⎫
【解】（1）由抛物线的定义知，AF =AF ⋅cos α+2，解得
⎪．
1-cos α⎝2⎭
（2）据（1）同理可得BF =
22
， =
⎛π⎫1+sin α1-cos +α⎪
⎝2⎭
22
． =
⎛3π⎫1-sin α1-cos +α⎪
⎝2⎭
CF =
21-cos π+α=
2
，DF =
1+cos α
所以“蝴蝶形图案”的面积
4(1-sin αcos α)122122⎛π⎫
α∈， 即S =，S =⋅⋅+⋅⋅ 0, ⎪． 22
sin αcos α21-cos α1+sin α21+cos α1-sin α⎝2⎭
令t =
1π
，则S =4t 2-t , t ∈[2, +∞)，所以当t =2，即α=时，S 的最小值为8．
sin αcos α4
()
答：当α=
π
时，可使“蝴蝶形图案”的面积最小． 4
例24. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？
（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S =
π
4
lh ）
x 2y 2
【解】（1）如图建立直角坐标系，则点P (11,4.5)，椭圆方程为2+2=1.
a b
将b =h =6与点P
坐标代入椭圆方程，得a =
米.
此时l =2a =≈33.3. 因此隧道的拱宽约为33.3x 2y 21124. 521124.522⨯11⨯4.5
（2）由椭圆方程2+2=1，得2+2=1. 因为2+2≥即ab ≥99, 且
a b ab a b a b 99π1124.521≥. 当S 取最小值时，有2=2=
, 得a =b =l =2a , h =b , 所以S =lh =此
422a b 2ππab
时l =2a =≈31.1, h =b ≈
6.4
故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.
例25. 如图所示，有两条道路OM 与ON ，∠MON =60，现要铺设三条下水管道OA ，OB ，AB （其中A ，B 分别在OM ，ON 上），若下水管道的总长度为3km ，设OA =a (km ) ，OB =b (km ) ． （1）求b 关于a 的函数表达式，并指出a 的取值范围； （2）已知点P 处有一个污水总管的接口，点P 到OM 的
N
B b
P
距离PH
为km ，到点O 的距离PO
为km ，问下
44
水管道AB 能否经过污水总管的接口点P ？若能，求出a 的值，若不能，请说明理由．
（2014年高考江苏卷 第18题）
如图, 为了保护河上古桥OA , 规划建一座新桥BC , 同时设立 一个圆形保护区. 规划要求: 新桥BC 与河岸AB 垂直; 保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆. 且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处, 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为
O H A
M
4
河岸), tan ∠BCO =.
3（1）求新桥BC 的长；
（2）当OM 多长时, 圆形保护区的面积最大？ 【解法探究】
（1）解法1：（两角差的正切）连结AC ，由题意知tan ∠ACO =
6
，则由两角差的正切公式可得：17
tan ∠ACB =tan(∠BCO -∠ACO ) =
答：新桥BC 的长度为150m.
2
，故BC =cos ∠ACB ⋅AC =150m 3
解法2：（解析法）由题意可知A (0,60),B (170,0)；由 tan ∠BCO =
44
可知直线BC 的斜率k =-，则33
直线BC 所在直线的方程为y =-
43(x -170) ；又由AB ⊥BC 可知，AB 所在的直线方程为y =x +60；34
4⎧
y =-(x -170) ⎪⎪3联立方程组⎨，解得x =80, y =120； ⎪y =3x +60⎪⎩4
即点B
(80,120)，那么BC =
=150. 答：新桥BC 的长度为150m.
解法3：（初中解法）延长CB 交OA 所在直线于点G ， 由tan ∠BCO =
6808504
可得OG =，CG =，333
5004
，cos ∠CGO =sin ∠GCO =，故 35
400
BG =cos ∠CGO ⋅AG =，在∆OCG 中，由
3850
勾股定理得CG =，故BC =150m
3AG =
答：新桥BC 的长度为150m.
（2）解法1：（解析法） 由题意设M (0,a ) (0≤a ≤60) ，圆M 的方程为x +(y -a ) =r ，且由题意可
2
2
2
680-3a 知r =. 又古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ，那么=
5⎧r -a ≥80680-3a
，解得10≤a ≤35；由函数r =为区间[10,35]上的减函数，故当a =10时，⎨
5⎩r -(60-a ) ≥80
半径取到最大值为130.
综上可知，当OM =10m 时，圆形保护区的面积最大，且最大值为
16900π.
解法2：（初中解法）设BC 与圆切于点N ，连接
MN ，过点A 作AH //BC 交MN 于点H .
设OM =a ，则AM =60-a ，由古桥两端O 和A 到该圆上任意一
⎧r -a ≥80
点的距离均不少于80 m，那么⎨，解得10≤a ≤35.
⎩r -(60-a ) ≥80
由tan ∠AMH =tan ∠OCN =
43
，可得M H =(60-a ) ，由（1）解法3可得AB =100，所
以35
33
MN =100+(60-x ) =-x +136，故MN 即圆的半径的最大值为130，当且仅当a =10时取得半径的
55
最大值. 综上可知，当OM =10m 时，圆形保护区的面积最大.
高考数学应用题归类解析
类型一：函数应用题
1.1 以分式函数为载体的函数应用题
⎧1⎪⎪6-x
例1. 工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x (万件) 间的关系为：p =⎨
⎪2⎪⎩3
数， 且0
次品数
（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝×100%)
产品总数【解】（1）若0
0
（c 为常
x >c
x 3x 9x ) -⋅=3x -， 6-x 26-x 2(6-x )
⎧3(9x -2x 2) 0
232⎪
若x >c ，则y =3(x -x ) -⋅x =0 ， ∴y =⎨2(6-x )
323⎪0x >c ⎩
3(9-4x )(6-x ) -(9x -2x 2)(-1) 3(x -3)(x -9)
) = （2）当0
2(6-x ) 2(6-x ) 2
'
若00，函数在(0, c ]上为增函数，∴x =c , y max
'
3(9c -2c 2)
=
2(6-c )
若3
例2. 近年来，某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元) 与太阳能电池板的面积(单位: 平方米) 成正比, 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费C （单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位:平方米) 之间的函数关系是C (x ) =
k
(x ≥0, k 为常数). 记F 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年
20x +100
共将消耗的电费之和.
（1）试解释C (0)的实际意义, 并建立F 关于x 的函数关系式；
（2）当x 为多少平方米时, F 取得最小值？最小值是多少万元？
【解】（1）C (0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用， 即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费，由C (0)=所以F =15⨯
k
=24, 得k =2400， 100
24001800
+0.5x =+0.5x , x ≥0；
20x +100x +51800
+0.5(x +5) -0.25≥0.25=59.75. （2
）因为F =
x +51800
=0.5(x +5) ，x =55时取等号，所以当x 为55平方米时, F 取得最小值为59.75万元. 当且仅当
x +5
1.2 以分段函数为载体的函数应用题
例3. 在等边∆ABC 中, AB =6cm，长为1cm 的线段DE 两端点D , E 都在边AB 上，且由点A 向点B
FD ⊥AB , 点F 在边AC 或边BC 上；GE ⊥AB , 点G 在边AC 或边BC 运动（运动前点D 与点A 重合），
上，设AD =xcm .
（1）若∆ADF 面积为S 1=f (x ) , 由DE , EG , GF , FD 围成的平面图形面积为S 2=g (x ) ，分别求出函数
f (x ), g (x ) 的表达式；
（2）若四边形DEGF 为矩形时x =x 0，求当x ≥x 0时, 设F (x ) =
f (x )
，求函数F (x ) 的取值范围 . g (x )
2
； 2
解：（1）① 当0
上，FD =x tan60=
，∴f (x ) =
当3
FD =(6-x ) tan600=-
x ) ,
∴f (x ) =(6-
x ) ，∴f (x ) =2
x ,0
② 当0
上，FD =x tan60=，
EG =
x +1) ∴g (x ) =
1=
； 2
当2
, FD =
, EG =
-x ) ∴g (x ) =
当3
, FD =-
x ) , EG =
-x ) ∴g (x ) =+
⎪⎪
+
x 25955
, ∴≤F (x ) ≤ （2）x 0= ① 当≤x ≤3时，F (x ) =
22545x 2-6x x 2-5x +33'
, F (x ) =4>0 ② 当3≤x ≤5时，F (x ) =2
2x -11(2x -11)
⎡5⎤⎡18⎤
∴F (x ) 的取值范围为⎢,5⎥⋃⎢,10⎥
⎣4⎦⎣5⎦
例4. 如图，长方体物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为v （v ＞0）， 雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )，E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行．．．．面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与v -c ×S 成正比，比例系数为1；（2）其他面的淋雨量之和，
133
. 记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d =100，面积S =S=.
222
（1）写出y 的表达式；
其值为
（2）设0＜v ≤10,0＜c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少.
1.3 以二次函数为载体的函数应用题
例5. 轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC 是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E 处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE （抛物线CDE 与抛物线ABC 在同一平面内），D 为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轨
迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x 轴在地面上，助跑道一端点A(0，4) ，另一端点C(3，1) ，点B(2，0) ，单位：米．
（1）求助跑道所在的抛物线方程；
（2）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C 处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4米到6米之间（包括4米和6米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？（注：飞行距离指点C 与点E 的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．）
【解】（1）设助跑道所在的抛物线方程为f (x ) =a 0x 2+b 0x +c 0，
⎧c 0=4,
⎪
依题意： ⎨4a 0+2b 0+c 0=0, 解得，a 0=1，b 0=-4，c 0=4，
⎪9a +3b +c =1,
00⎩0
∴助跑道所在的抛物线方程为f (x ) =x 2-4x +4． （2）设飞行轨迹所在抛物线为g (x ) =ax 2+bx +c （a
⎧f (3)=g (3),⎧9a +3b +c =1, ⎧b =2-6a ,
依题意：⎨得⎨解得⎨
f '(3)=g '(3),6a +b =2, c =9a -5, ⎩⎩⎩
3a -121
) +1-， a a
3a -1213a -112
) =2，∵a
13a -122
当x =时，g (x ) 有最大值为1-，则运动员的飞行距离d =3--3=-，
a a a a 1121
飞行过程中距离平台最大高度h =1--1=-，依题意，4≤-≤6，得2≤-≤3，
a a a a
∴g (x ) =ax +(2-6a ) x +9a -5=a (x -
2
即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2米到3米之间．
例6. 某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产
3x ⎫⎛
业结构，调整出x (x ∈N *) 名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10 a -⎪万元(a
500⎝⎭
＞0) ，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %．
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？
【解】（1）由题意，得10(1000－x )(1＋0.2x %)≥10×1000，即x 2－500x ≤0，又x ＞0，所以0＜x ≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．
3x ⎫⎛
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为10 a -⎪x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为
500⎝⎭3x 21⎫3x ⎫1⎫⎛⎛⎛
10(1000-x ) 1+x ⎪万元，则10 a -x ⎪，所以ax －≤1000＋2x －x －⎪x ≤10(1000-x ) 1+500500⎭⎝500⎭⎝⎝500⎭2x 2122x 1000
＋1000＋x ，即a ≤＋＋1恒成立． x ，所以ax ≤500500500x
因为
2x 10002x 1000
＋≥4，当且仅当＝，即x ＝500时等号成立，所以a ≤5，又 500x
500x
a ＞0，所以0＜a ≤5．所以a 的取值范围为(0，5]．
类型二：三角测量应用题
2.1 以三角函数的定义为载体的三角应用题
例7. 如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮O 1的半径为2r （r 为常数），小飞轮O 2的半径为r ，
O 1O 2=4r . 在大飞轮的边缘上有两个点A ，B ，满足∠BO 1A =
π
3
m ]
，在小飞轮的边缘上有点C ．设大飞
轮逆时针旋转一圈，传动开始时，点B ，C 在水平直线O 1O 2上． （1）求点A 到达最高点时A ，C 间的距离； （2）求点B ，C 在传动过程中高度差的最大值.
【解】（1）以O 1为坐标系的原点，O 1O 2所在直线为x 轴，如图所示建立直角坐标系．当点A 到达最高点时，点A 绕O 1转过
9ππ
) ．
，则点C 绕O 2转过． 此时A （0，2r ），
C (r 263
∴AC =r ．
（2）由题意，设大飞轮转过的角度为θ，则小飞轮转过的角度为2θ，其中θ∈[0,2π]．
此时B （2r cos θ，2r sin θ），C （4r + r cos 2θ，r sin 2θ）． 记点B , C 高度差为d ，则d =|2r sin θ-r sin 2θ|．
即d =2r |sin θ-sin θcos θ|．设f (θ) =sin θ-sin θcos θ，θ∈[0,2π]，则f '(θ) =(1-cos θ)(2cosθ+1) ．
124
令f '(θ) =(1-cos θ)(2cosθ+1) =0，得cos θ=-或1．则θ=π，π，0或2π．
233列表：
． 答：点B ，C 在传动中高度差的最大值d max =
2.2 以三角函数的图象为载体的三角应用题
例8. 如图，摩天轮的半径为40m ，点O 距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速转动，每3min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处.
（1）试确定在时刻t (min)时点P 距离地面的高度；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过70m ？ （3）求证：不论t 为何值，f (t ) +f (t +1) +f (t +2) 是定值.
2.3 以解三角形为载体的三角应用题（例9不含分式结构的解三角形问题；例10和例11含有分式结
构的解三角形问题，方法略有不同）
例9. 在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且
∠ABC =120，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD =60，路宽
，∠ACB =θ（30≤θ≤45）. AD =24米，设灯柱高AB =h （米）（1）求灯柱的高h （用θ表示）；
（2）若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．
C
B
D
π
例10. 如图，将边长为3的正方形ABCD 绕中心O 顺时针旋转α (0＜α＜) 得到正方形A ′B ′C ′D ′．根据
2平面几何知识，有以下两个结论：
①∠A ′FE ＝α；
π②对任意α (0＜α＜，△EAL ，△EA ′F ，△GBF ，
2△GB ′H ，△ICH ，△IC ′J ，△KDJ ，△KD ′L 均是全等三角形．
（1）设A ′E ＝x ，将x 表示为α的函数；
（2）试确定α，使正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 重叠部分面积最小，并求最小面积． 【解】（1）在Rt △EA ′F 中，因为∠A ′FE ＝α，A ′E ＝x ，
x x
所以EF ，A ′F ＝．
sin αtan α由题意AE ＝A ′E ＝x ，BF ＝A ′F ＝
x
tan α
x x
所以AB ＝AE ＋EF ＋BF ＝x ＋＋3．
sin αtan α3sin απ
所以x ＝，α∈(0，)
21＋sin α＋cos α
11x x 23sin αcos α9sin αcos α
（2）S △A ′EF ＝A ′E •A ′F •x •(2•
22tan α2tan α1＋sin α＋cos α2sin α2(1＋sin α＋cos α) t 2－1
令t ＝sin α＋cos α，则sin αcos α＝．
2
πππ3ππ
因为α∈(0，) ，所以α＋∈() ，所以t ＝2sin(α＋) ∈(1，2]．
24444
9(t 2－1) 9292
S △A ′EF ＝)≤(1． (1－4(1＋t ) 4t ＋14＋1
正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 重叠部分面积 S ＝S 正方形A ′B ′C ′D ′－4S △A ′EF ≥9－9 (1－
2
) ＝18(2－1) ． ＋1
π
当t ＝2，即α
4
例11. 如图所示，直立在地面上的两根钢管AB
和CD ，AB
=，CD =，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：
（1）如图（1）设两根钢管相距1m ，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处, 形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？
（2）如图（
2）设两根钢管相距，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处，再将钢丝绳依次固定在D 处、B 处和E 处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？
A
A E
E
B 图1
F
D 图2
【解】（1）设钢丝绳长为y m ，∠CFD =
θ，则
+1
y ==+（其中0
7），y '=
cos cos sin θcos 2θ
当tan θ=BE =43时，y min =8 （2）设钢丝绳长为y m ，∠CFD =
θ，则
y =+(1+cos θ+sin θ)（其中0
θ0，tan θ0==3）„„„
9分
⎝⎭θ+sin θ⎫(
1+sin θ+cos θ)+(cos θ-sin θ) y '=-cos ⎪
sin 2θcos 2θ⎭⎝⎭
令y '=0得sin θ=cos θ，当θ=π时，即BE
=6
3时y min =2„„„12分
)
例12. 海岸线MAN ，∠A =2θ, 现用长为l 的拦网围成一养殖场，其中B ∈MA , C ∈NA ． （1）若BC =l , 求养殖场面积最大值；
（2）若B 、C 为定点，BC
（3）若(2)中B 、C 可选择，求四边形养殖场ACDB 面积的最大值.
【解】（1）设AB =x , AC =y , x >0, y >0. l 2=x 2+y 2-2xy cos 2θ≥2xy -2xy cos 2θ，
l 2l 211l 2l 2cos θ，S =xy sin 2θ≤⋅， xy ≤=⋅2sin θcos θ=22
2-2cos 2θ4sin θ224sin θ4sin θ
l 2cos θ所以，△ABC 面积的最大值为，当且仅当x =y 时取到．
4sin θ
1
（2）设AB =m , AC =n (m ，n 为定值) ． BC =2c (定值) ，由DB +DC =l =2a ，a =l ，知点D 在以B 、
2
1S =mn sin 2θ为定值．C 为焦点的椭圆上，∆ABC 只需∆DBC 面积最大, 需此时点D 到BC 的距离最大, 即
2
1D 必为椭圆短轴顶点．
b ==
S ∆BCD 面积的最大值为⋅2c ⋅b =c
21 因此, 四边形ACDB
面积的最大值为m ⋅n ⋅sin 2θ+c 2（3）先确定点B 、C ，使BC
l 1
. S=2S ∆ACD =2⋅⋅AC ⋅AD ⋅sin θ. 22
⋅⋅
22
l tan
由(1)的同样方法知，AD=AC时，三角形ACD 面积最大，最大值为1l . θ
2
所以，四边形ACDB 面积最大值为
l
2
θ8tan
2
.
2.4 以立体几何为载体的三角应用题
例13. 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
80π
立方米，且l ≥2r ．假设该容器的建造费用仅与其表面3
积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c ＞3) 千元，设该容器的建造费用为y 千元．
（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的r ． 【解】（I ）设容器的容积为V ，
43
V -πr 4380π8044202, 故l =由题意知V =πr l +πr , 又V ==-r =(2-r ) 22
33πr 3r 33r
42022
由于l ≥2r ，因此0
3r
160π2
,0
160π8π(c -2) 320
(r -),0
r r 2c -2
由于c >3, 所以
c -2>0, 当r -
3
20=0时, r =
c -28π(c -2) 22
(r -m )(r +rm +m ). =m , 则m >0，所以y '=2
r 9
时，易得r =m 是函数y 的极小值点，也是最小值点。 29
（2）当m ≥2即3
2
9
所以r=2是函数y 的最小值点，综上所述，当3
2
（1）当0
当c >
例14. 某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O ，半径为R （米）的球形灯泡．该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托EA , EB , EC , ED 所在圆的圆心都是O 、半径都是R （米）、圆弧的圆心角都是θ（弧度）；灯杆EF 垂直于地面，杆顶E 到地面的距离为h （米），且h >R ；灯脚F A 1，FB 1，FC 1，FD 1是正四棱锥F - A 1B 1C 1D 1的四条侧棱，正方形A 1B 1C 1D 1的外接圆半径为R （米）
，
9时，建造费用最小时r = 2
四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为θ（弧度）．已知灯杆、灯脚造价都是每米a （元），灯托造价是每米（元），其中R , h , a 都为常数．设该灯架的总造价为y （元）． （1）求y 关于θ的函数关系式； （2）当θ取何值时，y 取得最小值？
【解】（1）延长EF 与地面交于O 1，由题意：∠A 1FO 1=θ，且
a
3
FO 1=
R R R ， 从而EF =h -，A 1F =， tan θsin θtan θ
a R 4R 4θ4-cos θ
) +ha ，+(h -+) a . y =Ra (+
3sin θ3tan θsin θ4θ4-cos θ
（2）设 f (θ) =， +
3sin θ
(1-2cos θ)(7+2cos θ) π4sin 2θ+3-
12cos θ
令f '(θ)=. .==0∴θ=
3sin 2θ33sin 2θ
πππ
当θ∈(0,) 时，y ' 0， y =4θR
3
32
πR π
设θ∈（θ0, ) ，其中tan θ0=
42h
∴∈（θ0, ) ，∴θ=时，y 最小.
323答：当θ=
πππ
1
π
3
时，灯架造价取得最小值.
例15. 要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面半径相等，都为r 米. 市场上，圆柱侧面用料单价为每平方米a 元，圆锥侧面用料单价分别是圆柱侧面用料单价和圆柱底面用料单价的4倍和2倍. y （元）. （1）写出θ的取值范围；
（2）将y 表示成θ的函数关系式； （3）当θ为何值时，总费用y 最小?
【解】设圆锥的高为h 1米，母线长为l 米, 圆柱的高为h 2米；圆柱的侧面用料单价为每平方米2a 元，圆锥的侧面用料单价为每平方米4a 元.
（1）θ∈(0,).
π
4
（2）圆锥的侧面用料费用为4a πrl , 圆柱的侧面费用为2a πrh 2, 圆柱的地面费用为2a πr 2,
则y =4a πrl +2a πrh 2+2a πr 2 =2a πr (2l +h 2+r ) =2a πr [=2a πr 2[(
2r 2r
+2(r -h 1) +r ], =2a πr [+2(r -r tan θ) +r ] cos θcos θ
2
-tan θ) +3]. cos θ
2π2sin θ-1
（3）设f (θ) =， -tan θ, 其中θ∈(0,). 则f '(θ) =
cos θ4cos 2θ
π2sin θ-1当θ=时，f '(θ) ==0;
6cos 2θπ2sin θ-1ππ2sin θ-1
'当θ∈(0,) 时，f '(θ) =当时，0; 22
6cos θ64cos θ
则当θ=
2.5 以追击问题为载体的三角应用题
例16. 如图，AB 是沿太湖南北方向道路, P 为太湖中观光岛屿, Q 为停车场，PQ =5.2km ．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q , 已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行驶， sin θ=
π
6
时，f (θ) 取得最小值，则当θ=
π
6
时，费用y 最小.
5
．游船13
离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q 与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M 处，然后乘出租汽车到点Q (设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车) ．假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租汽车的速度为66km/h． （1）设sin α=
4
，问小船的速度为多少km/h时，游客甲才能和游船同时到达点Q ； 5
（2）设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q ． 【解】(1) 如图，作PN ⊥AB , N 为垂足．sin θ=在
Rt
54，sin a =，
513
513
(km), 2
△PNQ 中，
PN =PQ s θi n =5⨯. =
QN =PQ cos θ=5.2⨯
12
=4.8(km)． 13
PN 2
==1.5(km) tan a 4
3
在Rt △PNM 中，MN =
设游船从P 到Q 所用时间为t 1h ，游客甲从P 经M 到Q 所用时间为t 2h ，小船的速度为v 1 km/h，则 26
PM MQ 2.53.351PQ 2
+=+=+t 1===(h ), t 2=（h ）．
v 166v 1662v 12013135
由已知得：t 2+∴小船的速度为
5112125
++=，∴v 1=． =t 1，2v 202052031
25
km/h时，游客甲才能和游船同时到达Q ． 3
PN 2PN 2cos a
(km),MN =(km)． ==
sin a sin a tan a sin a
（2）在Rt △PMN 中，PM =∴QM =QN -MN =4.8-
2cos a PM QM 14cos a 133-5cos a 4(km)． ∴t =＝． +=+-⨯+sin a 10665sin a 5533sin a 165sin a 55
15sin 2a -(33-5cos a )cos a 5-33cos a
∵t '=, ⨯=
165sin 2a 165sin 2a
555
∴令t '=0得：cos a =．当cos a 0；当cos a >时，t '
333333
∵cos a 在α∈(0,
π
2
) 上是减函数，
5
时，t 最小，即游客甲能按计划以最短时间到达Q ． 33
∴当方位角a 满足cos a =
例17. 已知岛A 南偏东30方向，距岛A 20海里的B 处有一缉私艇，一艘走私船正从A 处以30海
里每小时的航速沿正东方向匀速行驶. 假设缉私艇沿直线方向以v 海里每小时的航速匀速行驶，经过t 小时截住该走私船.
（1）为保证缉私艇在30分钟内（含30分钟）截住该走私船，试确定缉私艇航行速度的最小值； （2）是否存在v ，使得缉私艇以v 海里每小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向截住该走私船？若存在，试确定v 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【解】（1）最小速度为10海里每小时；（2）v ∈3, 30
2.6 以米勒问题为载体的三角应用题
例18. 如图，有一壁画，最高点A 处离地面4m ，最低点B 处离地面2m . 若从离地高1. 5m 的C 处观赏它，则离墙多远时，视角θ最大？
例19. 某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H （单位：m ）
，如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．
()
（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H 的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？
类型三：数列应用题
例20. 在金融危机中, 某钢材公司积压了部分圆钢, 经清理知共有2009根. 现将它们堆放在一起. （1）若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根) ，并使剩余的圆钢尽可能地少, 则剩余了多少根圆钢？
（2）若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根), 且不少于七层，
（Ⅰ）共有几种不同的方案?
（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm ，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m ，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？
【解】（1）当纵断面为正三角形时，设共堆放n 层, 则从上到下每层圆钢根数是以1为首项、1为公差的等
n (n +1) ⎧
2009-
差数列，且剩余的圆钢一定小于n 根，从而由⎨且n ∈N 得，当n =62时，使剩余的
⎪n (n +1) ≤2009⎪⎩2
圆钢尽可能地少，此时剩余了56根圆钢；
（2）（Ⅰ）当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n 层, 则从上到下每层圆钢根数是以x 为首项、1为公差的等差数列，从而nx +
1
n (n -1) =2009，即n (2x +n -1) =2⨯2009=2⨯7⨯7⨯41，因n -1与n 的奇偶2
性不同，所以2x +n -1与n 的奇偶性也不同，且n
⎧n =7⎧n =14⎧n =41⎧n =49
或或或，共有4种方案可供选择. ⎨⎨⎨⎨
⎩2x +n -1=574⎩2x +n -1=287⎩2x +n -1=98⎩2x +n -1=82
（Ⅱ）因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知：若n =41，则x =29，说
明最上层有
29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时如图所400 cm，上下底之长为280 cm和680cm ，从而梯形之高为而+10+10
示，两腰之长为
cm ，
若n =49，则x =17，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时如图所示，两腰之长为480 cm，上下底之长为160 cm和640cm ，从而梯形之高为 cm ，显然大于4m ，不合条件，舍去； 综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地.
例21. 某啤酒厂为适应市场需要，2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16000吨，葡萄酒生产量1000吨．该厂计划从2012年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，试问： （1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？
（2）从2011年起（包括2011年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的
2
？（生产总量是指各年年产量之和） 3
【解】设从2011年起，该车第n 年啤酒和葡萄酒年生产量分别为a n 吨和b n 吨，经过n 年后啤酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为A n 吨和B n 吨．
（1）设第n 年啤酒和葡萄酒生产的年生产量为D n 吨，根据题意，得
a n =16000(1-50%)n -1=
则D n =a n +b n =当且仅当
32000n *n -1
500⨯2n ∈N ，=，（）， b =1000(1+100%)n n
2
3200064n n
500(+2) 500⨯2+=≥500⨯=8000， n
n 2264n
=2，即n =3时取等号， n 2
故2013年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低，为8000吨． （2）依题意，
B n 2
≥，得B n ≥2A n ，
A n +B n 3
1
16000[1-() n ]
1000[1-2n ]2n -1=1000(2n -1) ， ∵A n ==32000⋅n ，B n =
11-221-2
2n -1n n 6
∴1000(2-1) ≥32000⋅n ⨯2，∵2-1>0，∴2≥64=2，∴n ≥6．
2
n
答：从第6年起，葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年生产总量与葡萄酒各年生产总量之和的
类型四：线性规划应用题
2． 3
例22. 某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做广告总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不
超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
【解】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，
x +y ≤300⎧⎪
由题意得⎨500x +200y ≤90000，
⎪x ≥0, y ≥0⎩
⎧x +y ≤300⎪
即⎨5x +2y ≤900， ⎪x ≥0, y ≥0⎩
目标函数为z =3000x +2000y ，
作出二元一次不等式所表示的平面区域，即可如图，作直线l :3000x +
行域．
200y =0，即
3x +2y =0．平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数z 取得最大值．联立方程
⎧x +y =300，
解得x =100，y =200．∴点M 的坐标为(100，200) ．⎨
⎩5x +2y =900.
． ∴z max =3000x +2000y =700000（元）
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
类型五：解析几何应用题
例23. 某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”其中AC , BD 是过抛物线焦点F 且互相垂直的两条弦，该抛物线的对称轴为EF ，通径长为4．记∠EFA =α，α为锐角．（通径：经过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦） （1）用α表示AF 的长；
（2）试建立“蝴蝶形图案”的面积S 关于α的
D
函数关系式，并设计α的大小，使“蝴蝶形图案” 的面积最小．
⎫
【解】（1）由抛物线的定义知，AF =AF ⋅cos α+2，解得
⎪．
1-cos α⎝2⎭
（2）据（1）同理可得BF =
22
， =
⎛π⎫1+sin α1-cos +α⎪
⎝2⎭
22
． =
⎛3π⎫1-sin α1-cos +α⎪
⎝2⎭
CF =
21-cos π+α=
2
，DF =
1+cos α
所以“蝴蝶形图案”的面积
4(1-sin αcos α)122122⎛π⎫
α∈， 即S =，S =⋅⋅+⋅⋅ 0, ⎪． 22
sin αcos α21-cos α1+sin α21+cos α1-sin α⎝2⎭
令t =
1π
，则S =4t 2-t , t ∈[2, +∞)，所以当t =2，即α=时，S 的最小值为8．
sin αcos α4
()
答：当α=
π
时，可使“蝴蝶形图案”的面积最小． 4
例24. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？
（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S =
π
4
lh ）
x 2y 2
【解】（1）如图建立直角坐标系，则点P (11,4.5)，椭圆方程为2+2=1.
a b
将b =h =6与点P
坐标代入椭圆方程，得a =
米.
此时l =2a =≈33.3. 因此隧道的拱宽约为33.3x 2y 21124. 521124.522⨯11⨯4.5
（2）由椭圆方程2+2=1，得2+2=1. 因为2+2≥即ab ≥99, 且
a b ab a b a b 99π1124.521≥. 当S 取最小值时，有2=2=
, 得a =b =l =2a , h =b , 所以S =lh =此
422a b 2ππab
时l =2a =≈31.1, h =b ≈
6.4
故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.
例25. 如图所示，有两条道路OM 与ON ，∠MON =60，现要铺设三条下水管道OA ，OB ，AB （其中A ，B 分别在OM ，ON 上），若下水管道的总长度为3km ，设OA =a (km ) ，OB =b (km ) ． （1）求b 关于a 的函数表达式，并指出a 的取值范围； （2）已知点P 处有一个污水总管的接口，点P 到OM 的
N
B b
P
距离PH
为km ，到点O 的距离PO
为km ，问下
44
水管道AB 能否经过污水总管的接口点P ？若能，求出a 的值，若不能，请说明理由．
（2014年高考江苏卷 第18题）
如图, 为了保护河上古桥OA , 规划建一座新桥BC , 同时设立 一个圆形保护区. 规划要求: 新桥BC 与河岸AB 垂直; 保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆. 且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处, 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为
O H A
M
4
河岸), tan ∠BCO =.
3（1）求新桥BC 的长；
（2）当OM 多长时, 圆形保护区的面积最大？ 【解法探究】
（1）解法1：（两角差的正切）连结AC ，由题意知tan ∠ACO =
6
，则由两角差的正切公式可得：17
tan ∠ACB =tan(∠BCO -∠ACO ) =
答：新桥BC 的长度为150m.
2
，故BC =cos ∠ACB ⋅AC =150m 3
解法2：（解析法）由题意可知A (0,60),B (170,0)；由 tan ∠BCO =
44
可知直线BC 的斜率k =-，则33
直线BC 所在直线的方程为y =-
43(x -170) ；又由AB ⊥BC 可知，AB 所在的直线方程为y =x +60；34
4⎧
y =-(x -170) ⎪⎪3联立方程组⎨，解得x =80, y =120； ⎪y =3x +60⎪⎩4
即点B
(80,120)，那么BC =
=150. 答：新桥BC 的长度为150m.
解法3：（初中解法）延长CB 交OA 所在直线于点G ， 由tan ∠BCO =
6808504
可得OG =，CG =，333
5004
，cos ∠CGO =sin ∠GCO =，故 35
400
BG =cos ∠CGO ⋅AG =，在∆OCG 中，由
3850
勾股定理得CG =，故BC =150m
3AG =
答：新桥BC 的长度为150m.
（2）解法1：（解析法） 由题意设M (0,a ) (0≤a ≤60) ，圆M 的方程为x +(y -a ) =r ，且由题意可
2
2
2
680-3a 知r =. 又古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ，那么=
5⎧r -a ≥80680-3a
，解得10≤a ≤35；由函数r =为区间[10,35]上的减函数，故当a =10时，⎨
5⎩r -(60-a ) ≥80
半径取到最大值为130.
综上可知，当OM =10m 时，圆形保护区的面积最大，且最大值为
16900π.
解法2：（初中解法）设BC 与圆切于点N ，连接
MN ，过点A 作AH //BC 交MN 于点H .
设OM =a ，则AM =60-a ，由古桥两端O 和A 到该圆上任意一
⎧r -a ≥80
点的距离均不少于80 m，那么⎨，解得10≤a ≤35.
⎩r -(60-a ) ≥80
由tan ∠AMH =tan ∠OCN =
43
，可得M H =(60-a ) ，由（1）解法3可得AB =100，所
以35
33
MN =100+(60-x ) =-x +136，故MN 即圆的半径的最大值为130，当且仅当a =10时取得半径的
55
最大值. 综上可知，当OM =10m 时，圆形保护区的面积最大.