习题十八 第一型曲线积分
一、填空题
1、 设曲线L 是由L 1:x =0(0≤y ≤1), L 2:y =0(0≤x ≤1), L 3:x +y =1(0≤x ≤1) 所围成的平面图形的边界，函数f (x , y ) 在上连续，则将计算时，
⎰
L
f (x , y ) ds 化为定积分
⎰
⎰
⎰L 1
f (x , y ) ds =⎰f (0, y ) dy ，
f (x , y ) ds =⎰f (x , 0) dx ，
01
1
L 2
L 3
f (x , y ) ds = f (x , y ) ds =
⎰
1
1
f (x , 1-x ) 2dx ，
1
1
L
⎰
f (0, y ) dy +⎰f (x , 0) dx +⎰f (x , 1-x ) 2dx
。
2、 设曲线L 的方程为y =-x 2，函数f (x , y ) 在L 上连续，现将曲线积分
⎰
L
f (x , y ) ds 化为定积分进行计算，则当取x 为参数时，
⎰
L
f (x , y ) ds =
⎰
1
-1
f (x , -x 2)
dx -x
2
，而当取y 为参数时，
⎰
L
f (x , y ) ds =
22
⎰[f (--y , y ) +f (-y , y )]0
1
dy -y
2
3、设曲线L 的方程为y =4-x 2（0≤x ≤2) ，则曲线L 以极角为参数的参数方程
⎧x =2cos t , π
，用极坐标计算弧长的曲线积分时，0≤t ≤⎨
y =2sin t , 2⎩
π
⎰
L
f (x , y ) ds =
⎰
2
2f (2c o t , s 2s i t ) n dt 。（其中f (x , y ) 在L 上连续）。
⎧x 2+y 2+z 2=3
4、设曲线Γ的直角坐标方程是⎨，则Γ用柱面坐标中的θ为参数的参
z =1⎩
⎧x =2cos t ,
⎪
数方程为⎨y =2sin t , 0≤t ≤2π，并利用它计算曲线积分
⎪z =1, ⎩
⎰
Γ
f (x , y , z ) ds =
⎰
2π
f (2cos t , 2sin t , 1) ⋅2dt ，（其中f 在Γ上连续）。
2
二、计算曲线积分xds ，其中L 为由直线y =x 及抛物线y =x 所围成的区域的边界。
⎰
L
解：L 1:y =x 2(0≤x ≤1), L 2:y =x (0≤x ≤1)
xds =xds +xds
L
L 1
L 2
=
⎰x
1
+4x dx +⎰x +1dx
2
1
=
1
(5+62-1) 12
三、计算曲线积分e
L ⎰
x 2+y 2
ds ，其中L 为圆周x 2+y 2=a 2，直线y =x 及x 轴在第一象
限内所围成的扇形的边界。
解：L =L 1+L 2+L 3，
L 1:y =0(0≤x ≤a ), ∴⎰e
L 1
x 2+y 2
ds =⎰e x dx =e a -1
a
⎧x =a cos t , πL 2:⎨(0≤t ≤),
4⎩y =a sin t , ∴⎰e
L 2
x 2+y 2
π
ds =⎰4e a ⋅adt =
π
4
ae a
L 3:y =x (0≤x ≤a ),
⎰e
L 3
x 2+y 2
ds =⎰e
a
2x
+1dx =e
2a
-1
⎰e
L
x 2+y 2
ds =e a -1+
π
4
ae a +e
2a
-1=e a (2+
π
4
a ) -2
四、计算曲线积分
解：
⎧x =a (t -sin t ) 2
L y ds ，其中为摆线的一拱0≤t ≤2π) 。 ⎨⎰L
⎩y =a (1-cos t )
2π
⎰
L
y 2ds =⎰a 2(1-cos t ) 2⋅a (1-cos t )]2+[a (0+sin t )]2dt
03
=2a
⎰
2π
02π
(1-cos t ) dt
52
t dt
022πt t =8a 3⎰sin 4⋅sin dt
0222πt t
=-16a 3⎰(1-cos 2) 2d (cos)
0222563=a 15=2a 3⎰42sin 5
五、计算曲线积分
2x ⎰Γyzds ，其中Γ为折线ABCD ，这里A,B,C,D 依次为点
(0, 0, 0), (0, 0, 2), (1, 0, 2), (1, 3, 2) 。
⎧x =0,
⎪2
解：AB :⎨y =0, (0≤t ≤1), ∴x yzds =0
⎪z =t , ⎩
⎧x =t , ⎪2
BC :⎨y =0, (0≤t ≤3), ∴x yzds =0
BC
⎪z =2, ⎩
⎧x =1,
3⎪2
CD :⎨y =t , (0≤t ≤3), ∴x yzds =⎰2t ⋅+0+0dt =9
CD 0
⎪z =2, ⎩
⎰
Γ
x 2yzds =(++) x 2yz ds =0+0+9=9
AB
BC
CD
六、试求均匀心形线r =a (1-cos θ)(a >0) 的重心。
解：由对称性知y =0，设线密度ρ为常数。
参数方程为：⎨
⎧x =r cos θ=a (1-cos θ) cos θ,
(0≤θ≤2π)
⎩y =r sin θ=a (1-cos θ) sin θ,
M =ρds
L
=ρ⎰
2π
02π
a 2(-sin θ+2cos θsin θ) 2+a 2(cosθ-cos 2θ+sin 2θ) 2d θ
=ρ⎰a 2(1-cos θ) d θ
=ρ⎰a 4sin 2
2π
2
d θ
=2a ρ⎰sin
2π
θ
2
d θ
=4a ρ
M y =x ρds
L
=ρ⎰a (1-cos θ) cos θ2(1-cos θd θ
2π
=-
162
a ρ5
∴x =
M y
4=-a M 5
4
a , 0) 5。
所以所求重心坐标为(-
习题十八 第一型曲线积分
一、填空题
1、 设曲线L 是由L 1:x =0(0≤y ≤1), L 2:y =0(0≤x ≤1), L 3:x +y =1(0≤x ≤1) 所围成的平面图形的边界，函数f (x , y ) 在上连续，则将计算时，
⎰
L
f (x , y ) ds 化为定积分
⎰
⎰
⎰L 1
f (x , y ) ds =⎰f (0, y ) dy ，
f (x , y ) ds =⎰f (x , 0) dx ，
01
1
L 2
L 3
f (x , y ) ds = f (x , y ) ds =
⎰
1
1
f (x , 1-x ) 2dx ，
1
1
L
⎰
f (0, y ) dy +⎰f (x , 0) dx +⎰f (x , 1-x ) 2dx
。
2、 设曲线L 的方程为y =-x 2，函数f (x , y ) 在L 上连续，现将曲线积分
⎰
L
f (x , y ) ds 化为定积分进行计算，则当取x 为参数时，
⎰
L
f (x , y ) ds =
⎰
1
-1
f (x , -x 2)
dx -x
2
，而当取y 为参数时，
⎰
L
f (x , y ) ds =
22
⎰[f (--y , y ) +f (-y , y )]0
1
dy -y
2
3、设曲线L 的方程为y =4-x 2（0≤x ≤2) ，则曲线L 以极角为参数的参数方程
⎧x =2cos t , π
，用极坐标计算弧长的曲线积分时，0≤t ≤⎨
y =2sin t , 2⎩
π
⎰
L
f (x , y ) ds =
⎰
2
2f (2c o t , s 2s i t ) n dt 。（其中f (x , y ) 在L 上连续）。
⎧x 2+y 2+z 2=3
4、设曲线Γ的直角坐标方程是⎨，则Γ用柱面坐标中的θ为参数的参
z =1⎩
⎧x =2cos t ,
⎪
数方程为⎨y =2sin t , 0≤t ≤2π，并利用它计算曲线积分
⎪z =1, ⎩
⎰
Γ
f (x , y , z ) ds =
⎰
2π
f (2cos t , 2sin t , 1) ⋅2dt ，（其中f 在Γ上连续）。
2
二、计算曲线积分xds ，其中L 为由直线y =x 及抛物线y =x 所围成的区域的边界。
⎰
L
解：L 1:y =x 2(0≤x ≤1), L 2:y =x (0≤x ≤1)
xds =xds +xds
L
L 1
L 2
=
⎰x
1
+4x dx +⎰x +1dx
2
1
=
1
(5+62-1) 12
三、计算曲线积分e
L ⎰
x 2+y 2
ds ，其中L 为圆周x 2+y 2=a 2，直线y =x 及x 轴在第一象
限内所围成的扇形的边界。
解：L =L 1+L 2+L 3，
L 1:y =0(0≤x ≤a ), ∴⎰e
L 1
x 2+y 2
ds =⎰e x dx =e a -1
a
⎧x =a cos t , πL 2:⎨(0≤t ≤),
4⎩y =a sin t , ∴⎰e
L 2
x 2+y 2
π
ds =⎰4e a ⋅adt =
π
4
ae a
L 3:y =x (0≤x ≤a ),
⎰e
L 3
x 2+y 2
ds =⎰e
a
2x
+1dx =e
2a
-1
⎰e
L
x 2+y 2
ds =e a -1+
π
4
ae a +e
2a
-1=e a (2+
π
4
a ) -2
四、计算曲线积分
解：
⎧x =a (t -sin t ) 2
L y ds ，其中为摆线的一拱0≤t ≤2π) 。 ⎨⎰L
⎩y =a (1-cos t )
2π
⎰
L
y 2ds =⎰a 2(1-cos t ) 2⋅a (1-cos t )]2+[a (0+sin t )]2dt
03
=2a
⎰
2π
02π
(1-cos t ) dt
52
t dt
022πt t =8a 3⎰sin 4⋅sin dt
0222πt t
=-16a 3⎰(1-cos 2) 2d (cos)
0222563=a 15=2a 3⎰42sin 5
五、计算曲线积分
2x ⎰Γyzds ，其中Γ为折线ABCD ，这里A,B,C,D 依次为点
(0, 0, 0), (0, 0, 2), (1, 0, 2), (1, 3, 2) 。
⎧x =0,
⎪2
解：AB :⎨y =0, (0≤t ≤1), ∴x yzds =0
⎪z =t , ⎩
⎧x =t , ⎪2
BC :⎨y =0, (0≤t ≤3), ∴x yzds =0
BC
⎪z =2, ⎩
⎧x =1,
3⎪2
CD :⎨y =t , (0≤t ≤3), ∴x yzds =⎰2t ⋅+0+0dt =9
CD 0
⎪z =2, ⎩
⎰
Γ
x 2yzds =(++) x 2yz ds =0+0+9=9
AB
BC
CD
六、试求均匀心形线r =a (1-cos θ)(a >0) 的重心。
解：由对称性知y =0，设线密度ρ为常数。
参数方程为：⎨
⎧x =r cos θ=a (1-cos θ) cos θ,
(0≤θ≤2π)
⎩y =r sin θ=a (1-cos θ) sin θ,
M =ρds
L
=ρ⎰
2π
02π
a 2(-sin θ+2cos θsin θ) 2+a 2(cosθ-cos 2θ+sin 2θ) 2d θ
=ρ⎰a 2(1-cos θ) d θ
=ρ⎰a 4sin 2
2π
2
d θ
=2a ρ⎰sin
2π
θ
2
d θ
=4a ρ
M y =x ρds
L
=ρ⎰a (1-cos θ) cos θ2(1-cos θd θ
2π
=-
162
a ρ5
∴x =
M y
4=-a M 5
4
a , 0) 5。
所以所求重心坐标为(-