陕西省西工大附中2016届高三11月模拟考试
数 学（理科）
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1
．复数2015
计算的结果是（ ）
D
A ．－1 B ．-i C
2．若sin 20 =a ，则sin 230 的值为（ ）
A ．2a 2-1 B ．1-a 2 C ．a 2-1 D ．1-2a 2
⎫3
．-2x 2⎪的展开式中常数项是（ ）
⎭
5
A ．5 B ．-5 C ．10 D ．-10
4．已知{a n }为等差数列，若a 1=12，则必有（ ） S n 为其前n 项和．S 6=S 11，A ．a 17=0 B ．a 6+a 12=0 C ．S 17>0 D ．a 9
5．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．6 B ．9 C ．12 D ．18
6．右图是函数y =2sin(ωx +φ)(ω>0) 图像的一部分，则ω和φ为（ ）
115π
Ａ．ω=, φ=-
567π
Ｂ．ω=, φ=-
65
175π
Ｃ．ω=, φ=-
5613π
Ｄ．ω=, φ=-
56
7．展开(a +b +c ) 10合并同类项后的项数是（ ）
A ．11 B ．66 C ．76 D ．134
1
8．已知随机变量X 的取值为0，1，2，若P (X =0) =，EX =1，则DX
=
5
（ ）
A ．
⎧y ≤1⎪
9．若变量x , y 满足约束条件⎨x +y ≥0，则z =x -2y 的最大值为( )
⎪x -y -2≤0⎩
A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
2424 B ． C ． D ． 5533
10．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足
PA ⋅PB =0，PB ⋅PC =0，PC ⋅PA =0, 则三棱锥P -ABC 的侧面积的最大值为（ ）
1
A ． B ．1 C ．2 D ．4
2
x 22
11．已知抛物线y =8x 的焦点与双曲线2-y 2=1的一个焦点重合，则该
a
双曲线的离心率为（ ）
A
B
C
D
12．已知函数f (x ) =ax 3-3x 2+1，若f (x ) 存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是（ ）
A . （2，+∞） B . （-∞，-2） C . （1，+∞） D . （-∞，-1）
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
ππ
13．已知ω>0，函数f (x ) =sin(ωx +) 在(, π) 上
42
单调递减，则ω的取值范围是 ；
14．如右图，输入正整数m , n ，满足n ≥
m ，则输出
的p = ；
15．若直线l ：y =kx +1被圆C ：x 2+y 2-2x -3=0截得的弦最短，则；
16．将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，按照此排列规律，第10行从左向右的第5个数为 ．
三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题共12分）从某批产品中，有放回地抽取产品两次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P (A ) =0.96．
（Ⅰ）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；
（Ⅱ）若该批产品共20件，从中任意抽取2件，X 表示取出的2件产品中二等品的件数，求X 的分布列与期望．
18．（本小题共12分）已知数列{a n }中，且a 1≠a 2，当n ∈N +S n 为其前n 项和，时，恒有S n =pna n （p 为常数）．
(Ⅰ) 求常数p 的值；
(Ⅱ) 当a 2=2时，求数列{a n }的通项公式；
74
（Ⅲ）设b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n
4(a n +2) a n +1
19. （本小题共12分）四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知∠ABC ＝45°，AB ＝2，BC =22，SA ＝SB ＝3． （Ⅰ）求证：SA ⊥BC ；
（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的正弦值．
20．（本小题共12分）已知定点C (-1,0) 及椭圆x 2+3y 2=5，过点C 的动直线与该椭圆相交于A , B 两点.
（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是-，求直线AB 的方程；
（Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使MA ⋅MB 为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
21. （本小题共12分）（Ⅰ）已知正数a 1、a 2满足a 1+a 2=1，求证：a 1log 2a 1+a 2log 2a 2≥-；1
（Ⅱ）若正数a 1、a 2、a 3、a 4满足a 1+a 2+a 3+a 4=1，
求证：a 1log 2a 1+a 2log 2a 2+a 3log 2a 3+a 4log 2a 4≥-2．
请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图， O 和 O ' 相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C , D 两点，连结DB 并延长交 O 于点E .
证明：（I ）AC ⋅BD =AD ⋅AB ；
（II ）AC =AE .
23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
x y x 2y 2
+=1，直线l ：+=1， 已知椭圆C ：
1282416
（I ）以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求椭圆C 与直线l 的极坐标方程；
（II ）已知P 是l 上一动点，射线OP 交椭圆C 于点R ，又点Q 在OP
上且满足
2
OQ ⋅OP =OR ．当点P 在l 上移动时，求点Q 在直角坐标系下的轨迹方程．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x ) =|x -2|-|x -5|． （I ）证明：-3≤f (x ) ≤3；
（II ）求不等式：f (x ) ≥x 2-8x +14的解集．
模拟训练
数学（理科）参考答案
一．选择题：1．C 2．A 3．D 4．B 5．B 6．A
7．B 8．A 9．B 10．C 11．C 12．B
⎡15⎤m
二．填空题：13．⎢, ⎥， 14．A n ， 15．1， 16．50．
24⎣⎦
三、解答题： 17．【解】：（Ⅰ）1-p 2=0.96⇔p =0.2．
（Ⅱ）∵该批产品共20件，由（Ⅰ）知其二等品有20⨯0.2=4件， 显然X=0,1,2．故
21C 16C 1C 21232316C 4
P (X =0) =2=．P (X =1) =2=．P (X =2) =24=．
C 2019C 2095C 2095
所以X 的分布列为
38∴EX=
95
18．【解】：(Ⅰ) 当n =1时，a 1=S 1，∴a 1=pa 1，⇒p =1或a 1=0
当p =1时，S n =na n 则有S 2=2a 2⇔a 1+a 2=2a 2⇔a 1=a 2与已知矛盾，
∴p ≠1，只有a 1=0．
当n =2时，由S 2=2pa 2⇔a 1+a 2=2pa 2，∵a 1=0又a 1≠a 2∴a 2≠0
1∴p =
2
n n -1
n >2a =S -S =a -a n -1 (Ⅱ) ∵a 2=2，S n =1，当时，na n n n -1n n 2
22
a a a a
(n -2) a n =(n -1) a n -1⇔n =n -1，∴n =2⇔a n =2n -2
n -1n -2n -11
当n =1时，a 1=2⨯1-2=0也适合。∴a n =2n -2.
41111
=2
(a n +2) a n +1n (n -1) n n -1n
当n =1, 2时，显然成立，当n ≥3时有 ∴
1⎛11⎫1⎫717⎛1
T n
4⎝23⎭⎝n -1n ⎭4n 4
（Ⅲ）b n =
19．【解法一】：（Ⅰ）作SO ⊥BC ，垂足为O ，
连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ，
因为SA=SB，所以AO=BO，
又∠ABC =45 ，故△AOB 为等腰直角三角形，AO ⊥BO ， 由三垂线定理，得SA ⊥BC ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA ⊥BC ，依题设AD ∥BC ，
故SA ⊥
AD ，由AD =BC =
SA =
AO ，得
1SO=1
，SD =．△SAB
的面积S 1=AB =DB ，
2得△DAB 的面积S 2=
1
AB AD sin135 =2设D 到平面SAB 的距离为h ， 2
11
由于V D -SAB =V S -ABD ，得h S 1=SO
S 2，解得h =
33
设SD 与平面SAB 所成角为α
，则sin α=
h ． ==
SD 11． 所以，直线SD 与平面SAB
【解法二】：（Ⅰ）作SO ⊥BC ，垂足为O ，连结SO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．
因为SA=SB，所以AO=BO．
又∠ABC =45 ，△AOB 为等腰直角三角形，AO ⊥OB ．
如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系O —xyz ，
S （0，A ，
0) ，B (0
，C (0，
0，1）
，SA =1，-，
CB =0，所以SA ⊥BC ． CB =(0，SA
⎫
0⎪（Ⅱ）取AB 中点E
，E ⎪，
⎝⎭
1⎫
连结SE ，取SE 中点G ，连结OG
，G ．
⎪⎪2⎭⎝⎛1⎫⎛⎫OG =
SE =1⎪，． 442⎪⎪ 22
⎪，AB =(⎝⎭⎝⎭
SE OG =0，AB OG =0，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直。 所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为
β，则α与β互余．
．cos α=D
，DS =(OG DS OG
DS
=
，sin β=， 1111
所以，直线SD 与平面SAB
所成的角的正弦值为
20．【解】：（1）设直线AB ：x=my-1 ⎧x 2+3y 2=5
消去x 得：(m 2+3) y 2-2my -4=0 ⎨
⎩x =my -1
2m ⎧
y +y =2⎪x +x 21⎪1m 2+3
=- 所以⎨由1
22⎪y y =-4
12⎪m 2+3⎩
得：m (y 1+y 2) =1⇔m 2=3
． 11
所求直线AB 方程为：x ±3y +1=0
（2）设M (t , 0) ，则MA ⋅MB =(x 1-t , y 1) ⋅(x 2-t , y 2)
=(my 1-1-t , y 1)(my 2-1-t , y 2)
=(m 2+1) y 1y 2-m (t +1)(y 1+y 2) +(t +1) 2 2(3t +7)
+(t +1) 2-2t -6 =2
m +3
4⎛7⎫
所以当且仅当，即存在定点M -, 0⎪使MA ⋅MB 为定值
9⎝3⎭
-(2t +6) m 2-4-(2t +6) -472
=t =-+(t +1) 或MA ⋅MB =，只要即时，…… 2
133m +3
21．【解】：（Ⅰ）先求函数f (x ) =x log 2x +(1-x )log 2(1-x ) （x ∈
(0,1)）的
最小值
∵f '(x ) =(x log 2x ) '+[(1-x )log 2(1-x )]'
11
=log 2x -log 2(1-x ) +-
ln 2ln 2
⎛1⎫
=log 2x -log 2(1-x ) 于是f ' ⎪=0，
⎝2⎭
1⎛1⎫
当0
22⎝⎭1⎛1⎫
当0，f (x ) 在区间 ,1⎪是增函数， 2⎝2⎭
1⎛1⎫
所以f (x ) 在x =时取得最小值，f ⎪=-1，∴f (x ) ≥-1
2⎝2⎭
∵a 1>0, a 2>0, a 1+a 2=1，∴a 2=1-a 1，由①得 ∴a 1log 2a 1+a 2log 2a =a 1log 2a 1+(1-a 1)log 2(1-a 2)≥-1
（Ⅱ）∵a 1+a 2+a 3+a 4=1，设a 1+a 2=1-(a 3+a 4) =x 则
a 1a 2a a a a +=1，由（Ⅰ）的结论可得：1log 21+2log 22≥-1 x x x x x x ⇔a 1log 2a 1+a 2log 2a 2-(a 1+a 2)log 2x ≥-x
⇔a 1log 2a 1+a 2log 2a 2≥-x +x log 2x …………………① 同理∵a 2+a 3=1-x 有：
a 3log 2a 3+a 4log 2a 4≥-(1-x ) +(1-x )log 2(1-x ) ………②
①+②得：
a 1log 2a 1+a 2log 2a 2+a 3log 2a 3+a 4log 2a 4≥-1+x log 2x +(1-x )log 2(1-x ) 由于f (x ) =x log 2x +(1-x )log 2x ≥-1
∴a 1log 2a 1+a 2log 2a 2+a 3log 2a 3+a 4log 2a 4≥-2 22．【证明】：（1）由AC 与 O 相切于A ，得∠CAB =∠ADB ，同理∠ACB =∠DAB ，
AC AB
=所以∆ACB ∆DAB 从而， AD BD
即AC BD =AD AB ……4分
（2）由AD 与 O 相切于A ，得∠AED =∠BAD ，又∠ADE =∠BDA ，得∆EAD ∆ABD
AE AD
BD =AD AB ，综合（1）的结论，AC =AE ……10分 =从而，即AE
AB BD
4824
l ρ=23．【解】：（I ）C ：ρ2=，： 22
2cos θ+3sin θ2cos θ+3sin θ
2
（II ）设Q (ρ, θ) ，则OQ ⋅
OP =OR
⇔ρ⋅
2448
=⇔2x 2+3y 2-4x -6y =0 22
2cos θ+3sin θ2cos θ+3sin θ
24．【解】：（I ）|f (x ) |=x -2|-|x -5|≤(x -2) -(x -5) =3 ∴-3≤f (x ) ≤3
（II ）①当x ≤2时，f (x ) =-3，而x 2-8x +14=(x -4) 2-2≥-2 ∴f (x ) ≥x 2-8x +14无解
②当2
⎧2x -7≥x 2-8x +14
⇔3≤x
⎩2
⎧x 2-8x +14≤3
③当x ≥5时，f (x ) =3，原不等式等价于：⎨⇔5≤x ≤4
⎩x ≥
5
综上，不等式的解集为[3,4．
陕西省西工大附中2016届高三11月模拟考试
数 学（理科）
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1
．复数2015
计算的结果是（ ）
D
A ．－1 B ．-i C
2．若sin 20 =a ，则sin 230 的值为（ ）
A ．2a 2-1 B ．1-a 2 C ．a 2-1 D ．1-2a 2
⎫3
．-2x 2⎪的展开式中常数项是（ ）
⎭
5
A ．5 B ．-5 C ．10 D ．-10
4．已知{a n }为等差数列，若a 1=12，则必有（ ） S n 为其前n 项和．S 6=S 11，A ．a 17=0 B ．a 6+a 12=0 C ．S 17>0 D ．a 9
5．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．6 B ．9 C ．12 D ．18
6．右图是函数y =2sin(ωx +φ)(ω>0) 图像的一部分，则ω和φ为（ ）
115π
Ａ．ω=, φ=-
567π
Ｂ．ω=, φ=-
65
175π
Ｃ．ω=, φ=-
5613π
Ｄ．ω=, φ=-
56
7．展开(a +b +c ) 10合并同类项后的项数是（ ）
A ．11 B ．66 C ．76 D ．134
1
8．已知随机变量X 的取值为0，1，2，若P (X =0) =，EX =1，则DX
=
5
（ ）
A ．
⎧y ≤1⎪
9．若变量x , y 满足约束条件⎨x +y ≥0，则z =x -2y 的最大值为( )
⎪x -y -2≤0⎩
A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
2424 B ． C ． D ． 5533
10．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足
PA ⋅PB =0，PB ⋅PC =0，PC ⋅PA =0, 则三棱锥P -ABC 的侧面积的最大值为（ ）
1
A ． B ．1 C ．2 D ．4
2
x 22
11．已知抛物线y =8x 的焦点与双曲线2-y 2=1的一个焦点重合，则该
a
双曲线的离心率为（ ）
A
B
C
D
12．已知函数f (x ) =ax 3-3x 2+1，若f (x ) 存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是（ ）
A . （2，+∞） B . （-∞，-2） C . （1，+∞） D . （-∞，-1）
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
ππ
13．已知ω>0，函数f (x ) =sin(ωx +) 在(, π) 上
42
单调递减，则ω的取值范围是 ；
14．如右图，输入正整数m , n ，满足n ≥
m ，则输出
的p = ；
15．若直线l ：y =kx +1被圆C ：x 2+y 2-2x -3=0截得的弦最短，则；
16．将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，按照此排列规律，第10行从左向右的第5个数为 ．
三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题共12分）从某批产品中，有放回地抽取产品两次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P (A ) =0.96．
（Ⅰ）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；
（Ⅱ）若该批产品共20件，从中任意抽取2件，X 表示取出的2件产品中二等品的件数，求X 的分布列与期望．
18．（本小题共12分）已知数列{a n }中，且a 1≠a 2，当n ∈N +S n 为其前n 项和，时，恒有S n =pna n （p 为常数）．
(Ⅰ) 求常数p 的值；
(Ⅱ) 当a 2=2时，求数列{a n }的通项公式；
74
（Ⅲ）设b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n
4(a n +2) a n +1
19. （本小题共12分）四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知∠ABC ＝45°，AB ＝2，BC =22，SA ＝SB ＝3． （Ⅰ）求证：SA ⊥BC ；
（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的正弦值．
20．（本小题共12分）已知定点C (-1,0) 及椭圆x 2+3y 2=5，过点C 的动直线与该椭圆相交于A , B 两点.
（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是-，求直线AB 的方程；
（Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使MA ⋅MB 为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
21. （本小题共12分）（Ⅰ）已知正数a 1、a 2满足a 1+a 2=1，求证：a 1log 2a 1+a 2log 2a 2≥-；1
（Ⅱ）若正数a 1、a 2、a 3、a 4满足a 1+a 2+a 3+a 4=1，
求证：a 1log 2a 1+a 2log 2a 2+a 3log 2a 3+a 4log 2a 4≥-2．
请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图， O 和 O ' 相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C , D 两点，连结DB 并延长交 O 于点E .
证明：（I ）AC ⋅BD =AD ⋅AB ；
（II ）AC =AE .
23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
x y x 2y 2
+=1，直线l ：+=1， 已知椭圆C ：
1282416
（I ）以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求椭圆C 与直线l 的极坐标方程；
（II ）已知P 是l 上一动点，射线OP 交椭圆C 于点R ，又点Q 在OP
上且满足
2
OQ ⋅OP =OR ．当点P 在l 上移动时，求点Q 在直角坐标系下的轨迹方程．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x ) =|x -2|-|x -5|． （I ）证明：-3≤f (x ) ≤3；
（II ）求不等式：f (x ) ≥x 2-8x +14的解集．
模拟训练
数学（理科）参考答案
一．选择题：1．C 2．A 3．D 4．B 5．B 6．A
7．B 8．A 9．B 10．C 11．C 12．B
⎡15⎤m
二．填空题：13．⎢, ⎥， 14．A n ， 15．1， 16．50．
24⎣⎦
三、解答题： 17．【解】：（Ⅰ）1-p 2=0.96⇔p =0.2．
（Ⅱ）∵该批产品共20件，由（Ⅰ）知其二等品有20⨯0.2=4件， 显然X=0,1,2．故
21C 16C 1C 21232316C 4
P (X =0) =2=．P (X =1) =2=．P (X =2) =24=．
C 2019C 2095C 2095
所以X 的分布列为
38∴EX=
95
18．【解】：(Ⅰ) 当n =1时，a 1=S 1，∴a 1=pa 1，⇒p =1或a 1=0
当p =1时，S n =na n 则有S 2=2a 2⇔a 1+a 2=2a 2⇔a 1=a 2与已知矛盾，
∴p ≠1，只有a 1=0．
当n =2时，由S 2=2pa 2⇔a 1+a 2=2pa 2，∵a 1=0又a 1≠a 2∴a 2≠0
1∴p =
2
n n -1
n >2a =S -S =a -a n -1 (Ⅱ) ∵a 2=2，S n =1，当时，na n n n -1n n 2
22
a a a a
(n -2) a n =(n -1) a n -1⇔n =n -1，∴n =2⇔a n =2n -2
n -1n -2n -11
当n =1时，a 1=2⨯1-2=0也适合。∴a n =2n -2.
41111
=2
(a n +2) a n +1n (n -1) n n -1n
当n =1, 2时，显然成立，当n ≥3时有 ∴
1⎛11⎫1⎫717⎛1
T n
4⎝23⎭⎝n -1n ⎭4n 4
（Ⅲ）b n =
19．【解法一】：（Ⅰ）作SO ⊥BC ，垂足为O ，
连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ，
因为SA=SB，所以AO=BO，
又∠ABC =45 ，故△AOB 为等腰直角三角形，AO ⊥BO ， 由三垂线定理，得SA ⊥BC ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA ⊥BC ，依题设AD ∥BC ，
故SA ⊥
AD ，由AD =BC =
SA =
AO ，得
1SO=1
，SD =．△SAB
的面积S 1=AB =DB ，
2得△DAB 的面积S 2=
1
AB AD sin135 =2设D 到平面SAB 的距离为h ， 2
11
由于V D -SAB =V S -ABD ，得h S 1=SO
S 2，解得h =
33
设SD 与平面SAB 所成角为α
，则sin α=
h ． ==
SD 11． 所以，直线SD 与平面SAB
【解法二】：（Ⅰ）作SO ⊥BC ，垂足为O ，连结SO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．
因为SA=SB，所以AO=BO．
又∠ABC =45 ，△AOB 为等腰直角三角形，AO ⊥OB ．
如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系O —xyz ，
S （0，A ，
0) ，B (0
，C (0，
0，1）
，SA =1，-，
CB =0，所以SA ⊥BC ． CB =(0，SA
⎫
0⎪（Ⅱ）取AB 中点E
，E ⎪，
⎝⎭
1⎫
连结SE ，取SE 中点G ，连结OG
，G ．
⎪⎪2⎭⎝⎛1⎫⎛⎫OG =
SE =1⎪，． 442⎪⎪ 22
⎪，AB =(⎝⎭⎝⎭
SE OG =0，AB OG =0，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直。 所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为
β，则α与β互余．
．cos α=D
，DS =(OG DS OG
DS
=
，sin β=， 1111
所以，直线SD 与平面SAB
所成的角的正弦值为
20．【解】：（1）设直线AB ：x=my-1 ⎧x 2+3y 2=5
消去x 得：(m 2+3) y 2-2my -4=0 ⎨
⎩x =my -1
2m ⎧
y +y =2⎪x +x 21⎪1m 2+3
=- 所以⎨由1
22⎪y y =-4
12⎪m 2+3⎩
得：m (y 1+y 2) =1⇔m 2=3
． 11
所求直线AB 方程为：x ±3y +1=0
（2）设M (t , 0) ，则MA ⋅MB =(x 1-t , y 1) ⋅(x 2-t , y 2)
=(my 1-1-t , y 1)(my 2-1-t , y 2)
=(m 2+1) y 1y 2-m (t +1)(y 1+y 2) +(t +1) 2 2(3t +7)
+(t +1) 2-2t -6 =2
m +3
4⎛7⎫
所以当且仅当，即存在定点M -, 0⎪使MA ⋅MB 为定值
9⎝3⎭
-(2t +6) m 2-4-(2t +6) -472
=t =-+(t +1) 或MA ⋅MB =，只要即时，…… 2
133m +3
21．【解】：（Ⅰ）先求函数f (x ) =x log 2x +(1-x )log 2(1-x ) （x ∈
(0,1)）的
最小值
∵f '(x ) =(x log 2x ) '+[(1-x )log 2(1-x )]'
11
=log 2x -log 2(1-x ) +-
ln 2ln 2
⎛1⎫
=log 2x -log 2(1-x ) 于是f ' ⎪=0，
⎝2⎭
1⎛1⎫
当0
22⎝⎭1⎛1⎫
当0，f (x ) 在区间 ,1⎪是增函数， 2⎝2⎭
1⎛1⎫
所以f (x ) 在x =时取得最小值，f ⎪=-1，∴f (x ) ≥-1
2⎝2⎭
∵a 1>0, a 2>0, a 1+a 2=1，∴a 2=1-a 1，由①得 ∴a 1log 2a 1+a 2log 2a =a 1log 2a 1+(1-a 1)log 2(1-a 2)≥-1
（Ⅱ）∵a 1+a 2+a 3+a 4=1，设a 1+a 2=1-(a 3+a 4) =x 则
a 1a 2a a a a +=1，由（Ⅰ）的结论可得：1log 21+2log 22≥-1 x x x x x x ⇔a 1log 2a 1+a 2log 2a 2-(a 1+a 2)log 2x ≥-x
⇔a 1log 2a 1+a 2log 2a 2≥-x +x log 2x …………………① 同理∵a 2+a 3=1-x 有：
a 3log 2a 3+a 4log 2a 4≥-(1-x ) +(1-x )log 2(1-x ) ………②
①+②得：
a 1log 2a 1+a 2log 2a 2+a 3log 2a 3+a 4log 2a 4≥-1+x log 2x +(1-x )log 2(1-x ) 由于f (x ) =x log 2x +(1-x )log 2x ≥-1
∴a 1log 2a 1+a 2log 2a 2+a 3log 2a 3+a 4log 2a 4≥-2 22．【证明】：（1）由AC 与 O 相切于A ，得∠CAB =∠ADB ，同理∠ACB =∠DAB ，
AC AB
=所以∆ACB ∆DAB 从而， AD BD
即AC BD =AD AB ……4分
（2）由AD 与 O 相切于A ，得∠AED =∠BAD ，又∠ADE =∠BDA ，得∆EAD ∆ABD
AE AD
BD =AD AB ，综合（1）的结论，AC =AE ……10分 =从而，即AE
AB BD
4824
l ρ=23．【解】：（I ）C ：ρ2=，： 22
2cos θ+3sin θ2cos θ+3sin θ
2
（II ）设Q (ρ, θ) ，则OQ ⋅
OP =OR
⇔ρ⋅
2448
=⇔2x 2+3y 2-4x -6y =0 22
2cos θ+3sin θ2cos θ+3sin θ
24．【解】：（I ）|f (x ) |=x -2|-|x -5|≤(x -2) -(x -5) =3 ∴-3≤f (x ) ≤3
（II ）①当x ≤2时，f (x ) =-3，而x 2-8x +14=(x -4) 2-2≥-2 ∴f (x ) ≥x 2-8x +14无解
②当2
⎧2x -7≥x 2-8x +14
⇔3≤x
⎩2
⎧x 2-8x +14≤3
③当x ≥5时，f (x ) =3，原不等式等价于：⎨⇔5≤x ≤4
⎩x ≥
5
综上，不等式的解集为[3,4．