选修4-5[不等式选讲]知识点

高中数学 选修4--5知识点 ①（对称性）ba

②（传递性）ab,bcac

③（可加性）abacbc

（同向可加性）ab,cdacbd

（异向可减性）ab,cdacbd

④（可积性）ab,c0acbc

ab,c0acbc

⑤（同向正数可乘性）ab0,cd0acbd （异向正数可除性）ab0,0cda

cb

d

⑥（平方法则）ab0anbn(nN,且n1)

⑦（开方法则）ab0nN,且n1) ⑧（倒数法则）ab01

a1

b;ab011

ab 2b22aba，bR,（当且仅当ab时取""号）. aba2

①ab2

2.

②（基本不等式）

ab2a，bR,（当且仅当ab时取到等号）.

2

abab

2.

用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

③（三个正数的算术—几何平均不等式）abc3(a、b、cR)（当且仅当abc时取到等号）.

④a2b2c2abbccaa，bR

（当且仅当abc时取到等号）.

⑤a3b3c33abc(a0,b0,c0)

（当且仅当abc时取到等号）.

⑥若ab0,则baa

b2（当仅当a=b时取等号）

若ab0,则b

aab2（当仅当a=b时取等号）

⑦b

abm

am1an

bna

b，（其中ab0，m0，n0)

规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.

⑧当a0xax2a2xa或xa;

xax2a2axa. ⑨绝对值三角不等式ababab.

2ab①平均不等式：

a1b12（a,bR，当且仅当ab时取""号）.

（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.

变形公式：

222

ababab(ab)2

22; a2b22. ②幂平均不等式：

a22

1a2...a2

n1

n(a1a2...an)2.

③二维形式的三角不等式：

(x1,y1,x2,y2R).

④二维形式的柯西不等式：

(a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR).当且仅当adbc时，等号成立.

⑤三维形式的柯西不等式：

(a22

1a2a2

3)(b2

1b2

2b2

3)(a1b1a2b2a3b3)2.

⑥一般形式的柯西不等式：

(a2

1a2

2...a2

n)(b2

1b2

2...b2

n)(a1b1a2b2...anbn)2.

⑦向量形式的柯西不等式：

设,是两个向量，则,当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立. ⑧排序不等式（排序原理）：

设a1a2...an,b1b2...bn为两组实数.c1,c2,...,cn是b1,b2,...,bn的任一排列，则

a1bna2bn1...anb1a1c1a2c2...ancna1b1a2b2...anbn.（反序和乱序和顺序和），当且仅当a1a2...an或b1b2...bn时，反序和等于顺序和.

⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有

f(x1x2f(x1)f(x1x2f(x1)f(x2)则称f(x)为凸（或凹）函数. 2)2)

2或f(x

2)2.

4 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；

其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.

常见不等式的放缩方法：

①舍去或加上一些项，如(a1)23

24(a1

2)2;

②将分子或分母放大（缩小）， 如11

k2k(k1), 1

k21k(k

1),

kN*,k1)等.

5求一元二次不等式ax2bxc0(或0)

(a0,b24ac0)解集的步骤：

一化：化二次项前的系数为正数.

二判：判断对应方程的根.

三求：求对应方程的根.

四画：画出对应函数的图象.

五解集：根据图象写出不等式的解集.

6、高次不等式的解法：穿根法. ，结合原式不等号的方向，写出不等式的解集. 7

f(x)

g(x)0f(x)g(x)0

f(x) （“或”时同理） g(x)0f(x)g(x)0

g(x)0

8

a(a0)f(x)0

f(x)a2

a(a0)f(x)0

f(x)a2

f(x

g(x))0

g(x)0或f(x)0



f(x)[g(x)]2g(x)0

f(x)

g(x)0

g(x)0

f(x)[g(x)]2

f(x)

0

g(x)0 f(x)g(x)

9、指数不等式的解法：

⑴当a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x)

⑵当0a1时, af(x)ag(x)f(x)g(x) 规律：根据指数函数的性质转化.

10f(x)0

⑴当a1时, log

af(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)

f(x)0

⑵当0a1时, log

af(x)logag(x)g(x)0. f(x)g(x)

11⑴定义法：aa(a0)

a(a0). ⑵平方法：f(x)g(x)f2(x)g2(x). ⑶同解变形法，其同解定理有：

①xaaxa(a0);

②xaxa或xa(a0);

③f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)

④f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0) 12 规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.

13解形如ax2bxc0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：

⑴讨论a与0的大小；

⑵讨论与0的大小；

⑶讨论两根的大小.

14⑴不等式axbxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

①当a0时 b0,c0; 2

②当a0时

2a0 0.⑵不等式axbxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

①当a0时b0,c0;

②当a0时a0 0.

⑶f(x)a恒成立f(x)maxa;

f(x)a恒成立f(x)maxa;

⑷f(x)a恒成立f(x)mina;

f(x)a恒成立f(x)mina.

15⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：

法一：取点定域法：

由于直线AxByC0的同一侧的所有点的坐标代入AxByC后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点(x0,y0)（如原点），由Ax0By0C的正负即可判断出AxByC0(或0)表示直线哪一侧的平面区域.

即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.

法二：根据AxByC0(或0)，观察B的符号与不等式开口的符号，若同号，AxByC0(或0)表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.

⑵二元一次不等式组所表示的平面区域： 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

⑶利用线性规划求目标函数zAxBy(A,B为常数）的最值：

法一：角点法：

如果目标函数zAxBy （x、y即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区

域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值

法二：画——移——定——求：

第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线l0:AxBy0 ，平移直线l0（据可行域，将直线l0平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(x,y)；第四步，将最优解(x,y)代入目标函数zAxBy即可求出最大值或最小值 .

第二步中最优解的确定方法：

利用z的几何意义：yAzzx,为直线的纵截距. BBB

①若B0,则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值；

②若B0,则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值. ①“截距”型：zAxBy; ②“斜率”型：zyyb; 或zxxa

22③“距离”型：zx

y或z

z(xa)2(y

b)2或z

在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.

高中数学 选修4--5知识点 ①（对称性）ba

②（传递性）ab,bcac

③（可加性）abacbc

（同向可加性）ab,cdacbd

（异向可减性）ab,cdacbd

④（可积性）ab,c0acbc

ab,c0acbc

⑤（同向正数可乘性）ab0,cd0acbd （异向正数可除性）ab0,0cda

cb

d

⑥（平方法则）ab0anbn(nN,且n1)

⑦（开方法则）ab0nN,且n1) ⑧（倒数法则）ab01

a1

b;ab011

ab 2b22aba，bR,（当且仅当ab时取""号）. aba2

①ab2

2.

②（基本不等式）

ab2a，bR,（当且仅当ab时取到等号）.

2

abab

2.

用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

③（三个正数的算术—几何平均不等式）abc3(a、b、cR)（当且仅当abc时取到等号）.

④a2b2c2abbccaa，bR

（当且仅当abc时取到等号）.

⑤a3b3c33abc(a0,b0,c0)

（当且仅当abc时取到等号）.

⑥若ab0,则baa

b2（当仅当a=b时取等号）

若ab0,则b

aab2（当仅当a=b时取等号）

⑦b

abm

am1an

bna

b，（其中ab0，m0，n0)

规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.

⑧当a0xax2a2xa或xa;

xax2a2axa. ⑨绝对值三角不等式ababab.

2ab①平均不等式：

a1b12（a,bR，当且仅当ab时取""号）.

（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.

变形公式：

222

ababab(ab)2

22; a2b22. ②幂平均不等式：

a22

1a2...a2

n1

n(a1a2...an)2.

③二维形式的三角不等式：

(x1,y1,x2,y2R).

④二维形式的柯西不等式：

(a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR).当且仅当adbc时，等号成立.

⑤三维形式的柯西不等式：

(a22

1a2a2

3)(b2

1b2

2b2

3)(a1b1a2b2a3b3)2.

⑥一般形式的柯西不等式：

(a2

1a2

2...a2

n)(b2

1b2

2...b2

n)(a1b1a2b2...anbn)2.

⑦向量形式的柯西不等式：

设,是两个向量，则,当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立. ⑧排序不等式（排序原理）：

设a1a2...an,b1b2...bn为两组实数.c1,c2,...,cn是b1,b2,...,bn的任一排列，则

a1bna2bn1...anb1a1c1a2c2...ancna1b1a2b2...anbn.（反序和乱序和顺序和），当且仅当a1a2...an或b1b2...bn时，反序和等于顺序和.

⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有

f(x1x2f(x1)f(x1x2f(x1)f(x2)则称f(x)为凸（或凹）函数. 2)2)

2或f(x

2)2.

4 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；

其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.

常见不等式的放缩方法：

①舍去或加上一些项，如(a1)23

24(a1

2)2;

②将分子或分母放大（缩小）， 如11

k2k(k1), 1

k21k(k

1),

kN*,k1)等.

5求一元二次不等式ax2bxc0(或0)

(a0,b24ac0)解集的步骤：

一化：化二次项前的系数为正数.

二判：判断对应方程的根.

三求：求对应方程的根.

四画：画出对应函数的图象.

五解集：根据图象写出不等式的解集.

6、高次不等式的解法：穿根法. ，结合原式不等号的方向，写出不等式的解集. 7

f(x)

g(x)0f(x)g(x)0

f(x) （“或”时同理） g(x)0f(x)g(x)0

g(x)0

8

a(a0)f(x)0

f(x)a2

a(a0)f(x)0

f(x)a2

f(x

g(x))0

g(x)0或f(x)0



f(x)[g(x)]2g(x)0

f(x)

g(x)0

g(x)0

f(x)[g(x)]2

f(x)

0

g(x)0 f(x)g(x)

9、指数不等式的解法：

⑴当a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x)

⑵当0a1时, af(x)ag(x)f(x)g(x) 规律：根据指数函数的性质转化.

10f(x)0

⑴当a1时, log

af(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)

f(x)0

⑵当0a1时, log

af(x)logag(x)g(x)0. f(x)g(x)

11⑴定义法：aa(a0)

a(a0). ⑵平方法：f(x)g(x)f2(x)g2(x). ⑶同解变形法，其同解定理有：

①xaaxa(a0);

②xaxa或xa(a0);

③f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)

④f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0) 12 规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.

13解形如ax2bxc0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：

⑴讨论a与0的大小；

⑵讨论与0的大小；

⑶讨论两根的大小.

14⑴不等式axbxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

①当a0时 b0,c0; 2

②当a0时

2a0 0.⑵不等式axbxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

①当a0时b0,c0;

②当a0时a0 0.

⑶f(x)a恒成立f(x)maxa;

f(x)a恒成立f(x)maxa;

⑷f(x)a恒成立f(x)mina;

f(x)a恒成立f(x)mina.

15⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：

法一：取点定域法：

由于直线AxByC0的同一侧的所有点的坐标代入AxByC后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点(x0,y0)（如原点），由Ax0By0C的正负即可判断出AxByC0(或0)表示直线哪一侧的平面区域.

即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.

法二：根据AxByC0(或0)，观察B的符号与不等式开口的符号，若同号，AxByC0(或0)表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.

⑵二元一次不等式组所表示的平面区域： 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

⑶利用线性规划求目标函数zAxBy(A,B为常数）的最值：

法一：角点法：

如果目标函数zAxBy （x、y即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区

域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值

法二：画——移——定——求：

第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线l0:AxBy0 ，平移直线l0（据可行域，将直线l0平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(x,y)；第四步，将最优解(x,y)代入目标函数zAxBy即可求出最大值或最小值 .

第二步中最优解的确定方法：

利用z的几何意义：yAzzx,为直线的纵截距. BBB

①若B0,则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值；

②若B0,则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值. ①“截距”型：zAxBy; ②“斜率”型：zyyb; 或zxxa

22③“距离”型：zx

y或z

z(xa)2(y

b)2或z

在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.