如何培养学生的逆向思维能力

如何培养学生的逆向思维能力

摘要：在这个知识经济高度发展的世纪，随着课标的改革和国家对人才的需求，以前对人才的单一的要求已经不能满足国家整体的国际竞争力，要提高国家的整体竞争力则需要综合素质突出的优秀人才。而目前的思维模式有一定的局限性，应当寻找一些方法来克服。学生思维能力的培养大部分是学校知识的学习。因此教学则成重中之重，把反向思维方式，即发散思维的重要性进行推广，让这种逆转思维以及其他思维引进课堂提高数学教学质量，特别是逆向思维的培养更是发散性思维的重头戏，逆向思维中蕴育着创造性思维的萌芽，它是创造性人才必备的一种思维，也是人们学习和生活中必备的一种思维品质。在教学过程中，不能按部就班，完全按照教材中的教学顺序，要做到把知识点连接，按照这样的顺序会使逻辑性更强，使学生更加印象深刻，只有有效地帮助学生深刻理解相关基础知识，拓展学生的想象空间，客服思维狭隘性，发现数学中的美，也是到解决问题的新思路，培养批判性思维、激发创造性思维。。

关键词： 逆向思维 数学 数学教学 教学方式

司马光幼年破缸救小孩的故事，在我国妇孺皆知。据说，有人研究了司马光与其他小孩子思维方式之后。得出如下的结论：小孩为救出落进水缸里的小孩．沿用了常规的思维方法．想把落水者从缸中拉出，使人离开水。这对小孩来说，是很难办到的。所以只好跑去叫大人。而司马光的思维方式却具有逆向的特点。即想法使水离开人，这是不难办到的，因而成功地救出了落水者。在科学技术高度发展的今天。培养学生的逆向思维能力．对于造就创造型人才，无疑是十分重要的 数学是一门具有很强严谨性的学科，尤其是在数学问题上的解决，在各科知识之间的衔接更为突出。然而中小学生的抽象思维尤为欠缺，逆向思维对于抽象思维的训练更是重要。此时对于学生的逆向思维的培养则是个关键。

一、 培养学生课堂逆向思维的方法

1、教师的转化

（1） 教师理念的转化

首先根据《初中数学课程标准》的诞生，原来一板一眼和死板硬套的教学方式已经不再适应教学目标、教学方式、教学内容、包括相关的教学结构的日益变化，现在的教育和社会一样发展很快，教师的教学观念也要不断创新，保持教学中的青春活力。因此教师在教学方面要推陈出新，调整教学的步伐，使课堂的主角由老师转化为学生，过去的填鸭式教学已经无法寓教于乐，同时传统的思想有些不适应当前的社会的变化，所以教师应当多留给学生时间去思考、探索、解题。这样多进行启发式引导式教学比一味的灌输要更加有效，也有利于学促进生积极主动地体会到数学的美妙之处。

其次课堂是教师实施教学和学生活动的主阵地，是思维的训练地。学生的思维活动大部分在课堂中展开的。教师应当有意识地把培养学生懂得逆向思维这一教学母的带进每一节课堂，并寻找各种契机开展实施。教师在课堂上做一个领导者和组织者，而不是一个给予者。作为教师要把知识当作首要条件，把逆向思维有效地融入，并使学生遵守其原则。数学是一门经过长久时间总结出来的，知识的传授是一个无尽的过程，同时“活到老学到老”知识的学习也是一个无尽的过程，所以学生自我创造学习知识能力比接受知识更加重要。现在很多中小学的教材排版不是按照知识的连贯性的排版，学生对于其的理解也是零散的，顺序一打乱，学生的思维就会跟着一起乱，为了使学生更好地掌握，有一个方法就是在教学过程中，打乱教材的排序，按照章节以及知识点的连贯性，自己设计一份具有自己特色的教案，这样不但可以使学生所谓的“死书”学活，也能加深理解，记忆长久。

（2） 教学方法的转化

不断提高教师自身的素质。教师在教学中处于主导地位，教师是一座桥梁，是学生和知识间的星光大道，在使学生掌握知识的过程中，尽少遇难和提供最大服务，少走弯路。优秀的教师一般都是通过仪表、语言、板书、范画、演示等等一系列的活动和自身具有独特的人格魅力感染学生，得到学生的信任和尊敬。当然情感上的交流也是不可或缺的，通过学生的感情世界影响他们的思维活动，很多时候，对于教师的喜爱程度可以反应学生对这门课程的喜爱程度。如果遇到一个不负责任，上课没有激情的老师，教案准备不充分、上课思维不清晰的老师，试问学生怎么可能有学习的欲望和对知识的渴求，怎么可能会主动探索各抒己见呢？相反，而教师如果以一个探索的身份出现，遇到一些可以锻炼学生的问题时可以说：“这个问题挺复杂，我们一起琢磨琢磨”。从而来激发学生探索知识的欲望。

教师渊博的知识和超凡的人格魅力也能在一定程度上刺激学生学习兴趣和思维的积极性和主动性。当然教师想要培养学生的逆向思维能力或者其他创造性思维，必须自己有这样的思维方式。所以教师的任务则是先把自己培养成创造者。课堂的教学是至关重要的，对于一直以来可以让学生轻松掌握的教学方法要一直发扬继承，另外还要去粗取精，提高教学速度和质量，留有更多的时间给学生，自己探索有关的规律和技巧。当然每个学生的情况不同，也要具体问题具体分析，做到因材施教。不断探求新的教学方法和富有个性的独特的教学方式，在准备课堂教学时，做到对不同学生的理解能力、教材的分析以及自己的分析，猜想学生接触新问题的反应和认识，更好地设置具有代表性又极具引导意义的问题，促进学生思考，慢慢将逆向思维巧妙地融入课堂。逆向思维固然重要，但是直观式教学却也是不能忽视，它为学生提供提供逆向思维的基础和保证，所以说

逆向思维的很好的培养是建立在牢固的基础知识上。马克思主义哲学告诉我们，感性认识是理性认识的基础，理性认识依赖于感性认识。以往的教学方式陈旧，只依赖教师的讲解，但随着多媒体技术的提高和普及应用，大大提高了另一种教学方式，那就是多媒体。教学中利用必要的教具、模型、幻灯、多媒体等进行直观教学，可以逼真地展现出全貌和实物的由来，不仅可以吸引学生的注意力，而且可以提高学生的接受程度，因为人的视觉效果总是比听觉更有冲击力，能使学生的多种器官协同参与思维活动，获得较多的、具体的、真实的感性认识，提高思维的兴趣和效率。必要的教具、模型、幻灯和多媒体 可以逼真地展现全貌和一些实物的由来，并且用多媒体反向演示给学生看，可以有效的激发兴趣，使思维更加明了。

除了教学以外，教师自己布置给学生的作业，优化作业，自己也要从多方面考虑，对于一些灵感只要有价值，就应该付诸行动，这样既可以锻炼自己的思维，同时将这些思想传达给学生，也可以对课堂会出现的情况进行预见和设计。

二 数学逆向思维教学策略

1 逆向思维在教材中的体现

首先拿到数学课本，接触最多的是数学命题。当然数学命题是数学的主干，相应的数学命题的教学则也成了重要组成部分。数学命题包括定概念、公式、公理、法则等等，在课堂上，运用逆命题等来培养学生的逆向思维。当然有些逆命题并不一定是正确的。

1.1概念的逆向思维培养

数学中的概念、定义总是双向性的，人的视觉或者说是阅读习惯总是从左到右，从而会使使学生产生”左右“的习惯，由于迁移能力，学生自然而然会运用到学习当中，从左到右的运用概念公式等等，也就是我们常说的思维定势。在概念教学，老师应该引导学生反过来思考。多举逆向的例子，让学生灵活掌握概念，把题设条件和结论的位置调换，即是”如果A 则B ”转化成“如果B 则A ”的形式，然后再让学生探讨逆命题的正确性。这样学生在遇到问题的时候就可以转化思考的角度，在做题时会从反面思考，有时会有一种柳暗花明又一村的感觉，大大提高了解题的能力，激发学习兴趣。

1.1.1互为对立关系的定义：有理数和无理数，正数和负数，实数和虚数等等

1.1.2互为关系的定义：互为倒数、互为相反数、互为补角等等，互为倒数的

两个数乘积为1. 例如4×1/4=1，则称4和1/4互为倒数，那么互为倒数的两个数＿＿。该横线上则填的就是两个互为倒数的特征，在课堂教学中解释概念的时候应该正反来回问问学生

1.1.3体现在运算上包括加与减、乘与除、多与少、乘方和开方等等都是互逆

1=a÷b ，“±5的平方是25，反过来25的平方b

根是±5”等等，还有很多这样的例子。 的例子运算。例如a ×

1.2体现在公式和法则上逆向思维

数学中的公式与法则是非常重要的基础知识，逆向思维不仅有利于学生加强对公式的理解，还能激发学生对公式法则精髓的理解，从左到右，再从右到左就是一个逆向思维的培养过程，给出相应的例子，让学生完整的立体的印象使其思路清晰明了。教材中的公式都是等式。即A=B,B=A，

1.2.1 平方差公式 :（a+b）（a-b)=a -b 从左到右属于整式的乘法，从右到左是因式的分解。

2-20122 计算：2013

2-20122=（2013-2012）解：2013（2013+2012）=4025 22

逆向运用平方差公式（因式分解），不仅提高了运算的速度，而且准确率高，使问题简单化。

1.2.2 逆用方程的根的运算（韦达定理）：

（1） 已知方程x +x-6=0，a ，b 是方程的两个根，求

（2） 已知a ≠b ，a 2+a-6=0，22a 2+b 的值 2+b-6=0，求a +b 的值 22

解：（1）由韦达定理得； a+b=-1,ab=-6,

∴a +b =22a +b )-2ab=13 2

(2)由方程的根的定义知：a ，b 是方程x +x-6=0的两个根，

∴ a+b=-1,ab=-6, ∴a +b =

1.2.3 幂的运算：a

计算：n 222a +b )-2ab=13 2b =(ab ) n 4n (-0. 125)×8 5

n 分析：这题如果用常规的思维解法，会相对比较麻烦，计算也容易出错，若是采用逆向思维，逆用公式a

解： b n =(ab ) 进行会大大减轻计算过程。 4n (-0. 125)4×8=5(-0. 125⨯8)×8=8

1.3 定理的逆向思维培养

数学中的定理很多都是可逆的，恰当的利用这些命题的逆命题，使得学生

融会贯通。

1.3.1 平行线性质：“两直线平行，则内错角相等”的逆定理“内错角

相等则两直线平行”是成立的、包括同位角，等腰三角形的两个腰相

等的逆命题两个腰相等的三角形是等腰三角形，等等。课前预习时可

以让学生将这些命题的反向命题即逆命题写出来，第二天上课时再讲

解。

1.3.2 特例：譬如对顶角相等的逆命题相等的两个角是对顶角确是错误

的。

教师在明确逆命题的同时应当给出逆命题的正确性。对于这些命题

定理的探讨，不仅有利于对这些重要定理的理解更有利于逆向思维能力的提高。

1.3.3 勾股定理的逆用。

在∆ABC 中，三边分别是a ，b ，c ，且a=2n+2，b=2n 2+2n，c=2n 2+2n +2（n >0）。求证：∆ABC 是直角三角形

证明： n >0 ∴2n 2+2n +2 > 2n 2+2n > 2n+2

即c >b >a

a 2+b 2=(2n +2) 2+(2n 2+2n ) 2=4n 2+8n 3+8n 2+4n +4 =(2n 2+2n +2) 2=c 2

∴根据勾股定理的逆定理知：三角形是直角三角形

上述可知，勾股定理的定义是如果一个三角形是直角三角形，那么两直角边的平方和等于第三边的平方，相应的逆定理已知有两边的平方和等于第三边的平方和，得知该三角形是直角三角形。

2 教学中逆向思维的具体应用

2.1 在几何中的应用

几何是我们日常生活中处处可遇见的，相应的集合图像的一些性质

特点也是随处可见，当然对于其的思考也是不一样的。所谓一千个读者就有一千个哈姆雷特。所以几何对于学生逆向思维能力的培养和引导更

是无处不在。

从特殊三角形（等腰三角形和等边三角形）的认识到特殊三角形的性质和判定定理，到平行线及其性质和判定定理，到一般三角形，再到“对顶角相等”到其反面“相等的角是对顶角”正确性等等，逆向思维可以一直贯彻始终。以下的例子可以更好的说明。

2.1.1 两直线平行，同位角相等

如图中a ⁄⁄b 由定理知∠1=∠2，但是由于图形是横着的，所以特别提醒学生，相应的给出逆命题让学生判断是否正确，让学生全面整体的了解定理的正真含义。更好地理解和掌握定理。

2.1.2等角的补角相等

例: 直线AB 与直线CD 平行, 求证：∠MEA=∠DFN

证： AB 与CD 平行

∴∠BEM=∠DFE

又 ∠MEA+∠BEA =1

∴∠MEA=∠DFN ∠DFN+∠DFE=180

很显然直接求两个角相等很难，但是转化成等角的补角相等就很容易解出，同时复习一下两直线平行的性质。如果将题中的条件和结论互换的话，逆命题也是成立的。证明过程让学生自己解答，加深逆向思维的印象，使得学生在潜移默化的过程中逆向思维得到培养和锻炼，也可以培养举一反三的能力。

2.1.3直线和平面平行的判定定理：如果平面外有一条直线和平面的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

求知：a ⊄α，b ⊂α且a ／／b(如图)

求证：a ／／α。

分析：此定理若直接证明的话，需证明直线a 和平面α没有公共点

(线面平行定义) ，这是非常困难的。若用反证法证，据已知条件，只需

证a ⋂α=P不可能，这一点很容易做到。

证明：(反证法)

假设直线a 和平面a 不平行， a ⊄α ∴a ⋂α=p

a//α, 过a ，b 作平面β，则a//α

反证法：反证法是逆向思维的典型方法，反证法证明一个命题的步骤：

（1）假设原命题不成立；

（2）根据假设进行推理，结果出现下列的情况：与已知条件矛盾或是定 理等矛盾；

(3)原来的假设“结论不成立”是错误的，从而肯定原来的命题结论是正确的。

用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程，：我们假设“原命题不成立”，原结论一定不成立就会与已知条件矛盾；与公理或者定理矛盾：这个矛盾是怎样产生的呢？唯一的错误是开始的假设不成立，所以结论一定成立。反证法就是解决的是从正面解决不好接的问题。

一节课的最后，对这节课进行小结，让学生自己总结反证法的概念以及它的优越性，运用的范围和它的步骤。

用数学家的话加深学生对反证法的印象，也让学生体会到反证法被人们誉为“数学家最精明的武器”，从而让学生知道逆向思维的重要性。

2.2 在代数中的应用

2.1.2 乘法分配律的逆用

计算：235⨯45+（-235) ⨯25-235⨯10

解：原式=235⨯(45-25-10)

=235⨯10

=2350

如此可见，运用常规的解题方法，整个式子的过程将变得十分繁琐且容易出错，如果根据例题中各个式子的特点，先进行观察，再利用乘法分配律的逆运算进行计算就变得简洁很多，实际上是化繁为简的一种重要的逆向思维。

2.2.2 计算：1111时不只要求学生知道 +++ +1⨯22⨯33⨯4(n -1) n

111111-==-，这样的问题就还要让学生知道n -1n (n -1) n (n -1) n n -1n

111111n -1+=迎刃而解了。原式=1-+-+- 这样既简化了问题的难2233n -1n n

度，有培养了学生的逆向思维兴趣，同时让学生体会到数学的奥妙。

2.2.3不等式解集

若不等式（a+1）x 〈

的解集。

解：由（a+1）x 〈 a 2求不等式（1-a)x 〈-1的解集为x 〈a-1，a 2-2a +1a 2-1 变形为x 〈a-1，不等式的方向改变可知，

a+1〈0 即a 〈-1，此时1-a 〉0，所以不等式（1-a)x 〈

集：x 〈a-1

2.2.4 数量关系中的应用： a 2-2a +1的解

例“一个工程队计划修660千米路，已经修了5天，平均每天修75天，剩下的要3天修完，平均每天要修多少千米？”教学时引导学生逆向推导，要求后三天每天要修多少千米？需要求出后三天要修多少千米？先要求出已经修了多少千米。这样上述推理过程中发展学生的逆向思维能力。

此外在应用题的教学中，还可以通过互逆性的变题训练，即把条件和问题对换，是问题变成结论，使结论变成问题。

2.2.5 数学中“的”与“是”的关系：

3月12日，学校组织六年级与七年级的学生一起去义务种树，一

6天过去后，七年级种了120棵树，七年级种的棵树是六年级种的棵树的，5

问六年级学生种的多少棵？

6（分析：在教学过程中，我发现很多学生会直接用120⨯, 由于六年级的5

逆向思维能力比较差，六年级学生种的棵树未知，加上对于分数的含义不是很了解，时时龙弄混各个量之间的关系，可以把“是”的前面的“七年6级的棵树”和“六年级种的棵树的”互换位置，就更能好的理解意思。5

66如果把“六年级种的棵树的是七年级的棵树”理解为前面“的”是六55

6

年级所种的棵树，所以5的分母5代表的是六年级种的棵树的五份，分子6则是代表七年级所种的棵树的六份就很明了了。）

解：1206=20（棵）20⨯5=100（棵）

5”6

时，学生也能轻易解出。化繁为简、举一反三即是逆向思维的益处，使得 通过这种思维，如果题目改为“六年级种的棵树是七年级种的棵树的化为熟悉的例子，让学生有种柳暗花明又一村的感觉。

3 逆向思维的其他培养

在解题过程中，一般都是由已知条件直接向结论逼近，但有些问题需要改变思考的角度，经常要从反面去思考，或者是从结论要成立所必需的具备的条件去思考，以获取解题的突破和简捷的方法。

3.1 李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光

壶中酒。试问壶中原有酒几斗？

分析：这是一道以诗歌的形式的趣味题，很显然正向似乎很难，那就采取逆向思考。

首先假设遇到的分别是第一、二、三家店为A,B,C ，第一、二、三花分别为A 1、B 1、C 1李白遇到C 1时喝完了壶里的最后一斗酒，那么可以推算的是李白出

13C 后有一斗酒，所以遇B 1时剩酒斗，故知出B 时有斗，因而进B 时壶中有22

37377酒斗。因遇花喝一斗可知出A 时有+1=斗那么进A 有斗，即原有斗44488

酒，注：此解法是按照店花店花店花的顺序思考，如果不是按照这样的顺序，思考就不一样，但是方法一样，所以这题有多种答案。

3.2 桌上有14张牌，你和你的同伴依次拿牌，每次最多拿5张，最后拿完的

人获胜，假设你先拿，问你先拿几张牌可以保证你一定赢？

分析:如果正着想有很多种可能，所以采取逆向的方法思考。对方最多拿五张，就是有一张，两张，三张，四张，五张这五种可能，所以只需要保证最后一次他拿的时候还剩下牌最少一张最多五张，也就是说他最后一次拿时候最多拿五张最少拿一张，此时我倒数第二次拿时应该保证有六张牌时可以保证最后拿完桌上牌时是自己。依次类推...... 第一次应该拿14-6-6=2张牌，这样就使思路很简洁明了。

3.3 例3：某市有100名学生参加围棋比赛，采用输一场即被淘汰的单淘汰赛，轮空者为当然胜者，每场比赛都得定出胜负，请问：共需要进行多少场比赛．才能选出冠军?

简析：本题从目标正面直接求解，汁算繁难，容易出错，但如果改从目标反面人手，就是去计算产生99名被淘汰者的比赛场数：按比赛规则，每比赛一场就产生一名被淘汰者，100人参赛，选出冠军一人，就相当于要产生99名被淘汰者．所以共需要比赛99场。

总之，在教学实践中，经常抓住逆向思维和正向思维的训练，提高逆向思维

能力，可以达到事半功倍的效果，不仅是在做题方面提高了效率和质量，进而形成良好的思维习惯，当然也可以提高创新的意识，切实提高数学教学的实效性，让数学课堂充满无穷的生命活力，无处片片精彩。

如何培养学生的逆向思维能力

摘要：在这个知识经济高度发展的世纪，随着课标的改革和国家对人才的需求，以前对人才的单一的要求已经不能满足国家整体的国际竞争力，要提高国家的整体竞争力则需要综合素质突出的优秀人才。而目前的思维模式有一定的局限性，应当寻找一些方法来克服。学生思维能力的培养大部分是学校知识的学习。因此教学则成重中之重，把反向思维方式，即发散思维的重要性进行推广，让这种逆转思维以及其他思维引进课堂提高数学教学质量，特别是逆向思维的培养更是发散性思维的重头戏，逆向思维中蕴育着创造性思维的萌芽，它是创造性人才必备的一种思维，也是人们学习和生活中必备的一种思维品质。在教学过程中，不能按部就班，完全按照教材中的教学顺序，要做到把知识点连接，按照这样的顺序会使逻辑性更强，使学生更加印象深刻，只有有效地帮助学生深刻理解相关基础知识，拓展学生的想象空间，客服思维狭隘性，发现数学中的美，也是到解决问题的新思路，培养批判性思维、激发创造性思维。。

关键词： 逆向思维 数学 数学教学 教学方式

司马光幼年破缸救小孩的故事，在我国妇孺皆知。据说，有人研究了司马光与其他小孩子思维方式之后。得出如下的结论：小孩为救出落进水缸里的小孩．沿用了常规的思维方法．想把落水者从缸中拉出，使人离开水。这对小孩来说，是很难办到的。所以只好跑去叫大人。而司马光的思维方式却具有逆向的特点。即想法使水离开人，这是不难办到的，因而成功地救出了落水者。在科学技术高度发展的今天。培养学生的逆向思维能力．对于造就创造型人才，无疑是十分重要的 数学是一门具有很强严谨性的学科，尤其是在数学问题上的解决，在各科知识之间的衔接更为突出。然而中小学生的抽象思维尤为欠缺，逆向思维对于抽象思维的训练更是重要。此时对于学生的逆向思维的培养则是个关键。

一、 培养学生课堂逆向思维的方法

1、教师的转化

（1） 教师理念的转化

首先根据《初中数学课程标准》的诞生，原来一板一眼和死板硬套的教学方式已经不再适应教学目标、教学方式、教学内容、包括相关的教学结构的日益变化，现在的教育和社会一样发展很快，教师的教学观念也要不断创新，保持教学中的青春活力。因此教师在教学方面要推陈出新，调整教学的步伐，使课堂的主角由老师转化为学生，过去的填鸭式教学已经无法寓教于乐，同时传统的思想有些不适应当前的社会的变化，所以教师应当多留给学生时间去思考、探索、解题。这样多进行启发式引导式教学比一味的灌输要更加有效，也有利于学促进生积极主动地体会到数学的美妙之处。

其次课堂是教师实施教学和学生活动的主阵地，是思维的训练地。学生的思维活动大部分在课堂中展开的。教师应当有意识地把培养学生懂得逆向思维这一教学母的带进每一节课堂，并寻找各种契机开展实施。教师在课堂上做一个领导者和组织者，而不是一个给予者。作为教师要把知识当作首要条件，把逆向思维有效地融入，并使学生遵守其原则。数学是一门经过长久时间总结出来的，知识的传授是一个无尽的过程，同时“活到老学到老”知识的学习也是一个无尽的过程，所以学生自我创造学习知识能力比接受知识更加重要。现在很多中小学的教材排版不是按照知识的连贯性的排版，学生对于其的理解也是零散的，顺序一打乱，学生的思维就会跟着一起乱，为了使学生更好地掌握，有一个方法就是在教学过程中，打乱教材的排序，按照章节以及知识点的连贯性，自己设计一份具有自己特色的教案，这样不但可以使学生所谓的“死书”学活，也能加深理解，记忆长久。

（2） 教学方法的转化

不断提高教师自身的素质。教师在教学中处于主导地位，教师是一座桥梁，是学生和知识间的星光大道，在使学生掌握知识的过程中，尽少遇难和提供最大服务，少走弯路。优秀的教师一般都是通过仪表、语言、板书、范画、演示等等一系列的活动和自身具有独特的人格魅力感染学生，得到学生的信任和尊敬。当然情感上的交流也是不可或缺的，通过学生的感情世界影响他们的思维活动，很多时候，对于教师的喜爱程度可以反应学生对这门课程的喜爱程度。如果遇到一个不负责任，上课没有激情的老师，教案准备不充分、上课思维不清晰的老师，试问学生怎么可能有学习的欲望和对知识的渴求，怎么可能会主动探索各抒己见呢？相反，而教师如果以一个探索的身份出现，遇到一些可以锻炼学生的问题时可以说：“这个问题挺复杂，我们一起琢磨琢磨”。从而来激发学生探索知识的欲望。

教师渊博的知识和超凡的人格魅力也能在一定程度上刺激学生学习兴趣和思维的积极性和主动性。当然教师想要培养学生的逆向思维能力或者其他创造性思维，必须自己有这样的思维方式。所以教师的任务则是先把自己培养成创造者。课堂的教学是至关重要的，对于一直以来可以让学生轻松掌握的教学方法要一直发扬继承，另外还要去粗取精，提高教学速度和质量，留有更多的时间给学生，自己探索有关的规律和技巧。当然每个学生的情况不同，也要具体问题具体分析，做到因材施教。不断探求新的教学方法和富有个性的独特的教学方式，在准备课堂教学时，做到对不同学生的理解能力、教材的分析以及自己的分析，猜想学生接触新问题的反应和认识，更好地设置具有代表性又极具引导意义的问题，促进学生思考，慢慢将逆向思维巧妙地融入课堂。逆向思维固然重要，但是直观式教学却也是不能忽视，它为学生提供提供逆向思维的基础和保证，所以说

逆向思维的很好的培养是建立在牢固的基础知识上。马克思主义哲学告诉我们，感性认识是理性认识的基础，理性认识依赖于感性认识。以往的教学方式陈旧，只依赖教师的讲解，但随着多媒体技术的提高和普及应用，大大提高了另一种教学方式，那就是多媒体。教学中利用必要的教具、模型、幻灯、多媒体等进行直观教学，可以逼真地展现出全貌和实物的由来，不仅可以吸引学生的注意力，而且可以提高学生的接受程度，因为人的视觉效果总是比听觉更有冲击力，能使学生的多种器官协同参与思维活动，获得较多的、具体的、真实的感性认识，提高思维的兴趣和效率。必要的教具、模型、幻灯和多媒体 可以逼真地展现全貌和一些实物的由来，并且用多媒体反向演示给学生看，可以有效的激发兴趣，使思维更加明了。

除了教学以外，教师自己布置给学生的作业，优化作业，自己也要从多方面考虑，对于一些灵感只要有价值，就应该付诸行动，这样既可以锻炼自己的思维，同时将这些思想传达给学生，也可以对课堂会出现的情况进行预见和设计。

二 数学逆向思维教学策略

1 逆向思维在教材中的体现

首先拿到数学课本，接触最多的是数学命题。当然数学命题是数学的主干，相应的数学命题的教学则也成了重要组成部分。数学命题包括定概念、公式、公理、法则等等，在课堂上，运用逆命题等来培养学生的逆向思维。当然有些逆命题并不一定是正确的。

1.1概念的逆向思维培养

数学中的概念、定义总是双向性的，人的视觉或者说是阅读习惯总是从左到右，从而会使使学生产生”左右“的习惯，由于迁移能力，学生自然而然会运用到学习当中，从左到右的运用概念公式等等，也就是我们常说的思维定势。在概念教学，老师应该引导学生反过来思考。多举逆向的例子，让学生灵活掌握概念，把题设条件和结论的位置调换，即是”如果A 则B ”转化成“如果B 则A ”的形式，然后再让学生探讨逆命题的正确性。这样学生在遇到问题的时候就可以转化思考的角度，在做题时会从反面思考，有时会有一种柳暗花明又一村的感觉，大大提高了解题的能力，激发学习兴趣。

1.1.1互为对立关系的定义：有理数和无理数，正数和负数，实数和虚数等等

1.1.2互为关系的定义：互为倒数、互为相反数、互为补角等等，互为倒数的

两个数乘积为1. 例如4×1/4=1，则称4和1/4互为倒数，那么互为倒数的两个数＿＿。该横线上则填的就是两个互为倒数的特征，在课堂教学中解释概念的时候应该正反来回问问学生

1.1.3体现在运算上包括加与减、乘与除、多与少、乘方和开方等等都是互逆

1=a÷b ，“±5的平方是25，反过来25的平方b

根是±5”等等，还有很多这样的例子。 的例子运算。例如a ×

1.2体现在公式和法则上逆向思维

数学中的公式与法则是非常重要的基础知识，逆向思维不仅有利于学生加强对公式的理解，还能激发学生对公式法则精髓的理解，从左到右，再从右到左就是一个逆向思维的培养过程，给出相应的例子，让学生完整的立体的印象使其思路清晰明了。教材中的公式都是等式。即A=B,B=A，

1.2.1 平方差公式 :（a+b）（a-b)=a -b 从左到右属于整式的乘法，从右到左是因式的分解。

2-20122 计算：2013

2-20122=（2013-2012）解：2013（2013+2012）=4025 22

逆向运用平方差公式（因式分解），不仅提高了运算的速度，而且准确率高，使问题简单化。

1.2.2 逆用方程的根的运算（韦达定理）：

（1） 已知方程x +x-6=0，a ，b 是方程的两个根，求

（2） 已知a ≠b ，a 2+a-6=0，22a 2+b 的值 2+b-6=0，求a +b 的值 22

解：（1）由韦达定理得； a+b=-1,ab=-6,

∴a +b =22a +b )-2ab=13 2

(2)由方程的根的定义知：a ，b 是方程x +x-6=0的两个根，

∴ a+b=-1,ab=-6, ∴a +b =

1.2.3 幂的运算：a

计算：n 222a +b )-2ab=13 2b =(ab ) n 4n (-0. 125)×8 5

n 分析：这题如果用常规的思维解法，会相对比较麻烦，计算也容易出错，若是采用逆向思维，逆用公式a

解： b n =(ab ) 进行会大大减轻计算过程。 4n (-0. 125)4×8=5(-0. 125⨯8)×8=8

1.3 定理的逆向思维培养

数学中的定理很多都是可逆的，恰当的利用这些命题的逆命题，使得学生

融会贯通。

1.3.1 平行线性质：“两直线平行，则内错角相等”的逆定理“内错角

相等则两直线平行”是成立的、包括同位角，等腰三角形的两个腰相

等的逆命题两个腰相等的三角形是等腰三角形，等等。课前预习时可

以让学生将这些命题的反向命题即逆命题写出来，第二天上课时再讲

解。

1.3.2 特例：譬如对顶角相等的逆命题相等的两个角是对顶角确是错误

的。

教师在明确逆命题的同时应当给出逆命题的正确性。对于这些命题

定理的探讨，不仅有利于对这些重要定理的理解更有利于逆向思维能力的提高。

1.3.3 勾股定理的逆用。

在∆ABC 中，三边分别是a ，b ，c ，且a=2n+2，b=2n 2+2n，c=2n 2+2n +2（n >0）。求证：∆ABC 是直角三角形

证明： n >0 ∴2n 2+2n +2 > 2n 2+2n > 2n+2

即c >b >a

a 2+b 2=(2n +2) 2+(2n 2+2n ) 2=4n 2+8n 3+8n 2+4n +4 =(2n 2+2n +2) 2=c 2

∴根据勾股定理的逆定理知：三角形是直角三角形

上述可知，勾股定理的定义是如果一个三角形是直角三角形，那么两直角边的平方和等于第三边的平方，相应的逆定理已知有两边的平方和等于第三边的平方和，得知该三角形是直角三角形。

2 教学中逆向思维的具体应用

2.1 在几何中的应用

几何是我们日常生活中处处可遇见的，相应的集合图像的一些性质

特点也是随处可见，当然对于其的思考也是不一样的。所谓一千个读者就有一千个哈姆雷特。所以几何对于学生逆向思维能力的培养和引导更

是无处不在。

从特殊三角形（等腰三角形和等边三角形）的认识到特殊三角形的性质和判定定理，到平行线及其性质和判定定理，到一般三角形，再到“对顶角相等”到其反面“相等的角是对顶角”正确性等等，逆向思维可以一直贯彻始终。以下的例子可以更好的说明。

2.1.1 两直线平行，同位角相等

如图中a ⁄⁄b 由定理知∠1=∠2，但是由于图形是横着的，所以特别提醒学生，相应的给出逆命题让学生判断是否正确，让学生全面整体的了解定理的正真含义。更好地理解和掌握定理。

2.1.2等角的补角相等

例: 直线AB 与直线CD 平行, 求证：∠MEA=∠DFN

证： AB 与CD 平行

∴∠BEM=∠DFE

又 ∠MEA+∠BEA =1

∴∠MEA=∠DFN ∠DFN+∠DFE=180

很显然直接求两个角相等很难，但是转化成等角的补角相等就很容易解出，同时复习一下两直线平行的性质。如果将题中的条件和结论互换的话，逆命题也是成立的。证明过程让学生自己解答，加深逆向思维的印象，使得学生在潜移默化的过程中逆向思维得到培养和锻炼，也可以培养举一反三的能力。

2.1.3直线和平面平行的判定定理：如果平面外有一条直线和平面的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

求知：a ⊄α，b ⊂α且a ／／b(如图)

求证：a ／／α。

分析：此定理若直接证明的话，需证明直线a 和平面α没有公共点

(线面平行定义) ，这是非常困难的。若用反证法证，据已知条件，只需

证a ⋂α=P不可能，这一点很容易做到。

证明：(反证法)

假设直线a 和平面a 不平行， a ⊄α ∴a ⋂α=p

a//α, 过a ，b 作平面β，则a//α

反证法：反证法是逆向思维的典型方法，反证法证明一个命题的步骤：

（1）假设原命题不成立；

（2）根据假设进行推理，结果出现下列的情况：与已知条件矛盾或是定 理等矛盾；

(3)原来的假设“结论不成立”是错误的，从而肯定原来的命题结论是正确的。

用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程，：我们假设“原命题不成立”，原结论一定不成立就会与已知条件矛盾；与公理或者定理矛盾：这个矛盾是怎样产生的呢？唯一的错误是开始的假设不成立，所以结论一定成立。反证法就是解决的是从正面解决不好接的问题。

一节课的最后，对这节课进行小结，让学生自己总结反证法的概念以及它的优越性，运用的范围和它的步骤。

用数学家的话加深学生对反证法的印象，也让学生体会到反证法被人们誉为“数学家最精明的武器”，从而让学生知道逆向思维的重要性。

2.2 在代数中的应用

2.1.2 乘法分配律的逆用

计算：235⨯45+（-235) ⨯25-235⨯10

解：原式=235⨯(45-25-10)

=235⨯10

=2350

如此可见，运用常规的解题方法，整个式子的过程将变得十分繁琐且容易出错，如果根据例题中各个式子的特点，先进行观察，再利用乘法分配律的逆运算进行计算就变得简洁很多，实际上是化繁为简的一种重要的逆向思维。

2.2.2 计算：1111时不只要求学生知道 +++ +1⨯22⨯33⨯4(n -1) n

111111-==-，这样的问题就还要让学生知道n -1n (n -1) n (n -1) n n -1n

111111n -1+=迎刃而解了。原式=1-+-+- 这样既简化了问题的难2233n -1n n

度，有培养了学生的逆向思维兴趣，同时让学生体会到数学的奥妙。

2.2.3不等式解集

若不等式（a+1）x 〈

的解集。

解：由（a+1）x 〈 a 2求不等式（1-a)x 〈-1的解集为x 〈a-1，a 2-2a +1a 2-1 变形为x 〈a-1，不等式的方向改变可知，

a+1〈0 即a 〈-1，此时1-a 〉0，所以不等式（1-a)x 〈

集：x 〈a-1

2.2.4 数量关系中的应用： a 2-2a +1的解

例“一个工程队计划修660千米路，已经修了5天，平均每天修75天，剩下的要3天修完，平均每天要修多少千米？”教学时引导学生逆向推导，要求后三天每天要修多少千米？需要求出后三天要修多少千米？先要求出已经修了多少千米。这样上述推理过程中发展学生的逆向思维能力。

此外在应用题的教学中，还可以通过互逆性的变题训练，即把条件和问题对换，是问题变成结论，使结论变成问题。

2.2.5 数学中“的”与“是”的关系：

3月12日，学校组织六年级与七年级的学生一起去义务种树，一

6天过去后，七年级种了120棵树，七年级种的棵树是六年级种的棵树的，5

问六年级学生种的多少棵？

6（分析：在教学过程中，我发现很多学生会直接用120⨯, 由于六年级的5

逆向思维能力比较差，六年级学生种的棵树未知，加上对于分数的含义不是很了解，时时龙弄混各个量之间的关系，可以把“是”的前面的“七年6级的棵树”和“六年级种的棵树的”互换位置，就更能好的理解意思。5

66如果把“六年级种的棵树的是七年级的棵树”理解为前面“的”是六55

6

年级所种的棵树，所以5的分母5代表的是六年级种的棵树的五份，分子6则是代表七年级所种的棵树的六份就很明了了。）

解：1206=20（棵）20⨯5=100（棵）

5”6

时，学生也能轻易解出。化繁为简、举一反三即是逆向思维的益处，使得 通过这种思维，如果题目改为“六年级种的棵树是七年级种的棵树的化为熟悉的例子，让学生有种柳暗花明又一村的感觉。

3 逆向思维的其他培养

在解题过程中，一般都是由已知条件直接向结论逼近，但有些问题需要改变思考的角度，经常要从反面去思考，或者是从结论要成立所必需的具备的条件去思考，以获取解题的突破和简捷的方法。

3.1 李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光

壶中酒。试问壶中原有酒几斗？

分析：这是一道以诗歌的形式的趣味题，很显然正向似乎很难，那就采取逆向思考。

首先假设遇到的分别是第一、二、三家店为A,B,C ，第一、二、三花分别为A 1、B 1、C 1李白遇到C 1时喝完了壶里的最后一斗酒，那么可以推算的是李白出

13C 后有一斗酒，所以遇B 1时剩酒斗，故知出B 时有斗，因而进B 时壶中有22

37377酒斗。因遇花喝一斗可知出A 时有+1=斗那么进A 有斗，即原有斗44488

酒，注：此解法是按照店花店花店花的顺序思考，如果不是按照这样的顺序，思考就不一样，但是方法一样，所以这题有多种答案。

3.2 桌上有14张牌，你和你的同伴依次拿牌，每次最多拿5张，最后拿完的

人获胜，假设你先拿，问你先拿几张牌可以保证你一定赢？

分析:如果正着想有很多种可能，所以采取逆向的方法思考。对方最多拿五张，就是有一张，两张，三张，四张，五张这五种可能，所以只需要保证最后一次他拿的时候还剩下牌最少一张最多五张，也就是说他最后一次拿时候最多拿五张最少拿一张，此时我倒数第二次拿时应该保证有六张牌时可以保证最后拿完桌上牌时是自己。依次类推...... 第一次应该拿14-6-6=2张牌，这样就使思路很简洁明了。

3.3 例3：某市有100名学生参加围棋比赛，采用输一场即被淘汰的单淘汰赛，轮空者为当然胜者，每场比赛都得定出胜负，请问：共需要进行多少场比赛．才能选出冠军?

简析：本题从目标正面直接求解，汁算繁难，容易出错，但如果改从目标反面人手，就是去计算产生99名被淘汰者的比赛场数：按比赛规则，每比赛一场就产生一名被淘汰者，100人参赛，选出冠军一人，就相当于要产生99名被淘汰者．所以共需要比赛99场。

总之，在教学实践中，经常抓住逆向思维和正向思维的训练，提高逆向思维

能力，可以达到事半功倍的效果，不仅是在做题方面提高了效率和质量，进而形成良好的思维习惯，当然也可以提高创新的意识，切实提高数学教学的实效性，让数学课堂充满无穷的生命活力，无处片片精彩。