特殊四边形的性质和判定定理

例1 如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点，AM⊥EF，垂足为M，若AM=AB，求证：EF=BE+CF

例2 已知：如图，正方形ABCD中，延长AD到E，使DE=AD，再延长DE到F，使DF=BD，连接BF交CD于Q，交CE于P。求证PD=PQ

例3 如图，在◇ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，求∠AED

例4 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，以AC、AD为边作◇ACED，DC的延长线交BE于F，求证：EF=FB

证明如图所示，连接AE交DC于O.

∵四边形ACED是平行四边形． ∴O是AE的中点． ∵在梯形ABCD中， DC∥AB，在△EAB中， OF∥AB，

又∵O是AE的中点， ∴F是EB的中点， ∴EF＝BF.

例5 如图，以△ABC的AB、AC为边向形外做正方形ABDE和正方形ACFG，AM是△ABC的中线，连接EG。求证EG=2AM

延长BA至点H ,使得BA=AH

对三角形EAG和三角形HAC,因为EA=AH,AG=AC ,角EAG=90+角HAG=角HAC,所以两三角形全等,得EG=CH

又因为M是BC的中点,所以AM是三角形HBC的中位线,得CH=2*AM 所以得AM=二分之一EG

多边形

一、选择题

1. （安徽）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（） A．7 B．9 C．10 D．

题图

2. （山东威海）在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF＝（）

A．1：2

B．1：3

C．2：3

D．2：5

3. （江苏泰州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 4. （重庆市潼南）如图，在平行四边形 ABCD中(AB≠BC)，直线EF 经过其对角线的交点O,且分别交AD、BC于点M、 N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论： ①AO=BO；②OE=OF； ③△EAM∽△EBN； ④△EAO≌△CNO，其中正确的是

A. ①② B. ②③ C. ②④ D.③④ 5. （广东东莞,）正八边形的每个内角为（）

A．120°

B．135°

C．140°

D．144°

6. （浙江省，8，3分）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°, ∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC，DE上分别找一点M,N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）

A. 100° B．110° C. 120° D. 130°

多边形

一、选择题

1. （安徽）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）

A．7 B．9 C．10 D．

B 9

题图

2. （山东威海）在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF＝（）

A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

4. （重庆市潼南）如图，在平行四边形 ABCD中(AB≠BC)，直线EF

经过其对角线的交点O,且分别交AD、BC于点M、

N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：

①AO=BO；②OE=OF； ③△EAM∽△EBN；

④△EAO≌△CNO，其中正确的是

A. ①② B. ②③ C. ②④ D.③④

5. （广东东莞,）正八边形的每个内角为（）

A．120° B．135° C．140° D．144°

A. 100° B．110° C. 120° D. 130°

7. （浙江省舟山）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）

（A）48cm

（C）24cm （B）36cm （D）

18cm

⑤ HF

C（第10题）

8. （山东德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n个图形的周长是

……

图1

n图2

n图3

n1 （A）2 （B）4 （C）2 （D）2n2

9. （山东泰安）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为

A.17 B.17 C.18 D.19

10. （浙江杭州）在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE(点E，F分别在线段AB，CD上)，

记它们的面积分别为SABCD和SBFDE．现给出下列命题：（）

①若

则:

A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 SABCD，则tanEDF．②若DE2BDEF,则DF2AD． 

SBFDE

C．①是假命题，②是真命题 D，①是假命题，②是假命题

11. （浙江温州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC＝16，则图中长度为8的线段有( )

A．2条 B．4条 A 3 C．5条 1 D DA．6

条2 1 D第10题图 BC（第12题图）

12. （山东聊城，7，3分）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4∶3，则这个

菱形的面积是（）

A．12cm2 B． 24cm2 C． 48cm2 D． 96cm2

13. （重庆江津， 10，4分）如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2……,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的有( )

①四边形A2B2C2D2是矩形; ②四边形A4B4C4D4是菱形;

③四边形A5B5C5D5的周长abab; ④四边形AnBnCnDn的面积是n1 42

A.①② B.②③ C.②③④ D.①②③④

14. （四川乐山9，3分）如图（5），在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE交BF于点H，CG∥AE交BF于点G。下列结论：①tan∠HBE=cot∠HEB ②

BC2BGCGBFBCCF ③BH=FG .其中正确的序号是 2CFGF

A．①②③ B．②③④ C． ①③④ D．①②④

15. （湖北襄阳，10，3分）顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边

形ABCD一定是

A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形 C.矩形 D.对角线相等的四边形

16. （山东滨州，12，3分）如图,在一张△ABC纸片中, ∠C=90°, ∠B=60°,DE是中位线,现把纸片沿中位线DE剪开,计划拼出以下四个图形:①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有一个角为锐角的菱形;④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为( )

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题

17. （浙江金华，15，4分）如图，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是

18. （山东聊城，14，3分）如图，在□ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝3cm，则AD的长是__________cm．

19. （山东临沂，18，3分）如图，□ ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连结

CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为

20. （四川广安，16，3分）若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是____

21. （山东德州16,4分）长为1，宽为a的矩形纸片（1a1），如图那样折一下，剪2

下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为________．

A D

第一次操作

第二次操作

B 第5题图 C

22. （湖北鄂州，5，3分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形

的周长之和为_______．

23. （山东烟台，17,4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .

24. （江苏泰州，18，3分）如图，平面内4条直线L1、L2、L3、L4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点Ａ、Ｃ分别在直线L1和L4上，该正方形的面积是平

方单位．

25. （山东潍坊，16，3分）已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.

取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EF⊥CD，垂足为F点.若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，则AE的长为_________.

26．（山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM= 时，四边形ABCN的面积最大．

27. （湖北孝感，16，3分）已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是 .

28. （江苏连云港，16，3分）一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，则这个等腰梯形的对角线长为_______.

29. （江苏宿迁,15,3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BDC的

平分线的交点E恰在AB上．若AD＝7cm，BC＝8cm，则AB的长度是 ▲ cm．

B图4

⑴ ⑵ ⑶

30. （山东临沂，19，3分）如图，上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形，则

在第10个这样的图形中，共有个等腰梯形．

31. （湖北襄阳，17，3分）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是

BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运动时，点Q也随之停止运动.当运动时间t＝秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形.

32. （浙江义乌）如图，已知E、F是□ABCD对角线AC上的两点，

且BE⊥AC，DF⊥AC.

E D

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等

三角形（不再添加辅助线）．

33. （安徽芜）如图，在梯形ABCD中，DC‖AB，AD=BC, BD平分ABC,A60.过点D作DEAB，过点C作CFBD，垂足分别为E、F，连接EF，求证：△DEF为等边三角形.

34. （四川南充市）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M是BC的中点。

（1）求证：⊿MDC是等边三角形；

（2）将⊿MDC绕点M旋转，当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC即MC′)同时与AD交于一点F时，点E,F和点A构成⊿AEF.试探究⊿AEF的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出⊿AEF周长的最小值.

DC'BMC

35. （浙江杭州)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，对角线

AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为点E，F．

(1)求证：△FOE≌ △DOC；

(2)求sin∠OEF的值；

(3)若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求ABCD的值．

36. （湖南益阳，21，12分）图10是小红设计的钻石形商标，△ABC是边长为2的等边三

角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1．

（1）证明：△ABE≌△CBD；

（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；

（3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论；

（4）求线段BD的长．

E D

A M N C

图10

37. （山东枣庄）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，ABAD6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．

（1）证明：EFCF；

（2）当tanADE

1时，求EF的长． 3D

38. （四川成都）如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点.

(1)若BK=5CDKC，求的值； 2AB

1AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间2

1有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=AD (n2)，而其余n (2)连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=

条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．

例1 如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点，AM⊥EF，垂足为M，若AM=AB，求证：EF=BE+CF

例2 已知：如图，正方形ABCD中，延长AD到E，使DE=AD，再延长DE到F，使DF=BD，连接BF交CD于Q，交CE于P。求证PD=PQ

例3 如图，在◇ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，求∠AED

例4 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，以AC、AD为边作◇ACED，DC的延长线交BE于F，求证：EF=FB

证明如图所示，连接AE交DC于O.

∵四边形ACED是平行四边形． ∴O是AE的中点． ∵在梯形ABCD中， DC∥AB，在△EAB中， OF∥AB，

又∵O是AE的中点， ∴F是EB的中点， ∴EF＝BF.

例5 如图，以△ABC的AB、AC为边向形外做正方形ABDE和正方形ACFG，AM是△ABC的中线，连接EG。求证EG=2AM

延长BA至点H ,使得BA=AH

对三角形EAG和三角形HAC,因为EA=AH,AG=AC ,角EAG=90+角HAG=角HAC,所以两三角形全等,得EG=CH

又因为M是BC的中点,所以AM是三角形HBC的中位线,得CH=2*AM 所以得AM=二分之一EG

多边形

一、选择题

1. （安徽）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（） A．7 B．9 C．10 D．

题图

2. （山东威海）在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF＝（）

A．1：2

B．1：3

C．2：3

D．2：5

A. ①② B. ②③ C. ②④ D.③④ 5. （广东东莞,）正八边形的每个内角为（）

A．120°

B．135°

C．140°

D．144°

A. 100° B．110° C. 120° D. 130°

多边形

一、选择题

1. （安徽）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）

A．7 B．9 C．10 D．

B 9

题图

2. （山东威海）在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF＝（）

A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

4. （重庆市潼南）如图，在平行四边形 ABCD中(AB≠BC)，直线EF

经过其对角线的交点O,且分别交AD、BC于点M、

N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：

①AO=BO；②OE=OF； ③△EAM∽△EBN；

④△EAO≌△CNO，其中正确的是

A. ①② B. ②③ C. ②④ D.③④

5. （广东东莞,）正八边形的每个内角为（）

A．120° B．135° C．140° D．144°

A. 100° B．110° C. 120° D. 130°

（A）48cm

（C）24cm （B）36cm （D）

18cm

⑤ HF

C（第10题）

……

图1

n图2

n图3

n1 （A）2 （B）4 （C）2 （D）2n2

9. （山东泰安）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为

A.17 B.17 C.18 D.19

10. （浙江杭州）在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE(点E，F分别在线段AB，CD上)，

记它们的面积分别为SABCD和SBFDE．现给出下列命题：（）

①若

则:

A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 SABCD，则tanEDF．②若DE2BDEF,则DF2AD． 

SBFDE

C．①是假命题，②是真命题 D，①是假命题，②是假命题

11. （浙江温州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC＝16，则图中长度为8的线段有( )

A．2条 B．4条 A 3 C．5条 1 D DA．6

条2 1 D第10题图 BC（第12题图）

12. （山东聊城，7，3分）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4∶3，则这个

菱形的面积是（）

A．12cm2 B． 24cm2 C． 48cm2 D． 96cm2

①四边形A2B2C2D2是矩形; ②四边形A4B4C4D4是菱形;

③四边形A5B5C5D5的周长abab; ④四边形AnBnCnDn的面积是n1 42

A.①② B.②③ C.②③④ D.①②③④

14. （四川乐山9，3分）如图（5），在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE交BF于点H，CG∥AE交BF于点G。下列结论：①tan∠HBE=cot∠HEB ②

BC2BGCGBFBCCF ③BH=FG .其中正确的序号是 2CFGF

A．①②③ B．②③④ C． ①③④ D．①②④

15. （湖北襄阳，10，3分）顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边

形ABCD一定是

A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形 C.矩形 D.对角线相等的四边形

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题

17. （浙江金华，15，4分）如图，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是

18. （山东聊城，14，3分）如图，在□ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝3cm，则AD的长是__________cm．

19. （山东临沂，18，3分）如图，□ ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连结

CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为

20. （四川广安，16，3分）若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是____

21. （山东德州16,4分）长为1，宽为a的矩形纸片（1a1），如图那样折一下，剪2

A D

第一次操作

第二次操作

B 第5题图 C

22. （湖北鄂州，5，3分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形

的周长之和为_______．

23. （山东烟台，17,4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .

方单位．

25. （山东潍坊，16，3分）已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.

取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EF⊥CD，垂足为F点.若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，则AE的长为_________.

26．（山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM= 时，四边形ABCN的面积最大．

27. （湖北孝感，16，3分）已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是 .

28. （江苏连云港，16，3分）一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，则这个等腰梯形的对角线长为_______.

29. （江苏宿迁,15,3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BDC的

平分线的交点E恰在AB上．若AD＝7cm，BC＝8cm，则AB的长度是 ▲ cm．

B图4

⑴ ⑵ ⑶

30. （山东临沂，19，3分）如图，上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形，则

在第10个这样的图形中，共有个等腰梯形．

31. （湖北襄阳，17，3分）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是

32. （浙江义乌）如图，已知E、F是□ABCD对角线AC上的两点，

且BE⊥AC，DF⊥AC.

E D

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等

三角形（不再添加辅助线）．

33. （安徽芜）如图，在梯形ABCD中，DC‖AB，AD=BC, BD平分ABC,A60.过点D作DEAB，过点C作CFBD，垂足分别为E、F，连接EF，求证：△DEF为等边三角形.

34. （四川南充市）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M是BC的中点。

（1）求证：⊿MDC是等边三角形；

DC'BMC

35. （浙江杭州)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，对角线

AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为点E，F．

(1)求证：△FOE≌ △DOC；

(2)求sin∠OEF的值；

(3)若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求ABCD的值．

36. （湖南益阳，21，12分）图10是小红设计的钻石形商标，△ABC是边长为2的等边三

角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1．

（1）证明：△ABE≌△CBD；

（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；

（3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论；

（4）求线段BD的长．

E D

A M N C

图10

37. （山东枣庄）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，ABAD6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．

（1）证明：EFCF；

（2）当tanADE

1时，求EF的长． 3D

38. （四川成都）如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点.

(1)若BK=5CDKC，求的值； 2AB

1AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间2

1有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=AD (n2)，而其余n (2)连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=

条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．

特殊四边形的性质和判定定理

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