高中数学：第十三章 极限
考试内容：
教学归纳法．数学归纳法应用．
数列的极限．
函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．
考试要求：
(1) 理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
(2) 了解数列极限和函数极限的概念．
(3) 掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．
(4) 了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．
§13. 极限 知识要点
1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个n 0时结论正确；②假设当n =k （k ∈N +, k ≥n 0）时，结论正确，证明当n =k +1时，结论成立.
⑵第二数学归纳法：设P (n ) 是一个与正整数n 有关的命题，如果
①当n =n 0（n 0∈N +）时，P (n ) 成立；
②假设当n ≤k （k ∈N +, k ≥n 0）时，P (n ) 成立，推得n =k +1时，P (n ) 也成立. 那么，根据①②对一切自然数n ≥n 0时，P (n ) 都成立.
2. ⑴数列极限的表示方法：
①lim a n =a ；②当n →∞时，a n →a . n →∞
⑵几个常用极限：
①lim C =C （C 为常数）；②lim n →∞n →∞1k n
③对于任意实常数，当|a | 1时，lim a n =0；当a =1时，若a=1，则lim a n =1；若a =-1，n →∞=0(k ∈N , k 是常数) ； n →∞则lim a n =lim (-1) n 不存在；当a 1时，lim a n 不存在. n →∞n →∞n →∞
⑶数列极限的四则运算法则：
如果lim a n =a , lim b b =b ，那么 n →∞n →∞
①lim (a n ±b n ) =a ±b ；②lim (a n ⋅b n ) =a ⋅b ；③lim n →∞n →∞a n a =(b ≠0) n →∞b n b
特别地，如果C 是常数，那么
lim (C ⋅a n ) =lim C ⋅lim a n =Ca . n →∞n →∞n →∞
⑷数列极限的应用： 求无穷数列的各项和，特别地，当q 1时，无穷等比数列的各项和为S =a 1(q 1) . （化1-q 循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限.
3. 函数极限；
⑴当自变量x 无限趋近于常数x 0（但不等于x 0）时，如果函数f (x ) 无限趋进于一个常数a ，就是说当x 趋近于x 0时，函数f (x ) 的极限为a . 记作lim f (x ) =a 或当x →x 0时，f (x ) →a . x →x 0
注：当x →x 0时，f (x ) 是否存在极限与f (x ) 在x 0处是否定义无关，因为x →x 0并不要求x =x 0. （当然，f (x ) 在x 0是否有定义也与f (x ) 在x 0处是否存在极限无关. ⇒函数f (x ) 在x 0有定义是lim f (x ) 存在的既不充分又不必要条件. ） x →x 0
如P (x ) =⎨⎧x -1x 1在x =1处无定义，但lim P (x ) 存在，因为在x =1处左右极限均等于零. x →1⎩-x +1x 1
⑵函数极限的四则运算法则：
如果lim f (x ) =a , lim g (x ) =b ，那么 x →x 0x →x 0
①lim (f (x ) ±g (x )) =a ±b ；②lim (f (x ) ⋅g (x )) =a ⋅b ；③lim x →x 0x →x 0x →x 0f (x ) a =(b ≠0) g (x ) b
特别地，如果C 是常数，那么
lim (C ⋅f (x )) =C lim f (x ) ；lim [f (x )]n =[lim f (x )]n （n ∈N +） x →x 0x →x 0x →x 0x →x 0
注：①各个函数的极限都应存在.
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. ⑶几个常用极限： ①lim 1i l a x =0（a ＞1）；m ； =0；②lim a x =0（0＜a ＜1）x →+∞x →-∞n →∞x
1sin x x 1③lim ） =1⇒lim =1；④lim (1+) x =e ，lim (1+x ) x =e （e =2. 71828183x →0x →0x x →0sin x x →∞x
4. 函数的连续性：
⑴如果函数f （x ），g （x ）在某一点x =x 0连续，那么函数f (x ) ±g (x ), f (x ) ⋅g (x ), f (x ) (g (x ) ≠0) g (x ) 在点x =x 0处都连续.
⑵函数f （x ）在点x =x 0处连续必须满足三个条件：
①函数f （x ）在点x =x 0处有定义；②lim f (x ) 存在；③函数f （x ）在点x =x 0处的极限值x →x 0
等于该点的函数值，即lim f (x ) =f (x 0) . x →x 0
⑶函数f （x ）在点x =x 0处不连续（间断）的判定：
如果函数f （x ）在点x =x 0处有下列三种情况之一时，则称x 0为函数f （x ）的不连续点. ①f （x ）在点x =x 0处没有定义，即f (x 0) 不存在；②lim f (x ) 不存在；③lim f (x ) 存在，但x →x 0x →x 0x →x 0lim f (x ) ≠f (x 0) .
5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：
⑴零点定理：设函数f （x ）在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ) ⋅f (b ) 0. 那么在开区间(a , b ) 内至少有函数f (x ) 的一个零点，即至少有一点ξ（a ＜ξ＜b ）使f (ξ) =0.
⑵介值定理：设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，且在这区间的端点取不同函数值，f (a ) =A , f (b ) =B ，那么对于A , B 之间任意的一个数C ，在开区间(a , b ) 内至少有一点ξ，使得f (ξ) =C （a ＜ξ＜b ）.
⑶夹逼定理：设当0 |x -x 0| δ时，有g (x ) ≤f (x ) ≤h (x ) ，且lim g (x ) =lim h (x ) =A ，则必x →x 0x →x 0
有lim f (x ) =A . x →x 0
注：|x -x 0|：表示以x 0为的极限，则|x -x 0|就无限趋近于零. （ξ为最小整数）
6．几个常用极限： a n n k
=0(a 0) ；③lim n =0(a 1, k 为常数） ①lim q =0, q 1；②lim n →+∞n →+∞n ! n →+∞a n
(lnn ) k ln n =0(ε 0, k 为常数）④lim ． =0；⑤lim n →+∞n →+∞n n ε
11、若(1+i )(2+i )=a+bi，其中a , b ∈R , i 为虚数单位，则a +b =【答案】4
【解析】(1+i )(2+i ) =1+3i =a +bi ⇔a =1, b =3⇒a +b =4
12
、n 2 5= 。 【答案】
（3）lim 1⎫⎛4-⎪=（ ） x →2x 2-4x -2⎭⎝
B 、- A 、-1 1 4 C 、1 4 D 、1
11）已知复数z =1+i , 则2-z =____________. z
2（12）设U ={0, 1, 2, 3},A ={x ∈U |x +mx =0}，若C U A ={1, 2}，则实数m =_________.
2. 不等式x -1≤0的解集为 2x +1
1⎫1⎤⎛1⎤⎡1⎤⎛⎛ A. -, 1⎥ B.⎢-, 1⎥ C. -∞. -⎪⋃[1, +∞) D. -∞, -⎥⋃[1, +∞) 2⎭2⎦⎝2⎦⎣2⎦⎝⎝
高中数学：第十三章 极限
考试内容：
教学归纳法．数学归纳法应用．
数列的极限．
函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．
考试要求：
(1) 理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
(2) 了解数列极限和函数极限的概念．
(3) 掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．
(4) 了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．
§13. 极限 知识要点
1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个n 0时结论正确；②假设当n =k （k ∈N +, k ≥n 0）时，结论正确，证明当n =k +1时，结论成立.
⑵第二数学归纳法：设P (n ) 是一个与正整数n 有关的命题，如果
①当n =n 0（n 0∈N +）时，P (n ) 成立；
②假设当n ≤k （k ∈N +, k ≥n 0）时，P (n ) 成立，推得n =k +1时，P (n ) 也成立. 那么，根据①②对一切自然数n ≥n 0时，P (n ) 都成立.
2. ⑴数列极限的表示方法：
①lim a n =a ；②当n →∞时，a n →a . n →∞
⑵几个常用极限：
①lim C =C （C 为常数）；②lim n →∞n →∞1k n
③对于任意实常数，当|a | 1时，lim a n =0；当a =1时，若a=1，则lim a n =1；若a =-1，n →∞=0(k ∈N , k 是常数) ； n →∞则lim a n =lim (-1) n 不存在；当a 1时，lim a n 不存在. n →∞n →∞n →∞
⑶数列极限的四则运算法则：
如果lim a n =a , lim b b =b ，那么 n →∞n →∞
①lim (a n ±b n ) =a ±b ；②lim (a n ⋅b n ) =a ⋅b ；③lim n →∞n →∞a n a =(b ≠0) n →∞b n b
特别地，如果C 是常数，那么
lim (C ⋅a n ) =lim C ⋅lim a n =Ca . n →∞n →∞n →∞
⑷数列极限的应用： 求无穷数列的各项和，特别地，当q 1时，无穷等比数列的各项和为S =a 1(q 1) . （化1-q 循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限.
3. 函数极限；
⑴当自变量x 无限趋近于常数x 0（但不等于x 0）时，如果函数f (x ) 无限趋进于一个常数a ，就是说当x 趋近于x 0时，函数f (x ) 的极限为a . 记作lim f (x ) =a 或当x →x 0时，f (x ) →a . x →x 0
注：当x →x 0时，f (x ) 是否存在极限与f (x ) 在x 0处是否定义无关，因为x →x 0并不要求x =x 0. （当然，f (x ) 在x 0是否有定义也与f (x ) 在x 0处是否存在极限无关. ⇒函数f (x ) 在x 0有定义是lim f (x ) 存在的既不充分又不必要条件. ） x →x 0
如P (x ) =⎨⎧x -1x 1在x =1处无定义，但lim P (x ) 存在，因为在x =1处左右极限均等于零. x →1⎩-x +1x 1
⑵函数极限的四则运算法则：
如果lim f (x ) =a , lim g (x ) =b ，那么 x →x 0x →x 0
①lim (f (x ) ±g (x )) =a ±b ；②lim (f (x ) ⋅g (x )) =a ⋅b ；③lim x →x 0x →x 0x →x 0f (x ) a =(b ≠0) g (x ) b
特别地，如果C 是常数，那么
lim (C ⋅f (x )) =C lim f (x ) ；lim [f (x )]n =[lim f (x )]n （n ∈N +） x →x 0x →x 0x →x 0x →x 0
注：①各个函数的极限都应存在.
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. ⑶几个常用极限： ①lim 1i l a x =0（a ＞1）；m ； =0；②lim a x =0（0＜a ＜1）x →+∞x →-∞n →∞x
1sin x x 1③lim ） =1⇒lim =1；④lim (1+) x =e ，lim (1+x ) x =e （e =2. 71828183x →0x →0x x →0sin x x →∞x
4. 函数的连续性：
⑴如果函数f （x ），g （x ）在某一点x =x 0连续，那么函数f (x ) ±g (x ), f (x ) ⋅g (x ), f (x ) (g (x ) ≠0) g (x ) 在点x =x 0处都连续.
⑵函数f （x ）在点x =x 0处连续必须满足三个条件：
①函数f （x ）在点x =x 0处有定义；②lim f (x ) 存在；③函数f （x ）在点x =x 0处的极限值x →x 0
等于该点的函数值，即lim f (x ) =f (x 0) . x →x 0
⑶函数f （x ）在点x =x 0处不连续（间断）的判定：
如果函数f （x ）在点x =x 0处有下列三种情况之一时，则称x 0为函数f （x ）的不连续点. ①f （x ）在点x =x 0处没有定义，即f (x 0) 不存在；②lim f (x ) 不存在；③lim f (x ) 存在，但x →x 0x →x 0x →x 0lim f (x ) ≠f (x 0) .
5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：
⑴零点定理：设函数f （x ）在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ) ⋅f (b ) 0. 那么在开区间(a , b ) 内至少有函数f (x ) 的一个零点，即至少有一点ξ（a ＜ξ＜b ）使f (ξ) =0.
⑵介值定理：设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，且在这区间的端点取不同函数值，f (a ) =A , f (b ) =B ，那么对于A , B 之间任意的一个数C ，在开区间(a , b ) 内至少有一点ξ，使得f (ξ) =C （a ＜ξ＜b ）.
⑶夹逼定理：设当0 |x -x 0| δ时，有g (x ) ≤f (x ) ≤h (x ) ，且lim g (x ) =lim h (x ) =A ，则必x →x 0x →x 0
有lim f (x ) =A . x →x 0
注：|x -x 0|：表示以x 0为的极限，则|x -x 0|就无限趋近于零. （ξ为最小整数）
6．几个常用极限： a n n k
=0(a 0) ；③lim n =0(a 1, k 为常数） ①lim q =0, q 1；②lim n →+∞n →+∞n ! n →+∞a n
(lnn ) k ln n =0(ε 0, k 为常数）④lim ． =0；⑤lim n →+∞n →+∞n n ε
11、若(1+i )(2+i )=a+bi，其中a , b ∈R , i 为虚数单位，则a +b =【答案】4
【解析】(1+i )(2+i ) =1+3i =a +bi ⇔a =1, b =3⇒a +b =4
12
、n 2 5= 。 【答案】
（3）lim 1⎫⎛4-⎪=（ ） x →2x 2-4x -2⎭⎝
B 、- A 、-1 1 4 C 、1 4 D 、1
11）已知复数z =1+i , 则2-z =____________. z
2（12）设U ={0, 1, 2, 3},A ={x ∈U |x +mx =0}，若C U A ={1, 2}，则实数m =_________.
2. 不等式x -1≤0的解集为 2x +1
1⎫1⎤⎛1⎤⎡1⎤⎛⎛ A. -, 1⎥ B.⎢-, 1⎥ C. -∞. -⎪⋃[1, +∞) D. -∞, -⎥⋃[1, +∞) 2⎭2⎦⎝2⎦⎣2⎦⎝⎝