初二数学,练习题,整式及其运算

整式及其运算

一、 教学目标

掌握整式的相关概念，加减法，幂的运算，公式的应用以及乘除法的混合运算

二、 教学重难点

学习重点：熟练掌握整式的运算性质，并能熟练进行整式的运算。 学习难点：公式的区别及应用。

三、 基础知识

（1）、单项式和多项式统称为整式。

单项式

整式

代数式多项式

（2）、单项式有三种：单独的字母；单独的数字；数字与字母乘积的一般形式 其他代数式



（3）、 单项式的系数是指数字部分，如23abc的系数是23 (系数部分应包含，因为是常数）；

235（4）、 单项式的次数是它所有字母的指数和（记住不包括数字和的指数），如56xy次数

是8。

（5）、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

12

xy2y1

（6）、 一个多项式次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。如3是

3次3项式。

特别注意，多项式的次数不是组成多项式的所有字母指数和！！！

四、 典型例题

考点一：基本概念

ab23

,4,abc,0,xy,

3x中，单项式有【 】 例题1：在下列代数式：3

（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个

23xy4

7的次数是【 】 例题2：单项式



（A）8次 （B）3次 （C）4次 （D）5次

1121

ab,ab,ab2b1,3,,x2x122例题3：在下列代数式：2中，多项式为【 】

例题4：下列多项式次数为3的是【 】

（A）－5x2＋6x－1 （B）πx2＋x－1 （C）a2b＋ab＋b2 （D）x2y2－2xy－1

122x练习：1. 在2，7，y，m



n

2

41

xxy

，0，2，3中，单项式是 ；多项式是 ．

2. 下列说法正确的是（ ）

A．5ab

22

xy

2x3的次数是5 B．不是整式



324xy3xy的次数是7 C．x是单项式 D．

考点二：整式的加减

1. 整式的加减实质上就是去括号后,合并同类项,运算结果是一个多项式或是单项式. 2. 括号前面是“－”号,去括号时,括号内各项要变号,一个数与多项式相乘时,这个数与括号内各项都要相乘.

例题5：（1）2a2－3ab＋2b2－（2a2＋ab－3b2） （2） 2x－（5a－7x－2a） 例题6：求代数式(2a＋7b)3－8(a＋5b)3＋12(2a＋7b)3－7(a＋5b)3＋7(2a＋7b)3的值．其中a=9，b=－3

例题7: 小光做一道数学题：两个多项式A和B，B为4x5x6，试求A+B．由于小光误将“A+B”抄成“A-B”，结果求出答案是7x10x2．你试一试能不能帮小光找到“A+B”的正确答案．

练习;1、 若一个多项式加上2x2－x3－5－3x4得3x4－5x3－3，则这个多项式是 ；

2

2

2、已知

A

12

2xx5,B3x1x2,x

3 当3时，求 A2B的值

考点三：同底数幂的运算法则

（1） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 aaa

在应用法则运算时,要注意以下几点:

①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式； ②指数是1时，不要误以为没有指数；

③当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为aaaan、p均为正数）；

m

n

p

mnp

mnmn

（其中m、

mnmnaaa④公式还可以逆用：（m、n均为正整数）

25

(xy)(xy)例题8：=_________________ mn

a2,a5,则amn=________ 例题9：若

例题10：若aaa,则m=________;若xxx,则a=__________ 例题11： 10

m1

m344a16

10n1=________

m

n

mn

（2） 同底数幂相除，底数不变，指数相减 aaa

3225

a(a)(a)例题12：计算

mna3,a9,则a3m2n=________. 例题13：如果

nnn

(ab)ab （3） 积的乘方，等于积中各因数乘方的积

2



例题14：计算3

2002

(1.5)2001(1)2003

的结果是（ ）

2A．3

2 B．3



3 C．2

3 D．2



nnnx2,y3(xy)例题15：若,则=_______

mnmn

(a)a（4） 幂的乘方，底数不变，指数相乘

3723222(pq)(pq)(3a)(a)a例题16：（1） （2）

5

2

0a1(a0) （5） 任何非0常数的0次幂都等于1 0

(x2)例题17：若有意义,则x_________

例题18：已知a≠0,下列等式不正确的是( ) A.(-7a)0=1

1

2B.(a+2)0=1

1

()01

C.(│a│-1)0=1 D.a

p

（6） 一个非0常数的负整数次幂 a

1

(a0，是正整数) pa

例题19：若a = （－0.4）2, b =

1

－4－2, c =4

2

1,d =4

, 则 a、b、c、d 的大小关系为（ ）

（A） a

mn

23,48,则23m2n1= 练习：1. 若

022324

(3)(0.2)[(mn)(mn)](mn) 2.计算

考点四：整式的乘法

单项式与单项式相乘法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

单项式与多项式相乘法则：单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加

例20．计算 ：（1） ab·（－４ab） （2）x·（－５x－２y＋１）

（3）（a＋１）（a－）

考点五：平方公式

（1） 平方差公式 （a+b）（a-b）=a2-b2

22

(6x)(x6) 例题21：

1

2

66

例题22：下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）。

A、(-x+2y)(x-2y) B、(1-5m)(5m-1) C、(3x-5y)(-3x-5y) D、(a+b)(b+a)

21221241例题23：的结果为

例题24：利用整式的公式计算

① 19992001 ②

9921

例题25. 请先观察下列算式，再填空：①32

12

81， ② 52

32

82．

③72

52

8×（ ） ；④ 92

－（ ）2＝8×4； ⑤（ ）2－92

＝8×5 －（ ）2

＝8×（ ） ；………

(1)过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来. ⑵你能运用本章所学的知识来说明你的猜想的正确性吗？

（2） 完全平方公式（a±b）2= a2±2ab+b2 变式：a2+b2 =（a±b）2±2ab

例题26：若

x22(m3)16是关于x的完全平方式，则m________ 例题27：若mn10，mn24，则m2n2

 例题28：已知a2b2

2a6b100，求

a2006

1

b的值

例题29：(2a3b)(2a3b)(a3b)2

，其中a5,b

1

3

2

练习：1.（1） 1

5

x

110y

 （2） (2xy1)(2xy1)

（3）

(2xy)2

4(xy)(x2y) 2. 若x2

＋mx＋４是一个完全平方公式，则m的值为（ ） 3. (x+y－z)(x－y+z)－(x+y+z)(x－y－z)

⑥13

2

4. 已知

a

111

a441a22

a= aa= ，则

2

22

xxy12xyy15，求xy-xyxy的值 5、已知：，

考点六：整式的混合运算 （1） 去括号与添括号的法则：

①括号前是“＋”号，去掉括号和它前面的“＋”号，括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”号，去掉括号和它前面的“－”号，括号里的各项都改变符号．

②括号前是“＋”号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”号，括到括号里的各项都改变符号．

-（a+b-c）=-a-b+c ; -a+b-c=（a-b+c） （2）合并同类项

①同类项：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项

②合并同类项的法则：用同类项的系数的和作为和的系数，字母及和字母的指数不变 （4）整式的综合运算

规则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，遇到括号先算括号

13x2x22x1

3 例题30：

例题31：若单项式3x

4a1

13ab

y与3xy是同类项，则两个单项式的积是（ ）

2

A．xy B．xy

例题32：下列运算正确的是( )

6432

8x3y2C．3

64

xy D．

A．－2(a－b)＝－2a－b B．－2(a－b)＝－2a＋b C．－2(a－b)＝－2a－2b D．－2(a－b)＝－2a＋2b 当k

1

x23kxy3y2xy8

3= 时,多项式中不含xy项

5x

3y

例题33：若5x-3y-2=0,则1010=_________.

例题34：如果(3xy－2xy)÷M=－3x+2y，则单项式M等于( )

A、 xy； B、－xy； C、x； D、 －y

2

2

例题35：(1) (x－2)(x＋2)－(x＋1)(x－3)

（2） (2x－1)2－(x＋2)(x－2)－4x(x－1)，其中x＝

45(3) 54

2

2

3

1

(x)(2)3

2

作业

1. 计算aa，正确的结果是

A．2a

6

23

B．2a

5

C．a

6

D．a

5

2. 下面说法正确的有（）

A、3x1-x-6的一次项系数为1 B、单项式：abc的系数为0 C：2x2-5x2y+0.8x3y-5是四次四项式 D、am2和bm2是同类项 3. 下列计算正确的是（ ）

A.a2＋a3＝a5 B. a6÷a3＝a2 C. 4x2－3x2＝1 D.(－2x2y)3＝－8 x6y3

4. 下列等式一定成立的是（ ）

（A） a2+a3=a5 （B）（a+b）2=a2+b2

（C）（2ab2）3=6a3b6 （D）（x-a）（x-b）=x2-（a+b）x+ab 5. 如果 （ ）

A.3和-2 B.-3和2 C.3和2 D.-3和-2

6. 如图，从边长为（a＋4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为

是同类项，则m和n的取值是

a1cm的正方形(a0)，

剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）.

22222

(6a9)cm(2a5a)cm(3a15)cm(6a

15)cmA． B． C． D．

7. 代数式a2－1，0,是 ．

2

(3x2)(x1)axbxc，那么a= ，b= ，c= 8. 已知

1x+y

,x+ ，m，,3ay2

1

2 –3b中单项式是 ，多项式

9. 已知梯形的上底为4a－3b，下底为2a+b,高为3a+b。试用含a,b的代数式表示出梯形的面积，并求出当a=5,b=3时梯形的面积

10. 指出下列多项式的次数及项

（1）

11. 计算下列多项式

, （2）

(1)（2a＋1)2－(2a＋1)(－1＋2a) (2) 9ab

232324

[(2xy)(0.5xyz)][(25xy)(xy)] （3）

2m2m3

3amb2m

2

[(y2x)(2xy)4(x2y)]3y，其中x1，y3 12. 化简求值：

13. 已知y+2x=1，求代数式(y+1)－(y－4x)的值

2

2

整式及其运算

一、 教学目标

掌握整式的相关概念，加减法，幂的运算，公式的应用以及乘除法的混合运算

二、 教学重难点

学习重点：熟练掌握整式的运算性质，并能熟练进行整式的运算。 学习难点：公式的区别及应用。

三、 基础知识

（1）、单项式和多项式统称为整式。

单项式

整式

代数式多项式

（2）、单项式有三种：单独的字母；单独的数字；数字与字母乘积的一般形式 其他代数式



（3）、 单项式的系数是指数字部分，如23abc的系数是23 (系数部分应包含，因为是常数）；

235（4）、 单项式的次数是它所有字母的指数和（记住不包括数字和的指数），如56xy次数

是8。

（5）、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

12

xy2y1

（6）、 一个多项式次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。如3是

3次3项式。

特别注意，多项式的次数不是组成多项式的所有字母指数和！！！

四、 典型例题

考点一：基本概念

ab23

,4,abc,0,xy,

3x中，单项式有【 】 例题1：在下列代数式：3

（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个

23xy4

7的次数是【 】 例题2：单项式



（A）8次 （B）3次 （C）4次 （D）5次

1121

ab,ab,ab2b1,3,,x2x122例题3：在下列代数式：2中，多项式为【 】

例题4：下列多项式次数为3的是【 】

（A）－5x2＋6x－1 （B）πx2＋x－1 （C）a2b＋ab＋b2 （D）x2y2－2xy－1

122x练习：1. 在2，7，y，m



n

2

41

xxy

，0，2，3中，单项式是 ；多项式是 ．

2. 下列说法正确的是（ ）

A．5ab

22

xy

2x3的次数是5 B．不是整式



324xy3xy的次数是7 C．x是单项式 D．

考点二：整式的加减

1. 整式的加减实质上就是去括号后,合并同类项,运算结果是一个多项式或是单项式. 2. 括号前面是“－”号,去括号时,括号内各项要变号,一个数与多项式相乘时,这个数与括号内各项都要相乘.

例题5：（1）2a2－3ab＋2b2－（2a2＋ab－3b2） （2） 2x－（5a－7x－2a） 例题6：求代数式(2a＋7b)3－8(a＋5b)3＋12(2a＋7b)3－7(a＋5b)3＋7(2a＋7b)3的值．其中a=9，b=－3

例题7: 小光做一道数学题：两个多项式A和B，B为4x5x6，试求A+B．由于小光误将“A+B”抄成“A-B”，结果求出答案是7x10x2．你试一试能不能帮小光找到“A+B”的正确答案．

练习;1、 若一个多项式加上2x2－x3－5－3x4得3x4－5x3－3，则这个多项式是 ；

2

2

2、已知

A

12

2xx5,B3x1x2,x

3 当3时，求 A2B的值

考点三：同底数幂的运算法则

（1） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 aaa

在应用法则运算时,要注意以下几点:

①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式； ②指数是1时，不要误以为没有指数；

③当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为aaaan、p均为正数）；

m

n

p

mnp

mnmn

（其中m、

mnmnaaa④公式还可以逆用：（m、n均为正整数）

25

(xy)(xy)例题8：=_________________ mn

a2,a5,则amn=________ 例题9：若

例题10：若aaa,则m=________;若xxx,则a=__________ 例题11： 10

m1

m344a16

10n1=________

m

n

mn

（2） 同底数幂相除，底数不变，指数相减 aaa

3225

a(a)(a)例题12：计算

mna3,a9,则a3m2n=________. 例题13：如果

nnn

(ab)ab （3） 积的乘方，等于积中各因数乘方的积

2



例题14：计算3

2002

(1.5)2001(1)2003

的结果是（ ）

2A．3

2 B．3



3 C．2

3 D．2



nnnx2,y3(xy)例题15：若,则=_______

mnmn

(a)a（4） 幂的乘方，底数不变，指数相乘

3723222(pq)(pq)(3a)(a)a例题16：（1） （2）

5

2

0a1(a0) （5） 任何非0常数的0次幂都等于1 0

(x2)例题17：若有意义,则x_________

例题18：已知a≠0,下列等式不正确的是( ) A.(-7a)0=1

1

2B.(a+2)0=1

1

()01

C.(│a│-1)0=1 D.a

p

（6） 一个非0常数的负整数次幂 a

1

(a0，是正整数) pa

例题19：若a = （－0.4）2, b =

1

－4－2, c =4

2

1,d =4

, 则 a、b、c、d 的大小关系为（ ）

（A） a

mn

23,48,则23m2n1= 练习：1. 若

022324

(3)(0.2)[(mn)(mn)](mn) 2.计算

考点四：整式的乘法

单项式与单项式相乘法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

单项式与多项式相乘法则：单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加

例20．计算 ：（1） ab·（－４ab） （2）x·（－５x－２y＋１）

（3）（a＋１）（a－）

考点五：平方公式

（1） 平方差公式 （a+b）（a-b）=a2-b2

22

(6x)(x6) 例题21：

1

2

66

例题22：下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）。

A、(-x+2y)(x-2y) B、(1-5m)(5m-1) C、(3x-5y)(-3x-5y) D、(a+b)(b+a)

21221241例题23：的结果为

例题24：利用整式的公式计算

① 19992001 ②

9921

例题25. 请先观察下列算式，再填空：①32

12

81， ② 52

32

82．

③72

52

8×（ ） ；④ 92

－（ ）2＝8×4； ⑤（ ）2－92

＝8×5 －（ ）2

＝8×（ ） ；………

(1)过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来. ⑵你能运用本章所学的知识来说明你的猜想的正确性吗？

（2） 完全平方公式（a±b）2= a2±2ab+b2 变式：a2+b2 =（a±b）2±2ab

例题26：若

x22(m3)16是关于x的完全平方式，则m________ 例题27：若mn10，mn24，则m2n2

 例题28：已知a2b2

2a6b100，求

a2006

1

b的值

例题29：(2a3b)(2a3b)(a3b)2

，其中a5,b

1

3

2

练习：1.（1） 1

5

x

110y

 （2） (2xy1)(2xy1)

（3）

(2xy)2

4(xy)(x2y) 2. 若x2

＋mx＋４是一个完全平方公式，则m的值为（ ） 3. (x+y－z)(x－y+z)－(x+y+z)(x－y－z)

⑥13

2

4. 已知

a

111

a441a22

a= aa= ，则

2

22

xxy12xyy15，求xy-xyxy的值 5、已知：，

考点六：整式的混合运算 （1） 去括号与添括号的法则：

①括号前是“＋”号，去掉括号和它前面的“＋”号，括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”号，去掉括号和它前面的“－”号，括号里的各项都改变符号．

②括号前是“＋”号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”号，括到括号里的各项都改变符号．

-（a+b-c）=-a-b+c ; -a+b-c=（a-b+c） （2）合并同类项

①同类项：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项

②合并同类项的法则：用同类项的系数的和作为和的系数，字母及和字母的指数不变 （4）整式的综合运算

规则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，遇到括号先算括号

13x2x22x1

3 例题30：

例题31：若单项式3x

4a1

13ab

y与3xy是同类项，则两个单项式的积是（ ）

2

A．xy B．xy

例题32：下列运算正确的是( )

6432

8x3y2C．3

64

xy D．

A．－2(a－b)＝－2a－b B．－2(a－b)＝－2a＋b C．－2(a－b)＝－2a－2b D．－2(a－b)＝－2a＋2b 当k

1

x23kxy3y2xy8

3= 时,多项式中不含xy项

5x

3y

例题33：若5x-3y-2=0,则1010=_________.

例题34：如果(3xy－2xy)÷M=－3x+2y，则单项式M等于( )

A、 xy； B、－xy； C、x； D、 －y

2

2

例题35：(1) (x－2)(x＋2)－(x＋1)(x－3)

（2） (2x－1)2－(x＋2)(x－2)－4x(x－1)，其中x＝

45(3) 54

2

2

3

1

(x)(2)3

2

作业

1. 计算aa，正确的结果是

A．2a

6

23

B．2a

5

C．a

6

D．a

5

2. 下面说法正确的有（）

A、3x1-x-6的一次项系数为1 B、单项式：abc的系数为0 C：2x2-5x2y+0.8x3y-5是四次四项式 D、am2和bm2是同类项 3. 下列计算正确的是（ ）

A.a2＋a3＝a5 B. a6÷a3＝a2 C. 4x2－3x2＝1 D.(－2x2y)3＝－8 x6y3

4. 下列等式一定成立的是（ ）

（A） a2+a3=a5 （B）（a+b）2=a2+b2

（C）（2ab2）3=6a3b6 （D）（x-a）（x-b）=x2-（a+b）x+ab 5. 如果 （ ）

A.3和-2 B.-3和2 C.3和2 D.-3和-2

6. 如图，从边长为（a＋4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为

是同类项，则m和n的取值是

a1cm的正方形(a0)，

剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）.

22222

(6a9)cm(2a5a)cm(3a15)cm(6a

15)cmA． B． C． D．

7. 代数式a2－1，0,是 ．

2

(3x2)(x1)axbxc，那么a= ，b= ，c= 8. 已知

1x+y

,x+ ，m，,3ay2

1

2 –3b中单项式是 ，多项式

9. 已知梯形的上底为4a－3b，下底为2a+b,高为3a+b。试用含a,b的代数式表示出梯形的面积，并求出当a=5,b=3时梯形的面积

10. 指出下列多项式的次数及项

（1）

11. 计算下列多项式

, （2）

(1)（2a＋1)2－(2a＋1)(－1＋2a) (2) 9ab

232324

[(2xy)(0.5xyz)][(25xy)(xy)] （3）

2m2m3

3amb2m

2

[(y2x)(2xy)4(x2y)]3y，其中x1，y3 12. 化简求值：

13. 已知y+2x=1，求代数式(y+1)－(y－4x)的值

2

2