第2章 三角形
2.5.1 全等三角形
专题一 全等三角形的性质及应用
1. 如图, △ABC ≌△EBD , 问∠1与∠2相等吗? 若相等请证明, 若不相等说出为什么? 解析:由三角形全等, 得到对应角相等, 然后再沟通∠1和∠2之间的关系.
D
F C A E B
2. 如图, 已知△EAB ≌△DCE , AB 、EC 分别是两个三角形的最长边，∠A =∠C =35°， ∠CDE =100°，∠DEB =10°，求∠AEC 的度数.
专题二 全等三角形的探究题
3. 全等三角形又叫合同三角形，•平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形．假设△ABC 和△A 1B 1C 1是全等（合同）三角形，且点A 与A 1对应，点B 与B 1对应，点C •与点C 1对应，当沿周界A →B →C →A 及A 1→B 1→C 1→A 1环绕时, 若运动方向相同, 则称它们是真正合同三角形，如图1；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形，如图2．
A B 1A 1C 1A B B 1A 1C 1C C
(1) (2)
两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻折180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（ ）．
A B C D
4.如图所示，A ，D ，E 三点在同一直线上，且△BAD ≌△ACE ．
（1）试说明BD =DE +CE ；
（2）△ABD 满足什么条件时，BD ∥CE ？
5. 如图所示，△ABC 绕着点B 旋转（顺时针）90°到△DBE ，且∠ABC ＝90°. ⑴△ABC 和△DBE 是否全等？指出对应边和对应角;
⑵直线AC 、直线DE 有怎样的位置关系？
【知识要点】
1. 能够完全重合的两个图形叫全等形, 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
2. 全等三角形的对应边相等, 对应角相等.
【温馨提示】
1. 利用全等三角形的性质解决问题时, 一定要找准对应元素.
2. 全等三角形的对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等, 但周长、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形.
【方法技巧】
1. 全等三角形是指能够完全重合的两个三角形, 准确的找出两个全等三角形的对应元素是解决全等三角形问题的关键. 在表示两个三角形全等时, 对应的顶点要写在对应的位置上.
2. 全等三角形的对应边相等, 对应角相等, 利用这两个性质可以说明线段或角相等, 以及线段的平行或垂直等.
3. 一个图形经过平移、翻折、旋转后, 位置发生了变化, 但形状和大小都没有改变, 即经过平移、翻折、旋转前后的图形全等. 像这样只改变图形的位置而不改变图形的形状和大小的变换叫全等变换, 常见的有平移变换, 翻折变换, 旋转变换.
参考答案
1. 解：∠1和∠2∵△ABC ≌△EBD , ∴∠A =∠E (全等三角形对应角相等), 又∵∠A +∠AOF +∠1=180°, ∠E +∠EOB +∠E =180°(三角形内角和定理), ∠AOF =∠BOE (对顶角相等), ∴∠1=∠2(等式的性质).
2. 解:因为AB 、EC 是对应边，所以∠AEB =∠CDE =100°，又因为∠C =35°，所以 ∠CED =180°-35°-100°=45°，又因为∠DEB =10°，所以∠BEC =45°-10°=35°，所以∠AEC =∠AEB -∠BEC =100°-35°=65°.
3.B 提示:A与C 中的两个三角形可以通过旋转，使它们重合．D 中的两个三角形可以用平移、旋转相结合的方式使之重合．而B 中的两个三角形可以用翻折的方法使之重合，故B•中的三角形是镜面合同三角形．
4. 解:（1）因为△BAD ≌△ACE ，所以BD =AE ，AD =CE ，又因为AE =AD +DE =CE +DE ，所以BD =DE +CE ．（2）∠ADB =90°, 因为△BAD ≌△ACE , 所以∠ADB =∠CEB ，若BD ∥CE ，则∠CED =∠BDE ，所以∠ADB =∠BDE ，又因为∠ADB +∠BDE =180°，所以∠ADB =90°.
5. 解:⑴由题知可得：△ABC ≌△DBE ,
AC 和DE ，AB 和DB ，BC 和BE 是对应边；∠A 和∠D ，∠ACB 和∠DEB ，∠ABC 和∠DBE 是对应角; ⑵延长AC 交DE 于F . ∵△ABC ≌△DBE ∴∠A ＝∠D ， 又∵∠ACB ＝∠DCF （对顶角相等）, ∠A ＋∠ACB ＝90°, ∴∠D ＋∠DCF ＝90°, 即∠AFD ＝90°. ∴AC 与DE 是垂直的位置关系.
第2章 三角形
2.5.1 全等三角形
专题一 全等三角形的性质及应用
1. 如图, △ABC ≌△EBD , 问∠1与∠2相等吗? 若相等请证明, 若不相等说出为什么? 解析:由三角形全等, 得到对应角相等, 然后再沟通∠1和∠2之间的关系.
D
F C A E B
2. 如图, 已知△EAB ≌△DCE , AB 、EC 分别是两个三角形的最长边，∠A =∠C =35°， ∠CDE =100°，∠DEB =10°，求∠AEC 的度数.
专题二 全等三角形的探究题
3. 全等三角形又叫合同三角形，•平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形．假设△ABC 和△A 1B 1C 1是全等（合同）三角形，且点A 与A 1对应，点B 与B 1对应，点C •与点C 1对应，当沿周界A →B →C →A 及A 1→B 1→C 1→A 1环绕时, 若运动方向相同, 则称它们是真正合同三角形，如图1；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形，如图2．
A B 1A 1C 1A B B 1A 1C 1C C
(1) (2)
两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻折180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（ ）．
A B C D
4.如图所示，A ，D ，E 三点在同一直线上，且△BAD ≌△ACE ．
（1）试说明BD =DE +CE ；
（2）△ABD 满足什么条件时，BD ∥CE ？
5. 如图所示，△ABC 绕着点B 旋转（顺时针）90°到△DBE ，且∠ABC ＝90°. ⑴△ABC 和△DBE 是否全等？指出对应边和对应角;
⑵直线AC 、直线DE 有怎样的位置关系？
【知识要点】
1. 能够完全重合的两个图形叫全等形, 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
2. 全等三角形的对应边相等, 对应角相等.
【温馨提示】
1. 利用全等三角形的性质解决问题时, 一定要找准对应元素.
2. 全等三角形的对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等, 但周长、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形.
【方法技巧】
1. 全等三角形是指能够完全重合的两个三角形, 准确的找出两个全等三角形的对应元素是解决全等三角形问题的关键. 在表示两个三角形全等时, 对应的顶点要写在对应的位置上.
2. 全等三角形的对应边相等, 对应角相等, 利用这两个性质可以说明线段或角相等, 以及线段的平行或垂直等.
3. 一个图形经过平移、翻折、旋转后, 位置发生了变化, 但形状和大小都没有改变, 即经过平移、翻折、旋转前后的图形全等. 像这样只改变图形的位置而不改变图形的形状和大小的变换叫全等变换, 常见的有平移变换, 翻折变换, 旋转变换.
参考答案
1. 解：∠1和∠2∵△ABC ≌△EBD , ∴∠A =∠E (全等三角形对应角相等), 又∵∠A +∠AOF +∠1=180°, ∠E +∠EOB +∠E =180°(三角形内角和定理), ∠AOF =∠BOE (对顶角相等), ∴∠1=∠2(等式的性质).
2. 解:因为AB 、EC 是对应边，所以∠AEB =∠CDE =100°，又因为∠C =35°，所以 ∠CED =180°-35°-100°=45°，又因为∠DEB =10°，所以∠BEC =45°-10°=35°，所以∠AEC =∠AEB -∠BEC =100°-35°=65°.
3.B 提示:A与C 中的两个三角形可以通过旋转，使它们重合．D 中的两个三角形可以用平移、旋转相结合的方式使之重合．而B 中的两个三角形可以用翻折的方法使之重合，故B•中的三角形是镜面合同三角形．
4. 解:（1）因为△BAD ≌△ACE ，所以BD =AE ，AD =CE ，又因为AE =AD +DE =CE +DE ，所以BD =DE +CE ．（2）∠ADB =90°, 因为△BAD ≌△ACE , 所以∠ADB =∠CEB ，若BD ∥CE ，则∠CED =∠BDE ，所以∠ADB =∠BDE ，又因为∠ADB +∠BDE =180°，所以∠ADB =90°.
5. 解:⑴由题知可得：△ABC ≌△DBE ,
AC 和DE ，AB 和DB ，BC 和BE 是对应边；∠A 和∠D ，∠ACB 和∠DEB ，∠ABC 和∠DBE 是对应角; ⑵延长AC 交DE 于F . ∵△ABC ≌△DBE ∴∠A ＝∠D ， 又∵∠ACB ＝∠DCF （对顶角相等）, ∠A ＋∠ACB ＝90°, ∴∠D ＋∠DCF ＝90°, 即∠AFD ＝90°. ∴AC 与DE 是垂直的位置关系.